Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 3 (2015), hal 337-346
DIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS Heronimus Hengki, Helmi, Mariatul Kiftiah INTISARI Matriks kompleks merupakan matriks yang entri-entrinya bilangan kompleks. Matriks kompleks terdiri dari matriks hermit jika A=A*, hermit miring jika –A=A*, matriks satuan (uniter) jika A-1=A* dan matriks normal jika AA*=A*A. Penelitian ini mengkaji syarat matriks kompleks supaya bisa didiagonalisasikan. Suatu matriks kompleks A bisa didiagonalisasikan secara satuan jika dan hanya jika terdapat matriks satuan P yang digunakan untuk mendiagonalkan matriks kompleksnya. Langkah pertama mendiagonalisasi matriks A adalah menentukan persamaan karakteristik dari polinomial karakteristik untuk mencari nilai eigen dan vektor eigennya. Selanjutnya, membentuk vektor basis untuk masing-masing vektor eigen dari matriks A, kemudian menerapkan proses Gram-Schmidt pada masingmasing vektor basis sehingga diperoleh suatu basis ortonormal. Matriks baru P dibentuk dari vektorvektor basis yang ortonormal. Jika matriks P yang terbentuk merupakan matriks satuan maka matriks diagonalnya dapat dicari dengan menghitung P-1AP=P*AP=D, dimana D adalah matriks diagonal, adalah invers dari matriks , dan adalah transpose konjugat dari matriks . Kata Kunci: matriks kompleks, proses Gram-Schmidt, diagonalisasi satuan
PENDAHULUAN Aljabar merupakan salah satu cabang dari ilmu matematika yang didalamnya secara khusus memuat tentang matriks. Matriks merupakan suatu susunan bilangan-bilangan dalam bentuk persegi atau persegi panjang yang disusun berdasarkan aturan baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang disusun berdasarkan aturan baris dan kolom disebut sebagai entri dari matriks. Susunan bilangan seperti ini ditemui dalam berbagai cabang ilmu matematika terapan. Dalam banyak kasus susunan ini membentuk koefisien-koefisien transformasi linear atau sistem persamaan linear [1]. Jenis-jenis matriks diantaranya matriks persegi, matriks identitas, matriks diagonal, matriks simetri, dan matriks ortogonal. Matriks-matriks tersebut seringkali digunakan dengan entri-entrinya bilangan real. Selain matriks-matriks tersebut terdapat juga matriks-matriks yang entrinya bilangan kompleks diantaranya matriks normal, matriks hermit, matriks hermit miring dan matriks satuan. Suatu matriks persegi dengan entri-entrinya bilangan kompleks disebut matriks normal jika , disebut matriks hermit jika , disebut matriks hermit miring jika dan disebut matriks satuan jika [2]. Salah satu jenis matriks persegi yang sering digunakan dalam berbagai aplikasi atau penelitian adalah matriks diagonal. Matriks diagonal merupakan salah satu bentuk matriks persegi dengan semua entri diluar diagonal utamanya nol dan paling tidak satu entri pada diagonal utamanya tidak sama dengan nol. Jika suatu matriks berbentuk diagonal, maka entri diagonal utama dari matriks adalah nilai-nilai eigen dari matriks . Beberapa matriks yang bukan berbentuk matriks diagonal dapat diubah menjadi matriks diagonal dengan proses diagonalisasi. Diagonalisasi matriks merupakan suatu proses terhadap matriks persegi untuk mencari matriks diagonal yang similar terhadap matriks . Matriks dikatakan similar terhadap jika terdapat matriks invertibel sedemikian sehingga [3]. Pada matriks dengan entri-entrinya bilangan real, matriks ortogonal mempunyai peranan penting didalam permasalahan diagonalisasi. Sedangkan matriks dengan entrientri bilangan kompleks, peran utama digantikan oleh suatu matriks satuan (uniter) [2]. Berdasarkan latar belakang tersebut syarat apa yang harus dipenuhi dalam mendiagonalisasikan matriks kompleks dan bagaimana membentuk matriks diagonalnya. Penelitian ini bertujuan mengkaji syarat matriks
337
338
H. HENGKI, HELMI, M. KIFTIAH
