Catatan Kuliah MA4181 Pengantar Proses Stokastik “Precise and Stochastic”
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015
Tentang MA4181 (Pengantar) Proses Stokastik A. Jadwal kuliah: • Selasa; 11-; R. StudyHall • Kamis; 9-; R. 9024 B. Silabus: • Peubah acak dan distribusi • Peluang bersyarat dan ekspektasi bersyarat • Rantai Markov • Distribusi eksponensial dan proses Poisson • Topik khusus: Model AR, ARCH, dan INAR C. Buku teks: • Sheldon Ross, 2010, Introduction to Probability Models, 10th ed. • Karlin dan Taylor, 1998, An Introduction to Stochastic Modelling, 3rd ed. D. Penilaian: • Ujian 1,2,3: 1 Oktober 2015 (30%) 29 Oktober 2015 (30%) 3 Desember 2015 (30%) • Kuis (10%)
MA4181 Pros.Stok.
i
K. Syuhada, PhD.
Daftar Isi 1 Peubah Acak dan Distribusi 1.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Ruang Sampel dan Peluang . . . . . 1.3 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi 1.4 Distribusi Diskrit . . . . . . . . . . . . 1.5 Distribusi Kontinu . . . . . . . . . . .
. . . . .
1 1 3 5 7 9
2 Peluang dan Ekspektasi Bersyarat 2.1 Fungsi Peluang Bersyarat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Ekspektasi Bersyarat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Kovariansi dan Korelasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 1 4 7
3 Rantai Markov 3.1 Ilustrasi . . . . . . . . . . . . 3.2 Definisi . . . . . . . . . . . . . 3.3 Peluang n-langkah . . . . . 3.4 Jenis Keadaan . . . . . . . . 3.5 Limit Peluang Transisi . . 3.6 “Waktu” dalam Rantai Markov
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . .
. . . . . .
. . . . .
. . . . . .
. . . . .
. . . . . .
. . . . .
. . . . . .
. . . . .
. . . . . .
. . . . .
. . . . . .
. . . . .
. . . . . .
. . . . .
. . . . . .
4 Distribusi Eksponensial 4.1 Ilustrasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Peubah Acak Eksponensial . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Jumlah P.A Eksponensial dan Statistik Terurut 4.4 Aplikasi P.A Eksponensial dalam Antrean . . . . 5 Proses Poisson 5.1 Waktu Antar Kedatangan dan Waktu Tunggu 5.2 Mengapa Proses Poisson? . . . . . . . . . . . 5.3 Definisi Proses Poisson . . . . . . . . . . . . . 5.4 Jumlahan Proses Poisson Saling Bebas . . . . 5.5 “Thinning” dari Proses Poisson . . . . . . . .
ii
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . .
. . . . . .
1 1 2 5 6 10 13
. . . .
1 1 2 6 7
. . . . .
1 2 3 4 5 6
BAB 1 Peubah Acak dan Distribusi Silabus: Konsep peubah acak, fungsi peluang (probability density function), fungsi distribusi (cumulative ddistribution function), distribusi diskrit (binomial, Poisson, geometrik), distribusi kontinu (normal, seragam/uniform, eksponensial). Tujuan: 1. Memahami definisi dan menentukan peubah acak (p.a) 2. Menghitung fungsi peluang (f.p) dan fungsi distribusi (f.d); f.p ke f.d; f.d ke f.p 3. Menghitung peluang suatu p.a dari distribusi diskrit atau kontinu
1.1
Pendahuluan
• Apa Proses Stokastik? Proses? Stokastik? • Proses = runtunan perubahan (peristiwa) dl perkembangan sesuatu, rangkaian tindakan, pembuatan, atau pengolahan yg menghasilkan produk (KBBI, 2008) • Stokastik = mempunyai unsur peluang atau kebolehjadian (KBBI, 2008) • Definisi: Proses stokastik {Yt } adalah koleksi peubah acak dengan t menyatakan indeks waktu
1
(Contoh 1) Di perusahaan asuransi digunakan sistem Bonus Malus untuk menentukan besar premi. Setiap pemegang polis berada dalam suatu keadaan (state) dan premi tahunan merupakan fungsi dari keadaan ini. Keadaan pemegang polis berubah dari tahun ke tahun dengan memperhatikan banyak klaim yang telah dilakukan. Pemegang polis biasanya akan menurunkan status keadaan jika dia tidak memiliki klaim pada tahun sebelumnya dan akan menaikkan status keadaan jika memiliki setidaknya satu klaim. Untuk sistem Bonus Malus, misalkan si (k) menyatakan keadaan pemegang polis berikut dari sebelumnya berada di keadaan i dan telah mengajukan k klaim. Jika banyak klaim yang dibuat adalah peubah acak berdistribusi Poisson dengan parameter θ, maka keadaan pemegang polis akan membentuk Rantai Markov dengan peluang transisi Pij . Berikut adalah contoh Sistem Bonus Malus dengan 4 keadaan:
Keadaan 0 klaim 1 1 1 2 3 2 4 3
Keadaan apabila... 1 klaim 2 3 4 4
2 klaim 3 4 4 4
3 klaim 4 4 4 4
(Contoh 2) Dua orang pasien, A dan B, membutuhkan ginjal. Jika dia tidak mendapatkan ginjal baru, maka A akan meninggal setelah suatu waktu yang berdistribusi exponensial dengan parameter µA . Begitu juga dengan B, akan meninggal setelah suatu waktu yang berdistribusi eksponensial dengan parameter µB . Ginjal akan tersedia menurut proses Poisson dengan parameter λ. Telah ditentukan bahwa ginjal pertama yang datang diberikan ke pasien A (atau ke pasien B jika B masih hidup dan A meninggal saat itu) lalu ke pasien B (jika masih hidup). Berapa peluang B mendapat ginjal baru? (Contoh 3a) Model Autoregressive atau AR orde satu: Yt = α Yt−1 + εt dimana εt diasumsikan saling bebas dan berdistribusi identik. Model AR(1) dapat digunakan untuk memodelkan jumlah produksi, harga aset dsb. Perhatikan bahwa memprediksi Yn+1 merupakan salah satu bagian penting dari pemodelan stokastik/deret waktu. Prediksi terbaik untuk Yn+1 adalah E(Yn+1 |Yn , α b)
MA4181 Pros.Stok.
