Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko “Risk: Quantify and Control”
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017
1
Tentang MA4183 Model Risiko
Jadwal kuliah: Selasa, 7- (R. 9522); Rabu, 13- (R. 9312) Penilaian: • Ujian: 31/08/17; 28/09/17; 25/10/17; 29/11/17 (@ 20%) • Kuis (20%)
Minggu
Tanggal
Pertemuan
Kuliah
M1
21.08.17
1,2
Kuliah
M2
28.08.17
1,2
Kuliah
31.08.17
3
Ujian 1
M5
18.09.17
1,2
Kuliah
M6
25.09.17
1,2
Kuliah
28.09.17
3
Ujian 2
M8
09.10.17
1,2
Kuliah
M9
16.10.17
1,2
Kuliah
M10
23.10.17
1
Kuliah
25.10.17
2
Ujian 3
M13
13.11.17
1,2
Kuliah
M14
20.11.17
1,2
Kuliah
M15
27.11.17
1
Kuliah
29.11.17
2
Ujian 4
Buku teks: • Yiu-Kuen Tse, 2009, Nonlife Actuarial Models: Theory, Methods and Evaluation • Stuart Klugman, Harry Panjer, Gordon Willmot, 2012, Loss Models: From Data to Decisions
2
Pengantar: Risiko Stokastik
Risiko berkonotasi negatif dan sering diterjemahkan sebagai kerugian. Risiko adalah “sistem” kuantitatif yang dapat diukur dan dikendalikan. Risiko bersifat tidak pasti (uncertain). Pengukuran risiko dapat dilakukan secara stokastik. Model risiko merupakan salah satu cara untuk menerjemahkan fenomena kerugian melalui distribusi statistik. Pemodelan risiko dapat digunakan untuk memprediksi risiko di masa yang akan datang (forecasting future risk). Artinya, pemahaman konsep proses stokastik (khususnya deret waktu) sangat esensial. Salah satu bidang yang berkaitan erat dengan risiko adalah asuransi. Ini terjadi karena dengan produk asuransi-lah terjadi perpindahan (tranfer) risiko dari pemegang polis kepada pihak asuransi. Pada pemodelan kerugian klaim (claim losses) terdapat dua ukuran penting yang harus diperhatikan yaitu frekuensi kerugian klaim (claim frequency) dan besar atau nilai atau severitas kerugian klaim (claim severity).
Kerugian Acak dan Sifat Momen Distribusi Misalkan X peubah acak yang menyatakan kerugian (selanjutnya disebut sebagai kerugian acak atau random loss). Sebagai peubah acak, X memiliki karakteristik utama yaitu memiliki distribusi. Akibatnya, sifat-sifat statistik akan melekat pada peubah acak. Kerugian acak dan distribusinya dapat dikaji lebih jauh melalui sifat momen (khususnya hingga momen ke-4) dan perilaku ekor distribusi. Kedua sifat ini dapat digunakan sebagai indikator adanya observasi ekstrem yang penting dalam menghitung risiko. Misalkan X kerugian acak dengan fungsi peluang fX (x). Fungsi pembangkit momen untuk X adalah ∫∞ MX (t) = E(etX ) =
etx f (x) dx. −∞
Perhatikan bahwa: etX = 1 + tX +
t2 X 2 2!
+ ··· +
Jadi, MX (t) = · · · . (*)
3
tn X n n!
+ ··· .
Misalkan MX (t) adalah fungsi pembangkit momen (fpm) untuk kerugian acak X. Turunan pertama fpm terhadap t adalah: MX′ (t)
d dMX (t) = = E(etX ) = E dt dt
(
d tX e dt
)
( ) = E XetX .
Jika fungsi tersebut dievaluasi di t = 0, kita peroleh MX′ (0) = E(X) atau momen pertama dari X. Kita dapat pula menentukan momen ke-k secara simultan menggunakan (*).