kompleks agar bisa didiagonalisasikan dan membentuk matriks diagonal pada matriks kompleks tersebut. Untuk mendiagonalkan matriks kompleks persegi langkah pertama menentukan persamaan karakteristik dari polinomial karakteristik ( ). Kemudian mencari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks . Dari vektor eigen ini dibentuk vektor basis . Selanjutnya lakukan normalisasi dengan menggunakan proses Gram-Schmid untuk ‖ ‖ mendapatkan vektor-vektor basis yang ortonormal. Setelah itu bentuk matriks satuan yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor basis . Dari matriks dibentuk matriks atau transpose konjugatnya. Kemudian periksa apakah matriks yang terbentuk merupakan matriks satuan dengan menunjukkan . Jika tidak matriks tidak dapat didiagonalisasikan. Jika ya, maka selanjutnya lakukan diagonalisasi matriks dengan menghitung , dimana ( ) dan adalah matriks diagonal yang terbentuk dari matriks . Dengan kata lain matriks mendiagonalkan matriks secara satuan. MATRIKS KOMPLEKS Pada umumnya definisi matriks adalah suatu susunan bilangan-bilangan dalam bentuk persegi atau persegi panjang yang disusun berdasarkan aturan baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang disusun berdasarkan aturan baris dan kolom disebut sebagai entri dari matriks. Matriks kompleks merupakan matriks yang entri-entrinya terdiri atas bilangan kompleks [4]. Misalkan ( ) adalah suatu matriks dengan untuk setiap dan merupakan baris ke dan kolom ke . Matriksnya dapat ditulis kembali kedalam bentuk dimana dan mempunyai entri bilangan real, dan adalah imajiner. Secara umum dapat ditulis [
] .
Dalam hal ini ruang vektor untuk matriks dengan entrinya bilangan kompleks disimbolkan . Sebuah matriks dengan baris dan kolom disebut matriks persegi berordo dan entri-entrinya disebut sebagai diagonal utama dari . Operasi-operasi penjumlahan, pengurangan dan perkalian matriks kompleks sama seperti matriks real. Dalam hal ini diberikan dua matriks yang didefinisikan sama jika keduanya mempunyai ukuran yang sama dan dengan entri-entrinya yang berpadanan sama, maka jumlah atau selisih dari kedua matriks tersebut dapat diperoleh dengan menjumlahkan atau mengurangkan semua entri-entri yang bersesuaian pada kedua matriks tersebut. Matriks yang ukurannya berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Sedangkan perkalian matriks jika adalah sebuah matriks dan adalah sebuah matriks , maka adalah matriks yang setiap entri-entrinya merupakan jumlahan hasil kali entri pada baris dari matriks dengan kolom dari matriks , yang berpadanan dari baris dan kolom secara bersama-sama [2]. Definisi 1 [5] Jika adalah suatu matriks dengan entri-entri bilangan kompleks, maka transpose ̅ dengan ̅ adalah matriks konjugat dari , yang dinyatakan dengan , didefinisikan oleh yang entri-entrinya adalah konjugat kompleks dari entri-entri yang berpadanan pada dan ̅ adalah transpose dari ̅. Teorema 2 [5] Jika dan adalah matriks-matriks dengan entri-entri bilangan kompleks dan adalah sebarang bilangan kompleks, maka : (a). ( )
Diagonalisasi Matriks Kompleks
(b). ( (c). ( (d). (
) ̅
) )
Bukti: Dimisalkan (a). (
339
[
)
(̅
(b). (
)
]
[
, (̅ )
) (
]
[
, dan
(̿ )
(
)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ( )
)
]
(
)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
, berdasarkan Definisi 1 maka .□
(̅
̅ )
□
(c). ( ) ( ) (̅̅̅̅ ) (̅̅̅̅ ) ( ̅ ̅ ) ̅ ( ̅ ) ̅ . □ (d). Untuk bukti (d) kita anggap entri-entri yang bersesuaian dari ( ) dan (( ) ) ( ) Dari ruas kiri Persamaan (1) berdasarkan perkalian matriks diperoleh (( ) ) ((̅̅̅̅̅̅̅) ) Dari ruas kanan Persamaan (1) jika dimisalkan ̅̅̅̅
dan
dan
adalah sama, yaitu (1) (2)
sehingga
̅̅̅̅
. Dari hubungan tersebut berdasarkan perkalian matriks kita memperoleh ( )
(3) Jadi berdasarkan Persamaan (2) dan (3) yang memenuhi Persamaan (1) dapat disimpulkan bahwa ( ) .□ Misalkan adalah suatu matriks . Skalar disebut nilai eigen dari jika terdapat suatu vektor tak nol yang memenuhi . Vektor disebut vektor eigen dari yang berpadanan dengan nilai eigen [4]. ) Persamaan dapat dituliskan kedalam bentuk ( (4) ) singular atau ( ) ( ) Persamaan (4) mempunyai solusi nontrivial jika ( . disebut sebagai polinomial karakteristik yang dinotasikan dengan ( ). ( ) adalah persamaan karakteristik dari . Definisi 3 [6] Suatu matriks kompleks persegi .
