4. TURUNAN
MA1114 Kalkulus I
1
4.1 Konsep Turunan 4.1.1 Turunan di satu titik Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah :
f ( x ) − f (c ) = x−c
f(x)
Jika x Æ c , maka tali busur PQ akan berubah menjadi garis singgung di ttk P dgn kemiringan
f(c)
mPQ
Q f(x)-f(c) P x-c c
x
f(x) − f(c) m = lim x →c x−c MA1114 Kalkulus I
2
b. Kecepatan Sesaat Misal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisinya setiap saat diberikan oleh s = f(t). Pada saat t = c benda berada di f(c) dan saat t = c + h benda berada di f(c+h). Perubahan waktu
Perubahan posisi
c
f(c)
c+h
f(c+h)
s
Sehingga kecepatan rata-rata pada selang waktu [c,c+h] adalah vrata − rata =
f (c + h ) − f ( c ) h MA1114 Kalkulus I
3
Jika h
0, diperoleh kecepatan sesaat di x = c : v = lim v rata − rata = lim h →0
h →0
f (c + h ) − f (c ) h
Misal x = c + h, bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk
f(x) − f(c) v = lim x→ c x−c Dari dua bentuk diatas : kemiringan garis singgung dan kecepatan sesaat terlihat bahwa dua masalah tersebut berada dalam satu tema, yaitu turunan Definisi 4.1 : Turunan pertama fungsi f di titik x = c, notasi f ' (c ) didefinisikan
f(x) − f(c) f ' (c) = lim x →c x−c bila limit diatas ada sebagai berikut:
MA1114 Kalkulus I
4
Notasi lain : df ( c ) , y' (c ) dx
Contoh : Diketahui f ( x ) =
f'( 3 ) = lim
x→ 3
1 x
tentukan f ' (3)
f(x) − f( 3 ) = x−3
lim
x →
3
1 1 − x 3 x − 3
− ( x − 3) 3− x = lim = lim x → 3 3 x(x − 3 ) x → 3 3 x(x − 3 )
1 −1 = lim = − x→ 3 3 x 9 MA1114 Kalkulus I
5
4.1.2 Turunan Sepihak Turunan kiri dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :
f −' ( c ) = lim− x→c
f ( x ) − f (c ) x−c
Turunan kanan dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :
f +' (c) = lim+ x→c
f(x) − f(c) x−c
bila limit ini ada. Fungsi f dikatakan mempunyai turunan(diferensiabel) di c atau ada, jika f −' ( c ) = f +' ( c ) dan f ' ( c ) = f _' ( c ) = f +' ( c )
f ' (c )
sebaliknya f dikatakan tidak mempunyai turunan di c. MA1114 Kalkulus I
6
⎧x2 − x + 3 , x < 1 f ( x) = ⎨ ⎩1 + 2 x , x ≥ 1
Contoh : Diketahui
Selidiki apakah f(x) diferensiabel di x=1 Jika ya, tentukan f ' (1) Jawab : a.
f −' (1) =
f ( x ) − f (1) lim x −1 x→1−
x2 − x = lim x→1 x − 1 b.
f +' (1) = lim
x→1+
f ( x ) − f (1) x −1
= lim
2
x→1
Jadi, f diferensiabel di x=1.
x 2 − x + 3 − (1 + 2 1 ) = lim x −1 x →1
= lim x→1
x( x − 1 ) =1 x −1
1 + 2 x − (1 + 2 1 ) x −1 x →1
= lim
x −1 x − 2 = 2 lim =1 x→1 ( x −1)( x +1) x −1
dan f ' (1) = 1 . MA1114 Kalkulus I
7
Teorema 4.1 Jika f diferensiabel di c Îf kontinu di c.
