DIKTAT PERKULIAHAN. EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks

DIKTAT PERKULIAHAN

EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks

Penulis : Ednawati Rainarli, M.Si. Kania Evita Dewi, M.Si.

JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA

UNIVERSITAS KOMPUTER INDONESIA BANDUNG 2011

IF/2011

1

ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS

DAFTAR ISI

Daftar isi ..............................................................................................................................

2

Bab 1 Sistem Persamaan Linear dan Matriks ...................................................................

3

Bab 2 Determinan .............................................................................................................

15

Bab 3 Ruang Vektor ...........................................................................................................

23

Bab 4 Ruang Hasil Kali Dalam ............................................................................................

43

Bab 5 Transformasi Linear .................................................................................................

55

Bab 6 Nilai dan Vektor Eigen .............................................................................................

67

Daftar Pustaka .....................................................................................................................

73

Daftar Isi

………………………………………………………………………………………………………………….

2

IF/2011

2


1

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS

JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : 1. Mengetahui sifat-sifat dan operasi matriks 2. Mengetahui bentuk – bentuk penyelesaian sistem persamaan linear. 3. Menggunakan operasi baris elementer untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dan menentukan invers dari suatu matriks

Materi

:

1.1 Bentuk Umum Matriks Definisi 1.1 Matriks adalah suatu susunan banjar (array) bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat, dengan jumlah baris sebanyak m dan jumlah kolom sebanyak n. dinotasikan dengan

 a11  a A   21    am1

a12 a22 am 2

a1n  Baris jumlahnya m  a2 n  atau dapat ditulis secara ringkas dengan A  (aij )mn   amn 

Kolom jumlahnya n

dimana i =1,...,m dan j =1,...,n , aij adalah elemen matriks A pada baris ke-i dan kolom ke-j. Ukuran (dimensi/ordo) matriks A diatas adalah mxn.

Contoh 1.1: 1 0 A   2 3

 5 3 1    B   0 2 3   4 6 0   

 1   C  2  6  

1 0 2 D   3 1 0 

 Tentukan dimensi dari matriks berikut dan tentukan elemen dari matriks berikut ini

a21, b13 , c31 , d23

IF/2011

3


Definisi 1.2 Kesamaan dua matriks Dua buah matriks dikatakan sama jika dimensi kedua matriks sama dan elemen-elemen seletaknya sama.  Berikan dua contoh matriks yang sama

1.2 Operasi dan Sifat Matriks Definisi 1.3 Operasi Matriks a) Jika A  (aij ) dan B  (bij ) masing-masing adalah matriks mxn, maka A  B adalah matriks mxn yang elemen ke-ij adalah aij  bij , (i, j ) . b) Jika A adalah matriks mxn, α adalah suatu skalar maka αA adalah matriks yang dibentuk dari perkalian setiap elemen A dengan α. c) Jika A dan B adalah matriks mxn maka A  B adalah matriks mxn yang dapat dituliskan dari

A  B  A  (  B) . d) Jika A matriks mxr dan B matriks rxn maka hasil kali A.B=C adalah matriks mxn yang anggota-anggotanya didefinisikan sebagai berikut: n

cij   aik bkj , i  1,..., m

j  1,..., n

k 1

Contoh 1.2:

a  a b b  Misalkan diketahui A   11 12  B   11 12  ,  a21 a22   b21 b22  Tentukan : a. A+B

c. A-B

b. αA, dimana α adalah skalar

d. A.B

Penyelesaian

a  b b   a b a12  b12  a a. A  B   11 12    11 12    11 11   a21 a22   b21 b22   a21  b21 a22  b22 

a b.  A    11  a21

a12    a11  a12    a22    a21  a22 

a  b b12   a11  b11 a12  b12  a c. A  B   11 12    11   a a b b  21 22   21 22   a21  b21 a22  b22  a  b b   a b a b a11b12  a12b22  a d. A.B   11 12  .  11 12    11 11 12 21   a21 a22   b21 b22   a21b11  a22b21 a21b12  a22b22  IF/2011

4


Latihan 1.1 Selesaikan soal berikut ini 1 2 4 A  2 6 0

 2 1 3  B   1 2 4 

 2 1 0    C  1 3 2   0 2 3   

a. Tentukan matriks 2C b. Tentukan matriks A+B, periksalah apakah matriks yang diperoleh sama dengan matriks B+A c. Tentukan matriks A-B, periksa pula matriks B-A! Apa kesimpulan yang dapat diambil? d. Tentukan matriks AB, BA, AC, CA. Apakah semua matriks tersebut dapat ditentukan nilai elemen-elemennya? Apa syarat agar dua matriks dapat dikalikan? Teorema 1.1 Untuk setiap skalar α, β dan untuk setiap matriks A,B dan C dimana operasi-operasi yang bersangkutan terdefinisi maka berlaku : 1. A  B  B  A

6. ( ) A   ( A)

2. ( A  B)  C  A  ( B  C )

7.  ( AB)  ( A) B  A( B)

3. ( AB)C  A( BC)

8. (   )A   A   A

4. A( B  C )  AB  AC

9.  ( A  B)   A   B

5. ( A  B)C  AC  BC Bukti dapat dilihat di Howard Anton, Aljabar Linear Elementer

1.3 Beberapa Matriks Istimewa a. Matriks berukuran 1xn disebut vektor baris, matriks berukuran mx1 disebut vektor kolom. Contoh 1.3:

P   2 1 4 

 1 Q  0

P adalah vektor baris dan Q adalah vektor kolom.

b. Matriks bujur sangkar berorde n jika jumlah baris dan kolom matriks sama yaitu n buah. Contoh 1.4: 1 9  A   5 3 

 2 3 1   B   5 6 2   4 2 0   

IF/2011

5


c. Jika A matriks bujur sangkar maka elemen aii disebut elemen diagonal dari A, dan elemenelemen lain merupakan elemen diluar diagonal A. Contoh 1.5:  a11  A   a21 a  31

a12 a22 a32

a13   a23  maka a11 , a22 , a33 adalah elemen diagonal dan yang lainnya elemen – a33 

elemen diluar diagonal A. a11 , a22 , a33 disebut juga diagonal utama. d. Jika A matriks bujur sangkar dan elemen aii  0 sedangkan semua elemen diluar diagonal A aij  0, i  j maka matrik A disebut matriks diagonal.

Contoh 1.6: 1 0 0    A  0 3 0   0 0 2   

1 0  0 2 D 0 0  0 0

0 0  0 0 3 0  0 9

e. Jika A matriks bujur sangkar dan elemen aii   ,  i  1,..., n dimana  adalah suatu skalar sedangkan semua elemen diagonal A aij  0, i  j maka matriks A disebut matriks skalar. Contoh 1.7:  3 0 A   0 3

 2 0 0    B   0 2 0   0 0 2   

f. Jika A adalah matriks skalar dimana aii  1,  i  1,..., n , maka matriks A disebut matriks identitas, matriks A dapat ditulis dengan I n . Contoh 1.8: 1 0 A  0 1

1 0 0   B  0 1 0 0 0 1  

g. Jika A adalah matriks dimana semua elemennya bernilai 0 maka A disebut matriks null, sering dituliskan dengan matriks O . Contoh 1.9: 0 0 O  0 0

0 0 0   O  0 0 0 0 0 0   IF/2011

6


h. Jika A matriks bujur sangkar dimana semua elemen diatas diagonal utama adalah nol maka A disebut matriks segitiga bawah. Contoh 1.10:  2 0 A   3 1

i.

1 0 0   B   3 4 0  2 3 1   

Jika A matriks bujur sangkar dimana semua elemen dibawah diagonal utama adalah nol maka A disebut matriks segitiga atas. Contoh 1.11:  2 3 A   0 1

 3 4 5    B  0 1 2 0 0 7  

1.4 Transpose dari Suatu Matriks Definisi 1.4 Jika A adalah matriks mxn maka transpos A (ditulis AT) adalah matriks berukuran nxm yang didapatkan dengan mempertukarkan baris dengan kolom dari A. A  (aij ) dan AT  (a ji ) . Jika A matriks bujur sangkar dan AT  A maka A adalah matriks simetri.

Contoh 1.12:  2 1 0 A   3 4 5 

 2 3    A  1 4  0 5    T

 1 2 4    B   2 3 8   4 8 7  

 1 2 4    B   2 3 8   4 8 7   T

Dari contoh matriks B adalah matriks simetri

Teorema 1.2 A,B adalah matriks mxn dan α adalah skalar maka berlaku sifat: a)

A 

b)

 A  B

c)

 A

T T

A T

T

 AT  BT

  AT

IF/2011

7


Definisi 1.5 Jika A adalah matriks bujur sangkar maka trace A (ditulis tr(A)) didefinisikan sebagai jumlah anggota-anggota dari diagonal utama matriks A. Trace A tidak terdefinisi jika A bukan matriks bujur sangkar.

 Latihan 1.2 Diketahui matriks-matriks berikut ini :  1 2    A 2 0   1 3   

 1 0  B   3 2

1 4 1 C    2 3 0 

 2 3 1   D  5 1 0   1 2 0   

Sederhanakan matriks berikut ini jika mungkin a. 2 AT  C

c. tr ( DDT )

e. tr (CA)  tr ( B)

b. AT  2B

d. BT  CA

f.

( AC )T  D

1.5 Sistem Persamaan Linear Definisi 1.6 Secara umum sebuah persamaan linear dengan n variabel x1 , x2 ,..., xn dapat dituliskan sebagai suatu persamaan linear dalam bentuk

a1 x1  a2 x2  a3 x3  ...  an xn  b Dengan a1 , a2 ,..., an dan b konstanta real.

 Latihan 1.3 Tentukan persamaan berikut yang merupakan persamaan linear : a. x  3 y  7

d. x1  x2  x3  ...  xn  1

b. x1  2 x2  4 x31  3x4  12

e.

x1 

f.

1 2 x1  x2  4 x3   x4  121/2 3

c.

x1 

1 x2  4 x3 3

1 x2  x1/2  1 2

Definisi 1.7 Sebuah himpunan terhingga m buah persamaan linear dengan variabel x1 , x2 ,..., xn disebut sistem persamaan linear dengan n variabel dituliskan sebagai

IF/2011

8


a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1 a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn  b2 am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm Suatu urutan bilangan-bilangan s1 , s2 ,

, sn disebut himpunan penyelesaian sistem jika

x1  s1 , x2  s2 ,..., xn  sn memenuhi setiap persamaan dalam sistem tersebut.

Contoh 1.13: Sistem persamaan linear  Tentukan jumlah variabel dan banyak persamaan dari 2 x1  5 x2  x3  4 sistem persamaan disamping (m dan n) x1  3x2  2 x3  8

Definisi 1.8 Sistem persamaan yang tidak mempunyai penyelesaian disebut sistem yang tak konsisten sedangkan jika minimal terdapat satu penyelesaian maka sistem tersebut disebut konsisten.

