Definice derivace v bodě tg ϕ1 =
f ( x1 ) − f (1) x1 − 1
f ′(1) := tg ϕ = lim x →1
tg ϕ 2 =
f ( x2 ) − f (1) x2 − 1
f ( x) − f (1) x −1
Obecně: f ′( x0 ) := lim
x → x0
f ( x ) − f ( x0 ) x − x0
f ′( x) := lim h→0
f ( x + h) − f ( x) h
Derivace zleva (zprava): f −′( x0 ) := lim− x → x0
f ( x) − f ( x0 ) x − x0
f +′ ( x0 ) := lim+ x → x0
f ( x ) − f ( x0 ) x − x0
f ( x) = x3 − x 2 , x 2 ⋅ ( x − 1) f ( x) − f (1) x3 − x 2 − 0 f ′(1) = lim = lim = lim =1 x →1 x → 1 x → 1 x −1 x −1 x −1
f ( x) = x 2 χ ( x) f ( x) − f (0) x 2 ⋅ χ ( x) = lim = lim x ⋅ χ ( x) = 0 f ′(0) = lim x →0 x → 0 x →0 x−0 x
Derivace na intervalu
∀x ∈ ( a, b) ∃f ′( x) :
f ′ : x ֏ f ′( x)
Derivace funkce f je funkce f´, která každému bodu přiřazuje hodnotu rovnou směrnici tečny ke grafu funkce f v tomto bodě
3 2 3 2 ( x + h ) − ( x + h ) − x + x ′ = ( x3 − x 2 ) = lim h→0 h 1 = lim ( x 3 + 3 x 2 h + 3 xh 2 + h3 − ( x 2 + 2 xh + h 2 ) − x 3 + x 2 ) = h→0 h 1 = lim ( 3 x 2 h + 3 xh 2 + h3 − 2 xh − h 2 ) = lim ( 3 x 2 + 3 xh + h 2 − 2 x − h ) = 3 x 2 − 2 x h→0 h h→0
sin( x + h) − sin x α +β α −β ′ = sin α − sin β = 2 cos sin = ( sin x ) = lim h →0 h 2 2 h sin 2 x+h+ x x+h−x 2 h = lim cos sin = lim cos x + = cos x ( ) h →0 2 h h →0 h 2 2 2
x+h x h e − e 1 e −1 x ′ x h x x = lim ( e e − e ) = e lim ( e ) = lim h→0 h →0 h h →0 h h
e h − 1 u := e h − 1, e h = u + 1, h = ln(1 + u ) u lim = = lim = h→0 u → 0 ln(1 + u ) h h→0 ⇒ u→0 = lim u →0
1 ln(1 + u )
1 u
1 = =1 ⇒ ln e
x ′ x e e = ( )
Slovník a gramatika pro derivace – skripta str. 165
Pravidla – derivace součinu
f ( x + h) ⋅ g ( x + h) − f ( x) ⋅ g ( x) ′ = ( f ( x) ⋅ g ( x) ) = lim h→0 h 1 = lim ( f ( x + h) ⋅ g ( x + h) − f ( x) ⋅ g ( x + h) + f ( x) ⋅ g ( x + h) − f ( x) ⋅ g ( x) ) = h →0 h 1 = lim ( ( f ( x + h) − f ( x) ) ⋅ g ( x + h) + f ( x) ⋅ ( g ( x + h) − g ( x) ) ) = h →0 h g ( x + h) − g ( x ) f ( x + h) − f ( x) = lim ⋅ g ( x + h) + f ( x) ⋅ lim = h →0 h →0 h h = f ′( x) g ( x) + f ( x) g ′( x)
Příklady na výpočet derivací
f ( x) = (1 + 2 x)(3 − 4 x 2 )
f ( x) =
x 1+ x
2
cos x f ( x) = arctg 1 + sin x
f ( x) = 1 − x 2
f ( x) =
3
1 + x2 − x 1 + x2 + x
f ( x) = ( ln x ) + x ln x x
