Distribusi Peubah Acak

Distribusi Peubah Acak Chandra Novtiar S.Si.,M.Si. 085794801125 [email protected]

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) SILIWANGI BANDUNG

4 April 2017

Garis Besar Pembahasan Distribusi Peubah Acak Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si.

SUB POKOK PEMBAHASAN

SUB POKOK PEMBAHASAN PEUBAH ACAK

PEUBAH ACAK

DISTRIBUSI PELUANG FUNGSI DISTRIBUSI

DISTRIBUSI PELUANG

SOAL-SOAL LATIHAN DAFTAR PUSTAKA

FUNGSI DISTRIBUSI SOAL-SOAL LATIHAN DAFTAR PUSTAKA

15

28 Maret 2017

Sub Pokok Pembahasan Distribusi Peubah Acak Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. 3

SUB POKOK PEMBAHASAN PEUBAH ACAK DISTRIBUSI PELUANG

1. Peubah Acak

FUNGSI DISTRIBUSI

2. Distribusi Peluang

SOAL-SOAL LATIHAN

3. Fungsi Distribusi

DAFTAR PUSTAKA

15

28 Maret 2017

Sub Pokok Pembahasan Distribusi Peubah Acak Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. 3

SUB POKOK PEMBAHASAN PEUBAH ACAK DISTRIBUSI PELUANG

1. Peubah Acak

FUNGSI DISTRIBUSI

2. Distribusi Peluang

SOAL-SOAL LATIHAN

3. Fungsi Distribusi

DAFTAR PUSTAKA

15

28 Maret 2017

PEUBAH ACAK Distribusi Peubah Acak Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si.

Definisi Peubah Acak Misalkan E adalah suatu eksperimen dengan ruang sampelnya S. Sebuah fungsi X yang memetakan setiap elemen atau anggota s ∈ S dengan sebuah bilangan real X (s) dinamakan peubah acak.

SUB POKOK PEMBAHASAN 4

PEUBAH ACAK DISTRIBUSI PELUANG FUNGSI DISTRIBUSI SOAL-SOAL LATIHAN DAFTAR PUSTAKA

15

28 Maret 2017

PEUBAH ACAK Distribusi Peubah Acak Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si.

Definisi Peubah Acak Misalkan E adalah suatu eksperimen dengan ruang sampelnya S. Sebuah fungsi X yang memetakan setiap elemen atau anggota s ∈ S dengan sebuah bilangan real X (s) dinamakan peubah acak.


PEUBAH ACAK DISTRIBUSI PELUANG FUNGSI DISTRIBUSI SOAL-SOAL LATIHAN

Contoh

DAFTAR PUSTAKA

Misalkan kita melakukan eksperimen E dengan pelemparan dua uang koin sekaligus. Misalkan X adalah banyaknya “angka Rp.500” yang muncul dari dua koin tersebut. Maka ruang sampelnya adalah S = {AA, AG, GA, GG} Rx = Nilai-nilai yang mungkin dari X = {0, 1, 2} X (AA) = 2, X (AG) = 1, X (GA) = 1, X (GG) = 0

15

28 Maret 2017

PEUBAH ACAK DISKRIT Distribusi Peubah Acak Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si.

Definisi Peubah Acak Diskrit Misalkan X adalah peubah acak. Jika banyaknya nilai-nilai yang mungkin dari X (yaitu, daerah hasil) adalah terhingga ( yaitu x1 , x2 , · · · , xn ) atau tak terhingga tapi dapat dihitung ( yaitu x1 , x2 , · · · , xn , · · · ) maka X dinamakan peubah acak diskrit.



15

28 Maret 2017

PEUBAH ACAK DISKRIT Distribusi Peubah Acak Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si.

Definisi Peubah Acak Diskrit Misalkan X adalah peubah acak. Jika banyaknya nilai-nilai yang mungkin dari X (yaitu, daerah hasil) adalah terhingga ( yaitu x1 , x2 , · · · , xn ) atau tak terhingga tapi dapat dihitung ( yaitu x1 , x2 , · · · , xn , · · · ) maka X dinamakan peubah acak diskrit.



