DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA

Daftar Isi 8. KEKONTINUAN PADA INTERVAL

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA (Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Hendra Gunawan∗ ∗ Dosen FMIPA - ITB E-mail: [email protected].

November 19, 2007

Hendra Gunawan

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA


8.1 Kekontinuan pada Interval 8.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu pada Interval 8.3 Lebih jauh tentang Fungsi Kontinu pada Interval

Hendra Gunawan




Secara geometris, f kontinu di suatu titik berarti bahwa grafiknya tidak terputus di titik tersebut. Serupa dengan itu, f kontinu pada suatu interval apabila grafiknya tidak terputus pada interval tersebut. Dalam perkataan lain, f kontinu pada suatu interval apabila kita dapat menggambar grafik fungsi f pada interval tersebut tanpa harus mengangkat pena dari kertas.

Hendra Gunawan




Definisi formal Kekontinuan pada Interval

Fungsi f dikatakan kontinu pada interval buka I jika dan hanya jika f kontinu di setiap titik pada I . Fungsi f dikatakan kontinu pada interval tutup I = [a, b] jika dan hanya jika f kontinu di setiap titik c ∈ (a, b), kontinu kanan di a, dan kontinu kiri di b.

Hendra Gunawan




Gambar 8.1 Grafik fungsi kontinu pada interval buka Hendra Gunawan




Gambar 8.2 Grafik fungsi kontinu pada interval tutup Hendra Gunawan




Contoh 1

Misalkan f : R → R didefinisikan sebagai x, x ≤ 1; f (x) = 3 2, x > 1 Perhatikan bahwa f kontinu di setiap titik kecuali di c = 1. Namun f kontinu kiri di c = 1, dan karenanya f kontinu pada interval [0, 1]. Karena f tidak kontinu kanan di c = 1, maka f tidak kontinu pada interval [1, 2].

Hendra Gunawan




Proposisi 2

Misalkan f terdefinisi pada suatu interval I . Maka, f kontinu pada I jika dan hanya jika, untuk setiap x ∈ I dan setiap > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga |f (x) − f (y )| < untuk y ∈ I dengan |x − y | < δ.

Hendra Gunawan




Contoh 3

(i) Fungsi f (x) = px + q kontinu pada sebarang interval I . (ii) Fungsi g (x) = |x| kontinu pada sebarang interval I . √ (iii) Fungsi h(x) = x kontinu pada sebarang interval I ⊆ [0, ∞).

Hendra Gunawan




Soal Latihan 1

2

3

Misalkan f : [0, 5] → R didefinisikan sebagai 2x, 0 ≤ x < 1; f (x) = 1, 1 ≤ x ≤ 5. Selidiki apakah f kontinu di setiap titik pada interval [0, 5]. Selidiki kekontinuan f pada interval [0, 1] dan pada interval [1, 5]. Sketsalah grafiknya. Buktikan bahwa fungsi f pada Soal 1 terbatas. Tentukan apakah ia mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum. Misalkan I adalah suatu interval tertutup dan 0 < C < 1. Misalkan f : I → I adalah suatu fungsi yang memenuhi |f (x) − f (y )| < C |x − y | untuk tiap x, y ∈ I ; yakni f kontraktif pada I . Buktikan bahwa f kontinu pada I . Hendra Gunawan




Proposisi 4

Misalkan f dan g kontinu pada suatu interval I dan λ, µ ∈ R. Maka λf + µg dan fg kontinu pada I . Juga, jika g (x) 6= 0 untuk tiap x ∈ I , maka gf kontinu pada I .

Hendra Gunawan




Contoh 5

(i) Setiap fungsi polinom kontinu pada sebarang interval. (ii) Setiap fungsi rasional kontinu pada sebarang interval dalam daerah asalnya. Sebagai contoh, f (x) = x1 kontinu pada (0, ∞). √ (iii) Fungsi f (x) = x + x kontinu pada sebarang interval √ I ⊆ [0, ∞), karena f1 (x) = x dan f2 (x) = x kontinu pada sebarang interval I ⊆ [0, ∞).

Hendra Gunawan




Proposisi 6 Misalkan g : I → J kontinu pada interval I dan f : J → R kontinu pada interval J. Maka f ◦ g kontinu pada I . Bukti. Ambil x ∈ I dan > 0 sebarang. Karena f kontinu di u = g (x), maka terdapat δ > 0 sedemikian sehingga |f (u) − f (v )| < untuk v ∈ J dengan |u − v | < δ. Selanjutnya, karena g kontinu di x, kita dapat memilih γ > 0 sedemikian sehingga |g (x) − g (y )| < δ untuk y ∈ I dengan |x − y | < γ. Akibatnya, kita peroleh |f (g (x)) − f (g (y ))| < untuk y ∈ I dengan |x − y | < γ. Ini berarti bahwa f ◦ g kontinu di sebarang x ∈ I . Hendra Gunawan




Contoh 7

(i) Fungsi h(x) = |1 + x| kontinu pada sebarang interval, karena f (x) = |x| dan g (x) = 1 + x kontinu pada sebarang interval. (ii) Fungsi h(x) =

√ 1−√x 1+ x

kontinu pada sebarang interval I ⊆ [0, ∞).

Hendra Gunawan




Proposisi 8

Misalkan f kontinu pada suatu interval I . Jika c ∈ I dan hxn i suatu barisan di I dengan lim xn = c, maka lim f (xn ) = f (c). n→∞

n→∞

Catatan. Perhatikan bahwa kesimpulan pada Proposisi 8 menyatakan bahwa lim f (xn ) = f lim xn . n→∞

n→∞

Dalam perkataan lain, operasi limit dan f dapat bertukar urutan.