Bukti : Yang perlu ditunjukkan adalah
lim f ( x ) = f ( c )
x→ c
Perhatikan bahwa
Maka
f ( x ) = f (c ) +
f ( x ) − f (c ) .( x − c ) , x ≠ c x−c
f ( x ) − f (c ) ⎡ ⎤ lim f ( x ) = lim ⎢ f ( c ) + ( x − c)⎥ x→c x→c x−c ⎣ ⎦ f ( x ) − f (c ) = lim f ( c ) + lim . lim ( x − c ) x→c x→c x→c x−c = f ( c ) + f ' ( c ). 0
= f(c).
Terbukti.
Sifat tersebut tidak berlaku sebaliknya. Artinya, Jika f kontinu di c, maka belum tentu f diferensiabel di c. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut.
MA1114 Kalkulus I
8
Contoh Tunjukkan bahwa f ( x ) = | x | kontinu di x = 0 tetapi tidak diferensiabel di x = 0 Jawab Akan ditunjukkan bahwa f(x)=|x| kontinu di x=0
⎧x , x≥0 f ( x) =| x |= ⎨ ⎩− x , x < 0
f(0) = 0
lim f ( x ) = lim x = 0
x →0 +
x→ 0
lim f ( x ) = lim ( − x ) = 0
x →0 −
lim f ( x) = 0 x →0
x →0
lim f ( x ) = f ( 0 ) x→ 0
f kontinu di x=0 MA1114 Kalkulus I
9
Selidiki apakah f terdiferensialkan di x=0
f −' ( 0 ) =
f ( x )− f (0) −x − 0 −x lim = lim = lim = −1 − x−0 x x →0 x →0 x x→0
f +' ( 0 ) = lim
x→0+
x x− 0 f ( x )− f (0) = lim = lim = 1. x x x→ 0 x→0 x−0
Karena − 1 = f −' ( 0 ) ≠ f +' ( 0 ) = 1 maka f tidak diferensiabel di 0.
MA1114 Kalkulus I
10
Contoh: Tentukan konstanta a dan b agar fungsi f(x) berikut diferensiabel di x=1 ;
⎧x2 + b , x < 1 f ( x) = ⎨ ⎩ ax , x ≥ 1 Jawab : Agar f(x) terdiferensialkan di x = 1, haruslah a. f kontinu di x = 1 (syarat perlu) b. Turunan kiri = turunan kanan di x = 1 (syarat cukup) f kontinu di x = 1 jika f kontinu kiri dan kontinu kanan di x = 1 atau
f (1) = lim− f ( x) = lim+ f ( x). x →1
x →1
a = lim x 2 + b = lim ax ⇔ a = 1 + b = a ⇔ b = a − 1 x →1
x →1
MA1114 Kalkulus I
11
2 x + b − a f (x) − f (1) = lim ' f−(1) = lim− x −1 x→1 x→1 x −1
x2 + ( a −1)− a = lim x −1 x→1
x2 −1 = lim x→ 1 x − 1
( x − 1 )( x + 1 ) = lim x + 1 = 2 x −1 x →1 x →1
= lim
f (x) − f (1) f (1) = lim+ x→1 x−1 ' +
ax − a x→1 x − 1
= lim
x −1 = a x→1 x − 1
= a lim
f −' (1) = f +' (1) ⇒ a = 2 Maka diperoleh : a = 2 dan b = 1. MA1114 Kalkulus I
12
Soal Latihan Tentukan nilai a dan b agar fungsi berikut diferensiabel di titik yang diberikan.
1.
⎧ a x + 3 ;0 ≤ x < 1 f (x ) = ⎨ 2 ⎪⎩ x − bx ; x ≥ 1
2.
⎧ ax − b ; x < 2 f (x) = ⎨ 2 ⎩2 x − 1 ; x ≥ 2
3.