2
K. Syuhada, PhD.
(Contoh 3b) Model Autoregressive Conditional Heteroscedastic atau ARCH dan Model Stochacti Volatility atau SV: Yt = σt + εt dimana 2 σt = α0 + α1 Yt−1 ,
atau ln σt = γ + δ ln σt−1 + ηt , Model ARCH dan/atau SV sangat tepat untuk memodelkan imbal hasil (return) saham. (Contoh 4) Model Integer-Valued Autoregressive atau INAR orde satu: Yt = α ◦ Yt−1 + εt , dimana α ◦ Yt−1 = W1 + · · · + WYt−1 , dengan Wi ∼ Bin(1, α), dan εt ∼ P OI(λ). Model INAR(1) menggambarkan bahwa “banyaknya pasien yang berada di IGD pada waktu t merupakan jumlah dari banyaknya pasien yang bertahan hidup dengan peluang α ditambah banyaknya pasien yang datang pada waktu (t − 1, t]”
1.2
Ruang Sampel dan Peluang
Ilustrasi 1. Seorang agen asuransi menawarkan asuransi kesehatan kepada calon nasabah. Nasabah dapat memilih tepat 2 jenis asuransi dari pilihan A, B, C atau tidak memilih sama sekali. Proporsi nasabah memilih jenis asuransi A, B dan C, berturut-turut, adalah 1/4, 1/3 dan 5/12. Hitung peluang seorang nasabah memilih untuk tidak memilih jenis asuransi. 2. Catatan dalam perusahaan asuransi otomotif memberikan informasi bahwa (i) setiap pelanggan mengasuransikan setidaknya satu mobil (ii) 70% pelanggan mengasuransikan lebih dari satu mobil, dan (iii) 20% mengasuransikan jenis sports car. Dari pelanggan yang mengasuransikan lebih dari satu mobil, 15% mengasuransikan sports car. Hitung peluang bahwa MA4181 Pros.Stok.
3
K. Syuhada, PhD.
seorang pelanggan yang terpilih secara acak mengasuransikan tepat satu mobil dan ini bukan sports car. Ruang sampel dan Kejadian • Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. • Ruang sampel S adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Anggota dari S disebut kejadian elementer. • Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel atau koleksi dari kejadian-kejadian elementer. Peluang • Peluang kejadian A adalah P (A) = lim
n→∞
n(A) n
• Misalkan S adalah ruang sampel, A adalah kejadian. Peluang kejadian A adalah P (A) =
n(A) n(S)
• Peluang atau ukuran peluang P pada lap-σ A adalah suatu pemetaan dari A terhadap selang [0, 1] yang memenuhi tiga aksioma berikut: 1. 0 ≤ P (A) ≤ 1, untuk setiap A ∈ A 2. P (S) = 1 3. Untuk himpunan terhitung kejadian-kejadian saling asing A1 , A2 , . . ., P
∞ (∪
∞ ) ∑ Ai = P (Ai )
i=1
i=1
Teorema 1. P (Ac ) = 1 − P (A) 2. Jika A ⊂ B maka P (A) ≤ P (B) 3. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) MA4181 Pros.Stok.
4
K. Syuhada, PhD.
1.3
Peubah Acak dan Fungsi Distribusi
Ilustrasi 1. Maskapai penerbangan “Serigala Air” mengetahui bahwa lima persen pemesan tiket tidak akan datang untuk membeli tiketnya. Dengan alasan ini, maskapai tidak ragu untuk menjual 52 tiket penerbangan pada pesawat dengan kapasitas duduk 50 orang. Berapa peluang akan ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang? 2. Misalkan X peubah acak berdistribusi Poisson dengan mean λ. Parameter λ berdistribusi eksponensial dengan mean 1. Tunjukkan bahwa P (X = n) = (1/2)n+1
Peubah Acak • Peubah acak tidaklah “acak” dan bukanlah “peubah” • Peubah acak adalah “fungsi” yang memetakan anggota S ke bilangan real R Peubah Acak Diskrit Peubah acak X dikatakan diskrit jika terdapat barisan terhitung dari bilangan {ai , i = 1, 2, . . . } sedemikian hingga (∪ ) ∑ P {X = ai } = P (X = ai ) = 1 i
i
Catatan: Sebuah peubah acak diskrit tidak selalu berasal ruang sampel diskrit. FX disebut fungsi distribusi (diskrit) dari X jika terdapat barisan terhitung {ai , i = 1, 2, . . . } dari bilangan real dan barisan {pi , i = 1, 2, . . . } dari bilangan positif yang bersesuaian sedemikian hingga ∑ pi = 1 i
dan FX (x) =
∑
pi
ai ≤x
MA4181 Pros.Stok.
