Aljabar Linear dan Matriks (Persamaan Linear dan Vektor) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs

Aljabar Linear dan Matriks (Persamaan Linear dan Vektor) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.

1.1 Matriks dan Sistem Persamaan Linear Definisi • Persamaan dalam variabel x dan y dapat ditulis dalam bentuk ax+by=c, dimana a, b, dan c adalah konstan real (a dan b tidak nol), disebut persamaan linear . • Grafik persamaan ini adalah garis lurus dalam plan x-y . • Sepasang nilai x dan y yang menyajikan hasil dari persamaan disebut solusi.

Solusi untuk sistem persamaan linear

Gambar 1.3

Gambar 1.1

Gambar 1.2

Solusi unik x+y= 5 2x - y = 4

Tidak ada solusi –2x + y = 3 –4x + 2y = 2

Beririsan pada (3, 2) Solusi unik: x = 3, y = 2.

Garis berupa paralel. Tidak ada irisan, tidak ada solusi.

Banyak solusi 4x – 2y = 6 6x – 3y = 9 Kedua persamaan mempunyai grafik yang sama. Titik pada grafik merupakan solusi. Banyak solusi.

Definisi Persamaan linear dalam n variabel x1, x2, x3, …, xn berbentuk a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + … + an xn = b dimana koefisien a1, a2, a3, …, an dan b merupakan konstanta.

Macam-macam bilangan： bilangan natural , integer , bilangan rasional , bilangan real , bilangan kompleks positif, negatif

Persamaan linear dalam tiga variabel terkait dengan bidang dalam ruang tiga dimensi. ※ Sistem mempunyai tiga persamaan linear dalam tiga variabel:

Solusi unik

Tidak ada solusi

Banyak solusi

Bagaimana menyelesaikan persamaan linear? Eliminasi Gauss-Jordan

Definisi • Matrix merupakan larik persegi dari sebuah bilangan. • Bilangan dalam larik disebut unsur dari matriks.

Matriks

 2 3 - 4 A  7 5 1  

 7 1 B   0 5 - 8 3

3 5 6  C  0 - 2 5  8 9 12

2 3 - 4 A  7 5 1  

Baris dan Kolom

2

3 - 4

7

row 1

5 - 1 baris 2

 2 7  

3 5  

kolom 1

kolom 2

 - 4  - 1   kolom 3

Submatriks

1 7 4  A  2 3 0  5 1 - 2 matriks A

 1 7 P  2 3  5 1

7  4 1   Q   3 R  5 2   1 submatriks dari A

Ukuran dan Tipe

 1 0 - 2 4 

3 5

Ukuran : 2  3

 2 5 7 - 9 0 1     - 3 5 8 Matriks 3  3

4

-3 8

5

Matriks 1 4

Matriks bujur sangkar Matriks baris Lokasi

 2 3 - 4 A  7 5 - 1

a13  -4, a21  7

Matriks Identitas ukuran diagonal 1，0，I

I 2  1 0 0 1

1 0 0 I 3  0 1 0  0 0 1

Aij baris i, kolom j lokasi (1,3) = -4

8   3   2 Matriks 3 1 Matriks kolom

Hubungan antara sistem persamaan linear dan matriks Koefisien dan penambahan matriks x

x1  x2  x3  2 2 x1  3 x2  x3  3 x1 - x2 - 2 x3  -6

1 1 1 2 3  1    1 - 1 - 2 Koefisien matriks

1 2 1 1 2 3  1 3    1 - 1 - 2 - 6 Matriks yang ditambahkan

Operasi Baris Dasar Matriks  Transformasi Dasar



1. Menukar dua persamaan.

1.

2. Mengalikan dua sisi dari

2.

persamaan dengan konstanta bukan nol. 3. Menjumlah perkalian dari satu persamaan dengan persamaan yang lain.

3.

Operasi Baris Matriks Menukar dua baris matriks. Mengalikan unsur-unsur baris dengan konstanta bukan nol. Menjumlah perkalian matriks dari unsur-unsur satu baris dengan unsur baris yang lain.