⎧⎪ x 2 − 1 ; x < 3 f (x ) = ⎨ ⎪⎩2 ax + b ; x ≥ 3
,x=1
,
,
x=2
x=3
MA1114 Kalkulus I
13
4.2 Aturan Pencarian Turunan •
Fungsi Turunan Pertama Definisi 4.2 Misalkan f (x) terdefinisi pada selang I. Fungsi turunan pertama dari f, ditulis f ' ( x ), didefinisikan sebagai f (t ) − f ( x ) , ∀x∈Ι f '( x ) = lim t→ x t−x atau jika h=t-x f ( x + h) − f ( x) f '( x ) = lim , ∀ x∈Ι h→0 h bila limitnya ada.
Notasi lain y ' ,
dy df ( x ) , , D x y , D x f ( x ), bentuk dy dikenal dx dx dx
sebagai notasi Leibniz. MA1114 Kalkulus I
14
Dengan menggunakan definisi tersebut dapat diturunkan aturan untuk mencari turunan sebagai berikut : 1. Jika f (x)=k, maka
( )
f ' ( x) = 0
r d x 2. = r x r −1 ; r ∈ R dx 3. d ( f(x) + g(x) ) = f ' (x) + g ' (x) dx
4.
d ( f ( x) g ( x)) = f ' ( x) g ( x) + f ( x) g ' ( x) dx
5.
d (f ( x) g ( x)) f ' ( x) g ( x) − f ( x) g ' ( x) = dengan g(x) ≠0. 2 dx g ( x) MA1114 Kalkulus I
15
Bukti aturan ke-4 Misal h(x) = f(x)g(x)
h( x + h) − h( x ) h' ( x) = lim h →0 h = lim h →0
= lim h→0
f ( x + h) g ( x + h) − f ( x ) g ( x ) h
f ( x + h) g ( x + h) − f ( x + h) g ( x ) + f ( x + h) g ( x ) − f ( x ) g ( x ) h
g ( x + h) − g ( x ) f ( x + h) − f ( x ) ⎤ ⎡ = lim ⎢ f ( x + h) + g ( x + h) ⎥⎦ h →0 h h ⎣
= lim f ( x + h) lim h →0
h →0
g ( x + h) − g ( x ) f ( x + h) − f ( x ) + lim g ( x + h) lim h→0 h→0 h h
= f ( x) g ' ( x) + g ( x) f ' ( x)
= f ' ( x) g ( x) + f ( x) g ' ( x)
MA1114 Kalkulus I
16
Contoh 3 2 1. Tentukan turunan pertama dari f ( x) = x + 3 x + 4 Jawab :
f ' ( x) = 3 x 2 + 3.2 x + 0 = 3 x 2 + 6 x 2. Tentukan turunan pertama dari f ( x) = ( x 3 + 1)( x 2 + 2 x + 3) Jawab :
f ' ( x) = 3x 2 ( x 2 + 2 x + 3) + ( x 3 + 1)(2 x + 2)
= 3x 4 + 6 x 3 + 9 x 2 + 2 x 4 + 2 x 3 + 2 x + 2
= 5x 4 + 8x3 + 9 x 2 + 2 x + 2 x+3
3.Tentukan turunan pertama dari f ( x ) = 2 x +1 Jawab : f'( x ) =
1 .( x 2 + 1 ) − 2 x( x + 3 ) ( x +1) 2
2
=
x2 +1− 6x − 2x2 ( x +1) 2
MA1114 Kalkulus I
2
=
− x 2 − 6x +1 ( x +1) 2
2
.
17
Soal Latihan Tentukan fungsi turunan pertama dari 1. 2.
f ( x) = x1 / 2 + 3 x 2 + 1 f ( x) = ( x + 1) ( x 3 + 2 x + 1)
3.
f ( x) =
x +1 x −1
4.
f ( x) =
x x2 −1
5.
x2 −1 f ( x) = 2 x +1 MA1114 Kalkulus I
18
4.3 Turunan Fungsi Sinus dan Cosinus a . f ( x ) = sin x → f ' ( x ) = cos x b. f ( x ) = cos x → f ' ( x ) = − sin x Bukti: a. Misal f(x) = sin x maka
f ' ( x ) = lim
t→ x
sin t − sin x t − x
= lim cos( t→ x
t+x ). lim t−x 2 →0 2
⎛t − x⎞ ⎛t + x⎞ 2 cos ⎜ ⎟ ⎟ sin ⎜ 2 2 ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ = lim t→ x t−x
t−x ) 2 t−x ( ) 2
sin(
= cos x.1 = cos x.