Setiap sistem persamaan linear mungkin tidak mempunyai penyelesaian, mempunyai tepat satu penyelesaian, atau tak hingga banyaknya penyelesaian.

 Latihan 1.4 Periksalah ketiga sistem persamaan berikut dan gambarkan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut dalam koordinat kartesian. Tentukan sistem persamaan yang mempunyai tepat satu penyelesaian, tak hingga atau tidak mempunyai penyelesaian

x1  x2  2

x1  x2  2

x1  x2  2

x1  x2  1

x1  x2  2  x1  x2  2

Definisi 1.9 Suatu sistem persamaan linear dikatakan homogen jika semua konstantanya nol, yaitu jika sistem tersebut mempunyai bentuk :

a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  0 a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn  0 am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  0 Setiap sistem homogen mempunyai sifat konsisten, karena semua sistem seperti itu mempunyai penyelesaian x1  0, x2  0,

, xn  0 . Penyelesaian ini disebut penyelesaian IF/2011

9


trivial. Jika ada penyelesaian lain yang memenuhi sistem persamaan tersebut maka penyelesaian sistemnya disebut penyelesaian tak-trivial.

Contoh 1.14:

x1  3x2  x3  0 a)

x2  8 x3  0

b)

4 x3  0

3x1  2 x2  0 6 x1  4 x2  0

Tunjukkan bahwa a) memiliki penyelesaian trivial dan b) memiliki penyelesaian tak-trivial.

Definisi 1.10 Sistem m persamaan linear dengan n buah variabel dapat diubah dalam bentuk matrik yang diperbanyak (augmented matrix) yang dituliskan sebagai:

a11 x1  a12 x2  a21 x1  a22 x2 

 a1n xn  b1  a2 n xn  b2

am1 x1  am 2 x2 

 amn xn  bm



 a11   a21    am1

a12

a1n

a22

a2 n

am 2

amn

b1   b2    bm 

 Latihan 1.5 Buatlah augmented matrix dari sistem persamaan linear berikut:

3x1  2 x2  x3  15 5 x1  3 x2  2 x3  0 3x1  x2  3x3  11  6 x1  4 x2  2 x3  30 1.6 Eliminasi Gaussian Penyelesaian sistem persamaan dapat dilakukan dengan operasi baris elementer (OBE) pada matriks yang diperbanyak. Metode dasar dari OBE adalah dengan menggantikan sistem yang diberikan dengan suatu sistem baru yang mempunyai himpunan penyelesaian yang sama tetapi lebih mudah diselesaikan.

Definisi 1.11 Tiga langkah yang digunakan dalam OBE adalah: 1. Kalikan suatu baris dengan bilangan real bukan nol. 2. Pertukarkan dua baris 3. Ganti suatu baris dengan hasil penjumlahannya dengan kelipatan dari baris lain. IF/2011

10


Definisi 1.12 Sebuah matriks dikatakan memiliki bentuk baris eselon jika: 1. Elemen bukan nol pertama dalam setiap baris adalah 1 2. Jika baris k tidak seluruhnya mengandung 0, maka banyak elemen nol bagian muka pada baris k+1 lebih besar dari banyaknya elemen nol di bagian depan baris k. 3. Jika terdapat baris-baris yang elemennya semuanya adalah nol, maka baris-baris ini berada tepat dibawah baris-baris yang memiliki elemen-elemen bukan nol.

 Latihan 1.6 Tentukan apakah matriks-matriks berikut ini merupakan matriks yang memiliki bentuk eselon baris atau tidak 2 3 6 1 3 4 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4           a)  0 5 4  b)  0 1 2  c)  0 0 1  d )  0 1 7 2  e)  0 0 1 5   0 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 4          

Definisi 1.13 Proses mengubah matriks yang diperbanyak menjadi matrik baris eselon

dengan

menggunakan OBE disebut Eliminasi Gauss.

Definisi 1.14 Suatu matriks memiliki baris eselon tereduksi jika : 1. Matriks memiliki bentuk baris eselon. 2. Elemen bukan nol pertama dalam setiap baris adalah satu-satunya elemen bukan nol dalam kolom yang bersangkutan. Proses mengubah matriks yang diperbanyak menjadi matrik baris eselon tereduksi dengan menggunakan OBE disebut Eliminasi Gauss-Jordan/Reduksi Gauss-Jordan.

 Latihan 1.7 Tentukan apakah bentuk matriks berikut ini memiliki baris eselon tereduksi atau tidak. 1 0 0 1   a)  0 1 0 9   0 0 1 5  

1 2 0 1   b)  0 0 1 3  0 0 0 0  

 0 2 3 1    c)  3 6 3 2  6 6 3 5   

IF/2011

11


Contoh 1.15 : Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan berikut ini menggunakan reduksi Gauss-Jordan

2 x1  4 x2  3x3  1 x1  x2  2 x3  9 3x1  6 x2  5 x3  0 Langkah – langkah penyelesaian sistem persamaan diatas dilakukan sebagai berikut: 9  1 1 2 9   2 4 3 1   1 1 2 9   1 1 2          1 1 2 9    2 4 3 1    0 2 7 17    0 2 7 17    3 6 5 0   3 6 5 0   3 6 5 0   0 3 11 27         

(a)

(b)

9  1 1 2 1 1 2   7 17  7 0 1  2  2   0 1  2  0 3 11 27   0 0  1    2

(d)

(e)

 1 0 112  7 0 1  2 0 0 1 

 1 0 0 1       0 1 0 2 3   0 0 1 3 

(g)

35 2 17 2

(c)

9  1 1 2    172    0 1  72  23   0 0 1

9    172   3 

(f) Penyelesaiannya adalah x1  1, x2  2, x3  3

(h)

Keterangan: a. Pertukarkan baris pertama dengan baris kedua sehingga diperoleh matriks (a). b. Kalikan baris pertama dengan -2 kemudian tambahkan dengan bilangan yang ada pada baris kedua sehingga diperoleh matriks (b). c. Kalikan baris pertama dengan -3 kemudian tambahkan dengan bilangan yang ada pada baris ketiga sehingga diperoleh matriks (c). d. Kalikan baris kedua dengan  12 sehingga diperoleh matriks (d). e. Kalikan baris kedua dengan -3 kemudian tambahkan dengan bilangan pada baris ketiga sehingga diperoleh matriks (e). f. Kalikan baris ketiga dengan -2 sehingga diperoleh matriks (f). g. Kalikan baris kedua dengan -1 kemudian tambahkan dengan bilangan pada baris pertama sehingga diperoleh matriks (g).

IF/2011

12


h. Kalikan baris ketiga dengan

7 2

kemudian tambahkan dengan bilangan pada baris kedua

selanjutnya kalikan baris ketiga dengan - 112 kemudian tambahkan dengan bilangan pada baris pertama sehingga diperoleh matriks (h).

Perhatikan kembali contoh 1.15 Proses yang dilakukan dari (a) sampai (f) adalah proses Eliminasi Gauss.

x1  x2  2 x3  9 9   x2  72 x3   172  172  dapat dituliskan menjadi 3  x3  3

1 1 2  7 0 1  2 0 0 1 

Dengan mensubstitusikan x3  3 ke persamaan kedua akan diperoleh x2  2 kemudian nilai

x2 , x3 disubstitusikan ke persamaan pertama sehingga diperoleh x1  1 . Proses yang dilakukan ini disebut dengan cara substitusi balik.

 Latihan 1.8 Gunakan Eliminasi Gauss dan subtitusi balik untuk menentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut ini kemudian periksa hasilnya dengan menggunakan Reduksi Gauss Jordan

a) x1  x2  2 x3  8

b) 2 x1  3x2  x3  1

 x1  2 x2  3x3  1 3x1  7 x2  4 x3  10

c) x1  x2  2 x3  4

x1  x2  x3  3

2 x1  3x2  x3  1

3x1  4 x2  2 x3  4

2 x1  3x2  x3  1

1.7 Menentukan Invers Matriks dengan OBE Definisi 1.16 Suatu matriks A bujur sangkar dapat dibalik jika terdapat suatu matriks B sehingga berlaku

AB  BA  I maka matriks A disebut dapat dibalik dan B adalah matriks invers dari A (ditulis A1 ).  Latihan 1.9 Periksalah apakah B adalah invers dari matriks A.

 2 5  A   1 3 

3 5 B  1 2

Teorema 1.3 Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan berukuran sama maka: a) AB dapat dibalik b)

 AB 

1

 B 1 A1 IF/2011

13


Untuk mendapatkan invers suatu matriks yang dapat dibalik A, kita harus menemukan serangkaian OBE yang mereduksi A menjadi identitas dan kemudian melakukan serangkaian operasi yang sama pada In untuk memperoleh matriks A1 .

Contoh 1.6: Cari invers dari matriks  1 2 3   A   2 5 3  1 0 8  

Penyelesaian: Kita harus menyandingkan matriks A dengan matriks I berukuran 3x3 sehingga diperoleh matriks  A | I  dan setelah proses OBE diperoleh matriks  I | A1  . 1 2 3 1 0 0  1 0 0 40 16 9    OBE     0 1 0 13 5 3    I | A1   A | I    2 5 3 0 1 0   1 0 8 0 0 1  0 0 1 5 2 1       40 16 9  Jadi A1   13 5 3   5 2 1   

 Latihan 1.10 1. Lakukan proses OBE pada contoh diatas sehingga terbukti bahwa invers dari A adalah  40 16 9     13 5 3   5 2 1   

2. Carilah invers dari matriks berikut ini dengan OBE

IF/2011

14


2

DETERMINAN

JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : 1. Mengetahui sifat-sifat determinan. 2. Menggunakan teknik ekspansi kofaktor untuk menghitung determinan. 3. Menggunakan aturan Cramer untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.

Materi

:

2.1 Pendahuluan Definisi 2.1 Misalkan A adalah matriks bujur sangkar berukuran 2x2. Determinan matriks A didefinisikan sebagai :

a det(A)=det  11  a21

a12  a11 a12  a11a22  a12 a21  a22  a21 a22

Definisi 2.2 Jika matriks A berukuran 3x3, determinan matriks A didefinisikan sebagai : a11 a12 det( A)  a21 a22 a31

a13 a23  a11a22 a33  a12 a23a31  a13a21a32  a13a22a31  a12a21a33  a11a23a32

a32

a33

Determinan dapat dihitung dengan menggunakan metode Sarrus, diilustrasikan sebagai berikut:

i)

-

a11

a12

a21

a22

ii )

+

-

a11 a12 a21 a22

a13 a11 a12 a23 a21 a22

a31

a33 a31

a32 -

-

+

a32 +

+

 Latihan 2.1 Hitunglah determinan dari matriks berikut ini (bisa menggunakan aturan Sarrus) :  1 2  A   3 4

1 2 0    B   4 5 3   2 1 4    IF/2011

15


*Aturan Sarrus hanya berlaku untuk matriks berukuran maksimal 3x3.