Contoh Dalam contoh di atas X adalah banyaknya muncul “angka Rp.500”, maka dalam hal ini X merupakan peubah acak diskrit karena daerah hasilnya (Rx ) merupakan nilai-nilai yang banyaknya terhingga yaitu (0, 1, 2)

15

28 Maret 2017

PEUBAH ACAK KONTINU Distribusi Peubah Acak

Definisi Peubah Acak Kontinu Misalkan X adalah peubah acak. Jika nilai-nilai yang mungkin dari X (yaitu ruang hasil Rx ) merupakan sebuah interval pada garis bilangan real, maka X dinamakan peubah acak kontinu.

Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN 6


15

28 Maret 2017

PEUBAH ACAK KONTINU Distribusi Peubah Acak

Definisi Peubah Acak Kontinu Misalkan X adalah peubah acak. Jika nilai-nilai yang mungkin dari X (yaitu ruang hasil Rx ) merupakan sebuah interval pada garis bilangan real, maka X dinamakan peubah acak kontinu.

Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN 6

DISTRIBUSI PELUANG

Contoh Misalkan mahasiswa STKIP berjumlah 25000 orang dan para mahasiswa tersebut diberi nomor induk mahasiswa mulai dari 00001 sampai 25000. Kemudian seorang mahasiswa dipilih secara acak dan ia diukur berat badannya. Dalam hal ini, ruang sampelnya adalah : S = {s|s = 00001, 00002, 00003, · · · , 25000} Misal X menunjukkan berat badan dari mahasiswa yang terpilih, maka ia bisa ditulis sebagai : X (s), dengan s ∈ S. Diasumsikan bahwa tidak ada mahasiswa yang beratnya kurang dari 20 kg atau lebih dari 175 kg, sehingga ruang hasil dari X adalah : Rx = {x |20 ≤ x ≤ 175}. Karena Rx merupakan sebuah interval, maka X termasuk ke dalam peubah acak kontinu.

PEUBAH ACAK


15

28 Maret 2017

DISTRIBUSI PELUANG Distribusi Peubah Acak Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si.

Fungsi Peluang Misalkan X adalah peubah acak diskrit dengan nilai-nilai yang mungkin adalah x1 , x2 , x3 , · · · kemudian disusun menurut urutan dari terkecil sampai terbesar. Nilai-nilai tersebut mempunyai peluang masing-masing P(X = xi ) = p(xi ), untuk i = 1, 2, 3, · · · . Bilangan p(xi ) untuk i = 1, 2, 3, · · · dinamakan peluang dari xi dan harus memenuhi syarat-syarat berikut :

SUB POKOK PEMBAHASAN PEUBAH ACAK 7

DISTRIBUSI PELUANG FUNGSI DISTRIBUSI SOAL-SOAL LATIHAN DAFTAR PUSTAKA

a. p(xi ) ≥ 0 untuk semua i P b. Untuk i=1 p(xi ) = 1 Fungsi p yang didefinisikan dinamakan fungsi peluang dari peubah acak X . Kumpulan dari pasangan (xi , p(xi )), i = 1, 2, 3, · · · kadang-kadang dinamakan distribusi peluang dari X. 15

28 Maret 2017

DISTRIBUSI PELUANG Distribusi Peubah Acak

Fungsi Densitas Misalkan X adalah peubah acak kontinu yang didefinisikan dalam himpunan bilangan real. Sebuah fungsi disebut fungsi densitas dari X , jika nilai-nilanya, yaitu f (x ), memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:

Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN PEUBAH ACAK 8

a. f (xi ) ≥ 0 untuk semua x ∈ (−∞, ∞) R∞ f (x )dx = 1 −∞

DISTRIBUSI PELUANG FUNGSI DISTRIBUSI

b. Untuk

SOAL-SOAL LATIHAN

c. Untuk setiap a dan b, dengan −∞ < a < b < ∞, maka Z ∞ P(a ≤ x ≤ b) = f (x )dx

DAFTAR PUSTAKA

−∞

Jika X adalah peubah acak kontinu serta a dan b adalah dua konstanta real, dengan a < b, maka: P(a ≤ X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a < X < b) 15

28 Maret 2017

FUNGSI DISTRIBUSI Distribusi Peubah Acak Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN PEUBAH ACAK

FUNGSI DISTRIBUSI KUMULATIF Misalkan X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu. Kita mendefinisikan F sebagai fungsi distribusi kumulatif dari peubah acak X , dengan: F (x )

=

DISTRIBUSI PELUANG 9


P(X ≤ x )

15

28 Maret 2017

FUNGSI DISTRIBUSI Distribusi Peubah Acak

FUNGSI DISTRIBUSI KUMULATIF DISKRIT

Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si.

