Jurnal Riset Pendidikan ISSN: 2460-1470
Mohammad Zahri
Conceptual Reasoning Based Dalam Pembelajaran Kalkulus Integral Mohammad Zahri STKIP Al Hikmah Surabaya e-mail:
[email protected]
Abstrak Artikel ini menyajikan hasil penelitian pendahuluan tentang kemampuan memberikan alasan matematis secara tertulis. Subjek penelitian ini dipilih dua mahasiswa, yang memiliki nilai tugas kalkulus tinggi, dan rendah. Data penelitian ini berupa jawaban tertulis mahasiswa pada soal tugas kalkulus integral. Analisis data dilakukan pada alasan matematis tertulis yang disajikan pada langkah-langkah jawaban tugas. Alasan tertulis ini merupakan indikator penalaran matematika mahasiswa. Conceptual Reasoning Based merupakan pendekatan yang bertujuan untuk mengembangkan penalaran matematika. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa subjek S1 memberikan alasan matematis secara lengkap, sistematis, dan logis. Sedangkan subjek S2 hanya mampu mengemukakan alasan matematis tertulis secara ringkas. Kata Kunci: Conceptual Reasoning Based, Penalaran, Alasan Matematis Tertulis Abstract This article presents the result of pre-research about the ability to give mathematical argument in written. The subjects of this research were two students who had the high and low score of calculus assignment. The data of this research were the students’ written answer of integral calculus assignments. The data analysis was based on written mathematical argument presented on the steps to answer the assignments. This written argument is the indicator of the student’s mathematical reasoning. Conceptual Reasoning Based is an approach purposed to develop mathematical reasoning. The results of this research showed that undergraduate subject gave mathematical argument completely, systematically, and logically. Meanwhile, postgraduate subject could only present written mathematical argument in brief. Keywords: Conceptual Reasoning Based, reasoning, written mathematical argument Pendahuluan Tujuan pembelajaran matematika tidak hanya untuk menguasai materi, juga untuk mengembangkan tata nalar dan problem solving. Untuk itu maka peran guru dalam pembelajaran matematika tidak hanya mementingkan hasil akhir, namun mengembangkan kemampuan bernalar para siswa.
perlu
Guru dapat memupuk kemampuan
bernalar dengan cara melatih siswa menulis alasan matematis dalam langkah-langkah penyelesaian soal matematika. Sejalan dengan hal tersebut maka pendidikan calon guru matematika tidak hanya berorientasi pada penguasaan materi, namun juga mengembangkan tata nalar. Hal ini berarti menguasai materi matematika saja belumlah cukup untuk menjadi guru matematika yang berkualitas. Bolyard & Packenham (2008) mengatakan, meskipun content knowledge 1
Jurnal Riset Pendidikan
Vol. 1, No. 1, Mei 2015
(pengetahuan tentang materi) sangat penting, banyak temuan-temuan penelitian mengungkapkan bahwa mengajar matematika akan efektif terutama tergantung pada kekayaan dari pedagogical content knowledge guru. (Bolyard & Packenham, 2008; Rusa & Nance, 1993; Fenstermacher, 1986; Sanders & Morris, 2000). Conceptual Reasoning Based oleh Osman Cankoy (2010) merupakan
pendekatan yang memperhatikan proses
penalaran dengan cara memberi alasan matematis secara tertulis pada setiap manipulasi matematika. Pertanyaan dalam penelitian ini adalah: “Bagaimana Kemampuan Mahasiswa Dalam Memberikan Alasan Matematis Secara Tertulis Dalam Menyelesaikan Soal Kalkulus?” Penelitian ini merupakan penelitian pendahuluan yang bertujuan untuk mengungkapkan kemampuan mahasiswa dalam memberikan alasan matematis secara tertulis dalam menyelesaikan soal kalkulus integral.
Kemampuan memberikan alasan matematis yaitu
kemampuan mahasiswa untuk memberikan alasan, penjelasan, argumentasi secara matematis dengan jelas, akurat, dan logis pada setiap langkah penyelesaian tugas kalkulus integral.
