DEFINISI INTEGRAL RIEMANN MELALUI PENDEKATAN BARISAN FUNGSI TANGGA

PROSIDING

ISSN: 2502-6526

DEFINISI INTEGRAL RIEMANN MELALUI PENDEKATAN BARISAN FUNGSI TANGGA Muslich1), Sutrima2) dan Supriyadi Wibowo3) 1,2,3) Jurusan Matematika FMIPA UNS, [email protected], [email protected], [email protected] Abstrak

[𝑎, 𝑏] ditulis 𝑓 ∈ 𝑅[𝑎, 𝑏] jika dan hanya jika terdapat barisan fungsi tangga < 𝜙𝑛 > dan < 𝜑𝑛 > pada [𝑎, 𝑏] Pernyataan biimplikasi 𝑓 : [𝑎, 𝑏] → ℛ terintegral Riemann pada 𝑏

sehingga 𝜙𝑛 ≤ 𝑓 ≤ 𝜑𝑛 untuk semua n dan lim ∫𝑎 ( 𝜑𝑛 − 𝜙𝑛 ) → 0 dapat diangkat sebagai 𝑛→∞

definisi deskriptif integral Riemann. Dari pernyataan tersebut dibahas sifat-sifat integral terkait dan diperoleh hasil antara lain (i) 𝑅[𝑎, 𝑏] merupakan ruang linear dan (ii) setiap fungsi tangga, fungsi kontinu dan fungsi monoton adalah terintegral Riemann. Kata Kunci: fungsi tangga, integral Riemann, limit barisan fungsi.

1. PENDAHULUAN Bartle (1994) mendeskripsikan integral Riemann dengan konsep berikut, fungsi terbatas 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℛ dikatakan terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏] ditulis dengan 𝑓 ∈ 𝑅[𝑎, 𝑏] jika dan hanya jika I=J atau nilai integral bawah Riemann sama dengan nilai integral atas Riemann fungsi f pada 𝑅[𝑎, 𝑏]. Dengan diperkenalkan konsep tersebut diperoleh beberapa sifat terkait sebagaimana pada pembahasan teori integral pada umumnya, seperti Gordon (1994) dalam pembahasan sifat-sifat dasar dari integral dekriptif Lebesgue, integral konstruktif McShane maupun integral konstruktif Henstock. Demikian juga pembahasan integral Henstock oleh Lee Peng Yee (1989). Berdasarkan pada integral McShane tersebut, Jae Myung Park et al. (2010) juga berhasil mengkonstruksi integral 𝑀𝛼 fungsi bernilai real 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℛ dengan membahas sifat-sifat integral terkait. Hal ini dilanjutkan oleh Muslich (2012) dengan pembahasan sifat-sifat integral konstruktif 𝑀𝛼 fungsi di ruang berdimensi–n atau ℛ 𝑛 . Penelitian teori integral berjalan terus seperti halnya Lee Peng Yee dan Rudolf Vyborne (2000) dalam tulisannya memberikan suatu problema (open problem) tentang konsep integral Riemann dengan versi beda yaitu bahwa fungsi 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℛ terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏] jika dan hanya jika terdapat barisan fungsi tangga < 𝜙𝑛 > dan < 𝜑𝑛 > pada [𝑎, 𝑏] sehingga 𝜙𝑛 ≤ 𝑓 ≤ 𝜑𝑛 untuk semua 𝑛 = 1,2,3, … dan berlaku 𝑏 lim ∫𝑎 ( 𝜑𝑛 − 𝜙𝑛 ) → 0. Dari problema tersebut penulis berkeinginan 𝑛→∞

membuktikan pernyataan biimplikasi Lee Peng Yee dan Rudolf Vyborne (2000) dan selanjutnya mengkaji sifat-sifat integral Riemann terkait.