f ( x) = (1 + 2 x)(3 − 4 x 2 ) f ′( x) = (1 + 2 x)′(3 − 4 x 2 ) + (1 + 2 x)(3 − 4 x 2 )′ = = 2(3 − 4 x 2 ) + (1 + 2 x)(−8 x) = 6 − 8 x 2 − 8 x − 16 x 2 = 6 − 8 x − 24 x 2 f ( x) = 1 − x 2 = (1 − x f ′( x) =
1 2
1 − 2 2
( (1 − x )
1 2 2
)
⋅ (1 − x )′ = 2
−2 x 2 1 − x2
=−
x 1 − x2
x
f ( x) =
f ′( x) =
1 + x2
( ( 1+ x )
( x)′ ⋅ 1 + x 2 − x ⋅ 2
=
1 + x2 − x2
(1 + x ) ⋅ 2
1+ x
2
=
1 + x2
2
)= ′
1
(1 + x ) ⋅ 2
1+ x
2
1+ x − x ⋅ 2
2x
2 ⋅ 1 + x2 = 2 1+ x
= (1 + x
3 − 2 2
)
f ( x) =
3
1 2 2 2 1 + x − x (1 + x ) − x = 1 2 1 + x + x 1 + x2 2 + x ) ( −
1 3
2 3
1 2 2 1 (1 + x ) − x ⋅ f ′( x) = ⋅ 1 3 2 2 1 + + x x ( ) 1 1 1 1 − − 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ⋅ (1 + x ) ⋅ 2 x − 1 ⋅ (1 + x ) + x − (1 + x ) − x ⋅ 2 ⋅ (1 + x ) ⋅ 2 x + 1 = ⋅ 2 1 2 2 (1 + x ) + x *
x − 1 + x2 1+ x
*=
( =
⋅
2
(
) (
1 + x2 + x −
(
) (
1 + x2 + x
x 2 − (1 + x 2 ) − (1 + x 2 ) − x 2 1+ x ⋅ 2
1 ′ f ( x) = ⋅ 3 3 2 =− 3
( (
(
1+ x + x 2
) − x)
1+ x + x 2
1 + x2
)
1 + x2 − x ⋅
)
2
)=
)
1+ x ⋅
3
(
1+ x ⋅ 2
=
(
−2 1+ x + x 2
)
2
2
2
⋅
1 + x2 ⋅
) ( 2
1+ x − x ⋅ 2
1 + x2
2
(
−2 1 + x2 + x
1 2
x + 1 + x2
1+ x + x 2
)
4
)
2
2 =− 3
= 1 1+ x ⋅ 2
3
(
1+ x + x 2
)
2
Jinak :
f ( x) =
f ′( x) =
2 = 3
1+ x − x 1+ x − x 1+ x − x = ⋅ 2 2 2 1 + x + x 1 + x + x 1 + x − x 2
3
2 3
(
2
1 + x2 − x
x − 1+ x
)
−
1 3
2
1 + x2 ⋅ 3 1 + x2 − x
2
1 − 1 2 2 ⋅ (1 + x ) ⋅ 2 x − 1 = 2
2 =− 3
(
1+ x − x 2
)
1−
1 3
2 3
)
(
2 1 + x −x = 2 2 1 + x − x x −1 1 2 2 1 + x ( ) = 1
(
1 + x2 − x
1 3
1 + x2 ⋅ 3 1 + x2 − x
3
2 =− 3
(
)
2
1 3
=
(
3
1+ x − x 2
1 + x2
)
2
1 + x2 − x
)
2 3
cos x f ( x) = arctg 1 + sin x − sin x ⋅ (1 + sin x ) − cos x ⋅ cos x − sin x − sin 2 x − cos 2 x 1 f ′( x) = ⋅ = = 2 2 2 2 1 + sin x ) 1 + sin x ) + cos x ( ( cos x 1+ 1 + sin x − (1 + sin x ) − (1 + sin x ) 1 = = = − 2 1 + 2sin x + sin 2 x + cos 2 x 2 (1 + sin x )
f ( x) = ( ln x ) + x ln x = e x
f ′( x) = e +x
ln x
x⋅ln ( ln x )
x⋅ln ( ln x )
+ eln x⋅ln x
1 1 x ′ ln 2 x 2 ′ ⋅ ( x ⋅ ln ( ln x ) ) + e ⋅ ( ln x ) = ( ln x ) ⋅ ln ( ln x ) + x ⋅ ⋅ + ln x x
1 x −1 ⋅ 2 ln x ⋅ = ( ln x ) ⋅ ( ln x ⋅ ln(ln x) + 1) + 2 x ln x −1 ⋅ ln x x
Přímka, která prochází bodem [ x0 , f ( x0 )] se směrnicí f ′( x0 ) , se nazývá tečna ke grafu funkce f v bodě x0 .