disebut matriks satuan jika
atau memenuhi
Teorema 4 [1] Suatu matriks persegi dikatakan satuan jika dan hanya jika vektor-vektor kolomnya dan juga vektor-vektor barisnya membentuk suatu sistem satuan. Bukti: Jika A adalah suatu matriks satuan dengan vektor-vektor kolom , dimana [
],
[
],
[
[
] sehingga
[
] dan
] maka menurut Definisi 3.16 (definisi matriks satuan) diperoleh
[
][
]
340
H. HENGKI, HELMI, M. KIFTIAH
[
]
[
]
(5)
sehingga {
(6)
Ini menunjukkan bahwa vektor-vektor kolom matriks membentuk suatu sistem satuan. Sebaliknya, jika vektor-vektor kolom matriks memenuhi (6) unsur-unsur diluar diagonal utama bernilai nol, sedangkan pada diagonal utama bernilai 1. Oleh karena itu , yang ditunjukkan oleh (5). Begitu pula untuk , hal ini berimplikasi bahwa . Karena dan bersifat tunggal. Jadi adalah matriks satuan. □ Teorema 5 [2] Jika adalah suatu matriks dengan entri-entri bilangan kompleks, maka pernyataan berikut ini ekuivalen. (a). adalah matriks satuan (b). Vektor-vektor baris dari membentuk suatu himpunan ortonormal pada dengan hasil kali dalam euclidean. (c). Vektor-vektor kolom dari membentuk suatu himpunan ortonormal pada dengan hasil kali dalam euclidean. Bukti: (a) ( ) [ ] dan
Misalkan matriks
kolom ke-j antara matriks
dan
,
- sehingga hasil kali titik baris ke-i dan
[
adalah
], karena vektor
+, kolom ke-j dari adalah vektor baris ke-j dari . Jadi vektor-vektor baris dari adalah * dan berdasarkan definisi jika dan hanya jika maka . Yang berarti jika dan hanya jika * + adalah suatu himpunan ortonormal pada . □ (a)
( )
Misalkan matriks
,
ke-j antara matriks
dan
- dan
adalah
[
[
] sehingga hasil kali titik baris ke-i dan kolom
], karena
vektor baris ke-i dari adalah vektor kolom ke-i dari . Jadi vektor-vektor kolom dari adalah * +, dan berdasarkan definisi jika dan hanya jika maka . Yang berarti jika dan hanya jika
Diagonalisasi Matriks Kompleks
*
+ adalah suatu himpunan ortonormal pada
341
.□
Definisi 6 [2] Suatu matriks persegi A dengan entri-entri bilangan kompleks disebut hermit jika . Teorema 7 [4] (Teorema schur) Untuk setiap matriks yang berordo sehingga adalah matriks segitiga atas (upper triangular).
terdapat matriks satuan
Bukti: Pembuktian dilakukan dengan induksi matematika terhadap n. , - adalah matriks segitiga atas. (i). Untuk , jelas matriks (ii). Untuk , Diasumsikan bahwa hipotesis berlaku untuk matriks dan misalkan adalah suatu matriks ( ) ( ). Misalkan adalah nilai eigen dari dan adalah vektor eigen satuan milik . + adalah suatu Dengan proses gram-schmidth sedemikian rupa sehingga * basis ortonormal untuk . Misalkan adalah suatu matriks yang vektor kolom ke-i nya adalah untuk . Jadi dengan susunan ini adalah matriks satuan. Kolom pertama dari akan menjadi . Dimana .