Konferensi Nasional Penelitian Matematika dan Pembelajarannya (KNPMP I) Universitas Muhammadiyah Surakarta, 12 Maret 2016

769

PROSIDING

ISSN: 2502-6526

2. METODE PENELITIAN Diberikan fungsi terbatas 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℛ dan partisi 𝑃𝑛 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏} ∈ 𝜋[𝑎, 𝑏]. Didefinisikan 𝑚𝑖 = inf{𝑓(𝑥): 𝑥 ∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ]} dan 𝑀𝑖 = sup{𝑓(𝑥): 𝑥 ∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ]} Untuk setiap 𝑛 = 1,2,3, … dikontruksikan fungsi tangga 𝑛

𝜙𝑛 (𝑥) = ∑ 𝑚𝑖 𝐾[𝑥𝑖−1 ,𝑥𝑖] (𝑥) ∶ 𝑃𝑛 ∈ 𝜋[𝑎, 𝑏] 𝑖=1 𝑛

𝜑𝑛 (𝑥) = ∑ 𝑚𝑖 𝐾[𝑥𝑖−1 ,𝑥𝑖 ] (𝑥): 𝑃𝑛 ∈ 𝜋[𝑎, 𝑏] 𝑖=1

dengan 𝐾[𝑥𝑖−1 ,𝑥𝑖 ] (𝑥) adalah fungsi karakteristik pada [𝑎, 𝑏] yang bersesuaian dengan partisi 𝑃𝑛 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏} ∈ 𝜋[𝑎, 𝑏] dan notasi 𝑏 𝐼 = sup{∑𝑛𝑖=1 𝑚𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ): 𝑃𝑛 ∈ 𝜋[𝑎, 𝑏] }=sup{∫ 𝜙𝑛 : 𝜙𝑛 ≤ 𝑓} = ∫𝑎 𝑓 𝑏

𝐽 = inf{∑𝑛𝑖=1 𝑀𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ): 𝑃𝑛 ∈ 𝜋[𝑎, 𝑏] }=inf{∫ 𝜑𝑛 : 𝜑𝑛 ≥ 𝑓} = ∫𝑎 𝑓 berturut-turut disebut integral bawah Riemann dan integral atas Riemann fungsi f pada 𝑅[𝑎, 𝑏]. Untuk keperluan pembahasan terdapat beberapa rujukan pernyataan antara lain oleh Bartle (1994) dalam bentuk teorema maupun definisi berikut. Teorema 2.1 Jika 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℛ kontinu pada [𝑎, 𝑏] maka untuk setiap 𝜀 > 0 terdapat fungsi tangga 𝜑 pada [𝑎, 𝑏] sehingga |𝑓(𝑥) − 𝜑(𝑥)| < 𝜀. . Definisi 2.2. Diberikan fungsi terbatas 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℛ. Fungsi f terintegral 𝑏 Riemann pada [𝑎, 𝑏] ditulis 𝑓 ∈ 𝑅[𝑎, 𝑏] jika 𝐼 = ∫𝑎 𝑓=∫𝑎𝑏 𝑓 = 𝐽. Konsep fungsi tangga dan Definisi 2.2 digunakan untuk membuktikan kebenaran pernyataan biimplikasi Lee Peng Yee dan Rudolf Vyrborne (2000), sedangkan Teorema 2.1 digunakan untuk menunjukkan setiap fungsi kontinu adalah terintegral Riemann. Selanjutnya dengan terbuktinya kebenaran pernyataan biimplikasi yang menyatakan fungsi 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℛ terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏] jika dan hanya jika terdapat barisan fungsi tangga < 𝜙𝑛 > dan < 𝜑𝑛 > pada [𝑎, 𝑏] sehingga 𝜙𝑛 ≤ 𝑓 ≤ 𝜑𝑛 untuk semua 𝑛 = 𝑏 1,2,3, … dan berlaku lim ∫𝑎 ( 𝜑𝑛 − 𝜙𝑛 ) → 0 dalam matematika analisis dapat 𝑛→∞

diangkat menjadi sebuah definisi. Langkah berikutmya adalah mengkaji beberapa sifat terkait hubungannya dengan keintegralan Riemann berdasarkan pada pernyataan biimplikasi Lee Peng Yee dan Rudolf Vyrborne (2000) tersebut yang tertulis dalam Teorema 3.1. 3. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Teorema 3.1 berikut merupakan pernyataan biimplikasi dari Lee Peng Yee dan Rudolf Vyrborne (2000) yang merupakan problema yang akan dibuktikan kebenarannya. Pernyataan biimplikasi tersebut berhubungan dengan masalah keintegral Riemann maka biimplikasi itu dapat diangkat sebagai definisi deskriptif untuk integral Riemann. Konferensi Nasional Penelitian Matematika dan Pembelajarannya (KNPMP I) Universitas Muhammadiyah Surakarta, 12 Maret 2016