Přitom platí:
1. existuje-li vlastní nenulová derivace f ′( x0 ) : tečna:
y − f ( x0 ) = f ′( x0 )( x − x0 )
normála:
y − f ( x0 ) = −
2. platí-li f ′( x0 ) = 0 :
1 ( x − x0 ) ′ f ( x0 )
3. je-li f ′( x0 ) nevlastní:
vodorovná tečna:
y = f ( x0 )
svislá tečna:
x = x0
svislá normála:
x = x0
vodorovná normála:
y = f ( x0 )
Je-li f −′( x0 ) ≠ f +′( x0 ) , nazývají se příslušné polopřímky polotečny
Tečny a normály t1 : y = 1 + 2 x n1 : y = 1 − 12 x
Polotečny
t2 : y = 2
n2 : x = 1
t3 : x = 2
n3 : y = 1
p1 : x = 1,
y>0
p2 : y = 23 x + 13 ,
x<2
p3 : y = −2 x + 5, x > 2 f −′(1) = lim− f ′( x) = −∞,
f +′(1) = lim+ f ′( x) = ∞,
f −′(2) = lim− f ′( x) = ,
f −′(1) = lim+ f ′( x) = −2
x →1
x →2
2 3
x →1
x→2
Výpočet rovnice tečny a normály
f ( x) = 1 + 3 2 − x , T1 = [3, 0] , T = [ 2,1] 1 f ( x) = 3 (1 − 2 x)( x + 1)2 , T1 = [ 0,1] , T2 = [ −1, 0] , T3 = , 0 2
f ( x) = 5 ( x − 2 ) , x = 2 2
f ( x) = e x − 1 , x = 0
f ( x) = 1 + 3 2 − x , T1 = [3, 0] , T = [ 2,1] f ′( x) =
1 3⋅ 3 (2 − x)
2
1 t1 : y − 0 = − ( x − 3) 3 n1 : y − 0 = 3( x − 3) t2 : x = 2
f ( x) = f ′( x) =
1 f ′ ( 3) = − , 3
⋅ (−1)
f ′ ( 2) ∃
⇔ x + 3y +1 = 0 ⇔ 3x − y − 9 = 0
´
n2 : y = 1
5
( x − 2)
2 ⋅ 5
2
, x=2
( x − 2)
−
3 5
2 5
1
= ⋅ 5
( x − 2)
3
1 +∞ 2 lim f ′( x ) = ⋅ 5 lim = 5 x→2 x→2 x − 2 −∞ 3
polotečna
x=2
f ′ ( 2) ∃ pro x → 2+ pro x → 2−
f ( x) = e x − 1 , x = 0
f ( 0) = 0
e x − 1 x ≥ 0 f ( x) = x 1 − e x < 0
lim+ f ′( x) = e0 = 1
x →0 ⇒ f ′ ( 0) ∃ 0 lim− f ′( x) = −e = −1 x →0 polotečna zprava : y − 0 = 1⋅ ( x − 0) ⇔ y = x polotečna zleva : y − 0 = −1⋅ ( x − 0) ⇔ y = − x e f ′( x) = x −e x
x>0 x<0
1 T1 = [ 0,1] , T2 = [ −1, 0] , T3 = , 0 2
f ( x) = 3 (1 − 2 x)( x + 1) 2
1 ′ 2 − 2( x + 1) + (1 − 2 x) ⋅ 2( x + 1) 2 3 f ′( x) = ( (1 − 2 x)( x + 1) ) = 13 ⋅ = 2 4 (1 − 2 x) 3 ( x + 1) 3
=
2⋅ 3
( x + 1) ( − x − 1 + 1 − 2 x) ) 2 3
(1 − 2 x) ( x + 1)
4 3
=
2 3
−3 ⋅x
⋅
2 3
(1 − 2 x) ( x + 1)
x = 0 ⇒ f ′( x) = 0 , pro x = −1 ∨ x =
1 2
1 3
−2 x
= 3
(1 − 2 x ) ( x + 1)
f ′( x) ∃
t1 : y = 1, n1 : x = 0 lim1 f ′( x) = x→
2
−1 3 3 2
⋅ lim1 x→
2
1 3
(1 − 2 x )
2
1 = −3 2 ⋅ + 3 0
= −∞
1 2
t2 : x = , n2 : y = 0 +∞ x → −1+ 2 1 lim f ′( x) = 3 lim 3 = x →−1 x →− 1 9 x + 1 −∞ x → −1−
polotečna x = −1
2
Linearizace
ln (1,5 ) = ?
