CATATAN KULIAH
Pertemuan III: Model-model linier dan Aljabar Matriks (1) Tujuan mempelajari Aljabar Matriks : ¾ Memberikan suatu cara penulisan sistem persamaan yang singkat walaupun persamaannya luas sekali ¾ Memberikan suatu cara pengujian suatu pemecahan dengan pendekatan determinan ¾ Mendapatkan cara pemecahan yang ringkas (jika solusinya ada) A. Matriks dan Vektor 1. Matriks sebagai Susuan [Array] y Asumsikan Model Ekonomi sebagai system persamaan linear , di mana: aij : parameter, dengan i = 1.. n baris, j = 1.. m kolom, dan nilai n=m, xi : variabel endogen, di : variabel eksogen dan merupakan konstanta. Maka Model tersebut dapat dituliskan sebagai:
•
a11 a21
x1 x1
+ a12 x2 + a22 x2
+ +
a1m xn = d1 a 2 m xn = d 2
an1
x1
+ a n 2 x2
+
anm xn = d n
Kemudian definisikan : Matriks adalah suatu susunan segi empat dari bilangan, parameter dan variabel.
Bentuk umum dari matriks dinyatakan sebagai : A = [ aij]
i = 1, 2, ……., m = baris, j = 1, 2, ……., n = kolom
⎡ a 11 a 12 … a 1n ⎢ a a … a 2n A = ⎢ 21 22 ⎢ ⎢ ⎣ a m1 a m2 … a mn
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
y Selanjutnya dengan penulisan matriks, maka sistem persamaan linear dapat dituliskan sebagai: Ax = d
dimana:
A = matriks dari parameter x = vektor kolom dari variabel endogen ⎡ x1 ⎢ x x= ⎢ 2 ⎢ ⎢ ⎣ xn
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
d = vektor kolom dari variabel eksogen dan berupa konstanta ⎡ d1 ⎢ d d= ⎢ 2 ⎢ ⎢ ⎣ dn
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
Selanjutnya untuk memecahkan model ekonomi tersebut, kita harus mencari nilai vektor x, sbb: ⎡ a11 a12 ⎢a ⎢ 21 a22 ⎢ ⎢ ⎣ an1 an 2 Ax = d x* = A−1d
a1m ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ d1 ⎤ a2 m ⎥⎥ ⎢⎢ x2 ⎥⎥ ⎢⎢ d 2 ⎥⎥ = ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ anm ⎦ ⎣ xn ⎦ ⎣d n ⎦
•
Ilustrasi untuk Model dua persamaan dua variabel 1) Qd=Qs
•
2) Qd = a – bP
(a,b >0)
3) Qs = -c + dP
(c,d >0)
Selanjutnya atur sehingga menjadi bentuk di bawah ini: 4)
1Q + bP = a
5)
1Q – dP = -c
•
Selanjutnya ditulis dengan Aljabar Matriks sebagai:
•
⎡1 b ⎤ ⎡Q ⎤ ⎡ a ⎤ ⎢1 − d ⎥ ⎢ P ⎥ = ⎢− c ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Ax = d Solusi didapat dengan Invers Matriks (Pertemuan selanjutnya) −1
⎡Q * ⎤ ⎡1 b ⎤ ⎡ a ⎤ ⎢ *⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ P ⎦ ⎣1 − d ⎦ ⎣− c ⎦ x * = A −1 d 2. Vektor sebagai Matriks Khusus •
VEKTOR dapat dianggap tipe khusus dari matriks, contohnya: ¾ Vektor baris Æ matriks yang hanya memiliki 1 baris Contoh : R= [ r1, r2, …..rn ] ¾ Vektor kolom Æ matriks yang hanya memiliki 1 kolom ⎡c 1 ⎤ Contoh : C= ⎢⎢c 2 ⎥⎥ ⎢⎣c n ⎥⎦