770

PROSIDING

ISSN: 2502-6526

Teorema 3.1. Diberikan fungsi terbatas 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℛ. Fungsi f terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏] ditulis 𝑓 ∈ 𝑅[𝑎, 𝑏] jika dan hanya jika terdapat barisan barisan fungsi tangga < 𝜙𝑛 > dan < 𝜑𝑛 > pada [𝑎, 𝑏] sehingga 𝜙𝑛 ≤ 𝑓 ≤ 𝑏 𝜑𝑛 untuk semua 𝑛 dan lim ∫𝑎 ( 𝜑𝑛 − 𝜙𝑛 ) → 0. 𝑛→∞

Bukti: 1. Syarat perlu. Diketahui 𝑓 ∈ 𝑅[𝑎, 𝑏] menurut Definisi 2.2 maka 𝑏

𝑏

berlaku 𝐼 = ∫𝑎 𝑓 =∫𝑎 𝑓 = 𝐽, dengan 𝑏

𝐼 = ∫𝑎 𝑓 = sup{∑𝑛𝑖=1 𝑚𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ): 𝑃𝑛 ∈ 𝜋[𝑎, 𝑏] } 𝑏

𝐽 = ∫𝑎 𝑓 = inf{∑𝑛𝑖=1 𝑀𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ): 𝑃𝑛 ∈ 𝜋[𝑎, 𝑏] } Untuk setiap 𝑛 = 1,2,3, … didefinisikan fungsi tangga 𝜙𝑛 (𝑥) = ∑𝑛𝑖=1 𝑚𝑖 𝐾[𝑥𝑖−1 ,𝑥𝑖 ] (𝑥) sesuai 𝑃𝑛 ∈ 𝜋[𝑎, 𝑏] 𝜑𝑛 (𝑥) = ∑𝑛𝑖=1 𝑀𝑖 𝐾[𝑥𝑖−1 ,𝑥𝑖 ] (𝑥) sesuai 𝑃𝑛 ∈ 𝜋[𝑎, 𝑏] dimana 𝐾[𝑥𝑖−1 ,𝑥𝑖 ] (𝑥) adalah fungsi karakteristik pada [𝑎, 𝑏] yang bersesuaian dengan 𝑃𝑛 ∈ 𝜋[𝑎, 𝑏]. Karena untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ] berlaku 𝑚𝑖 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀𝑖 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 maka 𝜙𝑛 ≤ 𝑓 ≤ 𝜑𝑛 untuk semua 𝑛 = 1,2,3, … dan berlaku 𝑏

𝑏

lim ∫𝑎 ( 𝜑𝑛 − 𝜙𝑛 ) = lim ∫𝑎 ∑𝑛𝑖=1(𝑀𝑖 − 𝑚𝑖 ) 𝐾[𝑥𝑖−1 ,𝑥𝑖 ] (𝑥)𝑑𝑥

𝑛→∞

𝑛→∞

= 𝑖𝑛 𝑓{∑𝑛𝑖=1 𝑀𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ): 𝑃𝑛 ∈ 𝜋[𝑎, 𝑏]} −𝑠𝑢𝑝{∑𝑛𝑖=1 𝑚𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ): 𝑃𝑛 ∈ 𝜋[𝑎, 𝑏] } = 𝑖𝑛 𝑓{∫ 𝜑𝑛 : 𝜑𝑛 ≥ 𝑓} − 𝑠𝑢 𝑝{∫ 𝜙𝑛 : 𝜙𝑛 ≤ 𝑓} 𝑏

𝑏

=(∫𝑎 𝑓 − ∫𝑎 𝑓 ) → 0. 2. Syarat cukup. Dari hipotesis terdapat barisan fungsi tangga < 𝜙𝑛 > dan < 𝜑𝑛 > pada [𝑎, 𝑏] sehingga 𝜙𝑛 ≤ 𝑓 ≤ 𝜑𝑛 untuk semua 𝑛 = 1,2,3, … dan 𝑏 lim ∫𝑎 ( 𝜑𝑛 − 𝜙𝑛 ) → 0. 𝑛→∞