2.2 Sifat-sifat Determinan Sebelumnya kita telah membahas tentang cara menghitung determinan untuk matriks berukuran maksimal 3x3, berikutnya kita dapat menggunakan sifat-sifat determinan berikut ini untuk menghitung determinan dari matriks yang berukuran lebih besar.

Teorema 2.1 Jika A matriks bujur sangkar maka: i) Jika A mempunyai sebuah baris nol atau sebuah kolom nol maka det(A) = 0. ii) det(A)=det(AT)

Latihan 2.2 Gunakan matriks 3x3 sebarang untuk memeriksa sifat i) dan ii) dari teorema 2.1.

Teorema 2.2 Jika A adalah suatu matriks segitiga nxn (segitiga atas,segitiga bawah, atau diagonal) maka det(A) adalah hasil kali anggota-anggota pada diagonal utamanya, yaitu

det( A)  a11a22

ann

Latihan 2.3 Hitunglah determinan dari masing-masing matriks berikut ini:  3 2 1   A   0 2 1  0 0 5  

2 0  1 5 D 4 6   3 2

1 0 0   B  6 2 0 1 4 3  

0 0  0 0 4 0  5 3

1 0 0   C   0 2 0  0 0 5  

1 0  0 2 E  0 0  0 0

0 0  0 0 4 0  0 3

Teorema 2.3 Misalkan A matriks nxn -

Jika B adalah matriks yang dihasilkan jika suatu baris tunggal atau kolom tunggal dari A dikalikan dengan suatu skalar α, maka det(B) = α.det(A). IF/2011

16


-

Jika B adalah matriks yang dihasilkan jika dua baris atau kolom dari A dipertukarkan maka det(B) = -det(A).

-

Jika B adalah matriks yang dihasilkan jika suatu panggandaan suatu baris A ditambahkan pada baris lainnya atau jika suatu penggandaan suatu kolom ditambahkan pada kolom lainnya, maka det(B) = det(A).

Contoh 2.1: Hubungan

Operasi

 a11  a12  a13 a21

a22

a23

a11   a21

a12 a22

a13 a23

a31

a32

a33

a31

a32

a33

Baris pertama A dikalikan dengan α.

det(B)=α.det(A) a21 a11

a22 a12

a23 a11 a13   a21

a12 a22

a13 a23

a31

a32

a33

a32

a33

a31

Baris

pertama

dan

kedua

dari

A

dipertukarkan.

det(B) = - det(A) a11   a21 a21

a12   a22 a22

a31

a32

a13   a23 a11 a12 a23  a21 a22 a33

a31

a32

a13 a23

Suatu penggandaan baris kedua dari A ditambahkan pada baris pertama.

a33

det(B) = det(A)

Teorema 2.4 Jika A adalah matriks bujur sangkar dengan dua baris proporsional atau dua kolom proporsional, maka det (A)=0.

Contoh 2.2 : 1 3 2 1 3 2 2 6 4  2 1 3 2 =0 3

1

4

3 1

4

Dari contoh baris pertama dan baris kedua adalah dua baris yang proporsional sehingga nilai determinannya adalah 0.

IF/2011

17


Latihan 2.4

 1 4     2 8 

 1 7 2     3 5 6   4 3 8   

 3 1 4 5    8 10  6 2  9 3 12 15     1 4 2 5 

Periksalah bahwa matriks-matriks diatas mempunyai determinan nol, berikan alasannya!

Teorema 2.4 Sifat-sifat dasar determinan: Misalkan A dan B matriks nxn dan α skalar maka 1. det( A)   n det( A) 2. det( AB)  det( A).det( B)

2.3 Ekspansi Kofaktor Definisi 2.3 Jika A sebuah matriks bujursangkar nxn maka minor dari aij dituliskan dengan M ij dan didefinisikan sebagai determinan sub-matriks yang masih tersisa setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari A. Bilangan  1

i j

M ij dinyatakan oleh Cij dan disebut kofaktor anggota

aij .

Contoh 2.3:  1 3 2    A 5 6 7   4 3 2   

M 23 

1 3  15 4 3

C23   1

2 3

.M 23  15

Latihan 2.5 Dengan menggunakan matriks contoh 2.3 tentukan M12 , C12 dan M23 , C23

Teorema 2.5 Determinan suatu matriks A berukuran nxn bisa dihitung dengan mengalikan anggota-anggota pada sebarang baris (atau kolom) dengan kofaktornya dan menjumlahkan hasil kali yang didapatkan yaitu untuk setiap 1  i  n dan 1  j  n det( A)  a1 j C1 j  a2 j C2 j  ...  anj Cnj (perluasan kofaktor disepanjang kolom ke-j)

det( A)  ai1Ci1  ai 2Ci 2  ...  ainCin

(perluasan kofaktor disepanjang baris ke-i) IF/2011

18


Contoh 2.4: 3 1 det(A)= 2 4 5

0 4 3 2 3 2 4 3 3  (1)  (0)  3( 4)  (1)( 11)  0  1 4 2 5 2 5 4 2

4

Perhatikan bahwa Cij   M ij sehingga secara matriks dapat digambarkan

       

  

       

        

Latihan 2.6 Gunakan kolom atau baris lainnya untuk menghitung determinan A! Apakah nilai determinan yang diperoleh sama dengan contoh 2.4.

2.4 Menghitung Determinan Menggunakan Sifat-sifat Determinan Kita dapat menggunakan reduksi baris, sifat-sifat determinan yang dibahas sebelumnya dan perluasan kofaktor untuk menghitung determinan matriks. Perhatikan contoh berikut dan tentukan sifat-sifat yang digunakan untuk menentukan determinannya.

Contoh 2.5:

4 det(A)= 1 2

det(B) 

3  1 B 2  3

 4 2 3    A 1 0 2  2 3 1    2 3 1 0 2  4 3

3 5 2 6 1 2 1 1 2 4 3 7

1 5

5 3



6 0 5 6 11 0  1  [55  (60)]  5 10 11 2 3 1

0 2 5 2 3   10

2

1

3

1

0 1 1 3 1 2 1 1 0 0

5 2 6   2 1 1  4 1 5  7 5 3

0 1

3 8

3 0

1 1 3  1 0 1

3 3 8 0

1 1 3  3 3 1 3  1 0 3 3  1 1  0 1   1 1 24  1 6   18 8 0 3 3  1 8 0

IF/2011

19


Latihan 2.7 Tentukan determinan dari matriks berikut ini

 2 1 1    P   4 6 3   2 0 2  

3  2 Q  1  4

2 3 3  4 5 2 3 2 4  2 3 2

2.5 Aplikasi Determinan Salah satu kegunaan determinan adalah untuk menentukan invers suatu matriks

Teorema 2.6 Matriks A mempunyai invers jika dan hanya jika det(A)  0

Definisi 2.4 Matriks yang mempunyai determinan  0 disebut matriks tak singular, sedangkan matriks yang mempunyai determinan = 0 disebut matriks singular.

Definisi 2.5 Jika A adalah sebarang matriks nxn dan Cij adalah kofaktor dari aij maka matriks

 C11 C12   C21 C22    Cn1 Cn 2

C1n   C2 n    Cnn 

disebut matriks kofaktor dari A. Transpos dari matriks ini disebut adjoin A dinyatakan adj(A).

Teorema 2.7 Jika A adalah suatu matriks yang dapat dibalik, maka:

A1 

1 adj ( A) det( A)

 Latihan 2.8 Tentukan adj(A) dan A1  1 2 3    A   6 7 1  3 1 4    IF/2011

20


Teorema 2.8 Jika A dan B adalah matriks – matriks nxn yang taksingular, maka AB juga tak singular dan

 AB 

1

 B 1 A1 .

2.6 Aturan Cramer Definisi 2.6 Diketahui suatu sistem persamaan linear :

a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1 a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn  b2 am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm dapat dituliskan dalam bentuk hasil kali matriks

 a11   a21    am1

a12 a22 am 2

a1n  x1   b1      a2 n  x2   b2           amn  xn   bm 

atau Ax  b

Teorema 2.9 Jika Ax  b merupakan suatu sistem n persamaan linear dengan n peubah sedemikian sehingga A  0 maka sistem tersebut mempunyai penyelesaian tunggal yaitu:

x1 

det( A1 ) det( A2 ) , x2  , det( A) det( A)

, xn 

det  An  det( A)

Dengan A j adalah matriks yang diperoleh dengan menggantikan anggota-anggota pada kolom ke-j dari A dengan anggota-anggota pada matriks

 b1    b b 2      bn 

Contoh 2.6 : Gunakan aturan Cramer untuk menyelesaikan

x1 

2 x3  6

3x1  4 x2  6 x3  30  x1  2 x2  3x3  8 IF/2011

21


Penyelesaian  1 0 2   A   3 4 6   1 2 3   

 6 0 2   A1   30 4 6   8 2 3   

 1 6 2   A2   3 30 6   1 8 3   

1 0 6   A3   3 4 30   1 2 8   

sehingga diperoleh

x1 

det( A1 ) 40 10   det( A) 44 11

x2 

det( A2 ) 72 18   det( A) 44 11

x3 

det( A3 ) 152 38   det( A) 44 11

 Latihan 2.9 Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan aturan Cramer

4x  5 y

2

11x  y  2 z  3 x  5 y  2z  1

IF/2011

22


3

RUANG VEKTOR

JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : 1. Menjelaskan sifat-sifat dan operasi vektor di R2 dan R3. 2. Menjelaskan aksioma ruang vektor dan syarat subruang. 3. Mengidentifikasi suatu himpunan vektor sebagai suatu ruang vektor atau subruang vektor . 4. Mengidentifikasi suatu himpunan vektor membangun, bebas linear,basis. 5. Menentukan basis dan dimensi dari himpunan vektor-vektor yang merupakan anggota dari suatu ruang vektor atau subruang. 6. Menghitung matriks transisi dari perubahan basis. 7. Menentukan ruang baris, ruang kolom, ruang null dan dimensinya.