Latihan: 1. Tentukan momen ke-k dari kerugian acak X 2. Tentukan kondisi agar seluruh momen ke-k dari peubah acak X ada 3. Misalkan X1 dan X2 kerugian acak-kerugian acak yang saling bebas. Tentukan fungsi pembangkit momen dari X1 + X2 4. Misalkan X kerugian acak dengan MX (t) sebagai fungsi pembangkit momen. Didefinisikan f (t) = ln MX (t). Tunjukkan bahwa f ′′ (0) = V ar(X) 5. Jelaskan momen ke-k dalam kaitannya dengan sifat ekor tebal suatu distribusi 6. Misalkan N kerugian acak dengan fungsi peluang: P (N = n) = e−5.6
5.6n , n = 0, 1, 2, . . . . n!
Hitung E(3N ) Petunjuk: Fungsi pembangkit peluang (fpp) GX (s) = E(sX ) 7. Tentukan P (N = n) melalui fungsi pembangkit peluang
4
Bab 1 - Distribusi Frekuensi Kerugian (Klaim) Silabus: Distribusi Poisson, binomial, geometrik; kelas distribusi (a, b, 0); mixed and mixture distributions; zero-modified and zero-truncated distributions;
Kegiatan berasuransi pada dasarnya berkaitan dengan kerugian (klaim), baik frekuensi maupun nilai atau severitas. Frekuensi klaim dapat dikaji melalui kerugian acak diskrit, khususnya distribusi Poisson, binomial dan geometrik.
1.1 Distribusi Poisson Misalkan N kerugian acak yang menyatakan frekuensi kerugian klaim (yang masuk atau diajukan) pada suatu periode waktu. Distribusi untuk N adalah Poisson dengan parameter λ. Ciri khas distribusi ini adalah nilai mean dan variansi yang sama yaitu λ, E(N ) = V ar(N ) = λ. Dalam praktiknya, mungkinkah kita memperoleh data dengan nilai mean sama dengan variansi? (selanjutnya nanti akan dipelajari konsep overdispersion dan underdispersion). Jika kita memiliki kerugian acak Poisson (atau kerugian acak diskrit lainnya) maka kita dapat menentukan (i) peluang frekuensi kerugian melalui fungsi peluang atau fungsi pembangkit peluang atau fungsi pembangkit momen (ii) ekspektasi (bersyarat) frekuensi kerugian. Latihan: 1. Diketahui N kerugian acak berdistribusi Poisson dengan parameter mean 0.1. Tentukan P (N = 1|N ≤ 1). 2. Diketahui N ∼ P OI(0.2). Hitung E(1/(N + 1)). 3. Diketahui N ∼ P OI(2). Hitung E(N |N > 1). 4. Tentukan E(3N ), jika N kerugian acak Poisson dengan mean λ. Teorema: Jika N1 , . . . , Nk kerugian acak-kerugian acak yang saling bebas dengan Xi ∼ P OI(λi ) maka N1 + · · · + Nk ∼ P OI(λ1 + . . . + λk ). 5
Perhatikan kasus n = 2. Distribusi N1 + N2 dapat ditentukan melalui teknik (i) fungsi peluang (ii) fungsi pembangkit momen. Misalkan N1 dan N2 kerugian acak Poisson dengan parameter, berturut-turut, λ1 dan λ2 . Apa yang dapat kita katakan tentang kerugian acak N1 |N1 + N2 = m? Bagaimana kita dapat menentukan distribusi kerugian acak tersebut?