Misalkan fungsi tangga 𝜙𝑛 dan 𝜑𝑛 pada [𝑎, 𝑏] berturut-turut adalah 𝜙𝑛 (𝑥) = ∑𝑛𝑖=1 𝑐𝑖 𝐾[𝑥𝑖−1 ,𝑥𝑖 ] (𝑥) sesuai 𝑃𝑛 ∈ 𝜋[𝑎, 𝑏] dan 𝑐𝑖 konstan, 𝜑𝑛 (𝑥) = ∑𝑛𝑖=1 𝐶𝑖 𝐾[𝑥𝑖−1 ,𝑥𝑖 ] (𝑥) sesuai 𝑃𝑛 ∈ 𝜋[𝑎, 𝑏] dan 𝐶𝑖 konstan. Karena  n  f   n maka ci  f  C i untuk semua 𝑛 = 1,2,3, … dan berlaku 𝑏 lim ∫ ( 𝜑𝑛 𝑛→∞ 𝑎

𝑏

− 𝜙𝑛 ) = lim ∫𝑎 ∑𝑛𝑖=1(𝐶𝑖 − 𝑐𝑖 ) 𝐾[𝑥𝑖−1 ,𝑥𝑖 ] (𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑛

𝑛→∞

𝑏 𝑛

= lim ∫ ∑ 𝐶𝑖 𝐾[𝑥𝑖−1 ,𝑥𝑖 ] (𝑥)𝑑𝑥 − lim ∫ ∑ 𝑐𝑖 𝐾[𝑥𝑖−1 ,𝑥𝑖] (𝑥)𝑑𝑥 𝑛→∞ 𝑎 𝑖=1 𝑛

𝑛→∞ 𝑎 𝑖=1 𝑛

= inf {∑ 𝐶𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ): 𝑃𝑛 ∈ 𝜋[𝑎, 𝑏]} − sup {∑ 𝑐𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ): 𝑃𝑛 ∈ 𝜋[𝑎, 𝑏] } → 0 𝑖=1

𝑖=1

𝑛

𝑛

𝑖𝑛 𝑓 {∑ 𝐶𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ): 𝑃𝑛 ∈ 𝜋[𝑎, 𝑏]} = 𝑠𝑢𝑝 {∑ 𝑐𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ): 𝑃𝑛 ∈ 𝜋[𝑎, 𝑏] } 𝑖=1

𝑖=1

𝑖𝑛 𝑓 {∫ 𝜑𝑛 : 𝜑𝑛 ≥ 𝑓} = 𝑠𝑢𝑝 {∫ 𝜙𝑛 : 𝜙𝑛 ≤ 𝑓} Konferensi Nasional Penelitian Matematika dan Pembelajarannya (KNPMP I) Universitas Muhammadiyah Surakarta, 12 Maret 2016

771

PROSIDING

ISSN: 2502-6526 𝑏

𝑏

∫ 𝑓=∫ 𝑓 𝑎

𝑎

Berakibat 𝐽 = 𝐼, menurut Definsi 2.2 maka 𝑓 ∈ 𝑅[𝑎, 𝑏]. Dengan demikian teorema terbukti. □ Teorema 3.2 𝑅[𝑎, 𝑏] merupakan ruang linear yaitu jika 𝑓, 𝑔 ∈ 𝑅[𝑎, 𝑏] dan 𝑏 𝛼, 𝛽 ∈ ℛ maka 𝛼𝑓 + 𝛽𝑔 ∈ 𝑅[𝑎, 𝑏] dan berlaku∫𝑎 (𝛼𝑓 + 𝛽𝑔) = 𝑏

𝑏

𝛼 ∫𝑎 𝑓 + 𝛽 ∫𝑎 𝑔. Bukti: Karena f dan g terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏] maka terdapat barisan fungsi tangga < 𝜙𝑛 > dan < 𝜑𝑛 > pada [𝑎, 𝑏] sedemikian hingga 𝜙𝑛 ≤ 𝑓 ≤ 𝑏 𝜑𝑛 dan berlaku lim ∫𝑎 ( 𝜑𝑛 − 𝜙𝑛 ) → 0, dan barisan fungsi tangga tangga < 𝑛→∞