Contoh 1 Selesaikan sistem persamaan linear berikut !

x1  x2  x3  2 2 x1  3 x2  x3  3 x1 - x2 - 2 x3  -6

 Ekuivalen baris

Solusi Metode persamaan Sistem awal: Pers2+(–2)Pers1

Pers3+(–1)Pers1

Metode matriks analog Penambahan matriks:

x1  x2  x3  2 2 x1  3 x2  x3  3 x1 - x2 - 2 x3  -6 x1  x2  x3  2 x2 - x3  -1 - 2 x2 - 3x3  -8

1 2 1 1 3 1 3 2  1 - 1 - 2 - 6  R2+(–2)R1 R3+(–1)R1

1 1 2 1 1 - 1 - 1 0 0 - 2 - 3 - 8

Pers1+(–1)Pers2

Pers3+(2)Pers2

(–1/5)Pers3

Pers1+(–2)Pers3 Pers2+Pers3

x1  x2  x3  2 x2 - x3  -1 - 2 x2 - 3 x3  -8 x1  2 x3  3 x2 - x3  -1 - 5 x3  -10 x1  2 x3  3 x2 - x3  -1 x3  2

Solusi :

x1  -1, x2  1, x3  2.

x1  -1 x2  1 x3  2

1 1 2 1 1 - 1 - 1 0 0 - 2 - 3 - 8  R1+(–1)R2 R3+(2)R2



(–1/5)R3  R1+(–2)R3 R2+R3

2 3 1 0 0 1 - 1 - 1 0 0 - 5 - 10 2 3 1 0 0 1 - 1 - 1 1 2 0 0 1 0   0

0

0

1

0

0

1

Solusi :

x1  -1, x2  1, x3  2.

- 1 1  2 

Kesimpulan metode eliminasi： Suatu persamaan dengan penyelesaian matriks

  

  

  

   2R1+R2 

  

 2R1

  

  

   

R1+R2

  

  

Intinya :

   

 …  

1 0  0

  …  

1 0 0 1  0 0

  …  

1 0 0 0 1 0  0 0 1

   

Contoh 2 Selesaikan sistem persamaan linear berikut :

x1 - 2 x2  4 x3  12 2 x1 - x2  5 x3  18 - x1  3 x2 - 3 x3  -8 Solusi :

4 12  1 -2 5 18  2 -1 3 - 3 - 8 - 1  1  R2 3

 R2  (-2)R1 R3  R1

 1 - 2 4 12 1 - 1 - 2 0 1 1 4 0

8 1 0 2  0 1 - 1 - 2 R1  (-2)R3 1   R2  R3  R3 0 0 1 3 2 

4 12 1 - 2 3 - 3 - 6 0 1 1 4 0

 R1  (2)R2 R3  (-1)R2

8 1 0 2 0 1 - 1 - 2  6 0 0 2

 1 0 0 2 0 1 0 1   0 0 1 3

 x1  2  solusi  x2  1. x  3  3

Contoh 3 4 x1  8 x2 - 12 x3  44

Selesaikan sistem berikut :

3x1  6 x2 - 8 x3  32 - 2 x1 - x2

 -7

Solusi :  4 8 - 12 44   3 6 - 8 32    1 R1 - 2 - 1 0 - 7   4 

 R2  R3

 1 2 - 3 11  1 2 - 3 11   3 6 - 8 32 R2  (-3)R1   0 0 1 1     R3  2 R1 - 2 - 1  0 - 7 0 3 - 6 15

  1 2 - 3 11 0 3 - 6 15    1 R2 0 0 1 - 1  3 

 1 0 0 R1  (-1)R3  0 1 0 R2  2R3 

0 0

2 3. 1 - 1

 1 2 - 3 11  0 1 - 2  5   R1  (-2)R2 0 0 1 - 1

1 1 1 0 0 1 - 2 5   0 0 1 - 1

Solusinya adalah x1  2, x2  3, x3  -1.

Kesimpulan 8 - 12 44  4 [ A : B]   3 6 - 8 32 - 2 - 1 0 - 7

4 x1  8 x2 - 12 x3  44 3x1  6 x2 - 8 x3  32 - 2 x1 - x2

 -7

Gunakan operasi baris ke bentuk [ A: B] :

 4 8 - 12 44  3 6 - 8 32      - 2 - 1 0 - 7 

1 0  0

0

0

1

0

0

1

2 3. yaitu - 1

A

B

[ A : B]    [ I n : X ]

Definisi [In : X] disebut bentuk baris terkurangi dari [A : B].

Ch1_18

Catatan. 1. Jika A adalah koefisien matriks dari sistem persamaan n dalam variabel n yang mempunyai solusi unik , maka A adalah ekuivalen baris dengan In (A  In). 2. Jika A  In, maka sistem mempunyai solusi unik.