Pedagogical Content Knowledge Tujuan pembelajaran matematika menurut Permendiknas No. 22 Tahun 2006, yaitu agar peserta didik memiliki kemampuan memahami konsep matematika, menjelaskan keterkaitan antar konsep dan mengaplikasikan konsep atau algoritma, secara luwes, akurat, efisien, dan tepat dalam pemecahan masalah, menggunakan penalaran pada pola dan sifat, melakukan manipulasi matematika dalam membuat generalisasi, menyusun bukti, atau menjelaskan
gagasan
dan
pernyataan
matematika,
memecahkan
masalah
dan
Hal ini juga sejalan dengan yang disampaikan oleh NCTM sebagai berikut:
The
mengkomunikasikan gagasan.
National Council of Teachers of Mathematics ( NCTM) has identified five imperatif or needs for all students (NCTM 1998, 45-46): become mathematical problem solvers, communicate knowledge, reason mathematically, learn to value mathematics, and become confident in one’s ability to do mathematics.
Jadi tujuan pembelajaran matematika agar
siswa dapat menyelesaikan masalah, mengkomunikasikan pengetahuan, memberikan alasan
secara matematis, mempelajari nilai-nilai dalam matematika, dan memiliki rasa percaya diri dalam menyelesaikan matematika. Jadi salah satu tujuan penting pembelajaran matematika yaitu memberikan alasan secara matematis. Kerangka teori yang digunakan dalam penelitian ini yaitu Pedagogical Content
Knowledge (Shulman, 1986), Conceptual Reasoning Based (Cankoy, 2010), dan 2
Jurnal Riset Pendidikan
Mohammad Zahri
Mathematical Reasoning (Eccles, 2007).
Shulman adalah pakar yang diakui sebagai
pencetus konsep Pedagogical Content Knowledge (PCK). PCK dapat diungkapkan sebagai sekumpulan atribut khusus yang membantu guru untuk menstranfer Content Knowledge (CK) atau konten atau materi matematika pada yang lainnya. Termasuk atribut khusus bagi guru, yang dapat membantu guru mengarahkan siswa untuk memahami materi dengan pemahaman yang sangat personal. Dengan kata lain Pedagogical Content Knowledge (PCK) juga meliputi keyakinan tentang cara menanamkan konsep (konseptualisasi) dalam pembelajaran (Shulman, 1986). Lebih lanjut dijelaskan, berdasarkan pandangan Shulman (1995: 130), Pedagogical
Content Knowledge (PCK) juga meliputi, “cara untuk merepresentasikan dan merumuskan subjek (materi) yang membuatnya dapat dipahami secara utuh oleh orang lain. Pemahaman tentang apa yang membuat pembelajaran pada topik tertentu dirasakan mudah atau sulit, konsepsi dan pra-konsepsi yang dibawa para siswa yang berbeda usia dan latar belakang dalam pembelajaran pada topik-topik dan materi yang paling sering diajarkan. Sedangkan Ball (2005) menyatakan, inti dari PCK yaitu cara untuk menstranformasi materi dalam pembelajaran. Proses transformasi ini muncul pada saat seorang guru menginterpretasikan materi pelajaran, mencari cara untuk merepresentasikan materi, dan membuatnya mudah dipelajari siswa. Grouws & Schultz seperti yang dikutip oleh Kellogg (2010) menyatakan: PCK dapat didefinisikan sebagai pemahaman tentang bagaimana merepresentasikan topik-topik tertentu dengan cara yang tepat untuk berbagai macam kemampuan dan minat siswa. Dari beberapa pandangan di atas dapat disimpulkan bahwa Pedagogical Content
Knowledge (PCK) adalah cara untuk merepresentasikan materi agar mudah dipahami oleh siswa, yang memiliki latar belakang, kemampuan, dan minat yang berbeda, sehingga proses pembelajaran akan berjalan secara efektif. Conceptual Reasoning Based adalah salah satu pendekatan yang dapat digunakan dalam pembelajaran matematika. Conceptual Reasoning