1.2 Distribusi Binomial Misalkan kerugian acak N menyatakan frekuensi kerugian klaim yang diproses dari semua klaim yang masuk. Distribusi yang tepat untuk N adalah distribusi binomial dengan parameter m (frekuensi klaim yang masuk) dan θ (peluang klaim diproses). Notasi: N ∼ B(m, θ). Fungsi peluang untuk N adalah P (N = k) = Ckm θk (1 − θ)m−k , k = 0, 1, 2, . . . , m
Sifat momen, atau momen ke-r, dapat ditentukan dengan memanfaatkan fungsi peluang yaitu E(N r ) =
m ∑
nr P (N = k).
k=0
Untuk m = 1, misalnya, didapat E(N ) = m θ. Momen kedua dan seterusnya (jika ada) dapat ditentukan dengan menggunakan fungsi pembangkit momen (fpm): MN (t) = (1 − θ + θet )m Catatan: Fpm suatu kerugian acak berkorespondensi satu-satu dengan distribusi kerugian acak tersebut. Bagaimana dengan fungsi pembangkit peluang (fpp), manfaat apa yang dapat diperoleh dengan fpp? Bagaimana menentukan peluang secara rekursif? Misalkan N1 , N2 , . . . , Nk sampel acak dari N yang berdistribusi binomial dengan parameter (m, θ). Parameter θ dapat ditaksir dengan menggunakan metode likelihood maksimum sbb: • Fungsi likelihood dan log-likelihood: ... • Turunan pertama terhadap parameter dan normalisasi: ... 6
b ... • Penaksir θ: • Turunan kedua terhadap parameter: ...
Latihan: 1. AXAh menjamin 60 risiko secara bebas. Setiap risiko memiliki peluang 0.04 untuk terjadi rugi setiap tahunnya. Seberapa sering lima atau lebih risiko akan diharapkan merugi pada tahun yang sama? 2. -
1.3 Distribusi Geometrik Distribusi lain yang dapat digunakan untuk memodelkan frekuensi kerugian klaim adalah distribusi geometrik. Pertanyaannya, definisi peubah acak apakah yang tepat untuk menggambarkan distribusi ini? Misalkan N ∼ Geo(α) dengan fungsi peluang p(n) = (1 − α)n−1 α, n = 1, 2, . . . Kita dapat menentukan sifat momen seperti sebelumnya, E(N ) =
1 1 , V ar(N ) = 2 , α α
serta fpm dan fpp. Selain itu, misalkan N ∼ Geo(α), kita dapat pula menentukan sifat distribusi dari N + 1. Namun yang menarik untuk dikaji adalah apakah sifat khusus yang hanya dimiliki distribusi geometrik? Jelaskan! (Sifat tanpa memori) Latihan: 1. Diketahui N ∼ Geo(0.2). Hitung P (N = 1|N ≤ 1). 2. -
7
1.4 Mixed and Mixture Distributions Kita dapat memiliki suatu kerugian acak yang bersifat diskrit dan kontinu secara bersamaan. Distribusi tersebut dikatakan distribusi campuran atau mixed distribution. Misalkan X kerugian acak yang menyatakan nilai atau severitas klaim; nilai klaim berada pada [0, 100]. Definisikan: 0, X ≤ 20, Y = X − 20, X > 20. Tentukan fungsi peluang, fungsi kesintasan, mean dan momen pusat kedua dari nilai kerugian acak Y . Misalkan N kerugian acak dengan fungsi peluang fN . Kita dapat membangun kerugian acak baru (dan juga distribusi baru) dengan memanfaatkan proporsi beberapa “klasifikasi” dari kerugian acak N . Distribusi yang dihasilkan disebut distribusi atas proporsi kerugian acak atau mixture distribution. Contoh: Frekuensi kegagalan bisnis suatu perusahaan adalah kerugian acak N berdistribusi Poisson dengan parameter λ. Kegagalan bisnis yang dimaksud dapat 60% dapat berupa kegagalan atau risiko kredit, sisanya berupa risiko operasional. Kerugian acak yang menyatakan frekuensi kegagalan bisnis adalah N ∼ P OI(λ) dengan fungsi peluang fN (n) = a1 fN1 (n) + a2 fN2 (n), dengan Ni frekuensi kegagalan bisnis karena, berturut-turut, risiko kredit dan risiko operasional. Jadi, Ni adalah kerugian acak baru berdistribusi Poisson dengan parameter λi = ai λ.