5
K. Syuhada, PhD.
Jika diberikan himpunan ∑ terhitung {ai , i = 1, 2, . . . } dan bilangan positif {pi , i = 1, 2, . . . } sdh i pi = 1, fungsi peluang pX (x) adalah pX (x) = pi = P (X = ai ), dengan x = ai Fungsi distribusi (kumulatif): F (x) = P (X ≤ x) Sifat-sifat: (a) F fungsi tidak turun (b) limx→∞ F (x) = 1 (c) limx→−∞ F (x) = 0 (d) F fungsi kontinu kanan Catatan: • P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a) • P (X ≤ b) ̸= P (X < b) • { 1 }) X ≤b− n→∞ n ( 1) = lim P X ≤ b − n→∞ n ( 1) = lim F b − n→∞ n
P (X < b) = P
(
lim
Peubah Acak Kontinu Misalkan X peubah acak dan fungsi distribusinya FX dapat diturunkan. Fungsi peluang fX adalah turunan dari fungsi distribusi, fX (x) =
d FX (x) dx
atau dengan kata lain ∫ x FX (x) = fX (t) dt −∞
Definisi: Jika X adalah peubah acak sedemikian hingga fungsi peluangnya ada (turunan dari fungsi distribusi) maka X dikatakan sebagai peubah acak MA4181 Pros.Stok.
6
K. Syuhada, PhD.
kontinu. Catatan:
∫ 1 = FX (∞) =
∞
−∞
fX (t) dt ∫
P (a ≤ X ≤ b) = FX (b) − FX (a) = ∫ a P (X = a) = fX (t) dt = 0
b
fX (t) dt a
a
Latihan: 1. Tentukan fungsi 0, 3/5, F (x) = 7/10, 1,
peluang dari fungsi distribusi berikut: x < −3.1 −3.1 ≤ x < 0 0≤x<1 1≤x
2. Tentukan fungsi peluang dari fungsi distribusi berikut: 0, x<0 13 + x5 , 0 ≤ x < 1 F (x) = 53 , 1≤x<2 9 , 2≤x<3 10 1, x≥3 3. Diketahui fungsi peluang sebagai berikut: p, x = −1.9 0.1, x = −0.1 0.3, x = 20p f (x) = p, x=3 4p, x = 4 0, yang lain Hitung P (−1.9 ≤ |X| ≤ 3), F (2), F (F (3.1))
1.4
Distribusi Diskrit
(Ilustrasi B-1) Untuk menghadapi gempa yang sering terjadi, sebuah perusahaan asuransi menentukan “premi atas gempa” dengan menggunakan asumsiasumsi berikut: (i) setiap bulan paling banyak terjadi satu kali gempa (ii) peluang terjadi gempa adalah 0.05 (iii) banyak gempa di suatu bulan saling MA4181 Pros.Stok.
7
K. Syuhada, PhD.
bebas dengan banyak gempa di bulan yang lain. Tentukan peluang ada kurang dari tiga gempa dalam setahun. (Ilustrasi B-2) Sebuah studi dilakukan untuk memonitor kesehatan dua kelompok yang independen (berisi masing-masing 10 pemegang polis) selama periode waktu satu tahun. Setiap individu atau partisipan akan keluar (mengundurkan diri) dari studi tersebut dengan peluang 0.2, saling bebas antar individu. Hitung peluang bahwa setidaknya 9 partisipan, pada satu kelompok dan bukan kedua kelompok, ikut dalam studi tersebut hingga akhir. Distribusi Binomial Misalkan S = {sukses, gagal} adalah ruang sampel yang menotasikan ’sukses’ atau ’gagal’ dari suatu percobaan. Definisikan X(sukses) = 1 dan X(gagal) = 0 dan pX (1) = P (X = 1) = p pX (0) = P (X = 0) = 1 − p dimana 0 ≤ p ≤ 1 adalah peluang diperoleh sukses. X dikatakan peubah acak Bernoulli dengan parameter p. Jika dilakukan n percobaan independen dan jika X menyatakan banyaknya sukses yang diperoleh maka X dikatakan sebagai peubah acak Binomial dengan parameter (n, p), dimana pX (k) = B(k; n, p) = Ckn pk (1 − p)n−k
(Ilustrasi P-1) Banyak klaim untuk setiap risiko dalam suatu kelompok risiko mengikuti distribusi Poisson. Banyak risiko (yang diharapkan) di kelompok risiko tersebut yang tidak mengajukan klaim adalah 96. Banyak risiko (yang diharapkan) di kelompok risiko tersebut yang mengajukan dua klaim adalah 3. Tentukan banyaknya risiko di kelompok tersebut yang memiliki 4 klaim. (Ilustrasi P-2) Misalkan N ∼ P OI(2). Dapatkah anda menghitung E(N |N > 1) ? Distribusi Poisson Misalkan X peubah acak dengan fungsi peluang pX (i) = e−λ
λi i!
untuk i = 0, 1, 2, . . . dan λ > 0. X disebut peubah acak Poisson dengan parameter λ. MA4181 Pros.Stok.
8
K. Syuhada, PhD.
(Ilustrasi G-1) Diketahui N ∼ Geo(0.2). Hitung P (N = 1|N ≤ 1). (Ilustrasi G-2) Banyaknya kecelakaan adalah peubah acak geometrik dengan θ = 0.7; banyaknya klaim setiap kecelakaan berdistribusi Poisson dengan mean 3.1. Tentukan fpp untuk total banyaknya klaim (Ilustrasi G-3) Ini kisah masa lalu Nurul yang sempat diceritakan sesaat sebelum Nurul menikah. Katanya “Ayahku meninggal waktu usiaku tiga tahun. Lalu Ibu kawin lagi. Dengan ayah tiriku, Ibu mendapat dua orang anak tiri dan melahirkan tiga orang anak. Ketika usiaku lima belas tahun, Ibu pun meninggal. Ayah tiriku kawin lagi dengan seorang janda yang sudah beranak dua. Ia melahirkan dua orang anak pula dengan ayah tiriku”. Pertanyaan yang mungkin adalah... Distribusi Geometrik Misalkan percobaan-percobaan dilakukan hingga diperoleh sukses yang pertama. Percobaan-percobaan tersebut saling bebas dan memiliki peluang sukses p. Misalkan X menyatakan banyaknya percobaan yang dilakukan untuk mendapatkan sukses pertama tersebut, maka X dikatakan peubah acak Geometrik dengan parameter p. Fungsi peluangnya adalah p(n) = P (X = n) = (1 − p)n−1 p, untuk n = 1, 2, . . . dan p > 0.