Based (CRB) merupakan pendekatan yang digunakan untuk menjelaskan konsep-konsep matematika
dengan memperhatikan
proses berpikir (bernalar) yang didasarkan pada
alasan-alasan matematika yang logis. Conceptual Reasoning Based dikembangkan oleh Osman Cankoy (2010) untuk menjelaskan konsep-konsep khusus dalam matematika dengan tetap memperhatikan tata nalar dan alasan matematis yang logis. CRB digunakan oleh Osman Cankoy untuk menjelaskan topik seperti a0 =1 , 0! = 1, and a ÷ 0 bernilai tak hingga dengan tetap membangun tata nalar dan alasan matematis yang logis. Sebagai ilustrasi berikut dikutip bagaimana CRB menjelaskan a0 = 1. 3
Jurnal Riset Pendidikan
Vol. 1, No. 1, Mei 2015
Tabel 1: Penjelasan topik ekponen Kategori Utama
a0 =1
Sub Kategori Hanya berdasarkan hafalan atau prosedural Penalaran berdasarkan konsep
Pendekatan
Contoh Penjelasan Guru
Ini pendekatan aturan
Guru hanya mengatakan bahwa, “ya itu memang aturannya begitu bahwa a0 =1”
Pendekatan Al Jabar
Contoh 1: Dietahui bahwa:
a2 : a2 = 1. Disisi lain a2 : a2 = a2 x a-2.. Karena a2 x a-2 = a0, maka a0 = 1 Contoh 2: Diketahui bahwa am x an = a maka an x a0 = an, Jadi a0 = 1
m+n
,
Pendekatan Pola
Perhatikan pola di bawah ini: 34 = 81 33 = 27 32 = 9 31 = 3 30 = ? Seperti anda lihat, bahwa setiap langkah kita membagi dengan 3 untuk memperoleh hasil di bawahnya. Maka jika kita membagi 3 dengan 3 maka hasilnya 1. Sehingga diperoleh 30=1 Penjelasan pada Tabel 1 menunjukkan bahwa untuk menjelaskan mengapa a0 =1, seorang guru tidak cukup hanya mengatakan, “ya itu memang aturannya begitu bahwa a0 =1”. Perlu adanya uraian penjelasan yang didasarkan pada konsep, dan sifat-sifat dalam matematika itu sendiri. Conceptual Reasoning Based telah berhasil menyajikan hal yang sederhana ini menjadi menarik dan mendalam khusunya untuk pengembangan tata nalar dalam pembelajaran sebagaimana tampak pada Tabel 1. Dengan Conceptual Reasoning Based
proses pembelajaran matematika berupaya
membangun tata nalar, dan memberikan alasan matematis dalam menjelaskan konsep matematika, walaupun hal itu tampak sederhana.
Pendekatan al jabar dengan
menggunakan sifat pembagian pada eksponen, sedangkan pendekatan pola dengan mencermati pola bilangan yang terbentuk dari perpangkatan suatu bilangan hingga mencapai pangkat nol. Secara lebih khusus kemampuan memberi alasan matematis tersebut dapat dilakukan oleh mahasiswa melalui menulis alasan yang digunakan pada setiap langkah manipulasi matematika dalam dalam belajar konsep maupun menyelesaikan soal matematika.
4
Jurnal Riset Pendidikan
Mohammad Zahri
Perubahan kurikulum di Universitas Manchester juga memiliki fokus pada pengembangan penalaran matematika melalui pembuktian dan menulis matematika. Eccles (2007) mengatakan menyatakan bahwa kunci dari kurikulum baru Universitas Manchester
adalah
modul
tentang
penalaran
matematik
yang
bertujuan
untuk
mengenalkan ide dasar pembuktian matematika dan mengembangkan keterampilan menulis matematika, serta membantu menjembatani kesenjangan antara sekolah dan universitas. Hal ini berarti bahwa penalaran matematika merupakan hal yang sangat penting.
Penalaran
matematika
dapat
dikembangkan
memalui
kegiatan
menulis
matematika. Menulis matematika dapat berupa menulis pembuktian, dapat juga menulis alasan matematis yang digunakan dalam melakukan manipulasi matematika. Manipulasi matematis yang tidak diserta dengan penjelasan serta alasan yang logis akan diragukan kesahihannya.
Untuk itu maka menulis alasan matematis dapat digunakan sebagai
pendekatan untuk mengembangkan penalaran matematis.
