3/25/2011
DETERMINAN dan INVERS MATRIKS
Transpose Matriks (1)
Jika A matriks mxn, maka transpose dari matriks A (At) adalah matriks berukuran nxm yang diperoleh dari matriks A dengan menukar baris dengan kolom. Ex: 3 2 2 1 5 A 1 0 At 3 0 3 5 3
1
3/25/2011
SIFAT Transpose Matriks (2)
Sifat: 1. 2. 3. 4.
(At)t = A (AB)t = At Bt (AB)t = BtAt (kA)t = kAt
Invers Matriks (1)
Jika A adalah sebuah matriks persegi dan jika sebuah matriks B yang berukuran sama bisa didapatkan sedemikian sehingga AB = BA = I, maka A disebut bisa dibalik dan B disebut invers dari A. Suatu matriks yang dapat dibalik mempunyai tepat satu invers.
2
3/25/2011
Invers Matriks (2)
Ex: 3 5 B 1 2
adalah invers dari
2 5 A 1 3
karena
2 5 3 5 1 0 I AB 1 3 1 2 0 1
dan
3 5 2 5 1 0 I BA 1 2 1 3 0 1
Invers Matriks (3)
Cara mencari invers khusus matriks 2x2: a b Jika diketahui matriks A c
d
maka matriks A dapat dibalik jika ad-bc0, dimana inversnya bisa dicari dengan rumus A 1
1 ad bc
d c
d b ad bc c a ad bc
b ad bc a ad bc
3
3/25/2011
Invers Matriks (4)
Ex: Carilah invers dari
2 5 A 1 3
Penyelesaian:
A 1
3 5 1 3 5 3 5 1 2(3) (5)(1) 1 2 1 1 2 1 2
(Bagaimana jika matriksnya tidak 2x2???)
Invers Matriks (5)
Sifat: Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan berukuran sama, maka: 1. 2.
AB dapat dibalik(PUNYA INVERS) (AB)-1 = B-1 A-1
4
3/25/2011
Pangkat Matriks (1)
Jika A adalah suatu matriks persegi, maka dapat didefinisikan pangkat bulat tak negatif dari A sebagai: A0 = I, An = A A … A (n≥0) n faktor
Jika A bisa dibalik, maka didefinisikan pangkat bulat negatif sebagai A-n = (A-1)n = A-1 A-1 … A-1 n faktor
Pangkat Matriks (2)
Jika A adalah matriks persegi dan r, s adalah bilangan bulat, maka: 1. 2.
Ar As = Ar+s (Ar)s = Ars
Sifat: 1. 2. 3.
A-1 dapat dibalik dan (A-1)-1 = A An dapat dibalik dan (An)-1 = (A-1)n, n=0,1,2,… Untuk sebarang skalar tak nol k, matriks kA dapat dibalik dan 1 (kA ) 1 A 1 k
5
3/25/2011
Invers Matriks Diagonal
d1 0 0 d2 D 0 0
Jika diketahui matriks diagonal
maka inversnya adalah D 1
1 d1 0 0
0 1 d2 0
... 0 ... 0 ... ... d n
0 ... 0 1 ... d n ...
Pangkat Matriks Diagonal
Jika diketahui matriks diagonal d 1 0 0 d2 D 0 0
maka pangkatnya adalah Dk
d 1k 0 0
0 k d2 0
... ...
0 0 ... ... d n
... 0 ... 0 ... k ... d n
6
3/25/2011
Invers Matriks dengan OBE (1)
Caranya hampir sama dengan mencari penyelesaian SPL dengan matriks (yaitu dengan eliminasi Gauss atau Gauss-Jordan) A-1 = Ek Ek-1 … E2 E1 In dengan E adalah matriks dasar/ matriks elementer (yaitu matriks yang diperoleh dari matriks I dengan melakukan sekali OBE)
Invers Matriks dengan OBE (2)
Jika diketahui matriks A berukuran persegi, maka cara mencari inversnya adalah reduksi matriks A menjadi matriks identitas dengan OBE dan terapkan operasi ini ke I untuk mendapatkan A-1.
Untuk melakukannya, sandingkan matriks identitas ke sisi kanan A, sehingga menghasilkan matriks berbentuk [A | I].
Terapkan OBE pada matriks A sampai ruas kiri tereduksi menjadi I. OBE ini akan membalik ruas kanan dari I menjadi A-1, sehingga matriks akhir berbentuk [I | A-1].
7
3/25/2011
Invers Matriks dengan OBE (3)
Ex: Cari invers untuk Penyelesaian:
1 2 3 A 2 5 3 1 0 8
1 2 3 1 0 0 b 2b 1 2 3 1 0 0 b2 b 1 2 5 3 0 1 0 3 1 0 1 3 2 1 0 1 0 8 0 0 1 0 2 5 1 0 1
Invers Matriks dengan OBE (4)
Penyelesaian Cont.