MA1114 Kalkulus I
19
b. Misal f(x) = cos x maka
cos( x + h ) − cos x f ' ( x ) = lim h→ 0 h cos x(cosh− 1) − sin x sinh h →0 h
= lim
h cos x (− sin 2 )h 2 − sin x sinh ) = lim( h →0 h ( h / 2) 2 4
= lim h →0
cos x cosh− sin x sinh − cos x h
h cos x(− sin 2 ) 2 − sin x sinh = lim h →0 h h 2
sinh ⎛ sin(h / 2) ⎞ h x = cos x lim − ⎜ − sin lim ⎟ ( h / 2 ) →0 h →0 h ⎝ h/2 ⎠ 4
= cos x .0 − sin x = − sin x
MA1114 Kalkulus I
20
Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh dengan menerapkan rumus perhitungan turunan, khususnya turunan bentuk u/v
d (tan x ) d (sin x cos x ) = cos 2 x + sin 2 x c. = 2 cos x dx dx
=
d (cot x ) d (cos x sin x ) − sin 2 x − cos 2 x d. = = dx dx sin 2 x
=
d (sec x ) d ( 1cos x ) = sin x = e. cos 2 x dx dx
=
−1 sin 2 x
sin x 1 cos x cos x
d (csc x ) d ( 1sin x ) = − cos x = − cos x 1 2 = f. sin x sin x sin x dx dx
MA1114 Kalkulus I
1 cos 2 x
= sec 2 x
= − csc 2 x
= tan x sec x
= −csc x cot x
21
4.4 Aturan Rantai
Andaikan y = f(u) dan u = g(x). Jika dy dan du ada , maka du dx dy dy du dx
=
du dx
dy 2 Contoh : Tentukan dari y = sin( x + 1) dx Jawab : Misal u = x 2 + 1sehingga bentuk diatas menjadi
y = sin u
Karena
dy = cos u dan du
du = 2x dx
maka
dy = cos( x 2 + 1) 2 x = 2 x cos( x 2 + 1) dx MA1114 Kalkulus I
22
Jika y = f(u), u = g(v), v = h(x), dan
dy du dv , , Ada, maka du dv dx
dy dy du dv = dx du dv dx
Contoh : Tentukan Jawab : Misal
dy dx
4 3 dari y = Sin ( x + 5)
v = x +5 3
u = Sin v
y = u4 sehingga
→ →
→
dv = 3 x2 dx du = cos v = cos( x 3 + 5) dv dy = 4 u 3 = 4 Sin 3 ( x 3 + 5) du
dy dy du dv = . . = 12 x 2 Sin 3 ( x 3 + 5) Cos ( x 3 + 5) dx du dv dx MA1114 Kalkulus I
23
d ( f ( x 2 )) = x 2 + 1 Contoh : Tentukan f ' ( x ) jika dx 2
jawab : d ( f ( x 2 )) = x 2 + 1 dx
⇔ f ' ( x 2 ).2 x = x 2 + 1 ⇔ f '(x2 ) =
MA1114 Kalkulus I
x +1 2x
24
Soal Latihan Tentukan fungsi turunan pertama dari
1.
x2 − 2 x + 5
y= 2 x + 2x − 3
3.
y = ( 2 x − 3)10 y = sin 3 x
4.
y = cos 4 4 x 2 − x
2.
(
)
5.