Misalkan X adalah peubah acak diskrit, maka fungsi distribusi kumulatif dari X berbentuk: P F (x ) = P(X ≤ x ) = t≤x p(t) untuk −∞ < x < ∞ Dengan p(t) adalah fungsi peluang dari X di t

SUB POKOK PEMBAHASAN PEUBAH ACAK DISTRIBUSI PELUANG 10


Jika banyak nilai-nilai dari X adalah berhingga, yaitu x1 , x2 , x3 , · · · , xn ; maka fungsi distribusinya diberikan dengan :  0 ;−∞ < x < x1     p(x ) ;x1 ≤ x < x2  1  p(x ) + p(x ) ;x 1 2 2 ≤ x < x3 F (x ) =  . .  ..  ;..    p(x1 ) + p(x2 ) + · · · + p(xn ) ;xn ≤ x < ∞. 15

28 Maret 2017

FUNGSI DISTRIBUSI Distribusi Peubah Acak Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN PEUBAH ACAK

Nilai F (x ) yaitu fungsi distribusi dari peubah acak diskrit X memenuhi syarat-syarat sebagai berikut :

DISTRIBUSI PELUANG 11

a. F (−∞) = 0

FUNGSI DISTRIBUSI SOAL-SOAL LATIHAN

b. F (∞) = 1

DAFTAR PUSTAKA

c. Jika a ≤ b, maka F (a) ≤ F (b) untuk setiap bilangan real a dan b

15

28 Maret 2017

FUNGSI DISTRIBUSI Distribusi Peubah Acak Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si.

FUNGSI DISTRIBUSI KUMULATIF KONTINU Misalkan X adalah peubah acak kontinu, maka fungsi distribusi kumulatif dari X berbentuk: R∞ F (x ) = P(X ≤ x ) = −∞ f (t)dt

SUB POKOK PEMBAHASAN PEUBAH ACAK DISTRIBUSI PELUANG 12

dengan f (t) adalah nilai fungsi densitas dari X di t Penghitungan peluang dari peubah acak yang mempunyai nilai dalam interval dapat dilakukan berdasarkan fungsi peluang atau fungsi densitas. Baik peubah acak diskrit maupun kontinu bisa menggunakan rumus:


P(a ≤ X ≤ b) = F (b) − F (a) , dengan a, b ∈ < dan a < b Peubah acak yang berharga satu nilai menggunakan rumus: P(X = b) = Fx (b) − Fx (b−) 15

28 Maret 2017

SOAL-SOAL LATIHAN Distribusi Peubah Acak Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN PEUBAH ACAK

1. Dilakukan pelemparan dua buah mata uang Rp.500 yang seimbang sekaligus. Jika peubah acak X menunjukkan banyak huruf “BANK INDONESIA" yang muncul, maka tentukan distribusi peluang dan fungsi distribusi dari X !

DISTRIBUSI PELUANG FUNGSI DISTRIBUSI 13

SOAL-SOAL LATIHAN DAFTAR PUSTAKA

2. Misalkan fungsi densitas dari peubah acak X berbentuk: Tentukan fungsi distribusi F (x )

15

28 Maret 2017

Daftar Pustaka Distribusi Peubah Acak Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN PEUBAH ACAK

I

N. Herrhyanto dan T.Gantini, Pengantar Statistika Matematik, Bandung, Yrama Widya, 2009.

DISTRIBUSI PELUANG

I

J.E. Freud and R.E. Walpole,Mathematical Statistics, New Jersey,Prentice Hall Inc., 1980.

SOAL-SOAL LATIHAN

I

M.R. Spiegel,Theory and Problems of Probability and Statistics, Singapore, McGraw-Hill, 1982.

FUNGSI DISTRIBUSI

14

15

DAFTAR PUSTAKA

28 Maret 2017

Distribusi Peubah Acak Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN PEUBAH ACAK

Terima Kasih

DISTRIBUSI PELUANG FUNGSI DISTRIBUSI SOAL-SOAL LATIHAN 15

DAFTAR PUSTAKA

Chandra Novtiar S.Si.,M.Si. 085794801125 [email protected]

15

28 Maret 2017

Distribusi Peubah Acak

Recommend Documents