Materi

:

3.1 Vektor di R2 dan R3 Secara geometris vektor digambarkan sebagai ruas garis berarah. Perhatikan gambar berikut ini :

v

B

Titik A disebut titik pangkal vektor dan titik B disebut titik ujung Vektor dengan titik pangkal A dan titik ujung B dinotasikan dengan AB atau dapat dituliskan dengan huruf kecil v

A

Di dalam sistem koordinat vektor dapat digambarkan sebagai berikut: Vektor dalam Ruang Berdimensi 2 (R2)

Vektor dalam Ruang Berdimensi 3 (R3) Z

Y A Titik Ujung

w

v

O Titik Pangkal A

Titik Ujung B B Y

X

OO Titik Pangkal

X

OA, OB disebut vektor standar karena titik pangkal vektor tersebut berada pada titik O. IF/2011

23


Definisi 3.1 Misalkan AB dan PQ adalah vektor dalam R2 dan R3 maka dalam koordinat kartesian vektor komponen A = ( x1 , y1 ) dan komponen B = ( x2 , y2 ) sedangkan dalam R3 komponen P =

( x1 , y1 , z1 ) dan Q = ( x2 , y2 , z2 ) . Panjang vektor AB dinotasikan AB dan PQ dinotasikan PQ adalah

AB  ( x1  x2 )2  ( y1  y2 )2 dan PQ  ( x1  x2 )2  ( y1  y2 )2  ( z1  z2 )2 3.2 Operasi –Operasi Vektor a. Penjumlahan Vektor Cara segitiga

vw w

w

v v Cara jajaran genjang

w

w

v b. Perkalian Vektor dengan Skalar

u

vw

v

2u

c. Vektor Negatif

u

u

 Latihan 3.1 Misalkan u  (2, 2,3), v  (1, 3, 4) , w  (3,6, 4) . Hitunglah ekspresi yang ditunjukkan: a. 3u  5v  w b. c.

1 2

u  v  2w

uv

d. e.

u  v

1

w

w IF/2011

24

3.3 Ruang Vektor dan Sub Ruang Vektor Aksioma 3.1 Misalkan V suatu himpunan tak kosong dimana operasi penjumlahan dan perkalian didefinisikan, jika untuk setiap u, v, w anggota V dan α,β adalah skalar berlaku: (a) u, v V  u  v V (b) u  v  v  u (c) u  (v  w)  (u  v)  w (d) 0 V  u  0  0  u  u, u V (e) u V ,  u V  u  (u)  0 (f) α skalar, u V   u V (g)  ( u)  ( )u (h)  (u  v)   u   v (i) (   )u   u   u (j) 1u  u

IF/2011

25

Maka V disebut ruang vektor dan anggota dalam V disebut vektor. Contoh 3.2: Misalkan V  R 2 adalah himpunan vektor-vektor yang didefinisikan sebagai berikut

 x1    x1     y1    y1 



 x1   x2   x1  x2         y1   y2   y1  y2  Maka R 2 memenuhi semua aturan dari aksioma 3.1.

Jika diberikan suatu ruang vektor V, maka kita dapat membentuk ruang vektor lain S yang merupakan himpunan bagian dari V dan menggunakan operasi-operasi pada V. Definisi 3.2 Jika S adalah himpunan bagian tidak kosong dari suatu ruang vektor V dan S memenuhi syarat-syarat berikut ini maka berlaku : a)  x  S jika x  S untuk sembarang skalar  . b) x  y  S jika x  S dan y  S . maka S disebut subruang dari V.

Contoh 3.3: Misalkan S = ( x, 0) x  R . Tunjukkan S adalah subruang dari R2. Penyelesaian: Ambil u  (u1 ,0), v  (v1 ,0)  S dan   R maka 1.  u   (u1 ,0)  ( u1 ,0)  S 2. u  v  (u1 ,0)  (v1 ,0)  (u1  v1,0)  S Dari 1. dan 2. Terbukti S = ( x, 0) x  R adalah subruang dari R2.

Contoh 3.4:

IF/2011

26


Diketahui K = ( x, 0) x  0 . Periksalah apakah K adalah subruang dari R2. K bukan subruang dari R2 karena terdapat u  (1, 0)  K dan 1 R sehingga (1)u  R .

 Latihan 3.2 Periksa apakah himpunan berikut adalah subruang dari R3 . a. K  ( x, y, z ) x  2 y, z   y

b. K  ( x, y, z ) x  2 y  1

3.4 Kombinasi Linear dan Membangun Berikut ini diperkenalkan tentang konsep kombinasi linear dari vektor-vektor kolom.

Definisi 3.3 Suatu vektor w disebut suatu kombinasi linear dari vektor-vektor v1 , v2 ,..., vr jika bisa dinyatakan dalam bentuk : w  1 v1   2 v2  ...   n vn

Dengan 1 ,  2 ,

,  n adalah skalar.

Contoh 3.5: Diketahui u  (1, 2, 1) dan v  (6, 4, 2) dalam R3. Periksalah apakah w   4,0, 4  dan a  (3, 1, 2) adalah kombinasi linear dari vektor u dan v .

Penyelesaian: a. Jika w adalah kombinasi linear dari vektor u dan v maka w dapat dituliskan ke dalam bentuk w  1 u   2 v sehingga diperoleh

 4,0, 4  1 (1, 2, 1)  2 (6, 4, 2)  4,0, 4  (1, 21, 1 )  (62 , 42 , 22 ) IF/2011

27


 4,0, 4  (1  62 , 21  42 , 1  22 ) Dengan menyamakan komponen-komponen diperoleh

1  6 2  4 21  4 2  0 1  2 2  4

1  6 2  4 1  2 2  4  8 2  8  2  1

Kemudian  2  1 disubstitusikan ke persamaan 1) atau 3) sehingga diperoleh

1  2 . Terakhir memeriksa hasil dengan cara mensubstitusikan 1 ,  2 ke persamaan 3. Karena 1 dan  2 memenuhi ketiga persamaan maka a adalah kombinasi linear dari vektor u dan v .

b. Jika a adalah kombinasi linear dari vektor u dan v maka a dapat dituliskan ke dalam bentuk a  1 u   2 v sehingga diperoleh

 3, 1, 2  1 (1, 2, 1)  2 (6, 4, 2)  3, 1, 2  (1, 21, 1 )  (62 , 42 , 22 )  3, 1, 2  (1  62 , 21  42 , 1  22 ) Dengan menyamakan komponen-komponen diperoleh

1  6 2  3 21  4 2  1 1  2 2  2

1  6 2  3 1  2 2  2  8 2  5  2  85

Kemudian  2  85 disubstitusikan ke persamaan 1) atau 3) sehingga diperoleh

1   34 . Terakhir memeriksa hasil dengan cara mensubstitusikan 1 ,  2 ke persamaan 3 ternyata diperoleh IF/2011

28


3 5 2   4   1 4 8 3 5    1 2 2 1  1

Maka a adalah bukan kombinasi linear dari vektor u dan v .

Latihan 3.3 Diketahui u  (2,1, 4) , v  (1, 1,3) dan w  (3, 2,5) , nyatakan

vektor-vektor berikut ini

sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor u, v, w . a. a  (6,11,6)

b. b  (9, 7, 15)

Definisi 3.4





Diketahui V adalah ruang vektor dan S  s1 , s2 ,..., sn dimana s1 , s2 ,..., sn V . S dikatakan membangun (merentang) V jika v V , v merupakan kombinasi linear dari S, yaitu : v  1 s1   2 s2  ...   n sn

1 , 2 ,

, n skalar

S disebut ruang rentang dan s1 , s2 ,..., sn disebut rentang dari V.

Contoh 3.6: Apakah u  (1, 2,3), v  (2, 4,6), w  (3, 4,7) membangun di R3? Penyelesaian: Misalkan u, v, w membangun

R 3 maka untuk sembarang vektor ( x, y, z )  R3 akan

ditunjukkan bahwa vektor ( x, y, z ) adalah kombinasi linear dari u, v, w , sehingga dapat dituliskan IF/2011

29


1 1, 2,3   2  2, 4,6   3 3, 4,7    x, y, z  Atau dalam bentuk matriks dapat dituliskan menjadi  1 2 3  1   x        2 4 4   2    y   3 6 7     z    3   

Persamaan linear ini akan konsisten jika tidak ada baris 0 pada matriks A setelah dilakukan reduksi baris. Dengan OBE diperoleh 1 2 3 1 2 3  1 2 0        2 4 4   0 0 2   0 0 1   3 6 7   0 0 2   0 0 0       

Karena ada baris yang 0 maka pastilah ada vekor di R 3 yang bukan merupakan kombinasi linear dari u, v, w . Jadi u, v, w tidak membangun di R 3 .

Latihan 3.4 Diketahui u  (1, 2), v   2, 2  , w  (1,3) . Apakah u, v, w membangun di R2?

3.5 Bebas Linear dan Bergantung Linear Definisi 3.5 Misalkan S = { v1 , v2 ,..., vr } adalah suatu himpunan vektor-vektor tak kosong, vektor-vektor

v1 , v2 ,..., vr disebut bebas linear jika untuk persamaan vektor

1 v1   2 v2  ...   r vr  0

mempunyai satu-satunya penyelesaian yaitu

1  0,  2  0, ...,  r  0 Definisi 3.6

IF/2011

30


Misalkan S = { v1 , v2 ,..., vr } adalah suatu himpunan vektor-vektor tak kosong, vektor-vektor

v1 , v2 ,..., vr disebut bergantung linear jika terdapat skalar-skalar 1 ,  2 , ...,  r yang tidak semuanya nol sehingga 1 v1   2 v2  ...   r vr  0 . Contoh 3.7:

1 a. Vektor-vektor   dan 1  1

1 0

 

   

1   adalah bebas linear karena jika  2

1     2      maka 1 2 0

1   2  0 dan 1  2 2  0

sehingga diperoleh

1   2  0 b. Diketahui dua vektor (4,3) dan (4, 3) maka

1  4,3   2  4, 3   0,0  41  4 2  0 31  3 2  0

misalkan  2  t maka 1  t

Maka kedua vektor bergantung linear. Atau tanpa menyelesaikan sistem persamaan linear kita dapat menunjukkan bahwa determinan dari matriks koefisiennya = 0 maka sistemnya punya penyelesaian tak-trivial.  Latihan 3.5

Periksalah apakah vektor-vektor berikut ini bebas linear atau bergantung linear a. u  8, 1,3 , v   4,0,1

b.

u  (1, 2), v   2, 2  , w  (1,3)

3.6 Basis dan Dimensi Definisi 3.7 Misalkan V ruang vektor dan S  {s1 , s2 ,..., sn } . S disebut basis dari V jika memenuhi dua syarat, yaitu : 1. S bebas linear IF/2011

31


2. S membangun V Basis dari suatu ruang vektor bisal lebih dari satu. Ada dua macam basis yang kita kenal, yaitu: a. Basis standar Contoh 3.8: -

S  {(1,0,...,0),(0,1,...,0),...,(0,0,...,1)}

dimana

(1,0,...,0),(0,1,...,0),...,(0,0,...,1)

adalah anggota vektor R n sehingga (1,0,...,0),(0,1,...,0),...,(0,0,...,1) adalah basis standar dari R n . -

 1 0   0 1   0 0   0 0   S   , , ,   adalah basis dari M 22 . 0 0 0 0 1 0 0 1         

-

Didalam R 2 dan R 3 , basis standar sering dituliskan menjadi i, j , k .

b. Basis tidak standar

Definisi 3.8 Suatu ruang vektor tak nol V disebut berdimensi terhingga jika V berisi suatu himpunan vektor terhingga

v , v ,..., v  1

2

n

yang membentuk suatu basis. Jika tidak ada himpunan

seperti itu maka V disebut berdimensi tak hingga. Ruang vektor nol berdimensi hingga.