Jadi
Dimana berorde
adalah suatu matriks berbentuk
adalah suatu matriks , sedemkian sehingga
Karena [ kecuali
] maka berakibat
[ ] berdasarkan hipotesis induksi, terdapat matriks satuan , dimana adalah matriks segitiga. Misalkan
adalah matriks satuan dan kolom pertama pada matriks
dalah matriks satuan.
Jelas [ ] [ ] ( ) Misalkan , karena . Maka adalah matriks satuan. ( ) Sehingga . Jadi dari (i) dan (ii), berlaku untuk apabila , dengan kata lain dapat disimpulkan untuk setiap matriks berorde , terdapat matriks satuan sehingga adalah matriks segitiga atas. □ Teorema 8 [4] Jika mendiagonalkan .
adalah matriks hermit, maka akan terdapat suatu matriks satuan
yang
Bukti: Diketahui matriks hermit merupakan matriks persegi, berdasarkan Teorema 7, terdapat matriks satuan
342 sehingga dan apabila
H. HENGKI, HELMI, M. KIFTIAH
, dimana
adalah matriks segitiga atas. Karena
( ) Dengan demikian adalah hermit. Karena hermit dan diagonal. Jadi matriks mendiagonalkan secara satuan. □
matriks hermit maka
,
adalah matriks segitiga atas maka
Teorema 9 [2] Nilai eigen dari suatu matriks hermit adalah bilangan real. Bukti: Diberikan adalah suatu nilai eigen dan x adalah vektor eigen yang berpadanan dari suatu matriks hermit , sehingga persamaannya adalah Selanjutnya mengalikan setiap ruas persamaan dari sebelah kiri dengan transpose konjugatnya adalah , diperoleh ( ) ̅ dan merupakan vektor eigen sehingga hasil kali dalam Berdasarkan Definisi 1 dimana | | | | | | dan hasilnya berikut berlaku ̅ ̅ ̅ ̅ adalah bilangan real, bukan nol. Karena , sehingga bisa dilakukan pembagian untuk memperoleh dimana
. Jadi
pastilah bilangan real. □
Suatu matriks persegi dengan entri-entri kompleks disebut hermit miring (skew hermit) jika memenuhi [1]. Selanjutnya suatu matriks persegi dengan entri-entri kompleks disebut normal jika memenuhi [2]. Teorema 10 [2] Jika adalah suatu matriks normal, maka vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda dari adalah ortogonal. Bukti: Andaikan adalah vektor eigen yang berpadanan dengan nilai eigen yang berbeda dari matriks . Akan ditunjukkan bahwa . Untuk membuktikan ini diawali dengan mengalikan dengan , dalam hal ini matriks hermit adalah normal. Sehingga , karena adalah suatu vektor eigen dari yang berpadanan dengan dan adalah suatu vektor eigen dari yang berpadanan dengan , sehingga dihasilkan hubungan yang bisa ditulis ulang sebagai ( )( ) , akan tetapi untuk karena dianggap berbeda. Jadi dari ( )( ) diperoleh .□ DIAGONALISASI SATUAN Definisi 11 [2] Suatu matriks persegi dengan entri-entri bilangan kompleks disebut dapat didiagonalkan secara satuan jika ada matriks satuan sedemikian sehingga dengan adalah matriks diagonal dan matriks dikatakan mendiagonalkan secara satuan. Teorema 12 [2] Jika adalah suatu matriks persegi dengan entri-entri kompleks, maka yang berikut ini ekuivalen: (a). dapat didiagonalkan secara satuan. (b). mempunyai suatu himpunan n vektor eigen yang ortonormal. (c). adalah normal. Bukti: (a) ( ) Karena dianggap dapat didiagonalkan secara satuan, maka ada suatu matriks dibalik atau dikonjugatkan dari dimana:
yang dapat
Diagonalisasi Matriks Kompleks
[
]. Sedemikian sehingga
[
] adalah matriks diagonal.