1.5
Distribusi Kontinu
Distribusi Uniform Distribusi Eksponensial
MA4181 Pros.Stok.
9
K. Syuhada, PhD.
BAB 2 Peluang dan Ekspektasi Bersyarat Silabus: Fungsi peluang bersama, fungsi peluang marginal, peluang bersyarat, ekspektasi, ekspektasi bersyarat, kovariansi, korelasi. Tujuan: 1. Menentukan fungsi peluang bersama dan fungsi peluang marginal 2. Menghitung peluang bersyarat dan menghitung ekspektasi bersyarat 3. Memahami dan menghitung ekspektasi melalui ekspektasi bersyarat 4. Memahami konsep kovariansi dan korelasi
2.1
Fungsi Peluang Bersyarat
Ilustrasi: 1. Seorang aktuaris menentukan banyaknya musibah dalam setahun di kota P(0,1,2) dan Q(0,1,2,3) dengan distribusi bersama sbb: 0.12, 0.06, 0.05, 0.02; 0.13, 0.15, 0.12, 0.03; 0.05, 0.15, 0.10, 0.02. Tentukan fungsi peluang marginal banyak musibah di kota P dan Q. Hitung mean/variansi bersyarat banyak musibah di kota Q, diberikan tidak ada musibah di kota P. 2. Perusahaan asuransi menjual dua jenis polis asuransi kendaraan bermotor: “Basic” dan “Deluxe”. Misalkan waktu hingga klaim Basic selanjutnya masuk adalah peubah acak eksponensial dengan mean dua. Misalkan waktu hingga klaim Deluxe selanjutnya masuk adalah peubah acak eksponensial dengan mean tiga. Kedua waktu saling bebas. Hitung peluang bahwa klaim yang masuk selanjutnya adalah klaim Deluxe. 1
3. Misalkan X peubah acak yang menyatakan banyaknya klaim, X ∼ P OI(λ). Misalkan Λ berdistribusi Uniform pada selang (0, 4). Hitung peluang tidak ada klaim. Tentukan ekspektasi banyaknya klaim. Peluang Bersama Diskrit Misalkan X dan Y ada peubah acak-peubah acak diskrit yang terdefinisi di ruang sampel yang sama. Fungsi peluang bersama dari X dan Y adalah pX,Y (x, y) = P (X = x, Y = y) Catatan: 1. Kondisi bahwa X dan Y terdefinisi pada ruang sampel yang sama berarti dua peubah acak tsb memberikan informasi secara bersamaan terhadap keluaran (outcome) dari percobaan yang sama 2. {X = x, Y = y} adalah irisan kejadian {X = x} dan {Y = y}; kejadian dimana X bernilai x dan Y bernilai y Fungsi peluang bersama pX,Y memenuhi sifat-sifat berikut: 1. pX,Y (x, y) ≥ 0, ∀ (x, y) 2. (x, y) ∈ R2 : pX,Y (x, y) ̸= 0 terhitung ∑∑ 3. x,y pX,Y (x, y) = 1 Misalkan X dan Y peubah acak-peubah acak diskrit yang didefinisikan pada ruang sampel yang sama. Maka, ∑ ∑ pX (x) = pX,Y (x, y), x ∈ R dan pY (y) = pX,Y (x, y), y ∈ R y
x
adalah fungsi peluang marginal dari X dan fungsi peluang marginal dari Y . Latihan: 1. Seorang aktuaris menentukan banyaknya musibah dalam setahun di kota P(0,1,2) dan Q(0,1,2,3) dengan distribusi bersama sbb: 0.12, 0.06, 0.05, 0.02; 0.13, 0.15, 0.12, 0.03; 0.05, 0.15, 0.10, 0.02. Tentukan fungsi peluang marginal banyak musibah di kota P dan Q. 2. Misalkan kita punyai 2 komponen elektronik yang identik. Misalkan juga X dan Y adalah waktu hidup (jam, diskrit). Asumsikan fungsi peluang bersama dari X dan Y adalah pX,Y (x, y) = p2 (1 − p)x+y−2 , x, y ∈ N MA4181 Pros.Stok.