Contoh 4 banyak sistem Selesaikan 3 sistem persamaan linear dari persamaan linear berikut :

x1 - x2  3x3  b1 2 x1 - x2  4 x3  b2 untuk - x1  2 x2 - 4 x3  b3

 b1   8 0  3 b    11,  1,  3 sehingga menjadi  2       b3  - 11 2 - 4

Solusi :

3 8 0 3  1 -1 4 11 1 3  2 -1 - 1 2 - 4 - 11 2 - 4

 R1 R2 R3  ( -1)R2



1 R2+(–2)R1 0 R3+R1 0 1 0 1 3 1 0   1   0 1 - 2 - 5 1 - 3 R1 ( -1) R3  0    0 0  R2  2 R3  1 2 1 2   0

Solusi 3 sistem

 x1  1  x1  0  x1  -2    x  1 , x  3 ,  2  2  x2  1 . x  2 x  1 x  2  3  3  3

-1 3 8 0 3 1 - 2 - 5 1 - 3 1 - 1 - 3 2 - 1 0 0 1 0 - 2  1 0 -1 3 1  0 1 2 1 2

1.2 Eliminasi Gauss-Jordan Definisi Matriks dalam bentuk baris terkurangi jika 1. Suatu baris terdiri dari nol dikelompokkan di bawah matriks. 2. Unsur pertama bukan nol dari setiap baris yang lain adalah 1. Unsur ini disebut leading 1. 3. Leading 1 dari setiap baris setelah baris yang pertama diposisikan di kanan 1 dari baris sebelumnya. 4. Semua unsur yang lain dalam kolom terdiri dari nol.

 Contoh untuk bentuk baris terkurangi 1 0 8 0 1 2    0 0 0

1 2 0 4 0 0 0 0    0 0 1 3

1 0 0 7 0 1 0 3    0 0 1 9

()

()

()

1 2 0 3 0 0 0 3 4 0    0 0 0 0 1 ()

Operasi baris dasar, bentuk baris terkurangi Bentuk baris terkurangi dari matriks adalah unik. Ch1_21

Eliminasi Gauss-Jordan  System persamaan linear

 matriks yang ditambahkan  bentuk baris terkurangi  solusi

Contoh 1 Gunakan metode eliminasi Gauss-Jordan untuk mencari bentuk baris terkurangi dari matriks berikut :

2 - 2 2 0 0 9 12 3 3 - 3 4 4 - 2 11 12

pivot (leading 1)

Solusi :

 R1R2

      

3 0

3 0

-3 2

4

4

-2

1 1   0 0 R3  (-4)R1  0 0 pivot

-1 2 2

9 -2

12   1 1  2  1 R1 0 0

  11 12  3 

3 -2 -1

  

4  2  - 4

-1 3 4 2 - 2 2 4 4 - 2 11 12

1   1  R2 0  2 0

1 -1

3

0

1 -1

0

2

-1

4

 1  - 4

 5  1 1 0 2  1 1 0 0 17 R1  R2 0 0 1 - 1 1 R1  (-2)R3 0 0 1 0 - 5 R3  (-2)R2 0 0 0 1 - 6 R2  R3 0 0 0 1 - 6 Matriks hasil merupakan bentuk baris terkurangi dari matriks yang diberikan.

Contoh 2 Selesaikan, jika mungkin, sistem persamaan :

3 x1 - 3 x2  3 x3  9 2 x1 - x2  4 x3  7 3 x1 - 5 x2 - x3  7

Solusi :

3 - 3 3 2 - 1 4  3 - 5 - 1  1 0 3 R1 R2 0 1 2 R3 R2 0  0 0

9   1 - 1 1 3   1 - 1 1 3 7  1 R1 2 - 1 4 7  R2 ( -2)R1 0 1 2 1   7  3  3 - 5 - 1 7  R3( -3)R1 0 - 2 - 4 - 2 4 x  3 x  4 x  -3 x  4 3 3  1 1  1 0 x2  2 x3  1 x2  -2 x3  1

Solusi umum ke sistem adalah

x1  -3r  4 x2  -2r  1 x3  r

, dimana r adalah bilangan real (disebut parameter).

