LOGIKA MATEMATIKA
Definisi : predikat (first order) adalah suatu Kata (simbol) yg jika di berikan pada kalimat terbuka, dapat berubah menjadi kalimat tertutup.
Beberapa hal yang digunakan dalam logika first order 3 + 2, bisa ditulis PLUS(3,2) dengan hasil sama, 5. x>y, dapat ditulis LEBIHBESAR(X,Y) atau BESAR(x,y) Aturan logika proposisi meliputi konjungsi, disjungsi,
implikasi, dan bi-implikasi akan tetap digunakan Aturan dalam teori himpunan tetap digunakan Tanda “” , dibaca “untuk semua”, “untuk setiap”. Tanda “” , dibaca “ada”, “sebagian”, “sebagian”.
Contoh : (1) 3 + 4 = 6 merupakan kalimat tertutup bernilai B (2) 2x – 5x + 6 = 0 merupakan kalimat terbuka (3) 2x + 5 > 4 merupakan kalimat terbuka
kalimat terbuka tersebut bisa menjadi kalimat tertutup jika ada predikat yang diberikan (2) 2x – 5x + 6 = 0, x A A = bilangan asli (3) 2x + 5 > 4, x A (1,2,3,4,…) Sehingga, nilai kebenarannya ada, yaitu : 2) Salah, karena semua x jika diganti bilangan asli, maka tidak ada yang nilainya 0 3) Benar, karena semua x jika diganti bilangan asli, maka nilainya selalu lebih dari 0
Jenis kwantor 1.
Kwantor universal Notasi : “” Misalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka, pernyataan x . p(x) dibaca “untuk setiap x berlaku p(x)” atau “untuk semua x berlaku p(x)”
2. Kwantor eksponensial
Notasi : “” Misalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka maka x p(x) dibaca “untuk beberapa x berlaku p(x)” atau “ada x sedemikian sehingga berlaku p(x)”.
Contoh 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Setiap bilangan rasional adalah bilangan real Ada bilangan yang merupakan bilangan prima Untuk setiap bilangan x, ada bilangan y, dimana x
Langkah pengerjaan logika first order Dalam mengerjakan logika first order, bisa digunakan langkah – langkah sebagai berikut: 1. Buat analisa dari soal yang diberikan 2. Tentukan simbol – simbol yang digunakan 3. Rangkai simbol yang sudah dibuat sesuai dengan soal
Analisa contoh 1.
2. 3. 4. 5. 6.
Setiap bilangan bilangan rasional adalah bilangan real (ada penambahan kata bilangan diperbolehkan selama maksud dari kuantor tersebut sama) Ada bilangan yang merupakan bilangan prima Untuk setiap bilangan x, ada bilangan y dimana x
Solusi x Q (x) R (x)
: setiap bilangan x : x adalah bilangan rasional : x adalah juga bilangan real : adalah sehingga, pernyataan dapat ditulis sbb : (x) (Q (x) R (x)) 2. x : ada bilangan x P(x) : x adalah bilangan prima Sehingga, pernyataan dapat ditulis sebagai berikut: ( x )(P(x)) 1.
lanjutan 3. x
: untuk setiap bilangan x y : ada bilangan y LEBIHKECIL (x,y) : adalah x < y sehingga, pernyataan dapat ditulis sbb: (x)(y) LEBIHKECIL (x,y)
4. x
: setiap orang y : ada seorang kawan karib P(x,y) : y adalah kawan karib x) sehingga, pernyataan tersebut dapat ditulis sbb: (x) (y) (P(x,y))
lanjutan 5. x
: sebagian pabrik y : sebagian komponen z : semua hasil produksinya P(x,y) : x memproduksi komponen y q (y,z) : komponen y dipakai untuk produk z sehingga, pernyataan tersebut dapat ditulis sbb: (x)(y) (z) (P(x,y) q (y,z)) 6. x : semua orang tua P(x) : orang tua Q(x) : anaknya menjadi penjahat Sehingga, pernyataan dapat ditulis sbb: - Q(x)) (x)(P(x)
LATIHAN 1
P(x) : x adalah bilangan prima E(x) : x adalah bilangan genap A(x) : x adalah bilangan ganjil B(x,y) : x faktor y
Terjemahkan tiap-tiap simbol berikut kedalam pernyataan: a. P(23) (absen 1, 26) b. E(2) P(2) (absen 2, 27) c. (x) ( B(2,x) E(x) ) (absen 3, 28) d. (x) ( E(x) B(x,6) ) (absen 4, 29) e. (x) ( ~ E(x) ~ B(2,x) ) (absen 5, 30) f. (x) [P(x) (y) (E(y) B(x,y))] (absen 6, 31) g. (x) [ E(x) ( y) (B(x,y) E(y)) ] (absen 7, 32) h. (x) [A(x) ( y) (P(y) ~ B(x,y))] (absen 8, 33)
Latihan 2 Nyatakan kalimat berikut dalam bentuk simbol-simbol. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j.
Semua burung hidup dalam air. (absen 9, 34) Orang bali tidak semuanya bisa menari. (absen 10,35) Tidak ada sesuatu pun di dalam rumah itu yang lolos dari kebakaran. (absen 11, 36) Beberapa obat berbahaya, kecuali jika digunakan dalam dosis yang tepat. (absen 12,37) Setiap manusia akan sehat jika ia makan makanan yang bergizi dan sering berolahraga. (absen 13,38) Semua ikan paus adalah hewan menyusui. (absen 14,39) Semua pria mencintai wanita. (absen 15, 40) Semua wanita mencintai semua pria. (absen 16, 41) Semua pria mencintai beberapa wanita. (absen 17,42) Hanya direktur yang mempunyai sekretaris pribadi. (18,43)
Negasi kwantor universal
Secara umum negasi pernyataan kuantor universal dapat dinyatakan sebagai berikut: Pernyataan
Negasi
x . P(x)
(x. p(x)) x p(x)
Negasi kwantor ekstensial
Secara umum negasi pernyataan kuantor eksistensial dapat dinyatakan sebagai berikut: Pernyataan
Negasi
x . P(x)
(x. p(x)) x p(x)
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
LATIHAN 3 Tentukan negasi dari pernyataan berikut: Semua bilangan cacah adalah bilangan real. (19,44) Beberapa bilangan asli adalah bilangan rasional. (20,45) Tidak ada bilangan prima yang genap. (21,46) Semua mahasiswa tidak suka belajar.(22,47) Tidak ada guru yang senang menari. (23,48) F (24, 49) G (25, 50)
Keterangan Kerjakan sesuai nomon absen yang tertera di belakang nomor soal masing – masing 2. Nomor absen bisa dilihat di presensai kehadiran baru 1.
Terima kasih
