DETERMINAN. Matematika Industri I. TIP FTP UB Mas ud Effendi. Matematika Industri I

DETERMINAN Matematika Industri I TIP – FTP – UB Mas’ud Effendi Matematika Industri I

Pokok Bahasan • Determinan • Determinan orde-ketiga • Persamaan simultan dengan tiga bilangan tidak diketahui • Konsistensi suatu set persamaan • Sifat-sifat determinan

Matematika Industri I



Determinan • Suatu determinan orde n terdiri dari n2 bilangan yang disebut elemen-elemen yang tersusun dalam n baris dan n kolom, dan dibatasi oleh dua buah garis vertikal. – Huruf = kolom – Subskrip = baris Matematika Industri I

D1  a1 a1

b1

a2

b2

a1

b1

c1

D3  a 2

b2

c2

a3

b3

c3

D2 

Determinan


Determinan • Memecahkan dua persamaan linier simultan: a1x  b1 y  d1  0 a2 x  b2 y  d2  0

• Menghasilkan:

b1 d 2  b2 d1 x a1b2  a 2 b1 a1 d 2  a 2 d1 y a1b2  a 2 b1

• Mempunyai sebuah solusi yang tersedia a1b2  a2b1  0 Matematika Industri I

Determinan • Notasi singkat untuk pernyataan a1b2  a2b1

a1b2  a2b1  • Simbol:

a1

b1

a2

b2

a1

b1

a2

b2

a1

b1

• (dievaluasi dengan perkalian silang) a2

b2

• Disebut determinan orde-kedua (karena determinan ini punya 2 baris dan 2 kolom) Matematika Industri I

Determinan • Sehingga: x

• dimana:

b1

d1

a1

d1

b2

d2

a2

d2

a1

b1

a1

b1

a2

b2

a2

b2

x b1 b2

and y  

y   1 d1 a1 d1 a1 b1 d 2 a2 d 2 a2 b2


Determinan b1

d1

a1

d1

a1

b1

• Ketiga determinan: b d , a d and a b 2 2 2 2 2 2 dapat diperoleh dari kedua persamaan a1x  b1 y  d1  0 sebagai berikut: a2 x  b2 y  d2  0

omit the constant terms to form 0  omit the x terms to form 1  omit the y terms to form 2  Matematika Industri I

a1

b1

a2

b2

b1

d1

b2

d2

a1

d1

a2

d2

Determinan • Persamaan:

x b1 b2

d1 d2



y  1 a1 d1 a1 b1 a2 d 2 a2 b2

• Dapat ditulis sebagai: x y 1   1  2  0


Contoh • Perhatikan persamaan: 3x+2y-5=0 4x+3y-7=0 • a1b2-a2b1=1

• Ingat! a1x  b1 y  d1  0 a2 x  b2 y  d2  0

x y 1   1 1 1 x  y 1 Matematika Industri I

a1b2  a2b1  x b1 b2

d1 d2



a1

b1

a2

b2

y  1 a1 d1 a1 b1 a2 d 2 a2 b2



Determinan Orde-Ketiga • Sebuah determinan orde-ketiga punya 3 baris dan 3 kolom. • Setiap elemen determinan dikaitkan dengan minornya yang diperoleh dengan menghilangkan baris dan kolom yang berisi elemen yang bersangkutan. • Sebagai contoh:

the minor of a1 is

b2 c2 b3 c3

a1 b1 c1 obtained thus


a2 b2 c2 a3 b3 c3

Determinan Orde-Ketiga • Menentukan nilai determinan orde-ketiga – Untuk menguraikan determinan orde-ketiga, kita dapat menulis masing-masing elemen di sepanjang baris atas, mengalikannya dengan minornya, dan memberi suku-sukunya tanda plus dan minus secara bergantian

a1

b1

c1

a2 b2

c2  a1

a3

c3

b3

b2

c2

b3

c3


 b1

a2

c2

a3

c3

 c1

a2

b2

a3

b3

Determinan Orde-Ketiga • Menentukan nilai determinan dengan mengekspansi pada sebarang baris dan kolom