Contoh 3 Contoh ini menggambarkan bahwa solusi umum dapat melibatkan bilangan parameter. Selesaikan sistem persamaan berikut :

x1  2 x2 - x3  3 x4  4 2 x1  4 x2 - 2 x3  7 x4  10  banyak penyelesaian - x1 - 2 x2  x3 - 4 x4  -6

Solusi :  1   2   -1 

2

-1

3

4

-2

7

-2

1   R1  (-3)R2 0  R3  R2 0 



1 -4

4

1    10 R1(-2)R10  R3R1  0 - 6 

2

-1

3

0

0

1

0

0

-1

4

 2  - 2

2 -1 0 - 2 0

0 1

0

0 0

 2  0

x1  2 x2 - x3  -2 x4  2

 x1   x2   x3   x4

 -2r  s - 2 r , untuk r , s  R. s 2

Contoh 4 Contoh ilustrasi sistem yang tidak ada solusi. Selesaikan sistem berikut :

x1  x2  5 x3  3 x2  3x3  -1 x1  2 x2  8 x3  3 Solusi :

1 1 5 3  1 1 5 3  0 1 3 - 1  0 1 3 - 1    R 3 ( -1) R1  0 1 3 0  1 2 8 3  0x1+0x2+0x3=1 Sistem yang tidak mempunyai solusi

1 0 2 4    R 1 ( -1) R 2 0 1 3 1   R 3 ( -1) R 2 0 0 0 1  

Sistem Persamaan Linear Homogen Definisi Sistem persamaan linear dikatakan homogen jika semua konstanta adalah nol.

Contoh:

Amati bahwa

 x1  2 x2 - 5 x3  0  - 2 x1 - 3x2  6 x3  0 x1  0, x2  0, x3  0 merupakan solusi

Teorema 1.1 Sistem persamaan linear homogen dalam n variabel selalu mempunyai solusi x1 = 0, x2 = 0. …, xn = 0. Solusi ini disebut solusi trivial (sepele).

Sistem Persamaan Linear Homogen Catatan: Solusi trivial Contoh:

 x1  2 x2 - 5 x3  0  - 2 x1 - 3x2  6 x3  0

Sistem mempunyai solusi nontrivial yang lain.

2 - 5 0 1 1 0 3 0 - 2 - 3 6 0    0 1 - 4 0    

 x1  -3r , x2  4r , x3  r Teorema 1.2

Sistem persamaan linear yang mempunyai banyak variabel daripada persamaan yang mempunyai banyak solusi.

1.3 Ruang Vektor Rn Sistem koordinat persegi Ada dua cara menginterpretasikan (5,3) - mendefinisikan lokasi titik dalam bidang -

 mendefinisikan vektor posisi OA

• Asal：(0, 0) • • •

 Vektor posisi ： OA  Titik awal dari OA : O  Titik akhir dari OA : A(5, 3) Gambar 1.5

• Pasangan terurut : (a, b)

Contoh 1







Gambar vektor posisi OA  (4,1), OB  (-5, - 2) dan OC  (-3, 4)

Gambar 1.6

.

R2 → R3

Gambar1.7

Definisi Untuk (u1 , u2 , ..., un ) merupakan urutan n bilangan real. Himpunan semua urutan disebut n-ruang dan didenotasikan Rn. u1 merupakan komponen awal dari (u1 , u2 , ..., un ) , u2 merupakan komponen kedua dan seterusnya.

Contoh : R4 merupakan himpunan urutan 4 bilangan real. Contoh, (1, 2, 3, 4) dan (-1, 3, 5.2, 0) merupakan R4. R5 merupakan himpunan urutan dari 5 bilangan real. Contoh, (-1, 2, 0, 3, 9) ada dalam himpunan ini.

Penjumlahan dan Perkalian Skalar Definisi Untuk u  (u1 , u2 , ..., un ) and v  (v1 , v2 , ..., vn ) ada dua unsur dari Rn. Dapat dikatakan bahwa u dan v adalah sama jika u1 = v1, …, un = vn. Lalu dua unsur dari Rn adalah sama jika komponen terkait adalah sama.

Definisi Untuk u  (u1 , u2 , ..., un ) and v  (v1 , v2 , ..., vn ) ada unsur-unsur dari Rn dan untuk c menjadi skalar. Perkalian dan penjumlahan skalar dihasilkan dari :

Penjumlahan Perkalian skalar

u  v  (u1  v1 , ..., un  vn ) cu  (cu1 , ..., cun )

Catatan. (1) u, v Rn  u+v  Rn (Rn adalah tertutup dalam penjumlahan) (2) u Rn, c R  cu  Rn (Rn adalah tertutup dalam perkalian skalar)

Contoh 2 Untuk u = ( –1, 4, 3, 7) dan v = ( –2, –3, 1, 0) berupa vektor di R4. Cari u + v dan 3u. Solusi :

u  v  (-1, 4, 3, 7)  (-2, - 3, 1, 0)  (-3, 1, 4, 7) 3u  3(-1, 4, 3, 7)  (-3, 12, 9, 21) Contoh3 Menurut vector (4, 1) dan (2, 3), didapatkan (4, 1) + (2, 3) = (6, 4).