B. Operasi dengan Matriks y Penjumlahan Matriks
⎡ 2 1⎤ ⎡3 1 ⎤ ⎡ 5 2 ⎤ ⎢7 9⎥ + ⎢0 2⎥ = ⎢7 11⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Secara umum, aturannya:
[a ] + [b ] = [c ] ij
ij
ij
y Pengurangan Matriks
⎡2 1⎤ ⎡1 0⎤ ⎡1 1⎤ ⎢7 9⎥ − ⎢2 3⎥ = ⎢5 6⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
[a ] + [b ] = [c ]
Secara umum, aturannya:
ij
ij
ij
Interpretasi geometrik dari Penjumlahan Vektor Misalkan y v = [2 3], y u = [3 2], dan y v+u = [5 5] maka dapat digambarkan sebagai: x2 5
4
3
V
V+U
2
U
1
x1 1
•
2
3
4
5
Perkalian skalar ⎡2 8⎢ ⎣6 1 ⎡2 8 ⎢⎣6
4⎤ ⎡16 32⎤ = 1 ⎥⎦ ⎢⎣48 8 ⎥⎦ 4⎤ ⎡1 4 1 2⎤ = 1 ⎥⎦ ⎢⎣3 4 1 8 ⎥⎦
Secara umum, aturannya:
[ ] [ ]
a bij = a bij
a=konstanta
y Perkalian skalar ini merupakan asal dari konsep ketergantungan linear (linear dependence) y Himpunan vektor saling tergantung linear (linearly dependence) jika sembarang dari anggotanya dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari anggota-anggota yang lain.
y Ketergantungan linear ini yang akan menyebabkan kesukaran dalam memecahkan sistem persamaan linear. y Contoh:
v1 = [2 7] v 2 = [1 8]
v3 = [4 5] Maka vektor V3 adalah bergantung linear, karena: v3 = 3v1 − 2v 2 = [6 21] − [2 16] = [4 5]
3v1 − 2v 2 − v3 = 0 Interpretasi geometrik dari Perkalian skalar x2
6 5
[6 4] = 2U
4 3
[3
2
2] = U
1 x1 -4
−1⋅U = [− 3 − 2]
•
-3 -2 -1
1
2
3
4
5
6
-2
Perkalian Vektor (hasilkali titik) Jika c dan z adalah vektor baris berikut ini:
c = [c 1 c 2 c3 c 4 ] z = [z 1 z 2 z 3 z 4 ] Maka hasilkali titik dari dua vektor tersebut adalah: ⎡ z1 ⎤ ⎢z ⎥ y = c.z ' = [c 1 c 2 c3 c 4 ] ⎢ 2 ⎥ ⎢ z3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣z4 ⎦ = c1 z1 + c 2 z 2 + c3 z 3 + c 4 z 4
•
Catatan pada Operasi Vektor Sebuah vektor kolom u [m x 1] dan baris vektor v [1 x n] maka hasil kalinya uv mempunyai dimensi [m x n]. Contoh:
⎡ 3⎤ u =⎢ ⎥ 2 x1 ⎣ 2⎦
v = [1 4 5]
1x 3
⎡ 3⎤ ⎡3 12 15⎤ uv = ⎢ ⎥ [1 4 5] = ⎢ ⎥ 2 x3 ⎣ 2⎦ ⎣2 8 10⎦ •
Perkalian Matriks
y Perkalian matriks membutuhkan Kondisi Kesesuaian (conformability condition) y Kondisi Kesesuaian adalah bahwa untuk perkalian, dimensi kolom matriks dari matriks yang di awal (lead matrix) A harus sama dengan dimensi baris dari matriks yang di akhir (lag matrix) B. y Jadi apabila A dan B adalah sembarang matriks dimana dimensi dari kedua matriks adalah A(mxn) dan B(pxq), perkalian matriks A dan B dapat dilakukan apabila n = p dan hasil dari perkalian tersebut adalah sebuah matriks yang berdimensi (mxq). y Contoh: ⎡b11 b12 b13 ⎤ AB = [a11 a12 ] ⎢ b23 ⎥⎥ b ⎣⎢ 21 22 ⎦ = [a11b11 + a12 b21