343
dengan
n vektor kolom dari adalah vektor eigen dari karena ortogonal, maka vektor-vektor kolom ini ortonormal, sehingga mempunyai n vektor eigen yang ortonormal. □ (b) ( ) Dimisalkan mempunyai n vektor eigen yang ortonormal, . Matriks dengan vektor eigen ini sebagai kolom mendiagonalkan secara sama. Karena vektor eigen ini ortonormal, maka vektor dapat dibalik atau merupakan konjugat transpose dari . Jadi ; dengan kata lain dapat didiagonalkan secara satuan. □ (a) ( ) Pada bukti (a) (b) ditunjukan bahwa suatu matriks , yang dapat didiagonalkan secara satuan oleh suatu matriks , yang kolom-kolomnya membentuk himpunan-himpunan ortonormal dari vektor-vektor eigen . Anggap adalah suatu matriks diagonal . Sehingga dengan demikian ( )( ) dan ( )( ) Jadi, adalah Normal. □ LANGKAH-LANGKAH DIAGONALISASI SATUAN PADA MATRIKS KOMPLEKS Suatu matriks kompleks yang didalamnya terdapat matriks Normal, hermit, hermit miring dan matriks satuan dapat didiagonalkan oleh sembarang matriks satuan yang vektor-vektor kolomnya adalah vektor-vektor basis ortonormal dari matriks kompleks tersebut. Langkah-langkah mendiagonalkan suatu matriks kompleks adalah sebagai berikut: Dimisalkan matriks kompleks persegi , langkah pertama menentukan persamaan karakteristik dari ( ) polinomial karakteristik ( ) . Selanjutnya mencari nilai eigen dari matriks . Kemudian mencari vektor eigen dengan mensubstitusikan nilai eigen ke Persamaan (4) dan dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan diperoleh vektor eigennya. Selanjutnya membentuk vektor basis untuk masing-masing vektor eigen dari matriks . Kemudian menerapkan proses Gram-Schmidt pada masing-masing vektor basis sehingga diperoleh suatu basis ortonormal untuk ‖ ‖ setiap ruang eigen yang berpadanan dengan nilai eigennya. Selanjutnya bentuk matriks satuan yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor basis yang ortonormal. Selanjutnya bentuk matriks atau transpose konjugat dari matriks . Kemudian periksa apakah matriks yang terbentuk merupakan matriks satuan dengan menunjukkan . Jika ya maka selanjutnya lakukan diagonalisasi untuk memperoleh matriks diagonalnya dengan menghitung , dimana ( ) dan adalah matriks diagonal yang terbentuk dari matriks . Dengan kata lain matriks mendiagonalkan matriks secara satuan. Jika tidak matriks tidak dapat didiagonalisasikan. Contoh 13 Tentukan matriks diagonal dari matriks hermit berikut. [
]
344
H. HENGKI, HELMI, M. KIFTIAH
Penyelesaian: (i). Polinomial karakteristik dari matriks . ( ) ( ) [ [
]
[
]]
[[
]]
jadi persamaan karakteristik dari matriks adalah ( ) (ii). Dengan memfaktorkan Persamaan (7) diperoleh nilai eigen dari adalah (iii). Berdasarkan Persamaan (4) akan ditentukan vektor eigen dari matriks . Untuk diperoleh [
][ ]
(7) .
[ ]
gunakan eliminasi Gauss-Jordan diperoleh [
][ ]
[ ],
misalkan sehingga vektor eigen dari matriks nol dalam yang berbentuk [
]
Untuk
[
yang berpadanan dengan
adalah vektor-vektor tak
] dengan ruang eigennya berdimensi 1.
diperoleh
[
][ ]
[ ]
gunakan eliminasi Gauss-Jordan diperoleh [
][ ]
[ ],
misalkan sehingga vektor eigen dari yang berbentuk [
]
[
yang berpadanan dengan
adalah vektor-vektor tak nol dalam
] dengan ruang eigennya berdimensi 1.
(iv). Vektor basis yang terbentuk dari vektor eigen tersebut berturut-turut adalah [
] dan
[
].