Gambar 1.8

Umumnya, jika u dan v merupakan vektor dalam ruang vektor yang sama, maka u + v merupakan diagonal dari parallelogram yang didefinisikan oleh u dan v.

Gambar1.9

Contoh 4 Menurut perkalian skalar dari vektor (3, 2) oleh 2, didapatkan 2(3, 2) = (6, 4) Amati pada gambar 4.6 dimana (6, 4) merupakan vektor pada arah yang sama sebagai (3, 2), dan 2 kali panjangnya.

Gambar 1.10

c>1

0
–1 < c < 0

c < –1

Gambar 1.11 Umumnya, arah cu akan sama dengan arah u jika c > 0, dan arah berlawanan u jika c < 0. Panjang cu adalah |c| kali panjang dari u.

Vektor khusus Vektor (0, 0, …, 0), mempunyai komponen n nol, disebut vektor nol dari Rn dan didenotasikan 0.

Vektor Negatif Vektor (–1)u ditulis –u dan disebut negatif dari u. Vektor mempunyai magnitudo yang sama sebagai u, tetapi berada pada arah yang berlawanan dengan u.

u -u

Pengurangan Pengurangan dihasilkan pada unsur-unsur dari Rn oleh pengurangan komponen terkait. Misal, dalam R3, (5, 3, -6) – (2, 1, 3) = (3, 2, -9)

Teorema 1.3 Untuk u, v, dan w berupa vektor dalam Rn dan untuk c dan d berupa skalar. (a) u + v = v + u (b) u + (v + w) = (u + v) + w (c) u + 0 = 0 + u = u (d) u + (–u) = 0 (e) c(u + v) = cu + cv (f) (c + d)u = cu + du (g) c(du) = (cd)u (h) 1u = u

Gambar 1.12 Komutatif dari penjumlahan vektor u + v = v + u

Vektor kombinasi linear au +bv + cw merupakan kombinasi linear dari vektor u, v, dan w.

Contoh 5 Untuk u = (2, 5, –3), v = ( –4, 1, 9), w = (4, 0, 2). Tentukan kombinasi linear 2u – 3v + w. Solusi

2u - 3v  w  2(2, 5, - 3) - 3(-4, 1, 9)  (4, 0, 2)  (4, 10, - 6) - (-12, 3, 27)  (4, 0, 2)  (4  12  4, 10 - 3  0, - 6 - 27  2)  (20, 7, - 31)

Vektor Kolom Vektor baris: Vektor kolom:

u  (u1 , u2 , ..., un )  u1     u n 

Penjumlahan dan perkalian skalar dari vektor kolom dalam Rn dalam sifat komponen:

 u1   v1   u1  v1          un  vn  un  vn       

and

 u1   cu1  c       un  cun     

Sub-ruang Rn Sub-himpunan dari ruang vektor Rn yang mempunyai semua sifat aljabar dari Rn. Sub-himpunan tersebut disebut sub-ruang.

Definisi Sub-himpunanS dari Rn adalah sub-ruang jika penjumlahan tertutup dan perkalian skalar.

Perlu diingat : (1) u, v S  u+v  S (S merupakan penjumlahan ter tutup) (2) u S, c R  cu  S (S merupakan perkalian skalar tertutup)

Contoh 6 Menurut sub-himpunan W dari R2 dari bentuk vektor (a, 2a). Tunjukkan bahwa W adalah sub-ruang dari R2. Bukti

Untuk u = (a, 2a), v = (b, 2b)  W, dan k R. u + v = (a, 2a) + (b, 2b) = (a+ b, 2a + 2b) = (a + b, 2(a + b))  W dan ku = k(a, 2a) = (ka, 2ka)  W Lalu u + v  W dan ku  W . W merupakan penjumlahan tertutup dan perkalian skalar. W merupakan sub-ruang dari R2.

Amati: W merupakan himpunan vektor yang dapat ditulis a(1,2). Gambar 1.13

Contoh 7 Menurut sistem persamaan linear homogen dapat ditunjukkan bahwa ada banyak solusi x1=2r, x2=5r, x3=r. Dan dapat dituliskan solusi ini sebagai vektor dalam R3 sebagai (2r, 5r, r). Tunjukkan bahwa himpunan dari solusi W merupakan Sub-ruang dari R3.

x1 - x2  3 x3  0 x2 - 5 x3  0 2 x1 - x2  x3  0

Bukti Untuk u = (2r, 5r, r), v = (2s, 5s, s) W, dan k R. u + v = (2(r+s), 5(r+s), r+s)  W dan ku = (2kr, 5kr, kr)  W Lalu u + v  W dan ku  W . W merupakan sub-ruang dari R3.