= [c11
•
c12
a11b13 + a12 b23 ]
a11b12 + a12 b22
c13 ] = C
Dimensi: A(1x2), B(2x3), maka C(1x3)
• Notasi Sigma Σ y Simbol Yunani sigma yang digunakan untuk Penjumlahan adalah cara lain untuk menyajikan Perkalian Matriks. y Dalam notasi ini digunakan, indeks penjumlahan biasanya disimbolkan i. y Contoh: 3
Notasi untuk Hasilkali titik:
∑a b i =1
i i
= a1b1 + a 2 b2 + a3b3
C. Hukum Komutatif, Asosiatif dan Distributif
•
Hukum Komutatif Penjumlahan Matriks: A + B = B + A ⎡a A + B = ⎢ 11 ⎣a21
a12 ⎤ ⎡b11 b12 ⎤ ⎡ a11 + b11 b12 + a12 ⎤ + = a22 ⎥⎦ ⎢⎣b21 b22 ⎥⎦ ⎢⎣a21 + a21 b22 + a22 ⎥⎦
b ⎤ ⎡a a ⎤ ⎡b + a b12 + a12 ⎤ ⎡b B + A = ⎢ 11 12 ⎥ + ⎢ 11 12 ⎥ = ⎢ 11 11 ⎥ ⎣b21 b22 ⎦ ⎣b21 b22 ⎦ ⎣b21 + a21 b22 + a22 ⎦
y Perkalian Matriks, secara umum tidak bersifat komutatif. Sehingga, AB ≠ BA, bahkan jika BA memenuhi kondisi kesesuaian.
⎡1 2⎤ A=⎢ ⎥, ⎣3 4⎦
⎡0 − 1⎤ B=⎢ ⎥ ⎣6 7 ⎦
⎡1(0) + 2(6 ) 1(− 1) + 2(7 )⎤ ⎡12 13 ⎤ AB = ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎣3(0) + 4(6) 3(− 1) + 4(7 )⎦ ⎣24 25⎦ ⎡0(1) + (− 1)(3) 0(2) + (− 1)4⎤ ⎡− 3 − 4⎤ BA = ⎢ = 6(2) + (7 )4 ⎥⎦ ⎢⎣ 27 40 ⎥⎦ ⎣ 6(1) + 7(3) y Kekecualian: AB=BA jika dan hanya jika y B = sebuah skalar, y B = matriks identitas I, atau y B = invers dari matriks A, atau A-1 D. Matriks Identitas dan Matriks Nol y Matriks Bujursangkar Matriks segi adalah matriks yang memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama ⎡ a b ⎤ Contoh : m 2x2 ⎢ c d ⎥ ⎣ ⎦ y Matriks Identitas
Matriks identitas adalah matriks bujursangkar yang memiliki nilai sama dengan 1 untuk diagonal utama dan nol untuk yang lainnya. Contoh : I
I
2x2
⎡1 0 ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣0 1 ⎦
3x3
⎡1 0 0 ⎤ = .⎢0 1 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 1⎥⎦
y Matriks Nol Matriks Nol adalah matriks yang semua elemennya sama dengan nol. ⎡0 0 0 ⎤ Contoh : ⎢ ⎥ ⎢0 0 0 ⎥ ⎢⎣0 0 0⎥⎦ E. Matriks Transpos y Transpos dari suatu matriks A= aij yang berukuran m x n dinotasikan sebagai AT yang berukuran n x m dimana setiap elemennya adalah aTij = aji . y Contoh:
⎡ρ q ⎤ ⎡ p r⎤ A= ⎢ → AT = ⎢ ⎥ ⎥ ⎣r s ⎦ ⎣q s ⎦ ⎡3 8 − 9⎤ A=⎢ ⎥ ⎣1 0 4 ⎦
⎡ 3 1⎤ A = ⎢ 8 0⎥ ⎥ ⎢ ⎢⎣− 9 4⎥⎦ T
y Sifat Matriks Transpos: (AT)T = A F. Determinan dan Sifat Dasar Determinan y Definisi: Determinan suatu matriks A dinotasikan sebagai |A| adalah bilangan skalar yang dihubungkan secara tunggal dengan matriks tersebut. y
Contoh:
y Ordo 2 x 2
⎡a ⎣c
A= ⎢
b⎤ d ⎥⎦
⏐A⏐= ad – bc
y Ordo 3 x 3
⎡ a11 A = ⎢⎢ a 21 ⎢⎣ a 31
a12 a 22 a 32
a13 ⎤ a 23 ⎥⎥ a 33 ⎥⎦
a11
a12
a13
A = a 21
a 22
a 23
a31
a 32
a33