2
K. Syuhada, PhD.
dimana 0 < p < 1. Tentukan peluang bahwa (a) kedua komponen elektronik tsb bertahan lebih dari 4 jam? (b) salah satu komponen bertahan setidaknya 2 kali dari komponen yang lain? Peluang Bersama Kontinu: Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak yang terdefinisi di ruang sampel yang sama. Fungsi distribusi bersama dari X dan Y , FX,Y adalah FX,Y (x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y), x, y ∈ R Misalkan X dan Y peubah acak-peubah acak terdefinisi di ruang sampel yang sama. Untuk semua bilangan riil a, b, c, d dimana a < b dan c < d, P (a < X ≤ b, c < Y ≤ d) = FX,Y (b, d) − FX,Y (b, c) − FX,Y (a, d) + FX,Y (a, c) atau ∫
b
∫
P (a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d) =
d
fX,Y (x, y) dxdy a
c
dengan fX,Y (x, y) =
∂2 ∂2 FX,Y (x, y) = FX,Y (x, y). ∂x ∂y ∂y ∂x
Suatu fungsi peluang bersama fX,Y (x, y) dari peubah acak X dan Y memenuhi 2 sifat berikut 1. f∫X,Y (x, y) ≥ 0 untuk semua (x, y) ∈ R2 ∞ ∫∞ 2. −∞ −∞ fX,Y (x, y) dxdy = 1 Latihan: 1. Perusahaan asuransi menjual dua jenis polis asuransi kendaraan bermotor: “Basic” dan “Deluxe”. Misalkan waktu hingga klaim Basic selanjutnya masuk adalah peubah acak eksponensial dengan mean dua. Misalkan waktu hingga klaim Deluxe selanjutnya masuk adalah peubah acak eksponensial dengan mean tiga. Kedua waktu saling bebas. Hitung peluang bahwa klaim yang masuk selanjutnya adalah klaim Deluxe. 2. Pandang 2 komponen elektronik A dan B dengan masa hidup X dan Y . Fungsi peluang bersama dari X dan Y adalah fX,Y (x, y) = λ µ exp(−λx + µy), x, y > 0
MA4181 Pros.Stok.
3
K. Syuhada, PhD.
dimana λ > 0, µ > 0 a. Tentukan peluang bahwa kedua komponen berfungsi pada saat t b. Tentukan peluang bahwa komponen A adalah komponen yang pertama kali rusak c. Tentukan peluang bahwa komponen B adalah komponen yang pertama kali rusak Peluang Bersyarat Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak diskrit. Jika pX (x) > 0 maka fungsi peluang bersyarat dari Y diberikan X = x (notasi: pY |X (y|x)), adalah pY |X (y|x) =
pX,Y (x, y) , ∀y ∈ R pX (x)
Jika pX (x) = 0, kita definiskan pY |X (y|x) = 0 namun tidak dikatakan sebagai fungsi peluang bersyarat. Catatan: Fungsi peluang bersyarat adalah fungsi peluang! Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak diskrit. Kedua peubah acak ini dikatakan saling bebas (independen) jika dan hanya jika pX,Y (x, y) = pX (x) pY (y) ∀x, y ∈ R Latihan: 1. Seorang aktuaris menentukan banyaknya musibah dalam setahun di kota P(0,1,2) dan Q(0,1,2,3) dengan distribusi bersama sbb: 0.12, 0.06, 0.05, 0.02; 0.13, 0.15, 0.12, 0.03; 0.05, 0.15, 0.10, 0.02. Tentukan fungsi peluang bersyarat banyak musibah di kota Q, diberikan tidak ada musibah di kota P. 2. Misalkan X peubah acak yang menyatakan banyaknya klaim, X ∼ P OI(λ). Misalkan Λ berdistribusi Uniform pada selang (0, 4). Hitung peluang tidak ada klaim.
2.2
Ekspektasi Bersyarat
Ilustrasi: 1. Seorang narapidana terjebak dalam suatu sel penjara yang memiliki tiga pintu. Pintu pertama akan membawanya ke sebuah terowongan dan kembali ke sel dalam waktu dua hari. Pintu kedua dan ketiga akan MA4181 Pros.Stok.
4
K. Syuhada, PhD.
membawanya ke terowongan yang kembali ke sel dalam tempo masingmasing empat dan satu hari. Asumsikan bahwa sang napi selalu memilih pintu 1, 2, dan 3 dengan peluang 0.5, 0.3 dan 0.2, berapa lama waktu rata-rata (expected number of days) yang dibutuhkan untuk dia agar selamat? 2. Ferisa Ferina Ferita bermain bola. FFF memiliki peluang 0.2 untuk menang dalam setiap permainan, saling bebas satu sama lain. Ketika F3 bermain, mereka melawan tim lain yang baru saja menang. Setiap kali sebuah tim menang, tim itu akan bermain lagi. Jika tim kalah, tim istirahat dan menunggu giliran untuk main. Saat ini giliran F3 bermain setelah sebelumnya istirahat. Misalkan X banyak permainan yang dimainkan F3 hingga mereka istirahat lagi. Tentukan variansi X. Ekspektasi: Nilai harapan/ekspektasi (expected value/expectation) atau ekspektasi dari peubah acak diskrit/kontinu X adalah ∑ E(X) = x pX (x) x
dan
∫
∞
E(X) = −∞
x fX (x) dx
dimana pX dan fX adalah fungsi peluang dari X. Catatan: 1. Ekspektasi adalah rata-rata tertimbang (weighted average) dari nilai yang mungkin dari X 2. Ekspektasi = mean = momen pertama 3. Ekspektasi suatu peubah acak adalah nilai rata-rata (long-run average value) dari percobaan bebas yang berulang 3. Apakah ekspektasi harus berhingga? (Diskusi!) Ekspektasi Bersyarat: Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama fX,Y (x, y). Jika fX (x) > 0 maka ekspektasi bersyarat dari Y diberikan X = x adalah ekspektasi dari Y relatif terhadap distribusi bersyarat Y diberikan X = x, ∫ ∞ ∫ ∞ fX,Y (x, y) dy = y fY |X (y|x) dy E(Y |X = x) = y fX (x) −∞ −∞
MA4181 Pros.Stok.