ln1 = 0, ln e = ln ( 2.718281828...) = 1
f ( x) = ln x x0 = 1, x = 1,5
g : y = f ( x0 ) + f ′( x0 ) ( x − x0 ) 1 f ′( x) = , x
f ( x ) ≐ g ( x)
f ′( x0 ) = f ′(1) = 1
g (1,5) = f (1) + f ′(1) (1,5 − 1) = 0 + 1⋅ 0,5 = 0,5
f (1,5) ≐ g (1,5) = 0,5
dx := x − x0 df ( x) := f ′( x) ⋅ dx diferenciál funkce
Určit diferenci a diferenciál, je - li f ( x ) = 3 x 4 − 4 x + 5 x0 = 1, dx = 0.5 f ′( x ) = 12 x 3 − 4
δ f ( x0 ) = f ( x0 + dx) − f ( x0 ) = = f (1.5) − f (1) = 14.1875 − 4 ≐ 10.1875
df ( x0 ) = f ′( x0 ) ⋅ dx df (1) = f ′(1) ⋅ dx = 8 ⋅ 0.5 = 4
dx = 0.1 δ f ( x0 ) = f ( x0 + dx ) − f ( x0 ) = f (1.1) − f (1) = 4.9923 − 4 ≐ 0.9923 df ( x0 ) = f ′( x0 ) ⋅ dx
df (1) = f ′(1) ⋅ dx = 8 ⋅ 0.1 = 0.8
Vlastnosti diferencovatelných funkcí
Fermatova věta Jestliže funkce f spojitá na a, b přičemž existuje f ′ (ξ ) , potom
má v ξ ∈ ( a, b ) extrém f ′(ξ ) = 0
Lagrangeova věta Je - li funkce f spojitá na a, b a diferencovatelná na ( a, b ) , potom existuje ξ ∈ ( a.b ) tak, že platí f ′(ξ ) =
f (b) − f (a) b−a
Důsledky
interval, jeho vnitřek f konstantní na ⇔ f ′( x) = 0 na f neklesající na ⇔ f ′( x) ≥ 0 na f nerostoucí na ⇔ f ′( x) ≤ 0 na
f ′( x) = 0 na : ∀x1 , x2 ∈ ∃ξ ∈ ( x1 , x2 ) :
( 0 = ) f ′(ξ ) =
f ( x2 ) − f ( x1 ) ⇒ f ( x2 ) = f ( x1 ) x2 − x1
f neklesající na : x, x1 ∈ ( x1 < x ∨ x1 > x ) :
f ( x1 ) − f ( x) f ( x1 ) − f ( x) ≥ 0 ⇒ f ′( x) = lim ≥0 x → x 1 x1 − x x1 − x
f ′( x) ≥ 0 na :
∀x1 < x2 ∈
f ( x2 ) − f ( x1 ) = f ′(ξ ) ( x2 − x1 ) ≥ 0 ⇒
f nerostoucí na analogicky
f ( x1 ) ≤ f ( x2 )
L’Hospitalovo pravidlo - použití zobecněné věty o přírůstku funkce pro počítání limit: Jsou-li f a g funkce diferencovatelné na jistém okolí bodu c, přičemž platí
lim f ( x) = lim g ( x) = 0 x →c
x →c
a existuje (vlastní nebo nevlastní) limita
f ′( x) lim = l, x → c g ′( x )
f ( x) potom také lim = l. x →c g ( x )
f ( x) Výraz lim x →c g ( x )
kde lim f ( x) = lim g ( x) = 0 x →c
0 nazýváme neutčitý výraz typu . 0
x →c
2. L’Hospitalovo pravidlo
Je − li lim f ( x) = ±∞, lim g ( x) = ±∞ a existuje (vlastní nebo nevlastní) x →c
f ′( x) = l, limita lim x → c g ′( x )
x →c
f ( x) = l. potom také lim x →c g ( x)
∞ V tomto případě hovoříme o neurčitém výrazu typu . ∞
Analogicky se definují neurčité výrazy typů ∞ − ∞, 0 ⋅ ∞, 1∞ , 00 , ∞ 0 V těchto případech výraz upravujeme na některý z prvních dvou typů.