Metode Subjek penelitian ini dua mahasiswa STKIP Al Hikmah yang memiliki nilai tinggi dan nilai rendah pada tugas kalkulus integral. Instrumen penelitian ini adalah peneliti sendiri dengan instrumen pendukung soal tugas kalkulus integral. Teknik pengumpulan data yang digunakan adalah studi dokumen. Lincoln dan Guba (1985) teknik pengumpulan data ada 4 cara yaitu interview (wawancara), observasi, dokumen dan catatan/rekaman, dan informasi-informasi yang terkumpul selama penelitian mengatakan, Data penelitian ini integral, yang
berupa jawaban tertulis mahasiswa pada soal tugas kalkulus
dilengkapi dengan alasan matematis tertulis pada setiap langkahnya.
Penelitian ini termasuk jenis penelitian kualitatif yang akan mengungkap kemampuan memberikan alasan tertulis mahasiswa dalam menyelesaikan soal kalkulus integral. Data penelitian ini dianalisis secara kualitatif melalui proses mengorganisasikan dan mengurutkan data ke dalam pola, kategori, memilah-milah menjadi satuan yang dapat dikelola, menemukan apa-apa yang penting sehingga dapat ditemukan tema dan dapat dirumuskan hipotesis kerja seperti yang disarankan oleh Moleong (2007).
Data dan Analisis Data penelitian ini berupa hasil pekerjaan mahasiswa dalam menyelesaikan soal Kalkulus II.
Penyelesaian ini berupa jawaban tertulis yang dilengkapi dengan alasan
matematis pada setiap langkahnya. Perhatikan data hasil penyelesaian dari subjek S1 dan subjek S2 berikut.
5
Jurnal Riset Pendidikan
Vol. 1, No. 1, Mei 2015
Gambar 1: Jawaban dua subjek penelitian Berikut disajikan data hasil jawaban mahasiswa beserta alasan yang dikemukakan pada tiap langkah. Tabel 2: Alasan yang dikemukakan oleh tiap subjek Alasan oleh Subjek 1 ( S1 )
Alasan oleh Subjek 2 ( S2 )
Penyelesaian terdiri atas 10 langkah Alasan matematis yang disajikan sebanyak 7, yaitu alasan ke: 1. Pemilihan teknik penintegralan yaitu substitusi 2. Menentukan bentuk substitusi 3. Menentukan kpk 4. Melakukan substitusi 5. Menggunakan aturan penjumlahan pada integral 6. Menggunakan rumus dasar 7. Mengembalikan ke bentuk semula Hasil akhir “benar”
Penyelesaian teridiri atas 11 langkah Alasan matematis yang disajikan sebanyak 3, yaitu alasan ke:
1. Menentukan kpk 2. Melakukan substitusi
3. Mengembalikan ke bentuk semula Hasil akhir “benar”
Dari sajian data diatas diperoleh bahwa untuk menyelesaikan soal tersebut S1 membutuhkan 10 langkah, sedangkan S2 membutuhkan 11 langkah.
Hal ini berarti S1
memiliki langkah yang lebih singkat. Sedangkan jika dilihat dari banyaknya alasan yang disajikan maka S1 mengemukakan 7 alasan matematis, sedangkan S2 hanya mengemukakan 3 alasan. Pada aspek kejelasan dan kelengkapan, maka S1 mengemukakan alasan yang lebih jelas dan lengkap. Kejelasan alasan akan membantu orang lain mudah memahami 6
Jurnal Riset Pendidikan
Mohammad Zahri
argumentasi yang digunakan, sedangkan kelengkapan berkaitan dengan banyaknya langkah dan kecukupan alasan dalam setiap langkah penyelesaian. Alasan yang logis berarti alasanalasan matematis tersebut masuk akal, bisa diterima secara matematis. Hampir semua langkah S1 dapat memberikan alasan matematis, sedangkan S2 memiliki 11 langkah dan hanya mengemukakan 3 alasan. Menariknya bahwa jawaban akhir keduanya sama benar. Pada langkah 1, subjek S1 memberikan alasan “menggunakan aturan substitusi untuk integran memuat akar tak senama”. Subjek S1 memberikan alasan yang yang benar, dan lengkap. Subjek memahami bentuk integrannya yaitu berupa fungsi yang memuat akarakar yang tak senama. Memilih substitusi untuk integraan yang memuat akar yang senama tentu berbeda dengan yang integrannya tidak senama. Pada langkah ini subjek S1 telah menggunakan 3 alasan matematis, integran yang memuat akar, integran yang memuat akar yang tidak sama, dan menggunakan aturan substitusi. Ketiga alasan ini saling berkaitan secara logis, bahwa beberapa fungsi yang berbentuk akar bisa senama dan bentuk akar yang tak senama. Istilah akar yang senama mengacu pada akar pangkat pada setiap fungsi. Sementara subjek S2 tidak memberikan alasan matematis secara tertulis. Hal ini akan diketahui pada penelitian lanjutan yang akan dilakukan pada waktu berikutnya.