5
K. Syuhada, PhD.
Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama fX,Y (x, y). Misalkan ekspektasi dari Y hingga. Maka ∫ ∞ E(Y ) = E(Y |X = x) fX (x) dx −∞
atau E(Y ) = E(E(Y |X = x)) Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama fX,Y (x, y). Jika fX (x) > 0 maka variansi bersyarat dari Y diberikan X = x adalah variansi dari Y relatif terhadap distribusi bersyarat Y diberikan X = x, (( ) )2 V ar(Y |X = x) = E Y − E(Y |X = x) X = x Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama fX,Y (x, y). Misalkan variansi dari Y hingga. Maka V ar(Y ) = E(V ar(Y |X = x)) + V ar(E(Y |X)) Latihan: 1. Misalkan Y menunjukkan banyaknya gol yang diciptakan oleh seorang pemain sepak bola di suatu pertandingan yang terpilih acak: y 0 1 p(y) 0.1 0.2
2 0.3
3 0.2
4 0.1
5 0.05
6 0.05
Misalkan W adalah banyaknya pertandingan dimana seorang pemain sepak bola menciptakan 3 atau lebih gol dalam 4 pertandingan terpilih acak. Berapa nilai harapan banyak pertandingan dimana pemain menciptakan 3 atau lebih gol? 2. Misalkan X menyatakan usia mobil yang mengalami kecelakaan. Misalkan Y menyatakan lama waktu pemilik mobil mengasuransikan mobilnya saat kecelakaan. Fungsi peluang bersama: f (x, y) = (10 − xy 2 )/64, 2 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 1. Tentukan usia mobil yang diharapkan terlibat dalam kecelakaan. MA4181 Pros.Stok.
6
K. Syuhada, PhD.
3. Misalkan X dan Y peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama f (x, y) = e−x(y+1) , 0 ≤ x, 0 ≤ y ≤ e − 1 a. Tentukan fY (y) b. Hitung P (X > 1|Y = 21 ) c. Hitung E(X|Y = 12 ) 4. K meninggalkan kantor setiap hari kerja antara pukul 6-7 malam. Jika dia pergi t menit setelah pukul 6 maka waktu untuk mencapai rumah adalah peubah acak berdistribusi Uniform pada selang (20, 20 + (2t)/3). Misalkan Y adalah banyak menit setelah pukul 6 dan X banya menit untuk mencapai rumah, berapa lama waktu mencapai rumah?
2.3
Kovariansi dan Korelasi
Kovariansi antara peubah acak X dan Y , dinotasikan Cov(X, Y ), adalah (( )( )) Cov(X, Y ) = E X − E(X) Y − E(Y ) Catatan: Jika X dan Y saling bebas maka Cov(X, Y ) = 0 (implikasi). Sifat-sifat kovariansi • Cov(X, Y ) = Cov(Y, X) • Cov(X, X) = V ar(X) • Cov(a X, Y ) = a Cov(X, Y ) (∑ ) ∑ ∑m ∑ n • Cov X , Y = ni=1 m i j i=1 j=1 j=1 Cov(Xi , Yj ) Perhatikan bahwa: ( n ) ) ( n n ∑ ∑ ∑ Xi , Xj V ar Xi = Cov i=1
i=1
=
n ∑ n ∑
j=1
Cov(Xi , Xj )
i=1 j=1
=
n ∑
V ar(Xi ) +
i=1
MA4181 Pros.Stok.
∑∑
Cov(Xi , Xj )
i̸=j
7
K. Syuhada, PhD.
Korelasi antara peubah acak X dan Y , dinotasikan ρ(X, Y ), didefinisikan sebagai Cov(X, Y ρ(X, Y ) = √ , V ar(X) V ar(Y ) asalkan V ar(X) dan V ar(Y ) bernilai positif. Dapat ditunjukkan pula bahwa −1 ≤ ρ(X, Y ) ≤ 1 Koefisien korelasi adalah ukuran dari derajat kelinieran antara X dan Y . Nilai ρ(X, Y ) yang dekat dengan +1 atau −1 menunjukkan derajat kelinieran yang tinggi. Nilai positif korelasi mengindikasikan nilai Y yang cenderung membesar apabila X membesar. Jika ρ(X, Y ) = 0 maka dikatakan X dan Y tidak berkorelasi. Latihan: 1. Misalkan (sisa) masa hidup pasangan suami isteri saling bebas dan berdistribusi Uniform pada selang [0, 40]. Perusahaan asuransi menawarkan dua produk: pertama, produk yang membayar nilai klaim saat suami meninggal; kedua, produk yanga membayar nilai klaim saat kedua suami isteri meninggal. Tentukan kovariansi kedua waktu pembayaran tersebut. 2. Misalkan X dan Y harga dua saham pada akhir periode lima tahun. X berdistribusi Uniform pada selang (0, 12). Diberikan X = x, Y berdistribusi Uniform pada selang (0, x). Hitung Cov(X, Y ).
MA4181 Pros.Stok.
8
K. Syuhada, PhD.
BAB 3 Rantai Markov Silabus: Definisi rantai Markov, sifat Markov, peluang transisi n-langkah, persamaan Chapman-Kolmogorov, jenis keadaan, recurrent dan transient, limit peluang transisi (kestasioneran). Tujuan: 1. Mempelajari model rantai Markov 2. Menghitung peluang transisi n-langkah 3. Menerapkan persamaan Chapman-Kolmogorov 4. Menentukan keadaan ‘yang dapat diakses’ dan ‘berkomunikasi’ 5. Menentukan keadaan-keadaan recurrent dan transient 6. Menghitung peluang transisi untuk jangka panjang
3.1
Ilustrasi
(Ilustrasi 1) Perilaku bunuh diri kini kian menjadi-jadi. Hesti (nama sebenarnya) adalah sebuah contoh. Dia pernah melakukan percobaan bunuh diri, namun gagal. Menurut pakar, kalau pada suatu waktu seseorang melakukan percobaan bunuh diri maka besar kemungkinan dia akan melakukannya lagi di masa mendatang. Jika seseorang belum pernah melakukan percobaan bunuh diri, di masa mendatang orang tersebut akan mungkin melakukan percobaan bunuh diri. Deskripsikan fenomena diatas sebagai model peluang (probability model).