= a11 a 22 a33 + a12 a 23 a 31 + a13 a 21 a 32 − a11 a32 a 23 − a12 a 21 a33 − a13 a 22 a31
y Secara umum dapat dihitung dengan Ekspansi Laplace dengan menggunakan Kofaktor: a11
a12
a13
A = a 21 a31
a 22 a 32
a 23 a33
Maka dengan Ekspansi Laplace didapat bahwa: n
A = ∑ a1 j C1 j = skalar j =1
Di mana:
C ij ≡ (− 1)
i+ j
M ij
Dan matriks Mij adalah matriks A tanpa baris ke-i dan kolom ke-j, yaitu:
y Contoh: ⎡2 A = ⎢⎢1 ⎢⎣2
5 3 1
1 ⎤ 4 ⎥⎥ 6 ⎥⎦
M 11 =
a 22 a32
a 23 a33
M 12 =
a 21 a31
a 23 a33
M 13 =
a 21 a31
a 22 a32
M 11 =
a 22 a32
a 23 3 4 = = 3.6 − 4.1 = 14 a33 1 6
M 12 =
a 21 a31
a 23 1 4 = = 1.6 − 4.2 = −2 a33 2 6
M 13 =
a 21 a31
a 22 1 3 = = 1.1 − 3.2 = −5 a32 2 1
n
A = ∑ a1 j (− 1)
i+ j
j =1
M ij = +2.14 − 5.(−2) + 1.(−5) = 28 + 10 − 5 = 33
y Sifat - sifat determinan 1. ⏐AT⏐ = ⏐A⏐ 2. |A-1⏐ =
I A
3. A B = A
B
Contoh :
⎡4 3⎤ A= ⎢ ⎥ ⎣5 6⎦
|A| =
⎡2 1 ⎤ B= ⎢ ⎥ ⎣3 2⎦
|B| =
4 3 5 6 2 1 3 2
= 4.6 − 3.5 = 9 = 2.2 − 1.3 = 1
Maka: |A.B|=|A|.|B|=9.1=9 4. Apabila 1 baris atau 1 kolom matriks A dikalikan dengan skalar k, maka ⏐A*⏐ = k.|A|, A*=Matriks A yang 1 baris atau 1 kolomnya dikalikan dengan skalar k. Contoh :
15a 7b 5a 7b 5a 7b =3 = 3.2 = 6(5ad − 14bc) 12c 2d 4c 2d 2c d 5. Pertambahan (pengurangan) dari suatu kelipatan baris manapun ke baris yang lain, TIDAK menyebabkan nilai determinan berubah.
Contoh :
a
b
c + ka d + kb
= a(d + kb) − b(c + ka) = ad − bc =
a b c d
G. Matriks Singular: Karakteristik dan Identifikasi y Beberapa kasus, dimana suatu sistem persaman linear tidak mempunyai solusi: 1. Tidak konsisten dan tergantung linear (linear dependent) x+y=8 x+y=9
⎡1 1⎤ ⎡ x ⎤ ⎡8⎤ ⎢1 1⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢9⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2. Tergantung linear (linear dependent) 2x + y = 12 4x + 2y= 24
⎡2 1⎤ ⎡ x ⎤ ⎡12 ⎤ ⎢4 2⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢24⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3. Terlalu banyak persamaan 2x + 3y = 58 3x + y = 18 x + y = 20 ⎡2 3 ⎢3 1 ⎢ ⎢⎣1 1
•
⎤ ⎡ x ⎤ ⎡58⎤ ⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢18 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣20⎥⎦
Syarat suatu sistem persaman linear mempunyai solusi:
1. Matriks A bujur sangkar (nxn), sehingga: jumlah persamaan n = jumlah variable n. 2. Baris atau Kolom Matriks A bersifat saling bebas linear (linearly independent). Hal ini dipenuhi jika rank(A)=n (syarat cukup nonsingular) 3. Jika syarat (1) dan (2) dipenuhi maka matriks A disebut matriks nonsingular. Jika tidak maka disebut sebagai matriks singular, yang mengakibatkan sistem persamaan linear tidak mempunyai solusi.