(v). Terapkan proses gram-schmidt
‖
‖
untuk menormalkan
vektor-vektor basisnya. Untuk
]. Karena ‖
[
maka vektor basis
‖ [
‖
‖
√| ]
√
| [
√
| |
√
√
√
]
adalah suatu basis ortonormal untuk ruang eigen yang berpadanan dengan Untuk
[
]. Karena ‖
‖
√|
|
| |
√
√
.
Diagonalisasi Matriks Kompleks [
maka vektor basis
‖
‖
]
[
√
√
√
345
]
adalah suatu basis ortonormal untuk ruang eigen yang berpadanan dengan . (vi). Bentuk matriks satuan yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor basis seperti berikut. ,
√
√
-
√
[ √ ] (vii). Membentuk transpose konjugat dari matriks . √
√
̅
, ̅ √
[ √ ] (viii). Periksa apakah matriks Dengan menunjukkan √
[
√
√
√
[
√
√
]
√
merupakan matriks satuan. maka terbukti matriks √
]
√
[
√
merupakan matriks satuan.
√
[ √
]
]
(ix). Hitung
[
√
√
√
[
][
√
√
] [
√
√
√
]
].
Jadi didapat matriks diagonal satuan.
dan terbukti matriks
mendiagonalkan matriks
secara
KESIMPULAN Matriks kompleks bisa didiagonalisasikan jika dan hanya jika terdapat matriks satuan yang digunakan untuk mendiagonalkan matriks kompleksnya secara satuan. Langkah-langkah menentukan diagonalisasi matriks adalah menentukan persamaan karakteristik dari polinomial karakteristik ( ) ( ) . Selanjutnya mencari nilai eigen dari matriks . Kemudian mencari vektor ) eigen dengan mensubstitusikan nilai eigen ke persamaan ( , dan dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan diperoleh vektor eigennya. Membentuk vektor basis untuk masing-masing vektor eigen dari matriks . Menerapkan proses Gram-Schmidt pada masing-masing ‖ ‖ vektor basis sehingga diperoleh suatu basis ortonormal untuk setiap ruang eigen yang berpadanan dengan nilai eigennya. Bentuk matriks satuan yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor basis yang ortonormal. Bentuk matriks atau transpose konjugat dari matriks . Periksa apakah matriks yang terbentuk merupakan matriks satuan dengan menunjukkan , jika ya maka selanjutnya lakukan diagonalisasi untuk memperoleh matriks diagonalnya dengan menghitung , adalah matriks diagonal yang terbentuk dari matriks , atau dengan kata lain matriks mendiagonalkan matriks secara satuan, jika tidak matriks tidak dapat didiagonalisasikan.
346
H. HENGKI, HELMI, M. KIFTIAH
DAFTAR PUSTAKA [1]. Kreyszig, E. Matematika Teknik Lanjutan, Buku I Ed ke-6 [Sumantri, B. alih bahasa]. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama; 1993. [2]. Anton, H. Dasar-dasar Aljabar Linear, Jilid II, Syarifudin, Damayanti, M., Wulandari, Y. (ed), Tangerang: Binarupa Aksara; 2000. [3]. Kinanti, F. Diagonalisasi Matriks n x n Atas Ring Komutatif Dengan Elemen Satuan, Buletin Ilmiah Mat.Stat dan Terapannya. 2013; 02(3):183-190. [4]. Leon, S.J. Aljabar Linear dan Aplikasinya, Ed ke-5 [Bondan, A. alih bahasa]. Jakarta: Erlangga; 2001. [5]. Tasari, Sifat-sifat Matriks Uniter, Matriks Normal, dan Matriks Hermitian, Magistra. XXV Mar 2013; (83) Th. [6]. Zhang, F. Matrix Theory Basic Result And Techniques, Ed ke-2, New York: Springer New York Dordrecht Heidelberg London; 2011. HERONIMUS HENGKI HELMI MARIATUL KIFTIAH
: Jurusan Matematika FMIPA Untan Pontianak,
[email protected] : Jurusan Matematika FMIPA Untan Pontianak,
[email protected] : Jurusan Matematika FMIPA Untan Pontianak,
[email protected]