1
(Ilustrasi 2) Akhir-akhir ini, hujan dan panas (baca: tidak hujan) datang silih berganti tanpa bisa diduga. Kalau hari ini hujan, besok mungkin hujan mungkin juga panas. Tentu saja peluang besok hujan akan lebih besar dibanding peluang besok akan panas. Begitu pula jika hari ini panas. Besok akan lebih mungkin panas dibandingkan hujan. Jika hari Senin hujan, berapa peluang bahwa hari Selasa akan hujan? Berapa peluang bahwa hari Kamis akan hujan? (Ilustrasi 3) Sesuai saran dokter, kini Ayni setiap hari berlari pagi. Ayni akan pergi lewat pintu depan atau belakang dengan peluang sama. Ketika meninggalkan rumah, Ayni memakai sepatu olah raga atau bertelanjang kaki jika sepatu tidak tersedia di depan pintu yang dia lewati. Ketika pulang, Ayni akan masuk lewat pintu depan atau belakang dan meletakkan sepatunya dengan peluang sama. Diketahui bahwa Ayni memiliki 4 pasang sepatu olah raga. Berapa peluang bahwa Ayni akan sering berolah raga dengan bertelanjang kaki?
3.2
Definisi
Proses stokastik {Xn } adalah Rantai Markov: • n = 0, 1, 2, . . . • nilai yang mungkin adalah hingga atau terhitung • ( ) P Xn+1 = j|Xn = i, Xn−1 = in−1 , . . . , X1 = i1 , X0 = i0 = Pij (∗) • distribusi bersyarat Xn+1 , diberikan keadaan-keadaan lampau (past states) X0 , X1 , . . . , Xn−1 dan keadaan sekarang (present state) Xn , hanya bergantung pada keadaan sekarang (“Sifat Markov”) • keadaan-keadaan (states): i0 , i1 , . . . , in−1 , i, j Pij peluang bahwa proses akan berada di keadaan j dari keadaan i; Pij ≥ 0, i, j ≥ 0;
∞ ∑
Pij = 1, i = 0, 1, . . .
j=0
MA4181 Pros.Stok.
2
K. Syuhada, PhD.
Matriks peluang transisi Pij adalah P=
P00 P01 P02 · · · P10 P11 P12 · · · .. .. .. . . . Pi0 Pi0 Pi0 · · · .. .. .. . . .
Perhatikan (*): ( ) P Xn+1 = j|Xn = i, Xn−1 = in−1 , . . . , X1 = i1 , X0 = i0 ( ) = P Xn+1 = j|Xn = i = Pij , yang disebut sebagai peluang transisi 1-langkah atau one-step transition probability. Peluang bersama ( ) P Xn = i, Xn−1 = in−1 , . . . , X1 = i1 , X0 = i0 dapat dihitung dengan sifat peluang bersyarat berikut. ( ) P Xn = i, Xn−1 = in−1 , . . . , X1 = i1 , X0 = i0 ( ) = P Xn−1 = in−1 , . . . , X1 = i1 , X0 = i0 ( ) × P Xn = i | Xn−1 = in−1 , . . . , X1 = i1 , X0 = i0 ( ) ( ) = P Xn−1 = in−1 , . . . , X1 = i1 , X0 = i0 × P Xn = i | Xn−1 = in−1 = ··· = pi0 · · · Pin−1 ,in Latihan: 1. Jika, pada waktu t, Rez mengajukan klaim asuransi, maka Rez akan mengajukan klaim pada waktu t + 1 dengan peluang α; jika Rez tidak mengajukan klaim asuransi saat ini maka di masa depan Rez akan mengajukan klaim asuransi dengan peluang β. Matriks peluang transisinya adalah... ( P=
1−β β 1−α α
MA4181 Pros.Stok.
)
3
K. Syuhada, PhD.
dengan keadaan-keadaan: ’0’ tidak mengajukan klaim ’1’ mengajukan klaim 2. Keadaan hujan pada suatu hari bergantung pada keadaan hujan dalam dua hari terakhir. Jika dalam dua hari terakhir hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.7; Jika hari ini hujan dan kemarin tidak hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.5; jika hari ini tidak hujan dan kemarin hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.4; jika dalam dua hari terakhir tidak hujan maka besok hujan dengan peluang 0.2. Matriks peluang transisinya adalah... 3. Tiga item produk A dan tiga item produk B didistribusikan dalam dua buah paket/kotak sedemikian hinga setiap paket terdiri atas tiga item produk. Dikatakan bahwa sistem berada dalam keadaan i, i = 0, 1, 2, 3 jika dalam paket pertama terdapat i produk A. Setiap saat (langkah), kita pindahkan satu item produk dari setiap paket dan meletakkan item produk tersebut dari paket 1 ke paket 2 dan sebaliknya. Misalkan Xn menggambarkan keadaan dari sistem setelah langkah ke-n. Matriks peluang transisinya adalah... 4. Menurut Kemeny, Snell dan Thompson, Tanah Australia diberkahi dengan banyak hal kecuali cuaca yang baik. Mereka tidak pernah memiliki dua hari bercuaca baik secara berturut-turut. Jika mereka mendapatkan hari bercuaca baik maka esok hari akan bersalju atau hujan dengan peluang sama. Jika hari ini mereka mengalami salju atau hujan maka besok akan bercuaca sama dengan peluang separuhnya. Jika terdapat perubahan cuaca dari salju atau hujan, hanya separuh dari waktu besok akan menjadi hari bercuaca baik. Tentukan matriks peluang transisi dari Rantai Markov yang dibentuk dari keadaan-keadaan diatas. 5. Suatu rantai Markov dengan keadaan-keadaan “0, 1, 2” memiliki matriks peluang transisi:
0.1 0.2 0.7 P = 0.9 0.1 0 0.1 0.8 0.1 dan P (X0 = 0) = 0.3, P (X0 = 1) = 0.4, P (X0 = 2) = 0.3. Hitung P (X0 = 0, X1 = 1, X2 = 2) 6. Suatu rantai Markov dengan keadaan-keadaan “0, 1, 2” memiliki matriks peluang transisi: MA4181 Pros.Stok.