H. Tes Singularitas.
•
Definisi: Misalkan diberikan matriks A berordo (nxn), matriks A dikatakan matriks singular, bila |A| = 0
•
Identifikasi Matriks Singular
1. Tes Singularitas : Teknik Determinan Contoh: Apakah matriks A singular? ⎡7 5 3 ⎤ A = ⎢⎢2 1 6 ⎥⎥ ⎣⎢4 2 12⎦⎥ Jawab: 7 5 3 1 6 2 6 2 1 A = 2 1 6 = 7. − 5. + 3. 2 12 4 12 4 2 4 2 12 = 7.(12 − 12) − 5.(24 − 24) + 3.(4 − 4) = 0
Karena determinan matriks A sama dengan nol, maka matrik A adalah matriks singular. Sekarang perhatikan apa yang menyebabkan matriks A singular! Pada matriks A, Baris ke-2 dan Baris ke-3 merupakan kelipatan satu dengan yang lainnya. Oleh karena itu determinannya 0, berdasarkan sifat determinan ke-5. 2. Kebebasan linier (syarat cukup non-singular) • Definisi : Kombinasi linier Suatu vektor w dikatakan kombinasi linier dari V1, V2, V3, … , Vn Apabila w dapat diungkapkan sebagai berikut : W = K1V1 + K2V2 + … + KnVn = Σ KiVi
•
Definisi : Kebebasan linier Misalkan V = { V1, V2, V3, … , Vn } merupakan komponen vektor dan K= { K1, K2, K3, … , Kn } merupakan komponen parameter skalar, maka perhatikan persamaan vektor dalam bentuk: Σ KiVi =K1V1 + K2V2 + … + KnVn = 0,
Persamaan ini akan mempunyai paling sedikit satu pemecahan trivial yaitu K1 = K2 = K3 = … = Kn = 0 ¾ Jika Ki = 0, maka Vi adalah satu-satunya pemecahan maka V dikatakan bebas linier.Jika tidak, maka V bergantung linier. (singular) y Contoh Tes Singularitas : ⎡3 2⎤ B= ⎢ ⎥ , periksalah apakah B=non-singular ? ⎣6 4⎦ 1. Gunakan teknik determinan: |B| = 12-12 = 0 → B singular 2. Gunakan teknik kebebasan linier Misalkan : V={ V1, V2 } adalah vektor-vektor kolom dari matriks B, sbb:
⎡3⎤ V1 = ⎢ ⎥ ⎣6 ⎦
⎡2⎤ dan V2 = ⎢ ⎥ ⎣4⎦
⎡ 3⎤ ⎡ 2⎤ K1V1 + K2V2 = 0 → K1 ⎢ ⎥ + K2 ⎢ ⎥ = 0 ⎣6 ⎦ ⎣ 4⎦ 3K1 + 2K2 = 0 6K1 + 4K2 = 0 Dua Persamaan di atas identik, maka gunakan salah satu Pilih Persamaan 1 : 5 K1 + 2 K 2 = 0 3 K1 = -2 K2 Pemecahan ini menunjukkan adanya banyak solusi bagi persamaan K1V1 + K2V2 = 0. Contoh solusi selain K1 = K2 = 0, adalah K1 = -2 dan K2 = 3, sehingga V1 dan V2 tidak bebas linier (bergantung linier). Selanjutnya disimpulkan maka B adalah matriks singular. y Latihan: ⎡ 1 3 5⎤ 1. Periksa apakah matriks A berikut ini singular? A= ⎢⎢7 2 1⎥⎥ ⎢⎣6 4 9⎥⎦