Teorema 3.1





Jika V adalah suatu ruang vektor berdimensi terhingga dan v1 , v2 ,..., vn adalah sembarang basis, maka: a. Setiap himpunan yang lebih dari n vektor adalah tak bebas linear. b. Tidak ada himpunan dengan vektor yang kurang dari n yang membangun V.

IF/2011

32


Teorema 3.2 Semua basis untuk suatu ruang vektor berdimensi terhingga mempunyai jumlah vektor yang sama. Definisi 3.9 Dimensi suatu ruang vektor berdimensi terhingga V, yang dinyatakan dengan dim(V), didefinisikan sebagai jumlah vektor dalam suatu basis untuk V.

Teorema 3.3 Jika V adalah suatu ruang vektor berdimensi n , dan jika S adalah suatu himpunan dalam V dengan tepat n vektor, maka S adalah suatu basis untuk V jika S merentang V atau S bebas linear.

Contoh 3.9: Misalkan v1  (1, 2,1), v2  (2,9,0), v3  (3,3, 4) . Tunjukkan bahwa himpunan S={ v1 , v2 , v3 } adalah suatu basis dari R3. Penyelesaian: Untuk menunjukkan bahwa himpunan S membangun R3 akan ditunjukkan bahwa untuk sembarang b  (b1 , b2 , b3 )  R3 bisa dinyatakan sebagai kombinasi linear b  1v1   2v2  3v3

Sehingga diperoleh

(b1 , b2 , b3 )  1 (1, 2,1)  2 (2,9,0)  3 (3,3, 4) (b1 , b2 , b3 )  (1  2 2  33 , 21  9 2  33 , 1  43 )

Dengan menyamakan komponen-komponen berpadanan diperoleh:

1  2 2  3 3  b1 21  9 2  3 3  b2 1  4 3  b3 IF/2011

33


Untuk menunjukkan bahwa S membangun R3 harus ditunjukkan bahwa sistem persamaan linear diatas punya penyelesaian untuk semua b . Untuk menunjukkan bebas linear maka jika

1 v1   2 v2  3 v3  0 Maka 1   2  3  0 Karena dim R3 = 3 dan jumlah anggota S = 3, maka kita hanya perlu menunjukkan bahwa vektor-vektornya saling bebas linear atau membangun. Dengan menunjukkan matriks koefisiennya punya determinan tidak nol, maka dikatakan S bebas linear dan membangun 1 2 3   A   2 9 3 1 0 4  

det( A)  1 Jadi S adalah basis untuk R3.

Latihan 3.6  1   2   1     Tunjukkan bahwa  2  ,  1  ,  0   adalah basis R3  3   0   1         

3.7 Vektor Koordinat dan Matriks Transisi Definisi 3.10





Misalkan V adalah suatu ruang vektor dengan basis B = b1 , b2 ,..., bn dan v V . Koordinat vektor v terhadap basis B adalah :

 1     v    2   B     n 

IF/2011

34


Dimana 1 b1   2 b2 

  n bn  v

Contoh 3.10:  1   1   1   1     Tentukan koordinat vektor v   0  terhadap basis B   0  ,  2  ,  1   0   0   2    3         

Penyelesaian  1  Koordinat v terhadap B adalah vektor v     2  yang memenuhi B    3 1 1  1  1     1  0    2  2    3  1   0  0 0  2   3        

Sehingga diperoleh matriks augmentednya  1 1 1 1  OBE  1 0 0  94     3   0 2 1 0   0 1 0 4   0 0 2 3 0 0 1 3     2    94    Jadi v    34  B  3   2 

Perhatikan bahwa urutan vektor di basis menentukan koordinat. Jika IF/2011

35


 1   1   1          B   2  ,  1 ,  0    0   2   0          '

Maka koordinat v terhadap B’ adalah  34  v  '   32   B    9  4

Latihan 3.7 Tentukan

koordinat

relatif

(3,2,5)T

dari

terhadap

basis

u1  (1,1,1)T , u2  (1, 2, 2)T , u3  (2,3, 4)T .

Teorema 3.4 Koordinat vektor terhadap suatu basis tertentu adalah tunggal.

Definisi 3.11









Pandang B  b1 , b2 ,..., bn dan U  u1 , u2 ,..., un untuk ruang vektor V. Matriks transisi dari B ke U adalah



P  b1  , b2  ... bn  U U U



Dan memenuhi persamaan v   P v   U  B

v V

Matriks P adalah matriks tak singular dan P’ adalah matriks transisi dari U ke B.

Contoh 3.11:

IF/2011

36




 



a. Carilah matriks transisi dari perubahan basis v1 , v2 ke u1 , u2 dimana

5 7  3  1 v1    , v2    dan u1    , u2     2  3  2  1 1 b. Jika  a     tentukan  a  V U  2  Penyelesaian a. Kita dapat menuliskan masing-masing basis v1 , v2 ke dalam u1 , u2

v1  p11 u1  p21 u2 v2  p12 u1  p22 u2 Dengan mensubstitusi v1 , v2 dan u1 , u2 diperoleh dua persamaan sebagai berikut:

 5   3 p11  p21   7   3 p12  p22      2 p  p  dan     2 p  p   2   11  3   12 21  22 

p   3 p   4 Dari persamaan ini diperoleh  11     dan  12      p21   4   p22   5   3 4 Sehingga diperoleh P    adalah matriks transisi dari basis v1 , v2 ke u1 , u2 .  4 5 



 



b. Dapat ditunjukkan pula bahwa

 3 4  3 4  1   5  a    a           U  V  4 5   4 5  2   6 

Latihan 3.8



 

1. Dari contoh diatas tentukan matriks transisi dari basis u1 , u2 ke v1 , v2



2. Misalkan v1  (4,6,7)T , v2  (0,1,1)T , v3  (0,1, 2)T adalah basis dan u1  (1,1,1)T , IF/2011

37


u2  (1, 2, 2)T , u3  (2,3, 4)T



 

a. Tentukan matriks transisi dari u1 , u2 , u3 ke v1 , v2 , v3

 

b. Jika x  2v1  3v2  4v3 , tentukan koordinat dari x relatif terhadap u1 , u2 , u3



3.8 Rank dan Nulitas Definisi 3.12 Jika A adalah matriks mxn maka subruang R n yang direntang oleh vektor-vektor baris dari A disebut ruang baris dari A. Subruang dari R m yang direntang oleh vektor-vektor kolom dari A disebut ruang kolom dari A. Ruang penyelesaian dari sistem persamaan homogen Ax  0 adalah subruang dari R n disebut ruang null/ruang kosong dari A dinotasikan N(A) . Contoh 3.12

1 0 0 A  0 1 0

Misalkan

Ruang baris dari A adalah himpunan dari

 (1, 0, 0)   (0,1, 0)   ,  , 0 Ruang kolom dari A adalah himpunan semua vektor yang berbentuk

1  0  0              0 1 0   

 

   

Teorema 3.5 Operasi baris elementer tidak mengubah ruang null dari suatu matriks Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris suatu kolom Contoh 3.13:

IF/2011

38


 1 2 1 1    A   2 4 3 0  1 2 1 5  

Diketahui

Tentukan basis untuk ruang kosong A (N(A))

Penyelesaian Menggunakan operasi baris elementer diperoleh matriks U yang merupakan matriks bentuk eselon baris tereduksi dari A. 1 2 0 3   U  0 0 1 2 0 0 0 0  

Karena persamaan Ax  0 ekivalen dengan U x  0 (berdasarkan Teorema 3.5) maka x  N ( A) jika dan hanya jika

x1  2 x2 

3x4  0 x3  2 x4  0

sehingga

x1  2 x2  3x4 x3  2 x4

Misalkan x2   dan x4   maka vektor-vektor x  N ( A) berbentuk

 x1   2  3   2   3            x2       1    0   x3   2   0  2             0 1  x4   Jadi basis untuk N ( A) adalah  2,1, 0, 0  dan  3, 0, 2,1 T

T

Teorema 3.6 Jika suatu matriks U berada dalam bentuk baris eselon maka vektor-vektor baris dengan utama 1 (yaitu vektor-vektor tak-nol) membentuk suatu basis untuk ruang baris U dan IF/2011

39


vektor-vektor kolom dengan utama 1 dari vektor-vektor baris membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari U.

Teorema 3.7 Jika A dan B adalah matriks yang ekivalen baris maka a. Suatu himpunan vektor kolom dari A yang bebas linear jika dan hanya jika vektor-vektor kolom yang berpadanan dari B juga bebas linear. b. Suatu himpunan vektor kolom dari A yang diberikan membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari A jika dan hanya jika vektor-vektor kolom yang berpadanan dari B membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari B.

Berdasarkan teorema 3.6 , teorema 3.7 dan teorema 3.5 maka kita dapat menentukan basis dari suatu matriks A dengan cara Diketahui himpunan vektor S = { v1 , v 2 ,

, vk } Rn

1. Bentuk matriks A yang mempunyai vektor v1 , v 2 ,

, v k sebagai vektor-vektor kolomnya

2. Reduksi matriks A menjadi matriks baris eselon tereduksi R dan anggaplah w1 , w2 ,

, wk

adalah vektor-vektor kolom dari U. 3. Kenali kolom-kolom yang mengandung utama 1 di U. Vektor-vektor yang berpadanan dari A merupakan vektor-vektor basis yang membangun S. 4. Nyatakan setiap kolom dari U yang tidak mengandung utama 1 sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor kolom yang mengandung utama 1. Persamaan yang berpadanan untuk vektor-vektor kolom dari A menyatakan bahwa vektor-vektor yang tidak ada dalam basis tersebut dapat diperoleh dari kombinasi linear dari vektor-vektor basisnya.

IF/2011

40


Definisi 3.13 Rank dari suatu matriks A adalah dimensi dari ruang baris/ruang kolom dari A. Nulitas adalah dimensi dari ruang nol. Pada umumnya jumlah rank dan nulitas akan selalu sama dengan banyak kolom dari matriks. Teorema 3.8 Jika A adalah matriks m x n, maka rank dari A ditambah nulitas dari A sama dengan n.

Contoh 3.14

1  2 Diketahui A    3   5

3  0 1 1  0 1 2 1

Tentukan a. Semua vektor baris dan vektor kolom dari A b. Basis dan dimensi dari ruang kolom A c. Basis dan dimensi dari ruang baris A Penyelesaian a. Vektor baris : v1  (1, 2,3), v2  (2,1,0), v3  (3,1,1), v4  (5,0, 1)

1  2 3       2  1 0   , w2  , w3    Vektor kolom : w1   3 1 1       5 0  1

IF/2011

41


1  2 b. A    3  5

3  1   0  0 1 1  0   0 1  0 2 1

2 3  1 65  U 0 1  0 0

Bilangan utama 1 ada pada semua kolom pada matriks U sehingga basis dari ruang kolom adalah S  {w1 , w2 , w3} dan dimensi ruang kolomnya adalah 3.

c.