Amati: W merupakan himpunan vektor yang dapat ditulis r(2,5,1).

Gambar 1.14

1.4 Basis and Dimension Basis: himpunan vektor yang biasanya digunakan untuk mendeskripsikan ruang vektor.

Basis standar dari Rn Menurut vektor (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) dalam R3. Vektor-vektor ini mempunyai dua sifat yang sangat penting: (i)Dikatakan span R3, merupakan pengaturan vektor (x, y, z) sebagai kombinasi linear dari tiga vektor: Untuk suatu (x,y,z) R3  (x,y,z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1) (ii)Dikatakan linear bebas. Jika p(1, 0, 0) + q(0, 1, 0) +r(0, 0, 1) = (0, 0, 0)  p = 0, q = 0, r = 0 merupakan solusi unik. Himpunan vektor yang terdiri dari dua sifat disebut basis.

Ada banyak basis untuk R3 – himpunan span R3 dan linear bebas. Contoh, himpunan {(1, 2, 0), (0, 1, -1), (1, 1, 2)} merupakan basis untuk R3. Himpunan {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} merupakan basis yang paling penting untuk R3, disebut basis standar dari R3. R2 : ruang dua dimensi R3 : ruang tiga dimensi

Himpunan {(1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, …, 1)} dari n vektor adalah basis standar untuk Rn. Dimensi dari Rn adalah n.

Span, Linear bebas, dan Basis Vektor v1, v2, dan v3 dikatakan span sebuah ruang jika setiap vektor v berada dalam ruang yang dapat diungkapkan sebagai kombinasi linear darinya, v = av1 + bv2 + cv3.

Vektor v1, v2, dan v3 dikatakan linear bebas jika identitas pv1 + qv2 + rvm = 0 is hanya benar untuk p = 0, q = 0, r = 0.

Basis untuk ruang merupakan himpunan yang span ruang dan linear bebas. Bilangan vektor dalam basis disebut dimensi dari ruang.

Contoh1 Menurut sub-himpunan W dari R3 terdiri dari vektor berbentuk (a, b, a+b). Vektor (2, 5, 7)W , dimana (2, 5, 9)W . Tunjukkan bahwa W merupakan sub-ruang dari R3. Bukti Untuk u=(a, b, a+b) dan v=(c, d, c+d) berupa vektor dalam W dan k berupa skalar.

(1) u+v = (a, b, a+b) + (c, d, c+d) = (a+c, b+d, (a+c)+(b+d)) u+v W (2) ku = k(a, b, a+b) = (ka, kb, ka+kb)

ku W

W merupakan penjumlahan tertutup dan perkalian skalar. W merupakan sub-ruang dari R3.

Contoh 1 (lanjutan) Pisahkan variabel sesuai dengan vektor u. u = (a, b, a+b) = (a, 0, a) + (0, b, b) = a(1, 0, 1) + b(0, 1, 1) Vektor (1, 0, 1) dan (0, 1, 1) lalu span W. Sehingga, p(1, 0, 1) + q(0, 1, 1) = (0, 0, 0) dengan p=0 dan q=0. Dua vektor (1, 0, 1) dan (0, 1, 1) merupakan linear bebas. Himpunan {(1, 0, 1), (0, 1, 1)} merupakan basis untuk W . Dimensi dari W, dim(W )= 2.

Contoh 2 Menurut sub-himpunan V dari R3, vektornya berbentuk (a, 2a, 3a). Tunjukkan bahwa V merupakan sub-ruang dari R3 dan cari basis. Solusi (sub-ruang) Untuk u=(a, 2a, 3a) dan v=(b, 2b, 3b) berupa vektor dalam V dan k berupa skalar. (1) u+v = (a+b, 2(a+b), 3(a+b)) (2) ku = k(a, 2a, 3a) = (ka, 2ka, 3ka)

u+v V ku V

V merupakan penjumlahan tertutup dan perkalian skalar. V merupakan sub-ruang dari R3. (basis) u = (a, 2a, 3a) = a(1, 2, 3)  {(1, 2, 3)} merupakan basis untuk V.  dim(V) = 1.