1.5 Kelas Distribusi (a, b, 0) Perhatikan fungsi peluang dari kerugian acak Poisson(λ): f (n) =
e−λ λn , n = 0, 1, 2, . . . n!
yang dapat dituliskan rekursif dengan memperhatikan fungsi peluang untuk N = n − 1, f (n − 1) =
e−λ λx−1 . (x − 1)! 8
Diperoleh f (n) e−λ λn / e−λ λn−1 = f (n − 1) n! (n − 1)! λ = n atau ( ) λ f (n − 1), n = 1, 2, . . . f (n) = n
Distribusi-distribusi diskrit yang sudah dikenalkan sebelumnya (binomial, geometrik, binomial negatif, Poisson) dapat dikelompokkan menjadi sebuah Kelas Distribusi (a, b, 0) dengan fungsi peluang memenuhi sifat rekursif: ) ( b f (n − 1), n = 1, 2, . . . , f (n) = a + n dengan a, b konstanta dan f (0) diberikan. Catatan: Kelas distribusi (a, b, 1) dapat pula dibentuk dengan analogi.
1.6 Zero-Modified and Zero-Truncated Distributions Misalkan kerugian acak N ∼ B(3, 0.4). Dalam aplikasi teori peluang, seringkali kita dihadapkan pada fenomena dimana peluang terjadinya “0” telah ditentukan, misalnya P (N = 0) = 0.3, atau bahkan mungkin tidak ada, P (N = 0) = 0. Untuk itu, perlu adanya modifikasi fungsi peluang dibawah. Distribusi yang dihasilkan dikatakan sebagai distribusi modifikasi nol (zero-modified distribution) dan distribusi bernilai nol (zerotruncated distribution). N 0 1 2 3
P (N = k) 0.216 0.432 0.288 0.064
Misalkan kerugian acak N dari suatu distribusi (a, b, 0) memiliki fungsi peluang f (n). Misalkan f mod (n) fungsi peluang yang merupakan modifikasi dari f (n); f mod (n) adalah fungsi peluang 9
dari distribusi (a, b, 1). Untuk f mod (0) yang ditentukan, hubungan antara f mod (n) dan f (n) adalah f mod (n) = c f (n), n = 1, 2, . . . dengan c konstanta. Fungsi peluang f mod (n) haruslah terdefinisi dengan baik; akibatnya, c dapat diperoleh, c=
1 − f mod (0) . 1 − f (0)
Untuk distribusi binomial dengan parameter (3, 0.4) diatas, kita dapat menghitung f mod (k), k = 1, 2, 3 sebagai berikut: 1 − f mod (0) f (1) 1 − f (0) 1 − 0.3 = 0.432 1 − 0.216
f mod (1) =
= 0.386. Dengan cara sama, kita peroleh f mod (2) = 0.258 dan f mod (3) = 0.056. Untuk distribusi bernilai nol (zero-truncated distribution), nilai P (N = 0) = 0. Diperoleh nilai seperti tabel berikut: N 0 1 2 3
P (N = k) Zero-Modified Zero-Truncated 0.216 0.3 0 0.432 0.386 0.288 0.258 0.064 0.056
Latihan: 1. Tentukan zero-modified distribution untuk N yang berdistribusi Poisson dengan parameter 2.5. 2. Misalkan N ∗ adalah zero-truncated distribution dari N . Diketahui, fungsi peluang dan fungsi pembangkit peluang N , berturut-turut, adalah fN (n) dan GN (s). Tentukan fungsi pembangkit peluang untuk N ∗ . 10
Bab 2 - Model Nilai Kerugian dan Sifat Distribusi
Silabus: Aplikasi: deductible, policy limit dan coinsurance; distribusi exponensial dan Pareto; kuantil, sifat ekor: CTE dan indeks ekor;
Severitas klaim atau claim severity menyatakan besar kerugian suatu klaim asuransi. Umumnya, severitas klaim dimodelkan dengan distribusi kontinu nonnegatif. Secara khusus, akan dibahas distribusi eksponensial dan Pareto serta sifat-sifat yang menyertainya seperti kuantil dan sifat ekor (CTE dan indeks ekor).