 1 2 3 5    A  2 1 1 0   3 0 1 1   T

 1 2 3 5     0 1 1 2   U 0 0 1 2   

Bilangan utama satu terletak pada kolom ke-1,2,3 maka basis dari ruang baris A adalah S  {v1 , v2 , v3} dan dimensi ruang baris A adalah 3.

Latihan 3.9 1. Tentukan basis dan dimensi dari ruang kosong A jika ada  1 1 3    (i) A   5 4 4   7 6 2   

 1 4 5 2   (ii) A   2 1 3 0   1 3 2 2   

2. Tentukan basis ruang kolom, basis ruang baris dan rank dari matriks A berikut ini

 1 1 3   2 0 1  2 1 1   3 2 3

2  1 1  3

3. Tentukan basis dari ruang yang direntang oleh vektor – vektor berikut ini v1  (1,0,1,1), v2  (3,3,7,1), v3  (1,3,9,3), v4  (5,3,5, 1)

IF/2011

42


4

RUANG HASIL KALI DALAM

JUMLAH PERTEMUAN : 3 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : 1. Menghitung hasil kali dalam baku dan hasil kali silang. 2. Menggunakan aksioma hasil kali dalam untuk memeriksa ruang hasil kali dalam 3. Mengetahui sifat-sifat ruang hasil kali dalam 4. Menggunakan sifat-sifat basis ortogonal dan basis ortonormal 5. Menggunakan metode Gram-Schimdt untuk menentukan basis ortogonal.

Materi : 4.1 Hasil Kali Dalam Baku Definisi 4.1 Jika u dan v adalah vektor-vektor kolom dalam ruang berdimensi 2 maka dinotasikan u.v sebagai hasil kali titik/hasil kali skalar u.v  u1v1  u2v2

Jika u dan v adalah vektor-vektor kolom dalam ruang berdimensi 3 maka u.v  u1v1  u2v2  u3v3

Hasil kali dalam baku untuk R 2 , R3 didefinisikan sebagai hasil kali skalar u, v  u.v

Definisi 4.2

IF/2011

43


Jika u dan v adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 2 dan berdimensi 3,  adalah sudut antara u dan v , maka hasil kali titik atau hasil kali dalam Euclidean

  u  v cos  , jika u  0 dan v  0 u.v   jika u  0 dan v  0   0

Definisi 4.3 Jika u dan v adalah vektor-vektor tak-nol, maka sudut dari dua buah vektor dapat ditentukan dengan cara cos  

u.v u .v

 Latihan 4.1 1 1 T   1. Jika a   2  b   2  tentukan a  b dan a, b  3  2    

2. Diketahui u  (2, 1,1) dan v  (1,1, 2) Tentukan sudut  antara u dan v .

4.2 Hasil Kali Silang Dalam penerapan vektor dalam ruang berdimensi 3 kadang-kadang diperlukan suatu vektor yang tegak lurus terhadap dua vektor yang diketahui, untuk itu diperkenalkan sebuah jenis perkalian vektor yang menghasilkan vektor-vektor tersebut.

Definisi 4.4 Jika u  (u1 , u2 , u3 ), v  (v1 , v2 , v3 ) adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 3 maka hasil kali silang u  v adalah vektor yang didefinisikan sebagai IF/2011

44


u uv   2  v2

u3 v3

,

u1 u3 u1 u2  ,  v1 v3 v1 v2 

Contoh 4.1: Carilah u  v dimana u  (1, 2, 2), v  (3,0,1) . Penyelesaian : Susun dalam bentuk matriks

 1 2 2    3 0 1  Maka

 2 2 1 2 1 2  uv   , ,   (2, 7, 6) 0 1 3 1 3 0

 Latihan 4.2 a. Hitunglah u  v dimana u  (2, 1,1) dan v  (1,1, 2) b. Kemudian tentukan u  v dan u , v c. Hitunglah u  v .u dan u  v .v . Apa yang dapat Anda simpulkan dari hasil perhitungan tersebut? 2

2

2

d. Periksalah apakah u  v  u . v  (u  v)2

4.3 Ruang Hasil Kali Dalam Definisi 4.5 Hasil kali dalam (dinotasikan <. ,.>) adalah fungsi yang mengaitkan setiap vektor di ruang vektor V dengan suatu bilangan riil dan memenuhi aksioma berikut. Misalkan V adalah ruang vektor, u, v, w V  suatu skalar, maka berlaku:

IF/2011

45


1. Simetris

: u, v  v, u

2. Aditivitas

: u  v, w  u, w  v, w

3. Homogenitas :  u, v   . u, v 4. Positifitas

: u, u  0 dan u, u  0  u  0

Ruang vektor yang dilengkapi dengan hasil kali dalam disebut ruang hasil kali dalam. Contoh 4.2 1. Ruang hasil kali dalam Euclides ( R n ) Misalkan u, v  R n maka u, v  u1v1  u2v2  ...  unvn . Panjang vektor di R n dapat dinyatakan sebagai bentuk hasil kali dalam yaitu u  u, u

1/2

 u1u1  u2u2  ...  unun

Dapat ditunjukkan bahwa sifat simetris, aditivitas, homogenitas dan positifitas dipenuhi 2. Jarak antara dua vektor u, v  R n dinyatakan dengan d (u, v) juga dapat dinyatakan sebagai bentuk hasil kali dalam.

d (u, v)  u  v  u  v, u  v

1/2

 (u1  v1 ) 2  (u2  v2 ) 2  ...  (un  vn ) 2 3. Misalkan W  R3 yang dilengkapi dengan operasi hasil kali u, v  2u1v1  u2v2  3u3v3 dimana u, v W . Tunjukkan W adalah ruang hasil kali dalam. a. Simetris Ambil u, v W sembarang maka u, v  2u1v1  u2v2  3u3v3  2v1u1  v2u2  3v3u3  v, u

b. Aditivitas IF/2011

46


Ambil u, v, w W sembarang maka u  v, w  2(u1  v1 )w1  (u2  v2 )w2  3(u3  v3 )w3

 2(u1w1  v1w1 )  (u2 w2  v2 w2 )  3(u3w3  v3w3 )  2u1w1  2v1w1  u2 w2  v2 w2  3u3w3  3v3w3  (2u1w1  u2 w2  3u3w3 )  (2v1w1  v2 w2  3v3w3 )  u, w  v, w

c. Homogenitas Ambil u, v W ,  skalar maka

 u, v  2 u1v1   u2v2  3 u3v3   (2u1v1  u2v2  3u3v3 )   u, v

d. Positifitas Ambil u W maka u, u  2u1u1  u2u2  3u3u3  2u12  u2 2  3u32

Karena u12 , u22 , u32  0 maka 2u12  u22  3u32  0 dan 2u12  u22  3u32  0  u  0

4. Tunjukkan bahwa u, v  u1v1  2u2v2  3u3v3 bukan merupakan hasil kali dalam Perhatikan untuk u, u  u12  2u2 2  3u32 saat 3u32  u12  2u22 maka u, u  0 Sehingga tidak memenuhi sifat positivitas.

 Latihan 4.3 IF/2011

47


a. Periksa apakah u, v  4u1v1  5u2v2 adalah suatu hasil kali dalam pada R 2 b. Periksa apakah u, v  u1v1  u3v3 adalah suatu hasil kali dalam pada R 3 c. Periksa apakah u, v  u12v12  u2 2v2 2  u32v33 adalah hasil kali dalam pada R 3

Teorema 4.1 Berikut ini beberapa sifat dari vektor-vektor dalam ruang hasil kali dalam Jika u, v, w adalah vektor-vektor dalam ruang hasil kali dalam real, dan  adalah skalar sembarang maka : a.

0, v  v, 0

b.

u, v  w  u , v  u , w

c.

u,  v   . u, v

d.

u  v, w  u, w  v, w

e.

u, v  w  u, v  u, w

 Latihan 4.4 1. Buktikan Teorema 4.1

u  v  u v 2. Jika U   11 12  V   11 12  didefinisikan hasil kali dalam untuk M 22 maka  u21 u22   v21 v22  U ,V  u11v11  u12v12  u21v21  u22v22 dan U  U ,U

1/2

 u112  u12 2  u212  u22 2

 1 2  4 6 Tentukan U ,V jika U    V    3 5  0 8 IF/2011

48


Definisi 4.6 Dua buah vektor u dan v dalam R n disebut ortogonal jika u, v  0

 Latihan 4.5

1 0   0 2 Tunjukkan bahwa matriks U    V   saling ortogonal 1 1  0 0

4.4 Basis Ortonormal Definisi 4.7 Diketahui V adalah ruang hasil kali dalam dan v1 , v2 ,



, vn V . H  v1 , v2 ,



, vn disebut

himpunan ortogonal jika untuk setiap vektor dalam V saling tegak lurus berlaku vi , v j  0 i  j dan i, j  1, 2,..., n .

Definisi 4.8 Diketahui V adalah ruang hasil kali dalam dan v1 , v2 ,



, vn V . G  v1 , v2 ,



, vn disebut

himpunan ortonormal jika -

G adalah himpunan ortogonal

-

Norma dari vi  1, i  1, 2,..., n atau vi , vi  1

 Latihan 4.6 Diketahui u1  (0,1,0), u2  (1,0,1), u3  (1,0, 1)  R3 dan R 3 adalah ruang hasil kali dalam. a. Tunjukkan bahwa u1 , u2 , u3 ortogonal b. Apakah u1 , u2 , u3 ortonormal? IF/2011

49


c. Hitunglah u1 , u2 , u3 v1 

1 u1

.u1 , v2 

1 u2

.u2 , v3 

1 u3

.u3

d. Tentukan v1 , v2 , v3

e. Hitunglah v1 , v2 , v3 f. Apakah v1 , v2 , v3 adalah vektor ortonormal? NB: Vektor v1 , v2 , v3 disebut vektor satuan/vektor normal karena vektor ini mempunyai panjang 1.

4.5 Metode Gram-Schimdt Basis yang berisi vektor-vektor ortonormal disebut basis ortonormal dan basis yang berisi vektor-vektor ortogonal disebut basis ortogonal. Perhatikan gambar berikut

u

u proyW u

W

proyW u

proyW  u

W

proyW u adalah proyeksi ortogonal u pada W dan proyW  u adalah proyeksi ortogonal u

pada W┴. Jika u  proyW u  proyW  u maka proyW  u  u  proyW u sehingga u  proyW u  proyW  u dapat dituliskan menjadi u  proyW u  (u  proyW u )

Teorema 4.2 Misalkan W adalah subruang berdimensi tehingga dari suatu ruang hasil kali dalam V.