Contoh 3 Menurut sistem persamaan linear homogen berikut :

x1 - x2  x3  2 x4  0 x1

- 3 x3  2 x4  0

2 x1 - x2 - 2 x3  4 x4  0 Dapat ditunjukkan ada banyak solusi x1 = 3r - 2s, x2 = 4r, x3 = r, x4 = s. Tuliskan solusi tersebut sebagai vektor dalam R4, (3r - 2s, 4r, r, s). Dapat ditunjukkan bahwa himpunan tersebut merupakan sub-ruang W dari R4. Cari basis untuk W dan berikan dimensinya. Solusi (1)

(3r - 2s, 4r, r, s) = r(3, 4, 1, 0) + s( -2, 0, 0, 1)

(2)

Jika p(3, 4, 1, 0) + q( -2, 0, 0, 1) = (0, 0, 0, 0), maka p=0, q=0.

 {(3, 4, 1, 0), ( -2, 0, 0, 1) } merupakan basis untuk W .  dim(W ) = 2.

1.5 Produc dot, Norm, Sudut, dan Jarak Pokok bahasan ini membangun geometri untuk ruang vektor Rn.

Definisi

Untuk u  (u1 , u 2 , ..., u n ) dan v  (v1 , v2 , ..., vn ) berupa dua vektor dalam Rn. Produk dot dari u dan v didenotasikan u‧v dan didefinisikan oleh u v  u1v1    u.n vn Produk dot menempatkan bilangan real pada setiap pasangan vektor.



Produk dot merupakan tool yang digunakan untuk membuat geometri Rn.

Contoh Cari produk dot dari u = (1, –2, 4) dan v = (3, 0, 2) Solusi

u v Ch1_52

 (1 3)  (-2  0)  (4  2)  3  0  8  11

Sifat-sifat Produk Dot Untuk u, v, dan w berupa vektor dalam Rn dan untuk c berupa skalar, maka 1. u‧v = v‧u 2. (u + v)‧w = u‧w + v‧w 3. cu‧v = c(u‧v) = u‧cv 4. u‧u  0, and u‧u = 0 jika dan hanya jika u = 0

Bukti 1.

Untuk u  (u1 , u2 , ...,un ) dan v  (v1 , v2 , ..., vn ). Didapatkan u  v  u1v1    un vn  v1u1    vnun dengan sifat komutatif bilangan real

2.

 v u 2 2 u  u  u1u1    unun  u1     un 

u1 2    un 2  0, lalu u  u  0. u1 2    un 2  0, jika dan hanya jika u1  0, , un  0. Lalu u  u  0 jika dan hanya jika u  0.

Norm (panjang) dari Vektor dalam Rn

Gambar 1.17

Definisi Norm (panjang atau magnitudo) dari vektor u = (u1, …, un) dalam Rn 2 2 didenotasikan ||u|| dan didefinisikan oleh u  u  u

 1

Catatan: Norm dari vektor dapat ditulis dalam produk dot

u  u u

 n

Contoh Cari norm dari vektor u = (1, 3, 5) dari R3 dan v = (3, 0, 1, 4) dari R4. Solusi

u  (1) 2  (3) 2  (5) 2  1  9  25  35 v  (3) 2  (0) 2  (1) 2  (4) 2  9  0  1  16  26

Definisi Vektor satuan merupakan vektor yang mempunyai norm = 1. Jika v merupakan vektor bukan nol, maka vektor merupakan vektor satuan dalam arah v. 1

u

v

v

Prosedur dari pembuatan vektor satuan pada arah yang sama sebagaimana vektor yang diberikan disebut normalisasi vektor.

Contoh 1 Cari norm dari vektor (2, –1, 3). Normalisasi vektor tersebut. Solusi Norm dari (2, –1, 3) adalah

(2, - 1, 3)  22  (-1) 2  32  14.

Vektor ternormalisasi adalah

14.

Vektor dapat ditulis sebagai

1 ( 2, - 1, 3) 14

Vektor tersebut merupakan vektor satuan pada arah (2, –1, 3).

 2 -1 3  , ,  .  14 14 14 

Sudut antar Vektor (R2) Untuk u=(a, b) dan v=(c, d). Cari sudut q antara u dan v. Hukum cosinus memberikan

Didapatkan,

Gambar 1.18

0q

Sudut antara Vektor (R n) Definisi Untuk u dan v berupa dua vektor bukan nol dalam Rn. Cosinus dari sudut q antara vektor tersebut adalah cosq 

uv u v

0 q 

Contoh 2 Tentukan sudut antara vektor u = (1, 0, 0) dan v = (1, 0, 1) dalam R3.