f (a) = g (a ) = 0
Nechť
f ( x) f ′( x) potom lim = lim x →a g ( x) x → a g ′( x )
f ( x) − f (a) f ( x) − f (a ) lim f ( x) f ( x) − f (a) f ′(a ) x→a x−a x−a = lim = lim = = lim x →a g ( x) x →a g ( x) − g (a ) x →a g ( x) − g (a) g ( x) − g (a ) g ′(a ) lim x→a x−a x−a
Příklady
1 1 lim − x →1 x − 1 ln x
e2 x lim 3 x →∞ x lim+
x →0
(
x ln x
)
lim ( cos x ) x →0
cotg 2 x
lim n n n →∞
f ′( x ) = lim x→a ′ g ( x)
e2 x ∞ 2 ⋅ e2 x 2 2 ⋅ e2 x 2x = = =∞ lim 3 = = lim lim lim e 2 x →∞ x x →∞ 3 x→∞ 2 x ∞ x→∞ 3x ´
1 x
−1 1 ln x − x + 1 0 1 lim+ − = ( ∞ − ∞ ) = lim+ = = lim+ = 1 x →1 x − 1 x →1 ( x − 1) ln x ln x 0 x→1 ln x + ( x − 1) ⋅ x
1− x −1 1 0 1 = lim+ = = lim+ = − lim = − 2 x →1 x ⋅ ln x + ( x − 1) x →1+ ln x + 2 0 x→1 ln x + x ⋅ 1 + 1 x
lim+
x →0
(
)
x ln x = ( 0 ⋅ −∞ ) = lim+ x →0
ln x x
1 − 2
−∞ = = xlim ∞ → 0+
1 x
− x 1 2
3 − 2
= −2 lim+ x x →0
3 −1 2
=0
lim ( cos x )
cotg 2 x
x →0
= (1
∞
) = lim e
cotg 2 x ⋅ ln cos x
x →0
=*
1 ⋅ ( − sin x ) ln cos 0 x cos x lim cotg 2 x ⋅ ln cos x = ( ∞ ⋅ ln1 = ∞ ⋅ 0 ) = lim = = lim = x →0 2 x →0 x →0 1 tg x 0 2 tg x ⋅ cos 2 x − tg x
1 = lim ⋅ cos x = − x →0 2 tg x 2
lim n n = lim x x n →∞
*=e
2
x →∞
1 2
1 = e
x∈ℕ
1 x
lim x x = lim x = ( ∞ 0 ) = lim e x →∞
−
x →∞
x →∞
1 x
ln x ∞ lim = = lim = 0 x →∞ x ∞ x→∞ 1
1 ⋅ ln x x
=*
* = e0 = 1 ⇒ lim n n = 1 n →∞
Derivace vyšších řádů f ′′( x) := ( f ′( x) )′
Druhá derivace :
f ( n ) ( x) := ( f ( n −1) ( x) )′
n − tá derivace :
(( x − x ) )
k (n)
0
1) n < k :
=?
(( x − x ) ) = ( k ( x − x ) ) = k ⋅ (k −1) ⋅ ( x − x ) ′′′ ′ (( x − x ) ) = ( k ⋅ (k −1) ⋅ ( x − x ) ) = k ⋅ (k −1) ⋅ (k − 2) ⋅ ( x − x ) ′′
k
0
k −1
′
k −2
0
0
k −2
k
0
0
0
⋮
(( x − x ) )
k (n)
0
= k ⋅ (k − 1) ⋅ (k − 2)⋯ ( k − (n − 1) )( x − x0 )
k −n
k −3
(( x − x ) )
k (k )
2) n = k :
0
= k ⋅ (k − 1) ⋅ (k − 2)⋯ ( k − (k − 1) )( x − x0 )
k −k
=
= k ⋅ (k − 1) ⋅ (k − 2)⋯1. ( x − x0 ) = k ! 0
( ) (( x − x ) )
3) n = k + 1: ( x − x0 )
k ( k +1)
4) n > k :
k (n)
0
(( x − x ) )
k (n)
0
=
(
k = ( x − x0 )
)
(k )
′ = k ! ′ = 0 ( )
⇒
=0
k ⋅ (k − 1) ⋅ (k − 2)⋯ ( k − (n − 1) )( x − x0 ) k! 0
k −n
n
k
( sin x )
(n)
=?