Gambar 2: Jawaban S2 Pada langkah 2, subjek S2 memberikan alasan “substitusi dari penyebut pangkat-pangkat variabel di dalam akar. substitusi
memberikan
gambaran
bahwa
dengan
kpk
Pemberian alasan matematis mahasiswa
memahami
cara
menyederhanakan integran yang berbentuk akar ke bentuk yang lebih sederhana, melalui manipulasi aljabar yaitu substitusi. Selanjutnya agar bentuk-bentuk akar yang berbeda tersebut dapat di hilangkan akarnya, maka harus ditentukan kpk dari penyebut pangkatnya yaitu kpk 3 dan 6 yaitu 6. Pendekatan aljabar berikutnya yang digunakan oleh S1 dalam menyederhanakan bentuk integran tersebut yaitu numerical approach. Selain penalaran aljabar yang digunakan, subjek S1 dapat menyajikan reasoning-reasoning tersebut secara sistematis, lengkap dan mudah dipahami. Sedangkan subjek S2 memberikan alasan yang lebih ringkas, tanpa menjelaskan detil-detil alasan tersebut, namun hasilnya tetap benar. Hal ini menunjukkan bahwa penalaran matematikanya masih berjalan dengan baik, namun
7
Jurnal Riset Pendidikan
Vol. 1, No. 1, Mei 2015
S2 tidak menyajikan alasan tersebut secara tertulis, dengan kata lain komunikasi matematika tulisnya lebih terbatas. Perhatikan hasil pekerjaan subjek S2 berikut.
Gambar 3: Penggalan jawaban S2. Selanjutnya subjek S1 dan S2 mensubstitusikan z yang telah diperoleh ke integran, memanipulasi secar aljabar integran tersebut sehingga diperoleh bentuk yang paling sederhana yaitu integrannya berupa jumlah dua fungsi dalam z. Pada tahapan ini baik subjek 1 maupun subjek 2 melakukan langkah dan reasoning yang sama yaitu substitusi dan manipulasi aljabar.
Gambar 4: Penggalan langkah substitusi manupulasi aljabar S1 dan S2 Untuk menyelesaikan integral pada bentuk yang terakhir ini subjek S1 mengemukakan dua reasoning sebagaimana tertulis pada jawaban berikut.
Gambar 5: Penggalan jawaban S1 Penalaran pertama menggunakan sifat-sifat integral jumlah dua fungsi, sedangkan penalaran kedua menggunakan salah satu bentuk rumus dasar integral. Sifat-sifat integral jumlah lebih dekat pada alasan aljabar atau algebraic reasoning, sedangkan penggunaan rumus dasar merupakan alasan konseptual atau conceptual reasoning. Alasan yang disajikan oleh subjek S1 sangat kuat, jelas, dan lengkap. Sedangkan subjek S2 tidak menyajikan sama sekali alasan pada langkah tersebut. Namun kedua subjek dapat menjawab soal tersebut dengan benar.
8
Jurnal Riset Pendidikan
Mohammad Zahri
Diskusi dan Kesimpulan Hal yang paling menarik untuk didiskusikan yaitu jawaban akhir dari kedua subjek sama-sama benar, walaupun mereka sangat berbeda dalam memberikan alasan matematis secara tertulis. Diskusi ini akan didasarkan pada aspek kemampuan komunikasi matematika tertulis, penguasaan konseptual, serta penguasaan konsep dasar matematika. Subjek S1 dan S2 memiliki kemampaun memberi alasan matematis secara tertulis yang sangat berbeda.