Solusi

Lalu

u  v  (1, 0, 0)  (1, 0, 1)  1

u  12  02  02  1 v  12  02  12  2 uv 1 cosq   , sudut antara u dan v merupakan /4 (atau 45). u v 2

Definisi Dua vektor bukan nol merupakan orthogonal jika sudut antara mereka merupakan sudut yang sesuai dengan nilai cos-nya sama dengan 0.

Teorema 1.4 Dua vektor bukan nol u dan v merupakan orthogonal jika dan hanya jika u‧v = 0.

Bukti

u, v merupakan orthogonal  cosq  0  u  v  0 Contoh Vektor (2, –3, 1) dan (1, 2, 4) merupakan orthogonal karena (2, –3, 1)‧(1, 2, 4) = (2  1) + (–3  0) + (1  4) = 2 – 6 + 4 = 0.

Sifat-sifat basis standar dari Rn  (1, 0), (0,1) merupakan vektor satuan orthogonal dalam R2.

 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) merupakan vektor satuan

orthogonal dalam R3. Himpunan dari vektor satuan pasangan orthogonal adalah himpunan orthonormal.

Basis standar dari Rn, {(1, 0, …, 0), (0, 1, 0, …, 0), …, (0, …, 0, 1)} merupakan himpunan orthonormal.

Contoh 3 (a) Untuk w berupa vektor dalam Rn. Untuk W berupa himpunan vektor yang orthogonal pada w. Tunjukkan bahwa W merupakan sub-ruang dari Rn. (b) Cari basis dari sub-himpunan W dari vektor dalam R3 bahwa orthogonal pada w=(1, 3, 1). Berikan dimensi dan deskripsi geometris dari W .

Solusi

(a) Untuk u, vW . Karena uw dan vw, sehingga uw=0 dan vw=0.  u+v w

 u+v W

Jika c adalah skalar, c(uw) = cuw = 0

 cu w

(u+v)w = uw + vw = 0

 cu W

W merupakan sub-ruang dari Rn. (b) Untuk (a, b, c)W dan (a, b, c)w, maka (a, b, c)(1, 3, 1)=0  a+3b+c=0

 W merupakan himpunan {(a, b, -a - 3b) | a, b R}

Karena (a, b, -a - 3b) = a(1, 0, -1) + b(0, 1, -3). Jelas bahwa {(1, 0, -1), (0, 1, -3)} merupakan basis untuk W  dim(W )=2

Contoh 3 (lanjutan) W merupakan bidang dalam R3 didefinisikan oleh (1, 0, -1) dan (0, 1, -3).

Gambar 1.19

Jarak antar titik Jarak antara x=(x1, x2) dan y =(y1, y2) adalah ( x1 - y1 )  ( x2 - y2 ) 2

2

Turunan ungkapan Rn. Definisi. Untuk x=(x1, x2, …, xn) dan y=(y1, y2, …, yn) berupa dua titik di Rn. Jarak antara x dan y didenotasikan d(x, y) dan didefinisikan oleh

d (x, y)  ( x1 - y1 ) 2    ( xn - yn ) 2 Catatan: Dapat dituliskan jarak sebagaimana berikut.

x

x-y

d (x, y )  x - y Contoh 4 Tentukan jarak antar titik x = (1,–2 , 3, 0) dan y = (4, 0, –3, 5) dalam R4.

Solusi

d (x, y)  (1 - 4) 2  (-2 - 0) 2  (3  3) 2  (0 - 5) 2  74

y

Contoh 5 Buktikan jarak di Rn yang mempunyai sifat simetris : d(x, y)=d(y, x) untuk suatu x, y  Rn. Solusi Untuk

x  ( x1 , x2 , ..., xn ) dan y  ( y1 , y2 , ..., yn )

d (x, y)  ( x1 - y1 ) 2    ( xn - yn ) 2  ( y1 - x1 ) 2    ( yn - xn ) 2  d (y, x)

Teorema 1.5 Ketidaksamaan Cauchy-Schwartz. Jika u dan v merupakan vektor di Rn maka

uv  u v

dimana u  v didenotasikan nilai absolut dari bilangan uv.

Teorema 1.6 Untuk u dan v berupa vektor dalam Rn. (a) Ketidaksamaan segitiga: ||u + v||  ||u|| + ||v||.

(a) Teorema Pythagorean: Jika u‧v = 0 maka ||u + v||2 = ||u||2 + ||v||2.

Gambar 1.21

Terima Kasih