( sin x )′ = cos x = sin( x + π2 ) ( sin x )′′ = ( cos x )′ = ( sin( x + π2 ) )′ = cos( x + π2 ) = sin ( x + 2 ⋅ π2 ) ⋮
( sin x )
(n)
= sin ( x + n ⋅ π2 )
Taylorův polynom
(v bodě x = x0 ) :
Tn ( x ) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 ) 2 + ⋯ + an ( x − x0 ) n Požadavky : f ( x0 ) = Tn ( x0 ), f ′( x0 ) = Tn′( x0 ), f ′′( x0 ) = Tn′′ ( x0 ),… , f ( n ) ( x0 ) = Tn( n ) ( x0 ) odtud f ′( x0 ) f ′′( x0 ) f ( n ) ( x0 ) 2 Tn ( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) + ( x − x0 ) + ⋯ + ( x − x0 ) n 1! 2! n! f ( n +1) (ξ ) a pro f ( x) = Tn ( x) + R platí | R |≤ ( x − x0 ) n +1 (n + 1)!
(e )
x (n)
f ( x) = e , x0 = 0 x
= e , (e x
)
x (n)
x=0
=1
x 2 x3 xn e = 1+ x + + +⋯ + + R 2! 3! n! x
f ( x ) = sin x, x0 = 0
( sin x )
(n)
= sin( x + n ⋅ 2 ), π
( sin n ⋅ 2 )n=0 = ( 0,1, 0, −1, 0,…) π ∞
2 n +1 x3 x5 x sin x = x − + ⋯ + ( −1) n +R 3! 5! (2n + 1)!
f ( x) = cos x, x0 = 0
(( cos x ) )
(n) ∞ n=0
= (1, 0, −1, 0,…)
2n x2 x4 x cos x = 1 − + ⋯ + (−1) n +R 2! 4! (2n)!
f ( x) = ( x + 1) sin x T2 ( x) = − x + x 2 x ∈ ( −1, 2;1, 7 )
x0 = 0 | R |< 0,5 T4 ( x) = − x + x 2 − 16 x3 + 16 x 4 x ∈ ( −1,9; 2, 2 )
Extrémy Řekneme, že funkce f má v x0 lokální maximum ( minimum ) právě když ∃U ( x0 )∀x ∈ U ( x0 ) : f ( x) ≤ f ( x0 )
( f ( x) ≥
f ( x0 ) )
tedy právě když je v x0 funkční hodnota "lokálně největší" (nejmenší ) • Nutná podmínka pro lokální extrém Má - li funkce f v x0 lokální extrém, je f ′( x0 ) = 0 nebo
f ′( x0 ) ∃
• Postačující podmínka pro lokální extrém f ′′( x0 ) > 0 ⇒ v x0 je lokální minimum f ′′( x0 ) > 0 ⇒ v x0 je lokální maximum f ′′( x0 ) = 0 ⇒ v x0 extrém může a nemusí nastat Absolutní maximum (minimum) = největší (nejmenší) hodnota funkce na dané množině (nejčastěji na intervalu) Na uzavřeném intervalu má spojitá funkce vždy absolutní maximum a minimum – v bodech lokálních extrémů nebo v koncových bodech intervalu
Zjištění druhu extrému pomocí znaménka derivace v okolí vyšetřovaného bodu:
Pro x ∈ (0, a) je f ′( x) > 0, tedy funkce roste pro x ∈ (a, b) je f ′( x) > 0, tedy funkce roste
⇒ v x0 = a není extrém
pro x ∈ (a, b) je f ′( x) > 0, tedy funkce roste pro x ∈ (b, c) je f ′( x) < 0, tedy funkce klesá