𝜙𝑛∗ > dan < 𝜑𝑛∗ > pada [𝑎, 𝑏] sedemikian hingga 𝜙∗𝑛 ≤ 𝑔 ≤ 𝜑∗𝑛 dan berlaku 𝑏 lim ∫ ( 𝑛→∞ 𝑎 𝑏 lim ∫𝑎 ( 𝑛→∞

𝜑𝑛∗ − 𝜙𝑛∗ ) → 0. Diperoleh 𝑏

𝛼𝜑𝑛 + 𝛽𝜑𝑛∗ ) − (𝛼𝜙𝑛 + 𝛽𝜙𝑛∗ ) = 𝛼 lim ∫𝑎 ( 𝜑𝑛 − 𝜙𝑛 ) 𝑛→∞

𝑏 ( 𝑎

+ βlim ∫ 𝑛→∞

𝜑𝑛∗ − 𝜙𝑛∗ ) → 0

Menurut Teorema 3.1 maka 𝛼𝑓 + 𝛽𝑔 ∈ 𝑅[𝑎, 𝑏] dan berlaku 𝑏

𝑏

∫ (𝛼𝑓 + 𝛽𝑔) = lim ∫ ( 𝛼𝜑𝑛 + 𝛽𝜑𝑛∗ ) 𝑛→∞ 𝑎

𝑎

𝑏

𝑏

𝑏

𝑏

= 𝛼 lim ∫𝑎 𝜑𝑛 + 𝛽 lim ∫𝑎 𝜑𝑛∗ = 𝛼 ∫𝑎 𝑓 + 𝛽 ∫𝑎 𝑔. 𝑛→∞

𝑛→∞

𝑏

= 𝛼 sup {∫𝑎 𝜙𝑛 : 𝜙𝑛 fungsi tangga, 𝜙𝑛 ≤ 𝑓 } 𝑏

+ 𝛽 sup {∫𝑎 𝜙𝑛∗ : 𝜙𝑛∗ fungsi tangga, 𝜙𝑛∗ ≤ 𝑔} 𝑏

𝑏

= 𝛼 ∫𝑎 𝑓 + 𝛽 ∫𝑎 𝑔 Dengan demikian teorema terbukti. □ Teorema 3.3 Jika 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℛ fungsi tangga maka𝑓 ∈ 𝑅[𝑎, 𝑏]. Bukti: Untuk setiap 𝑛 = 1,2,3, … didefinisikan fungsi tangga 𝜙𝑛 = 𝜑𝑛 = 𝑓 𝑏

maka berlaku 𝜙𝑛 ≤ 𝑓 ≤ 𝜑𝑛 dan berakibat lim ∫𝑎 ( 𝜑𝑛 − 𝜙𝑛 ) → 0. Menurut 𝑛→∞

Teorema 3.1 maka 𝑓 ∈ 𝑅[𝑎, 𝑏]. Dengan demikian teorema terbukti.□ Teorema 3.4 Jika 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℛ kontinu maka 𝑓 ∈ 𝑅[𝑎, 𝑏]. Bukti: Karena f kontinu pada [𝑎, 𝑏] maka menurut Teorema 2.1 untuk setiap bilangan 𝑛 = 1,2,3, … terdapat fungsi tangga 𝑠𝑛 pada [a,b] sehingga berlaku 1 1 1 |𝑓(𝑥) − 𝑠𝑛 (𝑥)| < dan berakibat 𝑠𝑛 (𝑥) − 𝑛 < 𝑓(𝑥) < 𝑠𝑛 (𝑥) + 𝑛. 𝑛 Untuk setiap 𝑛 = 1,2,3, … didefinisikan fungsi tangga 𝜙𝑛 (𝑥) = 𝑠𝑛 (𝑥) − 𝑛1 dan 1

𝜑𝑛 (𝑥) = 𝑠𝑛 (𝑥) + 𝑛 jelas bahwa 𝜙𝑛 ≤ 𝑓 ≤ 𝜑𝑛 dan berlaku 𝑏

𝑏

1

1

lim ∫𝑎 ( 𝜑𝑛 − 𝜙𝑛 ) = lim ∫𝑎 (( 𝑠𝑛 + 𝑛)– (𝑠𝑛 − 𝑛))