⎛ x +1⎞ y=⎜ ⎟ ⎝ x −1⎠
6.
y = sin x tan [ x2 + 1 ]
2
MA1114 Kalkulus I
25
4.5 Turunan Tingkat Tinggi
Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-(n-1).
f
(n)
(
d ( x) = f dx
Turunan kedua Turunan ketiga
Turunan ke-n
( x)
)
df ( x ) f ' (x ) = dx
Turunan pertama
( n −1)
d 2 f (x ) f " ( x) = dx 2
d 3 f (x ) f " ' ( x) = dxn 3
d f (x ) dx n Contoh : Tentukan y ' ' dari y = 4 x 3 + sin x f
(n )
( x) =
Jawab :
y ' = 12 x 2 + cos x
maka y' ' = 24 x − sin x
MA1114 Kalkulus I
26
Soal Latihan A. Tentukan turunan kedua dari 1.
y = sin ( 2x − 1)
2.
y = ( 2 x − 3) 4
3.
x y= x +1
4.
y = cos2 (π x)
B. Tentukan nilai c sehingga f "( c) = 0 bila f ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 45 x − 6 2 C. Tentukan nilai a, b dan c dari g ( x ) = ax + b x + c bila g (1) = 5,
g ' (1) = 3 dan g ' ' (1) = −4
MA1114 Kalkulus I
27
4.6 Turunan Fungsi Implisit
Jika hubungan antara y dan x dapat dituliskan dalam bentuk y = f(x) maka y disebut fungsi eksplisit dari x, yaitu antara peubah bebas dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas yang berbeda. Bila tidak demikian maka dikatakan y fungsi implisit dari x. Contoh :
1. x 3 y 2 + x 2 + y = 10
2. sin( xy ) + x 2 = y 2 + 1
Untuk menentukan turunan dari bentuk implisit digunakan aturan rantai dan anggap y fungsi dari x.
MA1114 Kalkulus I
28
Tentukan dy/dx dari bentuk implisit berikut 1. x 3 y 2 + x 2 + y = 10
2. sin( xy ) + x 2 = y 2 + 1
Jawab 1. Dx ( x 3 y 2 + x 2 + y ) = Dx (10) D x ( x 3 y 2 ) + D x ( x 2 ) + D x ( y ) = D x (10)
(3x 2 y 2 + 2 x 3 y y ' ) + 2 x + y ' = 0 (2 x 3 y + 1) y ' = −2 x − 3 x 2 y 2 − 2 x − 3x 2 y 2 y' = 2x3 y + 1 2 . D x ( sin( xy ) + x 2 ) = D x ( y 2 + 1)
cos( xy ) ( y + xy ' ) + 2 x = 2 yy '+0 ( x cos( xy ) − 2 y ) y ' = −2 x − y cos( xy ) y' =
− 2 x − y cos( xy) x cos( xy) − 2 y
MA1114 Kalkulus I
29
Soal Latihan ' Tentukan turunan pertama ( y ) dari bentuk implisit 1.
x 3 − 3x 2 y + y 2 = 0
2.
y + sin ( xy) = 1
3. tan ( x y ) - 2 y = 0 4.
x 2 sin( xy ) + y = x
MA1114 Kalkulus I
30
4.7 Garis singgung dan garis normal
Persamaan garis singgung fungsi y = f(x) di titik (x0,y0) dengan kemiringan m adalah y – y0 = m( x – x0 ).
Garis yang tegak lurus dengan garis singgung disebut dengan garis normal. Persamaan garis normal di titik (x0,y0) adalah
1 y − y 0 = − ( x − x 0 ). m MA1114 Kalkulus I
31
Contoh: Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal fungsi Jawab :
y = x3 − 2 x 2 + 6
di (2,6).