                Matematika Industri I

Contoh • Contoh 1 1 3 2 4 5 7 1 2 4 8

5 7 4 8

3

4 7

4

3 2

2 8

2

4 5

2

3 2

2 4

 12  54  12  30

• Contoh 2 1 3 2 4 5 7 1 2 4 8

5 7 4 8

4 8


5 7

 12  64  22  30



Persamaan Simultan Dengan Tiga Bilangan Tidak Diketahui • Persamaan: a1x  b1 y  c1z  d1  0 a2 x  b2 y  c2 z  d2  0 a3 x  b3 y  c3 z  d3  0 • Punya solusi: b1

x c1

d1

b2

c2

d2

b3

c3

d3



z b1

d1

a2

y  c1 d1 a1 c2 d 2 a2

b2

d2

a2 b2

c2

a3

c3

a3

b3

d3

a3

c3

a1

d3

• Lebih mudah diingat sebagai:




a1

x  y z 1    1  2 3  0

1 b1 c1 b3

Contoh • Cari nilai x dari persamaan: 2x+3y-z-4=0 3x+y+2z-13=0 x+2y-5z+11=0

x y z 1    1  2  3  0 3

x 1  1  4 2 3 1

1

2

2 5

 13

3 1

11

1 2 5

x 1   56 28 x  2 Matematika Industri I

2



Konsistensi Suatu Set Persamaan


Konsistensi Suatu Set Persamaan • Tiga persamaan simultan dengan dua bilangan tidak diketahui akan konsisten jika determinan koefisiennya adalah nol a1x  b1 y  d1  0 a1 b1 d1 a2 b2 d 2  0 a2 x  b2 y  d2  0 a3 b3 d3 a3 x  b3 y  d3  0


Konsistensi Suatu Set Persamaan




Sifat-sifat Determinan 1. Nilai suatu determinan tetap tidak berubah jika barisnya diubah menjadi kolom dan kolom menjadi baris 2. Jika dua baris (atau kolom) disalingtukarkan, tanda determinan tersebut berubah Matematika Industri I

a1 a2 b1

b2

a2

b2

a1

b1



a1

b1

a2

b2



a1

b1

a2

b2

Sifat-sifat Determinan 3.

4.

Jika dua baris (atau kolom) identik, nilai determinan tersebut sama dengan nol Jika elemen sebarang satu baris (atau kolom) semuanya dikalikan dengan faktor persekutuan, determinannya dikalikan dengan faktor tsb


a1

a1

a2

a2

ka1 kb1 a2

b2

k

0

a1

b1

a2 b2

Sifat-sifat Determinan 5. Jika elemen sebarang baris (atau kolom) diperbesar (atau dikurangi) oleh kelipatan elemen yang sama dari elemen yang bersesuaian dari baris (atau kolom) lain, nilai determinan tersebut tidak berubah a1  kb1

b1

a2  kb2 b2



a1

b1

a2 b2

and


a1

b1

a2  ka1 b2  kb1



a1

b1

a2 b2

Hasil Pembelajaran • Mengekspansi suatu determinan 2x2 • Menyelesaikan pasangan persamaan linier simultan dengan dua variabel menggunakan determinan 2x2 • Mengekspansi suatu determinan 3x3 • Menyelesaikan tiga persamaan linier simultan dengan tiga variabel menggunakan determinan 3x3 • Menentukan konsistensi dari set-set persamaan linier simultan • Menggunakan sifat-sifat determinan untuk menyelesaikan persamaan yang ditulis dalam bentuk determinan Matematika Industri I

Referensi • Stroud, KA & DJ Booth. 2003. Matematika Teknik. Erlangga. Jakarta • Ayres, Frank and Philip A Schimidt. 2003. Matematika Universitas. Erlangga. Jakarta.


DETERMINAN. Matematika Industri I. TIP FTP UB Mas ud Effendi. Matematika Industri I

Recommend Documents