𝑛→∞

𝑛→∞


772

PROSIDING

ISSN: 2502-6526 𝑏2

2

= lim ∫𝑎 𝑛 𝑑𝑥 = lim 𝑛 (𝑏 − 𝑎) → 0. 𝑛→∞

𝑛→∞

Menurut Teorema 3.1 maka 𝑓 ∈ 𝑅[𝑎, 𝑏]. Jadi teorema terbukti. □ Teorema 3.5 Diberikan fungsi 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℛ. Jika f monoton pada [a,b] maka 𝑓 ∈ 𝑅[𝑎, 𝑏]. Bukti: Dibuktikan untuk f fungsi monoton naik, sedangkan untuk f monoton turun dibuktikan secara analog. Untuk setiap 𝑛 = 1,2,3, … didefinisikan partisi

𝑃𝑛 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏} dengan 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 =

𝑏−𝑎 𝑛

. Diambil

𝑚𝑖 = 𝑓(𝑥𝑖−1 ) dan 𝑀𝑖 = 𝑓(𝑥𝑖 ) dan didefinisikan fungsi tangga 𝑛

𝑛

𝜙𝑛 (𝑥) = ∑ 𝑚𝑖 𝐾[𝑥𝑖−1 ,𝑥𝑖 ] (𝑥) = ∑ 𝑓(𝑥𝑖−1 ) 𝐾[𝑥𝑖−1 ,𝑥𝑖 ] (𝑥) 𝑖=1

𝑖=1

𝜑𝑛 (𝑥) = ∑𝑛𝑖=1 𝑀𝑖 𝐾[𝑥𝑖−1 ,𝑥𝑖 ] (𝑥) = ∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝑥𝑖 ) 𝐾[𝑥𝑖−1 ,𝑥𝑖 ] (𝑥) Jelas bahwa 𝜙𝑛 ≤ 𝑓 ≤ 𝜑𝑛 dan berlaku 𝑏

lim ∫𝑎 ( 𝜑𝑛 − 𝜙𝑛 ) = lim ∑𝑛𝑖=1(𝑀𝑖 − 𝑚𝑖 )(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 )

𝑛→∞

𝑛→∞

= lim ∑𝑛𝑖=1(𝑓(𝑥𝑖 ) − 𝑓(𝑥𝑖−1 )) 𝑛→∞

= lim 𝑛→∞

𝑏−𝑎 𝑛

𝑏−𝑎 𝑛

(𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) → 0.

Menurut Teorema 3.1 maka 𝑓 ∈ 𝑅[𝑎, 𝑏] Jadi teorema terbukti. □ Teorema 3.6 Diberikan fungsi 𝑓, 𝑔: [𝑎, 𝑏] → ℛ Jika f dan g terintegral 𝑏 𝑏 Riemann pada [𝑎, 𝑏] dengan 𝑓 ≤ 𝑔 maka ∫𝑎 𝑓 ≤ ∫𝑎 𝑔. Bukti: Karena f dan g terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏] maka terdapat barisan fungsi tangga < 𝜙𝑛 > dan < 𝜑𝑛 > pada [𝑎, 𝑏] sedemikian hingga 𝜙𝑛 ≤ 𝑓 ≤ 𝜑𝑛 dan barisan fungsi tangga < 𝜙𝑛∗ > dan < 𝜑𝑛∗ > pada [𝑎, 𝑏] sedemikian hingga 𝜙𝑛∗ ≤ 𝑔 ≤ 𝜑𝑛∗ . Jadi 𝑏

𝑏

sup {∫ 𝜙𝑛 : 𝜙𝑛 fungsi tangga, 𝜙𝑛 ≤ 𝑓} ≤ sup {∫ 𝑎

𝑏 berakibat∫𝑎 𝑓

≤ 𝑏

𝑏 ∫𝑎 𝑔.