IF/2011

50


a. Jika v1 , v2 ,..., vr  adalah suatu basis ortonormal untuk W, dan u adalah sebarang vektor proyW u  u, v1 v1  u, v2 v2  ...  u, vr vr

dalam V maka

b. Jika v1 , v2 ,..., vr  adalah suatu basis ortogonal untuk W dan u adalah sebarang vektor dalam V maka

proyW u 

u, v1 v1

2

u, v2

v1 

v2

2

v2  ... 

u, vr vr

2

vr

 Latihan 4.7 W adalah subruang yang dibangun oleh

v , v  1

2

vektor-vektor ortonormal v1  (0,1, 0) ,

 4 3 v2    , 0,  .  5 5

a. Tentukan proyeksi ortogonal dari u =(1,1,1) pada W b. Tentukan proyeksi ortogonal dari u =(1,1,1) pada W┴

Definsi 4.9 Metode Gram-Schimdt adalah metode yang digunakan untuk mengubah himpunan vektor yang bebas linear menjadi himpunan vektor ortogonal.





Misalkan diketahui B = b1 , b2 ,..., bn adalah himpunan vektor yang bebas linear, maka B





dapat diubah menjadi himpunan S = s1 , s2 ,..., sn yang ortogonal dengan cara: 1.

s1  u1

2. s2  u2  proyW1 u2  u2 

u2 , s1 s1

2

s1

IF/2011

51


3. s3  u3  proyW2 u3  u3 

4. s4  u4  proyW2 u4  u4 

u3 , s1 s1

2

u4 , s1 s1

2

s1 

u3 , s2 s2

s1 

2

u4 , s2 s2

2

s2

s2 

u4 , s3 s3

s3

2

5. ... 6. sn  un  proyW2 un  un 

un , s1 s1

2

s1 

un , s2 s2

2

s2  ... 

un , sn sn

2

sn

Contoh 4.3:





Diketahui u1 , u2 , u3 adalah basis untuk ruang vektor R2 dengan hasil kali dalam. u1  (1,1,1) , u2  (0,1,1) , u3  (0, 0,1) . Maka :

a. Ubahlah basis u1 , u2 , u3 menjadi basis ortogonal s1 , s2 , s3 b. Ubahlah basis s1 , s2 , s3 menjadi basis ortonormal v1 , v2 , v3

Penyelesaian 1. s1  u1  (1,1,1) 2. s2  u2  proyW1 u2  u2 

3. s3  u3  proyW2 u3  u3 

u2 , s1 s1

2

u3 , s1 s1

2

2  2 1 1 s1   0,1,1  (1,1,1)    , ,  3  3 3 3 s1 

u3 , s2 s2

2

s2

1 1/ 3  2 1 1   1 1   0, 0,1  (1,1,1)    , ,    0,  ,  3 2/3 3 3 3  2 2 IF/2011

52


1 1  2 1 1  Jadi s1  (1,1,1) s2    , ,  s3   0,  ,  2 2  3 3 3 

Setelah dihitung diperoleh norma dari masing-masing vektor

s1  3

s2 

6 3

s3 

1 2

Sehingga diperoleh basis ortonormal

v1 

 1 1 1   , ,  s1  3 3 3  s1

v3 

v2 

 2 1 1    , ,  6 6 6 s2  s2

1 1     0,  ,  2 2 s3  s3

 Latihan 4.7 Diketahui H  {v1 , v2 , v3} dengan v1  (1,1,1) v2  (1, 2,1) v3  (1,1,0) adalah basis a. Ubahlah H  {v1 , v2 , v3} menjadi basis-basis ortogonal. b. Ubahlah H  {v1 , v2 , v3} menjadi basis-basis ortonormal.

Salah satu kegunaan dalam menggunakan basis ortonormal adalah sebagai berikut:

Teorema 4.2





Jika S  v1 , v2 ,..., vn adalah suatu basis ortonormal untuk suatu ruang hasil kali dalam V, dan

u V maka berlaku: u  u, v1 v1  u, v2 v2  ...  u, vn vn

IF/2011

53


 Latihan 4.7 Diberikan suatu basis-basis ortonormal yang relatif terhadap suatu ruang hasil kali dalam. Tentukan vektor koordinat w terhadap basis yang bersangkutan.

1   1  1 1  1. w  (3, 7) u1   , ,  u2    2  2  2 2  2 2 1 2 1 2 1 2 2 2. w  (1, 0, 2) u1   ,  ,  u2   , ,   u3   , ,   3 3 3 3 3 3 3 3 3

IF/2011

54


5

TRANSFORMASI LINEAR

JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : 1. Mengetahui definisi dan contoh-contoh transformasi linear. 2. Menggunakan definisi transformasi linear untuk memeriksa suatu fungsi merupakan suatu transformasi linear atau bukan. 3. Mengkaji sifat-sifat transformasi linear. 4. Menggunakan definisi ruang kernel dan range untuk menentukan basis dari suatu matriks transformasi 5. Menghitung dimensi dari matriks transformasi 6. Mengkaji sifat dari matriks transformasi, matriks standar pada operator linear 7. Menghitung matriks transisi P untuk menentukan matriks transformasi pada suatu basis B’ MATERI : 5.1 Transformasi Linear Definisi 5.1 Suatu fungsi yang memetakan suatu vektor di ruang vektor V ke ruang vektor W (dituliskan T : V  W ) disebut sebagai transformasi linear bila  u, v V berlaku : 1. T (u  v)  T (u)  T (v) 2. T ( u)  T (u) Jika V=W maka transformasi T : V  V disebut suatu operator linear pada V. Transformasi T : V  W dengan T (u )  0 disebut transformasi nol.

IF/2011

55


Transformasi TA : V  W dengan T (u )  Au disebut transformasi matriks, sedangkan A disebut matriks transformasi. Transformasi

dengan I (u )  u , I disebut operator identitas pada V.

Contoh 5.1  x  y x   Diketahui T : R2  R3 dengan T     x  . Periksalah apakah T adalah transformasi  y    y 

linear? Penyelesaian:

x  x  Ambil u   1  , v   2   R 2 sembarang  y1   y2  x  x  x x  a. u  v   1    2    1 2  maka  y1   y2   y1  y2   ( x1  x2 )  ( y1  y2 )   x1  y1   x2  y2   x1  x2        T uv T  x1  x2   x1    x2   T (u )  T (v)    y1  y2     y   y  y1  y2 2    1   





x  b. Ambil u   1   R 2 ,  suatu skalar sembarang sehingga  y1    x1   y1    ( x1  y1 )   ( x1  y1 )    x1        T ( u )  T      x1     x1     x1   T (u )   y1    y   y   y  1 1 1        x  y  x  Jadi dari a) dan b) terbukti bahwa T     x  adalah transformasi linear.  y    y 

IF/2011

56


Contoh 5.2  2x   x  2  Diketahui T : R  R dengan T     x  . Periksalah apakah T adalah transformasi  y  2  y  2

3

linear? Penyelesaian:

x  Untuk sebarang u   1   R 2 dan sebarang  diperoleh  y1   2   x1   2 x1   2    T ( u )    x1     .T (u )   .  x12   y2 2   1    y1    2x   x  2  Sehingga T     x  bukan merupakan transformasi linear.  y  2  y 

 Latihan 5.1  a   Periksa apakah T : R  P2 dengan T   b    (abc)  (a  b) x  (a  c) x 2 merupakan suatu  c    3

transformasi linear

Berikut ini adalah sifat-sifat transformasi linear Teorema 5.1 Jika

adalah suatu transformasi linear, maka:

a. b. IF/2011

57


c.

5.2 Kernel dan Range Definisi 5.2 Diketahui transformasi linear T : V  W dengan T (u ), u V . Kernel dari T (dinotasikan





Ker(T)) adalah himpunan u sedemikian sehingga T (u )  0 atau Ker(T)= u T (u )  0 . Ker(T) sering disebut ruang nol dari T. Himpunan semua b sedemikian sehingga T (u )  b disebut range dari T atau disingkat R(T ) . R(T ) disebut juga dengan bayangan u oleh T (u ) .

Definisi 5.3 Jika

adalah suatu transformasi linear, maka dimensi daerah hasil dari T

dinyatakan sebagai rank dari T (notasi : rank(T)) dan dimensi dari T dinyatakan nullitas dari T (notasi:nullitas(T)).

Teorema 5.2 Jika A adalah suatu matriks mxn dan a. Nullitas(

adalah perkalian dengan A, maka :

= Nullitas(A)

b. Rank((

= Rank (A)

c. Rank((

+ Nullitas(

=n

Contoh 5.3 Tentukan basis dan dimensi dari Ker (TA ) dan R(TA ) dari transformasi linear TA : R3  R 2

 1 1 2  dengan TA (u )  Au , dengan u  R3 dan A     2 2 4  IF/2011

58


Penyelesaian : a. Kernel

Ker (TA ) adalah ruang nol dari TA (u)  Au  0 maka  t  2s   1   2  sehingga u   t    1  t   0  s  s  0  1       

 1 1 2   1 1 2       2 2 4   0 0 0 

 1   2     Jadi basis Ker (TA )   1  ,  0   dan Rank((  0   1       

= dim Ker (TA )  2

b. Range

R(TA ) merupakan himpunan dari

dengan

maka

1 adalah   dan Nullitas(  2 

dari . Sehingga basis dari

adalah ruang kolom = dim

.

 Latihan 5.2 1. Tentukan Nullitas (T) berdasarkan informasi berikut ini a.

punya rank (T) =3

b.

punya rank(T) =1

c. Daerah hasil dari 2. Diketahui

transformasi

adalah matriks

memiliki

 1 0 1 2    A   2 2 1 1  . Tentukan basis dan dimensi dari  0 2 3 3   

3. Anggap

matriks dan

transformasi .

adalah operator linear yang ditentukan dari

a. Tentukan basis dari ruang Kernel dan ruang Rangenya

IF/2011

59


b. Periksa apakah vektor (5,0) dan vektor (-3,12) berada pada R(T) c. Periksa apakah vektor (3,2) dan vektor (5,10) berada pada Ker(T) 5.3 Matriks Transformasi Definisi 5.4 Diketahui ruang V,W dengan dimensi ruang vektor berturut-turut n dan m dan transformasi linear

dengan fungsi

. Jika B merupakan basis V, dan B’adalah basis

,

dari W . Jika A adalah matriks standar maka

dapat ditentukan dengan

A disebut matriks untuk T berkenaan dengan basis B dan B’ T= transformasi V ke W T A A matriks transformasi yang memetakan ke

Diasumsikan

adalah basis pada ruang V dan

adalah

basis pada ruang W, maka untuk mengkonstruksi matriks A dapat diperoleh dengan cara mentransformasi basis-basis di B lalu menentukan koordinat vektor dari setiap hasil transformasi matriks terhadap basis-basis B’ . Dapat dituliskan

   T (u ) 

 ... T (u )  

A  T (u1 )  ' T (u2 )  ' ... T (un )  ' B B B

T B ',B

Sehingga

1

B'

T (u2 )  '  B

n

atau

B'

dapat dituliskan menjadi

.