Subjek S1 dapat mengkomunikasikan atau menyajikan alasan
matematis secara tertulis dengan lengkap, sistematis, dan akurat. Hal ini menggambarkan kemampuan komunikasi matematika tertulis subjek S1 sangat baik. Kemampuan komunikasi matematika tertulis sangat mendukung subjek untuk dapat memberikan alasan matematis secara tertulis. Jika dilihat dari uraian jawaban yang diberikan subjek, maka pola jawaban subjek S1 menggambarkan
pemahaman
konseptual,
sedangkan
subjek
S1
cenderung
pada
pemahaman prosedural. Hasil akhir kedua subjek sama dan keduanya benar. Namun untuk memperoleh hasil akhir, subjek S1 mengerjakan soal secara bertahap, artinya menulis semua bentuk
manipulasi matematika
beserta alasan matematisnya.
ia
Setiap
langkah pengerjaan, telah terjdi perubahan bentuk matematis yang diakibatkan oleh manipulasi matematika yang dilakukan.
Dalam melakaukan manipulasi matematika
argumentasinya harus logis, agar bentuk yang baru tetap ekivalen dengan bentuk aslinya Kemampuan manipulasi matematika memerlukan daya dukung penguasaan konsep dasar.
Jika konsep dasarnya lemah, maka akan menjadi hambatan dalam
melakukan
manipulasi matematis. Penguasaan konsep dasar, definisi, sifat-sifat, sangatlah penting agar seseorang dapat mengembangkan
kemampuan memberi alasan matematis, karena hal
tersebut akan digunakan saat akan memberikan alasan matematis. merupakan
Konsep dasar
pijakan dalam membangun argumentasi matematis dan memberi alasana
matematis. Dari analisis dan diskusi diatas disimpulkan bahwa subjek S1 dapat menyajikan alasan matematis tertulis yang lengkap, sistematis, dan logis, sedangkan subjek S2 menyajikan alasan matematis tertulis secara ringkas dan sederhana.
Wawancara mendalam akan
dilakukan pada penelitian lanjutan, untuk mengetahui lebih detil
tentang penalaran
matematis masing-masing subjek.
9
Jurnal Riset Pendidikan
Vol. 1, No. 1, Mei 2015
Daftar Pustaka Ball, D. L., Lubienski, S. T., & Mewborn, D. S. (2001). Research on teaching mathematics: The unsolved problem of teachers’ mathematical knowledge. In V. Richardson (Ed.), Handbook of research on teaching (pp. 433-45). Washington, DC: American Education Research Association. Cankoy, Osman. (2010). Mathematics Teachers’Topic-Specific Pedagogical Content Knowledge in theContext of Teaching a0, 0! and a ÷ 0. Cyprus. Ataturk Teacher Training Academy, Nicosia/ North Cyprus. Eccles, P. J. (2007). An Introduction to Mathematical Reasoning. Cambridge: Cambridge University Press. Kellogg, Matthew S.(2010). Preservice elementary teachers' pedagogical content knowledge
related to area and perimeter: A teacher development experiment investigating anchored instruction with web-based microworlds. University of South Florida.
Miles, M.B. dan Huberman, A. M. (1992). Analisis Data Kualitatif. Jakarta: UI Press. Shulman, L.S. (1995). Those who understand: knowledge growth in teaching in: B. Moon & A.S. Mayes (Eds) Teaching and Learning in the Secondary School (London: Routledge). Shulman, L. S. (1987). Knowledge and Teaching: Foundations for the new reform. Harvard Educational Review, 57 (1), 1-22 Shulman, L. (1986). Those who understand: Knowledge growth in teaching. Educational Researcher, 15(2),414 Shulman, Lee. (2012). Pedagogical Content Knowledge. American Educational Research Association. Siswono, Tatag Y. E. (2010). Penelitian Pendidikan Matematika. Surabaya: Unesa University Press. Tate dan Johnson. (1999). Teaching mathematics in The 21st Century. NCTM Turnukl, Elif B. ( 2007). The Pedagogical Content Knowledge in Mathematics: Preservice Primary Matehamtics Teaches Perspectives in Turkey. Department of Primary Mathematics Teacher Education, Buca-Izmir Turkey
10