y ' = 3 x 2 − 4 x → y ' ( 2,6 ) = 3 .2 2 − 4 .2 = 4
Sehingga persamaan garis singgung di titik (2,6) :
y − 6 = 4( x − 2) y = 4x − 2 Persamaan garis normal dititik (2,6) :
y−6 = −
1 1 1 ( x − 2) ⇔ y − 6 = − x + 4 4 2
1 13 y =− x+ . 4 2
MA1114 Kalkulus I
32
Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva
x 2 y 2 − xy − 6 = 0 di titik dengan absis( x) = 1 Jawab : Jika disubstitusikan nilai x = 1 pada persamaan kurva diperoleh
y2 − y − 6 = 0
⇔ ( y − 3)( y + 2) = 0
y = 3 dan y = -2
Sehingga diperoleh titik dimana akan ditentukan persamaan garis singgung dan garis normalnya adalah (1,3) dan (1,-2) Hitung terlebih dahulu y ' dengan menggunakan turunan fungsi implisit D x ( x 2 y 2 − xy − 6 ) = D x ( 0 ) ⇔
2 xy 2 + 2 x 2 yy '−( y + xy ' ) − 0 = 0
MA1114 Kalkulus I
33
2 xy 2 + 2 x 2 yy '− y − xy ' = 0 (2 x y − x) y ' = y − 2 xy 2
2
⇒
Di titik (1,3)
y − 2 xy 2 y' = 2 2x y − x
3 − 2.1.9 − 16 = 2.1.3 − 1 5 Persamaan garis singgung y ' | (1,3) =
y −3=
− 16 16 16 ( x − 1) = − x + 5 5 5
16 x + 5 y = 31 Persamaan garis normal y−3=
5 5 5 ( x − 1) = x− 16 16 16
5 x − 16 y = −43 MA1114 Kalkulus I
34
Di titik (1,-2) y ' |(1, −2 ) =
− 2 − 2.1.4 − 10 = =2 2.1.( −2) − 1 − 5
Persamaan garis singgung
y + 2 = 2( x − 1) = 2 x − 2
2x − y = 4 Persamaan garis normal 1 1 1 y + 2 = − ( x − 1) = − x + 2 2 2
x + 2 y = −3
MA1114 Kalkulus I
35
4.8 Diferensial dan Hampiran
4.8.1 Diferensial
Jika f ' ( x) ada, maka
f ' ( x ) = lim
∆x → 0
Q .
f ( x + ∆x) − f ( x) ∆y = lim ∆x → 0 ∆ x ∆x T
P
x
x + ∆x
x
∆y ≈ f ' ( x ) , ∆y ≈ f ' ( x)∆x Untuk ∆ x sangat kecil , maka mPQ = mPT yakni , ∆x
Definisi 4.4 Jika y = f (x) diferensiabel di x, maka Diferensial dari x , dinyatakan dengan dx, adalah dx = ∆ x Diferensial dari y , dinyatakan dengan dy, adalah dy = f ' ( x)dx MA1114 Kalkulus I
36
4.8.2 Hampiran
Perhatikan kembali gambar sebelumnya, Misalkan y= f (x) diferensiabel di interval I yang memuat x dan x + ∆x. Jika x ditambah ∆x, maka y bertambah sepadan dengan ∆y yang dapat dihampiri oleh dy . Jadi , f ( x + ∆ x ) ≈ f ( x ) + dy = f ( x ) + f ' ( x ) ∆(*) x
Contoh : Hampiri
Jawab : Pandang,
3
28 1 3
1 3
f ( x) = x ⇒ f (27) = 27 = 3 27 = 3 2
2
2
− 1 −3 1 1 3 −3 1 3 f ' ( x ) = x ⇒ f ' ( 27 ) = ( 27 ) = (3 ) = 3 3 3 27
Dengan pers (*)
f ( 28 ) ≈ f ( 27 ) + f ' ( 27 )( 28 − 27 ) = 3 MA1114 Kalkulus I
1 . 27
37
Soal Latihan 1. Diketahui kurva yang dinyatakan secara implisit
y + sin ( xy) = 1
Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di (π ,1)
2. Gunakan diferensial untuk menghampiri a.
8,2
b. 36,1
3. Jika diketahui f ' (0) = 2 , g (0) = 0 , g ' (0) = 3 tentukan ( f o g )' (0).
MA1114 Kalkulus I
38