⇒ v x0 = b
je maximum
pro x ∈ (b, c) je f ′( x) < 0, tedy funkce klesá pro x ∈ (c, d ) je f ′( x) > 0, tedy funkce roste
⇒ v x0 = c
je minimum
pro x ∈ (c, d ) je f ′( x) > 0, tedy funkce roste pro x ∈ ( d , e) je f ′( x) < 0, tedy funkce klesá
⇒ v x0 = d
je maximum
Příklady
f ( x) = 3 + 2 x − x 2
f ( x) =
4
x3 + 2 x x ≥ 0 f ( x ) = x + 2 | x |= 3 x − 2x x < 0 3
3
(x
2
x x2 + 1 f ( x) = 2 x2 −1
f ( x) = 3 + 2 x 2 − x 4
f ′( x) = 4 x − 4 x3 = 4 x (1 − x 2 ) = 4 x(1 − x)(1 + x) f ′( x) = 0 : x = 0 ∨ x = −1 ∨ x = 1 f ′′( x) = 4 − 12 x 2 ,
f ′′(±1) = −8 < 0,
f max = f (±1) = 4, f min = f (0) = 3
− 1) = ( x − 1) 2
f ′′(0) = 4 > 0
2
2 3
f ( x) = f ′( x) =
3
(x
2 3
2
− 1) = ( x − 1) 2
2
1 3
2 3
( x − 1) ⋅ 2 x = ⋅ −
2
4 3
x 3 ( x − 1)( x + 1)
x = 0 ⇒ f ′( x) = 0, x = ±1 ⇒ f ′( x) ∃ znaménko f ′ :
− + − + ց −1 ր 0 ց 1 ր min
f min = f ( ±1) = 0,
lim f ′( x) = x →1
4 ⋅ 3
max
min
f max = f (0) = 1
+∞ x → 1+ 1 1 ⋅ lim 3 = 3 x 1 → 2 x − 1 −∞ x → 1−
+ x +∞ → − 1 − 1 1 4 lim f ′( x) = ⋅ 3 ⋅ lim 3 = 3 x →−1 x →− 1 −2 x + 1 −∞ x → −1−
⇒ v bodech x = ±1
je svislá polotečna
3 x + 2x 3 f ( x ) = x + 2 | x |= 3 x − 2x 3 x 2 + 2 x > 0 f ′( x ) = 2 ⇒ 3 x − 2 x < 0
x≥0 x<0
f ′(0) ∃
f ′( x ) = 0 : 3 x 2 − 2 = 0 ∧ x < 0 ⇒ x = − znaménko f ′ :
+ ր
−
6 3
− + ց 0 ր
max f max = f
( ) −
2 3
lim+ f ′( x ) = 2,
x →0
=−
8 27
+2
2 3
min 2 3
=
4 6, 9
f min = f (0) = 0
lim− f ′( x ) = −2 ⇒
x →0
graf má v x = 0 pravou polotečnu y = 2 x a levou polotečnu y = −2 x
x x2 + 1 1 2 f ( x) = f : x ≠ 2 2x −1 2
x=±
2 2
svislé asymptoty
2 2x x + 1 + x ⋅ ⋅ ( 2 x 2 − 1) − x x 2 + 1 ⋅ 4 x 2 2 x +1 = f ′( x) = 2 2 ( 2 x − 1)
x2 + 1 − x2 x2 + 1
= =
⋅ ( 2 x 2 − 1) − 4 x 2 x 2 + 1
( 2x
2
− 1)
2
=
4 x4 −1 − 4 x4 − 4 x2
( 2x
2
− 1)
f ′( x) = − ⇒
2
x2 + 1 4 x2 + 1
(2 x − 1) x + 1 funkce nemá extrémy 2
2
2
< 0 ∀x ∈ f
Největší a nejmenší hodnota funkce
f ( x) = x 4 − 2 x3 + 2 x − 1 na intervalu 〈−1, 2〉
f ′( x) = 4 x3 − 6 x 2 + 2 = 2( x − 1) 2 (2 x + 1) 1 2
význačné body : x = −1, x = − , x = 1, x = 2 f (−1) = 0, f
1 − 2
f max = f (2) = 3,
=−
27 , 16
f (1) = 0, f (2) = 3
f min = f
1 − 2
=−
27 16
Najděte takové kladné číslo, aby součet tohoto čísla a jeho převrácené hodnoty byl nejmenší.