2.1 Aplikasi Dalam Asuransi Salah satu motivasi yang dapat digunakan dalam mempelajari sifat-sifat khusus peubah acak seperti kuantil dan sifat ekor (CTE dan indeks ekor) adalah manfaat atau aplikasi dalam bidang profesional seperti asuransi. Dalam hal ini, kajian aplikasi akan ditekankan pada pembayaran klaim oleh perusahaan asuransi (insurer), khususnya pada kasus adanya modifikasi cakupan polis (policy coverage). Pandang situasi seseorang mengasuransikan kendaraan yang dimilikinya. Tidak jarang pengendara bersikap ceroboh terhadap kendaraannya karena keyakinan akan dijamin oleh asuransi. Untuk mengurangi risiko dan mengendalikan masalah-masalah perilaku pemegang polis (moral hazard), perusahaan asuransi melakukan modifikasi cakupan polis seperti deductible, policy limits dan coinsurance. Misalkan X menyatakan besar uang yang dibayar (amount paid) dalam suatu kejadian kerugian (loss event) dimana tidak ada modifikasi cakupan atau disebut ground-up loss. Misalkan XL menyatakan besar uang yang dibayar dimana ada modifikasi cakupan atau cost per loss; XP menyatakan besar uang yang dibayar dalam suatu kejadian pembayaran (payment event) dimana ada modifikasi cakupan. Catatan: loss event terjadi jika terdapat kerugian, payment event terjadi hanya jika pihak asuransi membayar kerugian. Risiko Sendiri (Deductible) Suatu polis asuransi dengan per-loss deductible d tidak akan menbayar pada pemegang polis (the insured) jika kerugian X kurang dari atau sama dengan d; akan membayar pemegang polis
11
sebesar X −d jika kerugian X lebih dari d. Jadi, besar uang yang dibayar dalam suatu kejadian kerugian, XL , adalah XL = X − d, untuk X > d, dan XL = 0 untuk X ≤ d. Distribusi peluang untuk XL adalah... Peubah acak XP (excess-loss variable) didefinisikan jika terjadi pembayaran, yaitu saat X > d, XP = X − d|X > d. Fungsi kesintasan SXP adalah... Catatan: XL memiliki censored distribution, XP memiliki truncated distribution. Latihan. Misalkan X dan Y , dengan deductible d = 0.25. Hitung E(XL ), E(XP ), E(YL ), E(YP ), jika X berdistribusi eksponensial dan Y berdistribusi lognormal. Batas Polis (Policy limit) Modifikasi lain dari cakupan polis adalah menentukan suatu nilai u yang ditentukan dari awal dengan aturan XU = u, untuk X ≥ u, dan XU = X untuk X < u. Notasi: XU = X ∧ u.
2.2 Distribusi Eksponensial dan Pareto Misalkan X peubah acak eksponensial dengan parameter λ. Fungsi distribusi dan fungsi hazardnya dapat ditentukan sbb. Distribusi eksponensial sering digunakan untuk menentukan distribusi nilai kerugian dan waktu antar-kedatangan kerugian. Apa yang dapat kita kaji dari distribusi kerugian eksponensial ?