𝑎

𝜙𝑛∗ : 𝜙∗𝑛 fungsi tangga, 𝜙∗𝑛 ≤ 𝑔}

Berdasarkan asumsi f dan g terintegral Riemann pada 𝑏

𝑏

𝑏

𝑏

𝑏

[𝑎, 𝑏] maka ∫𝑎 𝑓 = ∫𝑎 𝑓 dan ∫𝑎 𝑔 = ∫𝑎 𝑔. Berakibat ∫𝑎 𝑓 ≤ ∫𝑎 𝑔. Dengan demikian teorema terbukti. □ Teorema 3.7 Diberikan fungsi 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℛ terbatas dan 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏). Fungsi f terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏] jika dan hanya jika f terintegral Riemann 𝑏 𝑐 𝑏 pada [𝑎, 𝑐] dan [𝑐, 𝑏] dan berlaku ∫𝑎 𝑓 = ∫𝑎 𝑓 + ∫𝑐 𝑓 . Bukti: (1) Syarat perlu. Karena f terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏] maka terdapat barisan fungsi tangga < 𝜙𝑛 > dan < 𝜑𝑛 > pada [𝑎, 𝑏] sedemikian 𝑏 hingga 𝜙𝑛 ≤ 𝑓 ≤ 𝜑𝑛 dan berlaku lim ∫𝑎 ( 𝜑𝑛 − 𝜙𝑛 ) → 0. Jelas bahwa 𝜙𝑛 ≤ 𝑛→∞

𝑓 ≤ 𝜑𝑛

𝑐

pada [𝑎, 𝑐] dan berlaku lim ∫𝑎 ( 𝜑𝑛 − 𝜙𝑛 ) → 0 dan 𝜙𝑛 ≤ 𝑓 ≤ 𝜑𝑛 𝑛→∞


773

PROSIDING

ISSN: 2502-6526 𝑏

pada [𝑐, 𝑏] dan berlaku lim ∫𝑐 ( 𝜑𝑛 − 𝜙𝑛 ) → 0. Dengan demikian fungsi f 𝑛→∞

terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑐] dan [𝑐, 𝑏] dan berlaku 𝑏 𝑏 ∫𝑎 𝑓 = sup {∫𝑎 𝜙𝑛 : 𝜙𝑛 fungsi tangga, 𝜙𝑛 ≤ 𝑓} 𝑐

= sup{∫𝑎 𝜙𝑛 : 𝜙𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑔𝑎, 𝜙𝑛 ≤ 𝑓} 𝑏

+ sup {∫ 𝜙𝑛 : 𝜙𝑛 fungsi tangga, 𝜙𝑛 ≤ 𝑓} 𝑐 ∫𝑎 𝑓

𝑐 𝑏 ∫𝑐 𝑓

= + . (2) Syarat cukup. Menurut hipotesa f terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑐]dan [𝑐, 𝑏] maka terdapat barisan fungsi tangga < 𝜙1𝑛 > dan < 𝜑1𝑛 > pada [𝑎, 𝑐] 𝑐 sedemikian hingga 𝜙1𝑛 ≤ 𝑓 ≤ 𝜑1𝑛 dan berlaku lim ∫𝑎 ( 𝜑1𝑛 − 𝜙1𝑛 ) → 0 dan 𝑛→∞

terdapat barisan fungsi tangga < 𝜙2𝑛 > dan < 𝜑2𝑛 > pada [𝑐, 𝑏] 𝑏 sedemikian hingga 𝜙2𝑛 ≤ 𝑓 ≤ 𝜑2𝑛 dan berlaku lim ∫𝑐 ( 𝜑2𝑛 − 𝜙2𝑛 ) → 0. 𝑛→∞

Didefinisikan barisan fungsi tangga < 𝜙𝑛 > dan < 𝜑𝑛 > pada [𝑎, 𝑏] dengan 𝜙 (𝑥), 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑐) 𝜑 (x) , 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑐) 𝜙𝑛 (𝑥) = { 1𝑛 dan 𝜑𝑛 (x) = { 2𝑛 𝜑2𝑛 (x) , 𝑥 ∈ [𝑐, 𝑏] 𝜙2𝑛 (𝑥), 𝑥 ∈ [𝑐, 𝑏] maka 𝜙𝑛 ≤ 𝑓 ≤ 𝜑𝑛 pada [𝑎, 𝑏] dan berlaku 𝑏