1 x > 0, f ( x) = x + → min x 1 x2 −1 f ′( x) = 1 − 2 = 2 f ′( x) = 0 ∧ x > 0 ⇒ x = 1 x x 2 f ′′( x) = 3 , f ′′(1) = 2 > 0 min x
Hledané číslo je x = 1, nejmenší možná hodnota f (1) = 2.
Konvexnost, konkávnost, inflexe
i Řekneme, že diferencovatelná funkce f je v (a, b) konvexní (konkávní), jestliže graf funkce f leží v každém bodě intervalu (a, b) nad (pod) tečnou. i x0 je inflexní bod funkce f, jestliže v tomto bodě graf funkce přechází z jedné strany tečny na druhou. Znaménko druhé derivace: f ′′ > 0 ⇔
f ′ roste ⇔
graf je nad tečnou ( f je konvexní )
f je v ( a, b ) konvexní (konkávní ), jestliže ∀x ∈ ( a, b ) platí f ′′( x) > 0
( f ′′( x) < 0 )
Nutná podmínka pro inflexi : x0 inflexní bod ⇒
f ′′( x0 ) = 0 .
.
v intervalech ( 0, a ) , v ( a, b ) ,
( b, c ) , ( d , e )
( c, d ) , ( e, f ) a ( f , g )
je funkce konkávní,
je funkce konvexní
x = a, x = b, x = c, x = e jsou inflexní body bod d není inflexní bod! (graf zde nemá tečnu)
x x2 + 1 2 f ( x) = : x ≠ ± f 2 x2 − 1 2 4 x2 + 1 f ′( x) = − < 0 ∀x 2 2 2 (2 x − 1) x + 1 f ′′( x) =
3x ( 8 x 4 + 10 x 2 + 5)
( x 2 + 1)2 (2 x 2 − 1)
=
3 ( 8 x 4 + 10 x 2 + 5) ( x 2 + 1) 2
⋅
x
(
2 x−
2 2
)( x + ) 2 2
f ′(0) = −1 inflexní tečna y = − x
x = 0 inflexní bod ,
Asymptoty : x x2 + 1 x x2 + 1 1 lim = lim ⋅ 2 2 x2 − 1 2 2 x+ 2 x− x→ x→ 2 2
(
2
)(
2 2
x x2 + 1 x x2 + 1 1 lim = lim ⋅ 2 2 2x −1 2 2 x− 2 x+ x →− x →− 2 2
2
(
- svislé asymptoty x = ±
)( 2 2
)
2 = ⋅ 4
2 2
)
1 2
+1 2
⋅ lim x→
2 2
1
(x− ) 2 2
+∞ zprava = −∞ zleva
− 2 12 + 1 1 = ⋅ ⋅ lim 4 − 2 x→− 2 x + 2
(
2 2
)
+∞ zprava = −∞ zleva
| x | 1 + x12
x +1 x x2 + 1 1 x| x| 1 a = lim b = lim = 0, = lim = lim = ± x →±∞ 2 x 2 − 1 x →±∞ 2 x →±∞ 2 x 2 − 1 2 x →±∞ x 2 2 x 2 − x12 2
(
asymptoty
x → +∞ : y =
)
1 , 2
x → −∞ : y = −
1 2
Vyšetření průběhu funkce Definiční obor funkce - Body nespojitosti, intervaly spojitosti - Průsečíky se souřadnými osami - Symetrie grafu (sudost, lichost), periodičnost funkce - Chování funkce v okolí bodů nespojitosti a svislé asymptoty - Chování v nekonečnu – asymptoty se směrnicí Intervaly monotónnosti, body extrémů a extrémy Intervaly konvexnosti a konkávnosti, inflexní body
Načrtněte graf funkce spojité na f = R − {2} , přímka x = 2 je její svislá asymptota, přímka y = − x − 1 je asymptota pro x → −∞, přímka y = x + 1 je asymptota pro x → ∞, f ( −1) = −1, f (1) = 1, f ( −2) = f (0) = 0, f ′( −2) = −2, f ′( −1) = f ′(1) = 0, f −′(0) = 2, f +′ (0) = ∞, f ′′( x) < 0 pro x ∈ ( −∞, −2 ) , x ∈ ( 0, 2 ) a x ∈ ( 2, ∞ ) , f ′′( x) > 0 pro x ∈ ( −2, 0 )
Do obrázku nakreslete také všechny asymptoty a tečny resp. polotečny v bodech x = −2, −1, 0,1.