IF/2011

60


Notasi

subscript kanan adalah suatu basis untuk daerah asal T, sedangkan subscript

kiri adalah suatu basis untuk ruang bayangan dari T. Jadi untuk notasi

basis dari

daerah asal adalah B dan basis untuk ruang bayangan adalah B’.

Jika V=W maka

persamaan

dapat dituliskan menjadi

.

Contoh 5.4 Diketahui transformasi linear

dengan

{(3,1)T,(5,2)T} adalah basis dari

Jika A =

. dan

={(1,0,-1)T,(-1,2,2)T,(0,1,2)T}adalah dari

B=

a. Tentukan matriks T terhadap basis A dan B. b. Dengan cara tak langsung untuk c. Dengan cara langsung untuk

Tentukan Tentukan

Penyelesaian: a. Pertama dihitung nilai

dan

(dengan kata lain bayangan dari

dan

)

yaitu dan Karena dan

dan

berada di R3 dan B=

adalah basis dari R3 maka masing

dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari

, sehingga

dan

Maka dengan OBE diperoleh vektor koordinat

dan

terhadap basis B yaitu IF/2011

61


dan

Jadi matriks transformasi

.

.

b. Cara tak langsung adalah dengan mencari dituliskan sebagai kombinasi linear dari

Sehingga diperoleh

=

dan

terlebih dahulu, karena maka

dapat

dapat dituliskan dengan:

lalu diketahui bahwa

masi

sehingga . Vektor daerah hasil

adalah vektor koordinat dari

terhadap basis B maka

Vektor c. Dengan cara langsung maka

Hasil b. sama dengan hasil c.

 Latihan 5.3 Misal

merupakan basis

. Transformasi linear

memiliki fungsi

dengan ,

.

a. Tentukan matriks transformasi A sedemikian sehingga IF/2011

62


b. Tentukan bayangan (1,2,1) dari transformasi tersebut

5.4 Matriks baku/standar Jika T adalah suatu transformasi linear, maka matriks standar untuk T bisa didapatkan dari bayangan vektor-vektor basis standar. Suatu transformasi linear secara lengkap ditentukan oleh bayangan sebarang vektor-vektor basis.

Definisi 5.5 Misalkan T : Rn  Rm dengan T ( x)  Ax memiliki basis standar S =



e , e ,..., e  . Maka 1

2

n



matriks standar untuk T adalah A  T (e1 ) T (e2 ) .... T (en ) . Contoh 5.5 Diketahui transformasi matriks

dengan

Tentukan matriks standar untuk T. Penyelesaian:

Jadi matriks standar T =

dengan

.

IF/2011

63


 Latihan 5.4 Misalkan

adalah transformasi linear yang didefinisikan oleh

.

a. Tentukan matriks untuk T berkenaan dengan basis-basis standar = b. Jika

dan

=

Tentukan

5.5 Keserupaan/Similaritas Matriks operator linear

tergantung pada basis yang dipilih untuk V . Salah satu

masalah dasar dari aljabar linear adalah memilih suatu basis untuk V yang membuat matriks T sesederhana mungkin, misalnya matriks diagonal atau matriks segitiga. Masalah Jika B dan B’ adalah dua basis untuk suatu ruang vektor berdimensi terhingga V, dan jika adalah suatu operator linear apa kaitan antara

dengan

.

Teorema 5.3 Anggap

adalah suatu linear pada suatu ruang vektor berdimensi terhinggaV , dan

anggap B dan B’ adalah basis-basis untuk V. Maka

T B '  P1 T B P Dimana P adalah matriks transisi dari B’ ke B. Contoh 5.6 Misalkan

didefinisikan oleh

a. Tentukan matriks T berkenaan dengan basis standar B b. Jika B’ B’

, tentukan matriks T berkenaan dengan basis standar . IF/2011

64


c. Hitunglah

,

Penyelesaian: a.

T B  T   T (e1 )

T (e2 )  maka

  1    1 0   1    0    0 1   1  T (e1 )  T           dan T (e1 )  T           0    2.1  4.0   2    1    2.0  4.1  4   1 1 Sehingga T B  T      2 4  b. Untuk mencari T B' maka disusun matriks transisi dari B’ ke B sehingga ' P   u1    B

u '2     p11   B   p  21

'

p12   p22 

'

u1  p11 e1  p21 e2 dan u 2  p12 e1  p22 e2 sehingga diperoleh matriks

dan dihitung c. Dapat ditunjukkan bahwa

dan

=

Secara umum T B '  P 1 T B P dan T B disebut matriks yang serupa, berikut ini diberikan definisi secara umum andaikan

T B  A

dan

T B '  P1 T B P  B maka

perhatikan

definisi berikut ini.

Definisi 5.6 Jika A dan B adalah matriks-matriks bujur sangkar, B dikatakan serupa dengan A jika ada suatu matriks P yang dapat dibalik sedemikian sehingga Perhatikan bahwa A juga dapat dituliskan menjadi

. sehingga A dan B disebut

serupa.

IF/2011

65


Sifat-sifat matriks yang serupa Sifat

Uraian

Determinan

dan

mempunyai determinan yang

sama A dapat dibalik jika dan hanya jika P-1AP

Dapat dibalik atau tidak

dapat dibalik. Rank

dan

mempunyai rank yang sama

Nullitas

dan

mempunyai nullitas yang sama

Trace

dan

mempunyai trace yang sama

 Latihan 5.5 didefinisikan oleh

  x    x  2 x2   1   0    2   3   T  1    1  dengan B  u1 , u2    ,    dan B  v1 , v2    ,     0   1    1   4     x2     x2 









a. Tentukan matriks dari T berkenaan dengan B b. Tentukan matriks dari T berkenaan dengan B’

IF/2011

66


6

NILAI DAN VEKTOR EIGEN

JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : 1. Mengetahui definisi nilai dan vektor eigen 2. Menghitung nilai eigen 3. Menentukan basis, rank dan nullitas dari ruang eigen 4. Mengetahui syarat agar suatu matriks dapat didiagonalisasi 5. Menentukan matriks P yang dapat mendiagonalisasi suatu matriks A

Materi

:

6.1 Nilai dan Vektor Eigen Definisi 6.1 Jika A matriks

maka vektor tak nol

untuk suatu skalar . Skalar

disebut vektor eigen dari A jika

disebut nilai eigen dari A dan

sering disebut sebagai vektor

eigen yang berpadanan dengan nilai eigen .

Untuk mencari nilai eigen, pandang persamaan dan ekivalen dengan Agar suatu nilai eigen

dapat dituliskan kembali menjadi

.

dapat ditentukan maka SPL homogen harus punya solusi trivial, hal

ini hanya terjadi jika

. Persamaan

disebut persamaan

karakteristik dan

disebut polinom karakteristik. Kadang-kadang nilai

IF/2011

67


dan vektor eigen sering disebut nilai dan vektor karakteristik. Ruang eigen adalah ruang solusi dari SPL Definisi 6.2 Ruang eigen adalah ruang solusi dari persamaan ( I  A) x  0 didefinisikan dengan

x ( I  A) x  0 Contoh 6.1 Diketahui

. Tentukan :

a. Nilai dan vektor eigen b. Ruang eigen Penyelesaian: a.

maka   1 0 0   0 0 2   0 2     2 1 1   2        det    0 1 0    1 2 1    det  1   2 1    2 0  3 1 0  1   0 0 1 1 0 3  0   3        

  (  2)(  3)  2(0    2)   3  5 2  8  4  0 dengan memfaktorkan diperoleh    2    2    1 =0 maka nilai eigen adalah 2 dan 1. Untuk mendapatkan vektor eigen maka disubstitusikan nilai-nilai eigen ke persamaan ( A   I ) x  0 yaitu: 0 2  x1   0         1   2 1  x2    0   1    0   3    x3   0  IF/2011

68


Untuk   2 diperoleh  2 0 2  x1   0        1 0 1 x2    0   1 0 1 x   0    3   

Dengan OBE diperoleh  2 0 2  1 0 1      1 0 1  0 0 0   1 0 1  0 0 0     

Sehingga solusi

, maka vektor eigen adalah

.

Untuk   1  1 0 2  x1   0        1 1 1  x2    0   1 0 2  x   0    3   

Dengan OBE diperoleh  1 0 2  1 0 2       1 1 1   0 1 1  1 0 2   0 0 0     

Sehingga solusi

dan vektor eigen adalah

.

b. Ruang eigen yang berkaitan dengan nilai   2 adalah

dengan basis =

dan ruang eigen yang berkaitan dengan nilai   1 adalah

dengan basis =

. IF/2011

69


 Latihan 6.1 Tentukan nilai eigen dan ruang eigen dari matriks-matriks berikut ini a.

 1 0 1  c.  1 3 0   4 13 1  

b.

6.2 Diagonalisasi Definisi 6.3 Suatu matriks bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalkan jika ada suatu matriks P yang dapat dibalik sehingga

adalah suatu matriks diagonal, P dikatakan mendiagonalkan

A.

Teorema 6.1 Jika A adalah matriks nxn, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen a. A dapat didiagonalkan b. A mempunyai n vektor eigen yang bebas linear

Langkah-langkah untuk mendiagonalkan matriks A: 1. Cari n vektor-vektor eigen yang bebas linear dari A misalkan 2. Bentuk matriks P yang mempunyai 3. Matriks

sebagai vektor-vektor kolomnya.

akan menjadi matriks diagonal dengan

adalah anggota diagonalnya dimana

.

berturut-turut

adalah nilai eigen yang berpadanan dengan

untuk i = 1,2,...,n.

Contoh 6.2 Carilah suatu matriks P yang mendiagonalkan

IF/2011

70


 0 0 2    A  1 2 1  1 0 3   

Telah diperoleh untuk dan

Sehingga dari tiga vektor basis diperoleh matriks P sebagai berikut  1 0 2   2 0 0   dan 1   P 0 1 1  P AP   0 2 0  1 0 1 0 0 1    

Dapat ditunjukkan bahwa  1 0 2  0 0 2  1 0 2   2 0 0        P AP   1 1 1  1 2 1  0 1 1    0 2 0   1 0 1 1 0 3  1 0 1   0 0 1        1

 Latihan 6.2 Carilah suatu matriks P yang mendiagonalkan  1 0 0   A   1 2 0  3 5 2   

Apakah matriks A dapat didiagonalkan?

IF/2011

71


IF/2011

72


DAFTAR PUSTAKA

 Kolman,Bernard, Hill,David R., Elementary Linear Algebra, 7th edition, Prentice Hall, New Jersey, 2000

 Anton, Howard, Elementary Linear Algebra, 7th edition, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1994

 Leon, Steven J., Aljabar Linear dan Aplikasinya, Erlangga, Jakarta, 2001

IF/2011

73

DIKTAT PERKULIAHAN. EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks

Recommend Documents