𝑐

𝑏

lim ∫ ( 𝜑𝑛 − 𝜙𝑛 ) = lim ∫ ( 𝜑1𝑛 − 𝜙1𝑛 ) + lim ∫ ( 𝜑2𝑛 − 𝜙2𝑛 ) → 0

𝑛→∞ 𝑎

𝑛→∞ 𝑎

𝑛→∞ 𝑐

Menurut Teorema 3.1 maka 𝑓 ∈ 𝑅[𝑎, 𝑏] dan berlaku 𝑐

𝑏

𝑐

∫ 𝑓 + ∫ 𝑓 = sup {∫ 𝜙1𝑛 : 𝜙1𝑛 fungsi tangga, 𝜙1𝑛 ≤ 𝑓 } 𝑎

𝑐

𝑎

𝑏

+ sup {∫𝑐 𝜙2𝑛 : 𝜙2𝑛 fungsi tangga, 𝜙2𝑛 ≤ 𝑓 } 𝑏

𝑏

= sup {∫𝑎 𝜙𝑛 : 𝜙𝑛 fungsi tangga, 𝜙𝑛 ≤ 𝑓}=∫𝑎 𝑓.

Jadi teorema terbukti. □ Integral Riemann telah dikenal sebagai integral tipe konstruktif. Namun pada tulisan ini semua pembahasan integral Riemann didekati melalui barisan fungsi tangga. Tepatnya pembahasan integral Riemann melalui kebenaran biimplikasi yang menyatakan bahwa fungsi f terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏] jika dan hanya jika terdapat barisan fungsi tangga < 𝜙𝑛 > dan < 𝜑𝑛 > pada 𝑏 [𝑎, 𝑏] sehingga 𝜙𝑛 ≤ 𝑓 ≤ 𝜑𝑛 untuk semua n dan lim ∫𝑎 ( 𝜑𝑛 − 𝜙𝑛 ) → 0 bisa 𝑛→∞

dijadikan sebuah definisi deskriptif untuk integral Riemann. Hal demikian menambah cara pandang dalam pembahasan integral Riemann dengan pendekatan model baru secara deskriptif. 4. SIMPULAN Pernyataan biimplikasi bahwa fungsi f terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏] jika dan hanya jika terdapat barisan fungsi tangga < 𝜙𝑛 > dan < 𝜑𝑛 > pada 𝑏

[𝑎, 𝑏] sehingga 𝜙𝑛 ≤ 𝑓 ≤ 𝜑𝑛 untuk semua n dan lim ∫𝑎 ( 𝜑𝑛 − 𝜙𝑛 ) → 0 dapat 𝑛→∞

diangkat

sebagai

definisi

deskriptif

integral

Riemann.

Berdasarkan


774

PROSIDING

ISSN: 2502-6526

pembahasan diperoleh hasil tentang sifat-sifat integral terkait antara lain (i) 𝑅[𝑎, 𝑏] merupakan ruang linear dan (ii) setiap fungsi tangga, fungsi kontinu dan fungsi monoton adalah terintegral Riemann.

5. DAFTAR PUSTAKA Bartle, R. G. (1994). Introduction to Real Analysis. Second Edition, John Willey & Sons, Singapore. Gordon, R. A. (1994). The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock. Graduate Studies in Mathematics. Volume 4. American Mathematical Society. Jae Myung Park, Hyung Won Ryu, and Hoe Kyung Lee, (2010). The-𝑀𝛼 Integral. Journal of The Chungcheong Mathematical Society. 23(1), 99108. Lee Peng Yee. (1989). Lanzhou Lectures on Henstock Integration. Series in Real Analysis Vo.2. World Scientific, Singapore. Lee Peng Yee and Rudolf Vyborny. (2000). Integral: An Easy Approach After Kurzweil And Henstock. University Press, Cambridge. Muslich. (2012). Lemma Henstock pada Integral 𝑀𝛼 di Ruang Berdimensi-n. Prosiding Konferensi Nasional Matematika XVI. Diselenggarakan oleh FMIPA UNPAD Bandung, ISBN: 978-602-19590-2-2, 18 Juli 2012 (hal. 177-184).


775

DEFINISI INTEGRAL RIEMANN MELALUI PENDEKATAN BARISAN FUNGSI TANGGA

Recommend Documents