12
Peubah acak X berdistribusi Pareto dengan parameter α > 0 dan γ > 0 jika fungsi distribusinya F (x). Distribusi ini cocok untuk memodelkan pendapatan. Karakteristik menarik dari distribusi Pareto adalah tidak dimilikinya fpm dan dapat diturunkannya distribusi ini dari distribusi eksponensial. Misalkan X ∼ exp(λ), dengan Λ berdistribusi Gamma(α, β). Kita ketahui fX (x|λ) = λ e
−λ x
, x ≥ 0, dan fΛ (λ|α, β) =
( β1 )α Γ(α)
λα−1 e− β λ , λ ≥ 0. 1
Jadi, ∫ 0
∞
[ ]α+1 α β αγ α = fX (x|λ) fΛ (λ|α, β) = α , β βx + 1 (x + γ)α+1
dengan γ = 1/β, yang merupakan fungsi peluang dari distribusi Pareto(α, γ). Dengan kata lain, gamma-exponensial adalah Pareto.
2.3 Sifat Ekor Pada Severitas Kerugian Severitas klaim dapat bernilai sangat besar walau dengan frekuensi yang kecil. Kerugian dengan nilai ekstrim, yang terjadi pada ekor kanan (upper tail) distribusi, perlu diperhatikan karena akan mempengaruhi kebijakan polis berikutnya. Distribusi dengan ekor tebal (fat/heavy/thick tail) dapat diidentifikasi melalui eksistensi momen. Sebagai contoh, distribusi Pareto memiliki hingga order α. Jadi, jika α < 2 maka distribusi Pareto tidak memiliki variansi. Artinya, terdapat indikasi adanya distribusi ekor tebal. Untuk membandingkan perilaku ekor distribusi, kita dapat menghitung limit rasio kedua fungsi kesintasan. Semakin cepat suatu fungsi kesintasan menuju nol, maka semakin tipis ekor distribusi tersebut. Cara lain untuk menentukan ketebalan ekor adalah dengan menentukan (i) fungsi hazard dan (ii) fungsi kuantil. Misalkan X suatu kerugian acak atau random loss dengan fungsi distribusi FX . Kita dapat menentukan suatu nilai dα sedemikian hingga P (X ≤ dα ) = F (dα ) = α.
13
Dengan kata lain, dα = FX−1 (α), atau dα adalah α-kuantil dari distribusi X. Keakuratan dα dapat dihitung dengan peluang cakupan atau coverage probability. Catatan: dα sering dikatakan VaRα (X) yang menyatakan kerugian maksimum yang dapat ditolerir padan tingkat α. Ukuran lain yang dapat dihitung dengan memanfaatkan dα adalah CTE atau Conditioan Tail ( ) Expectation, E X|X > dα , yang, apabila kita menggunakan VaRα (X), ukuran tersebut disebut Expected Shortfall (ES). Perhatikan kasus distribusi eksponensial dengan parameter λ. ( ) Kita peroleh E X − VaRα (X)|X > VaRα (X) = λ1 = E(X). Latihan: 1. Perusahaan asuransi menjual dua jenis polis asuransi kendaraan bermotor: “Basic” dan “Deluxe”. Misalkan waktu hingga klaim Basic selanjutnya masuk adalah peubah acak eksponensial dengan mean dua. Misalkan waktu hingga klaim Deluxe selanjutnya masuk adalah peubah acak eksponensial dengan mean tiga. Kedua waktu saling bebas. Hitung peluang bahwa klaim yang masuk selanjutnya adalah klaim Deluxe. 2. Perusahaan asuransi milik saya memiliki sebuah alat secara terus menerus mencatat aktivitas gempa. Misalkan T waktu yang menyatakan kerusakan alat, berdistribusi eksponensial dengan mean 3 (tahun). Ternyata, alat tidak akan dicek pada dua tahun pertama setelah dibeli. Dengan demikian, waktu untuk mengetahui kerusakan alat adalah X = maks(T, 2). Hitung E(X). 3. Misalkan (sisa) masa hidup pasangan suami isteri saling bebas dan berdistribusi Uniform pada selang [0, 40]. Perusahaan asuransi menawarkan dua produk: pertama, produk yang membayar nilai klaim saat suami meninggal; kedua, produk yanga membayar nilai klaim saat kedua suami isteri meninggal. Tentukan kovariansi kedua waktu pembayaran tersebut.
14