Hendra Gunawan




Soal Latihan 1

Jelaskan mengapa fungsi berikut kontinu pada sebarang interval. 1 1+|x| . √ g (x) = 1 + x 2 .

f (x) =

2

Misalkan f kontinu pada suatu interval I dan untuk setiap bilangan rasional r ∈ I berlaku f (r ) = r 2 . Buktikan bahwa f (x) = x 2 untuk setiap x ∈ I .

3

Misalkan f : [0, 1] → [0, 1] adalah fungsi kontraktif. Konstruksi barisan hxn i dengan x1 ∈ I dan xn+1 = f (xn ), n ∈ N. Buktikan bahwa hxn i konvergen ke suatu L ∈ [0, 1], dan L = f (L).

Hendra Gunawan




Sebagaimana telah disinggung dalam Bab 2, interval [a, b] yang tertutup dan terbatas merupakan himpunan kompak di R. Sekarang kita akan mempelajari keistimewaan yang dimiliki oleh fungsi kontinu pada interval kompak [a, b].

Hendra Gunawan




Teorema 9

Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Maka f ([a, b]) juga merupakan suatu interval kompak. Teorema ini merupakan konsekuensi dari beberapa teorema berikut.

Hendra Gunawan




Teorema 10

Misalkan f kontinu pada suatu interval I . Maka daerah nilainya, yaitu f (I ), juga merupakan suatu interval.

Hendra Gunawan




Teorema 11 (Teorema Nilai Antara) Misalkan f kontinu pada suatu interval I yang memuat a dan b. Jika u terletak di antara f (a) dan f (b), maka terdapat c di antara a dan b sedemikian sehingga f (c) = u. Catatan. Teorema 11 setara dengan Teorema 10. ‘Bukti’. Tanpa mengurangi keumuman, asumsikan a < b dan f (a) < u < f (b). Tinjau himpunan H := {x ∈ [a, b] : f (x) < u}. Jelas bahwa H 6= ∅ karena a ∈ H. Karena H juga terbatas, maka H mempunyai supremum, sebutlah c = sup H. Selanjutnya tinggal membuktikan bahwa f (c) = u, dengan menunjukkan bahwa tidak mungkin f (c) < u ataupun f (c) > u.

Hendra Gunawan




Teorema 12 Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Maka f terbatas pada [a, b]. Bukti. Misalkan f tak terbatas pada [a, b]. Maka terdapat suatu barisan hxn i di [a, b] sedemikian sehingga |f (xn )| → +∞ untuk n → ∞.

(1)

Karena hxn i terbatas, maka menurut Teorema Bolzano Weierstrass terdapat suatu sub-barisan hxnk i yang konvergen ke suatu titik c ∈ [a, b]. Tetapi f kontinu di c, sehingga f (xnk ) → f (c) untuk k → ∞. Ini bertentangan dengan (1). Jadi mestilah f terbatas pada [a, b]. Hendra Gunawan




Teorema 13 Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum pada [a, b]. Bukti. Dari Teorema 12 kita tahu bahwa f terbatas pada [a, b]. Misalkan v := sup f ([a, b]). Konstruksi barisan hxn i di [a, b] dengan f (xn ) → v untuk n → ∞. Karena hxn i terbatas, terdapat sub-barisan hxnk i yang konvergen ke suatu titik c ∈ [a, b]. Namun kekontinuan di c mengakibatkan f (xnk ) → f (c) untuk k → ∞. Jadi mestilah v = f (c), dan ini berarti bahwa v merupakan nilai maksimum. Serupa dengan itu, f juga mencapai nilai minimumnya.

Hendra Gunawan




Contoh 14

Persamaan 10x 7 − 13x 5 − 1 = 0 mempunyai sebuah akar c ∈ (−1, 0). Misalkan f (x) = 10x 7 − 13x 5 − 1. Maka, f (−1) = 2 dan f (0) = −1. Karena f kontinu pada [−1, 0] dan 0 terletak di antara f (−1) dan f (0), maka menurut Teorema Nilai Antara terdapat c ∈ (−1, 0) sedemikian sehingga f (c) = 0. Bilangan c dalam hal ini merupakan akar persamaan di atas.

Hendra Gunawan




Contoh 15

Misalkan f : [a, b] → [a, b] kontinu pada [a, b]. Maka, terdapat c ∈ [a, b] sedemikian sehingga f (c) = c. [Bilangan c demikian disebut sebagai titik tetap f .] Peta dari [a, b] merupakan himpunan bagian dari [a, b], sehingga f (a) ≥ a dan f (b) ≤ b. Tinjau g (x) = f (x) − x, x ∈ [a, b]. Karena f kontinu pada [a, b], maka g juga kontinu pada [a, b]. Namun g (a) = f (a) − a ≥ 0 dan g (b) = f (b) − b ≤ 0. Menurut Teorema Nilai Antara, mestilah terdapat c ∈ [a, b] sedemikian sehingga g (c) = 0. Akibatnya f (c) = c.

Hendra Gunawan




Soal Latihan

1

Lengkapi Bukti Teorema Nilai Antara.

2

Buktikan bahwa setiap polinom berderajat ganjil mempunyai sedikitnya satu akar real.

3

Misalkan f kontinu pada suatu interval kompak I . Misalkan untuk setiap x ∈ I terdapat y ∈ I sedemikian sehingga 1 |f (y )| ≤ |f (x)|. 2 Buktikan bahwa terdapat suatu c ∈ I sedemikian sehingga f (c) = 0.

Hendra Gunawan


DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA

Recommend Documents