1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0 b 3 0 1 3 2 1 0 0 1 3 2 1 0 0 0 1 5 2 1 0 0 1 5 2 1 b 3 2 b2
1 2 0 14 6 1 0 0 40 16 9 3 b 2b 1 2 0 1 0 13 5 3 0 1 0 13 5 3 0 0 1 5 0 0 1 5 2 1 2 1 b1 3b3 b2 3b 3
8
3/25/2011
Invers Matriks dengan OBE (6)
Penyelesaian Cont. (2) Jadi 40 16 A
1
13 5
9 5 3 2 1
(Adakah cara lain???)
Dengan KONSEP DETERMINAN
Apa itu determinan? Bagaimana menentukan determinan matriks ordo n?
9
3/25/2011
Determinan Matriks 2x2 (1)
Jika A adalah matriks persegi, determinan matriks A (notasi: det(A)) adalah jumlah semua hasil kali dasar bertanda dari A. Jika diketahui matriks berukuran 2x2, maka determinan matriks A a b adalah: det (A) = |A| = ad-bc
A c
d
Determinan Matriks 2x2 (2)
Ex: Jika diketahui matriks
2 3 P 4 5
maka | P | = (2x5) – (3x4) = -2 (Bagaimana kalau matriksnya tidak berukuran 2x2???)
10
3/25/2011
Determinan Matriks 3x3 (1)
Untuk matriks berukuran 3x3, maka determinan matriks dapat dicari dengan aturan Sarrus.
Determinan Matriks 3x3 (2)
Ex:
1 2 3 1 2 4 5 4 4 5 1(5)(1) 2(4)(3) 3(4)(2) 3(5)(3) 2(4)(1) 1(4)(2) 3 2 1 3 2
11
3/25/2011
Determinan Matriks nxn (1)
Untuk matriks nxn, digunakan ekspansi kofaktor.
Det (A)=Sum(a(i,j)*c(i,j)),ekspansi baris ke-i/kolom ke-j
Determinan Matriks nxn (2)
Kofaktor dan minor hanya berbeda tanda cij = Mij. Untuk membedakan apakah kofator pada ij bernilai + atau -, bisa dilihat pada gambar ini, atau dengan perhitungan cij = (-1)i+j Mij.
12
3/25/2011
Determinan Matriks nxn (3)
Determinan matriks dengan ekspansi kofaktor pada baris pertama
Determinan Matriks nxn (4)
Ex:
13
3/25/2011
Selanjutnya bagaimana determinan bisa digunakan untuk menentukan invers matriks..?
Tentukan Adjoint Matriks (1) 3 1 2 0 1 4 2 2 1
Jika diketahui matriks 3x3
Kofaktor dari matriks tersebut adalah: c11=9 c12=8 c13=-2 c21=-3 c22=-1c23=4 c31=-6 c32=-12 c33=3 Matriks kofaktor yang terbentuk
8 2 9 4 3 1 6 12 3
14
3/25/2011
Adjoint Matriks (2)
Adjoint matriks didapat dari transpose matriks kofaktor, didapat: T
8 2 9 9 3 6 4 8 1 12 3 1 6 12 3 2 4 3
Invers Matriks nxn (1)
Rumus:
dengan det(A)0 Ex: Cari invers dari
3 1 2 A 0 1 4 2 2 1
15
3/25/2011
Invers Matriks nxn (2) Penyelesaian: det(A)=3(1)(1)+(-1)(4)(2)+2(0)(-2)-2(1)(2)-(-2)(4)(3)1(0)(-1) =3-7-0-4+24+0 =16 9 3 6 Adjoint A = 8 2
1 12 4 3
9 3 6 9 / 16 3 / 16 3 / 8 1 8 1 12 1 / 2 1 / 16 3 / 4 16 3 1 / 8 1 / 4 3 / 16 2 4
Maka A-1 =
Soal
Buktikan a1 b1t
a 2 b2t
a 3 b3t
a1 a 2 a 3
a1t b1 a 2t b2 a 3t b3 (1 t 2 ) b1 b2 b3 c1
c2
c3
c1 c 2 c 3
Buktikan 1 1 1 a b c (b a )(c a )(c b ) 2 a b2 c 2
16
3/25/2011
Tugas
Buat program untuk menghitung determinan matriks dengan ekspansi kofaktor dengan bahasa C++ ! Input berupa ukuran matriks (harus persegi), elemenelemen matriks, baris/kolom yang akan dijadikan patokan. Output berupa matriks yang bersangkutan dengan nilai determinannya.
Kuis
Cari a,b,c agar
Cari invers dari
8 5 2b simetris 3a 2 a b c 5 1 c 1 a 8 2c 4 0
cos sin
sin cos
Cari matriks diagonal A supaya
Cari nilai x supaya
x
1
3 1x
0 1 0 A 0 1 0 0 0 1 0 3 5
1
2 x 1 3
6 x 5
17
3/25/2011
18