4
K. Syuhada, PhD.
0.7 0.2 0.1 P = 0 0.6 0.4 0.5 0 0.5 Hitung P (X2 = 1, X3 = 1 | X1 = 0) dan P (X1 = 1, X2 = 1 | X0 = 0)
3.3
Peluang n-langkah
Persamaan Chapman-Kolmogorov Misalkan Pijn menyatakan peluang transisi n-langkah suatu proses di keadaan i akan berada di keadaan j, Pijn = P (Yk+n = j|Yk = i), n ≥ 0, i, j ≥ 0. Persamaan Chapman-Kolmogorov adalah alat untuk menghitung peluang transisi n + m-langkah: Pijn+m
=
∞ ∑
m Pikn Pkj , (Buktikan!)
k=0 m untuk semua n, m ≥ 0 dan semua i, j. Pikn Pkj menyatakan peluang suatu proses dalam keadaan i akan berada di keadaan j dalam n+m transisi, melalui keadaan k dalam n transisi/langkah.
Latihan: 1. Jika hari ini hujan maka besok akan hujan dengan peluang α = 0.7; jika hari ini tidak hujan maka besok akan hujan dengan peluang β = 0.4. Matriks peluang transisi 4 langkah adalah... 2. Keadaan hujan pada suatu hari bergantung pada keadaan hujan dalam dua hari terakhir. Jika dalam dua hari terakhir hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.7; Jika hari ini hujan dan kemarin tidak hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.5; jika hari ini tidak hujan dan kemarin hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.4; jika dalam dua hari terakhir tidak hujan maka besok hujan dengan peluang 0.2. Matriks peluang transisinya adalah sbb: MA4181 Pros.Stok.
5
K. Syuhada, PhD.
0.7 0 0.3 0 0.5 0 0.5 0 P= 0 0.4 0 0.6 0 0.2 0 0.8 Jika hari Senin dan Selasa hujan, berapa peluang bahwa hari Kamis akan hujan? Peluang Transisi Tak Bersyarat Misalkan αi = P (X0 = i), i ≥ 0, ∑∞ dimana i=0 αi = 1. Peluang tak bersyarat dapat dihitung dengan mensyaratkan pada keadaan awal, P (Xn = j) =
∞ ∑
P (Xn = j|X0 = i) P (X0 = i) =
i=0
∞ ∑
Pijn αi
i=0
Latihan: 1. Pandang soal yang lalu dengan matriks peluang transisi: ( P=
0.7 0.3 0.4 0.6
)
Jika diketahui α0 = P (X0 = 0) = 0.4 dan α1 = P (X0 = 1) = 0.6, maka peluang (tak bersyarat) bahwa hari akan hujan 4 hari lagi adalah... 4 4 P (X4 = 0) = 0.4 P00 + 0.6 P10 = (0.4)(0.5749) + (0.6)(0.5668) = 0.57
3.4
Jenis Keadaan
Keadaan j dikatakan dapat diakses (accessible) dari keadaan i jika Pijn > 0 untuk suatu n ≥ 0. Notasi: i → j. Keadaan j dapat diakses dari keadaan i jika dan hanya jika dimulai dari keadaan i proses akan masuk ke keadaan j. Dua keadaan i dan j yang saling akses satu sama lain dikatakan berkomunikasi (communicate). Notasi: i ↔ j. Sifat-sifat: 1. Keadaan i berkomunikasi dengan keadaan i. MA4181 Pros.Stok.
6
K. Syuhada, PhD.
2. Jika keadaan i berkomunikasi dengan keadaan j maka keadaan j berkomunikasi dengan keadaan i. 3. Jika keadaan i berkomunikasi dengan keadaan j dan keadaan j berkomunikasi dengan keadaan k maka keadaan i berkomunikasi dengan keadaan k. Dua keadaan yang berkomunikasi dikatakan berada dalam kelas (class) yang sama. Setiap dua kelas dari keadaan-keadaan dapat ‘identik’ (identical) atau ‘saling asing’ (disjoint). Rantai Markov dikatakan tidak dapat direduksi (irreducible) jika hanya terdapat sebuah kelas dan semua keadaan berkomunikasi satu sama lain. Latihan: 1. Tentukan kelas keadaan dari rantai Markov dengan peluang transisi berikut: (i)
0.7 0 0.3 0 0.5 0 0.5 0 P= 0 0.4 0 0.6 0 0.2 0 0.8 (ii)
0 1 0 0 1/9 4/9 4/9 0 P= 0 4/9 4/9 1/9 0 0 1 0 (iii)
1 0 0 P = 1/2 1/4 1/4 1/4 1/4 1/2 2. Diketahui matrik peluang transisi:
0.5 0.5 0 P = 0.5 0.25 0.25 0 0.33 0.67 Apakah rantai Markov dengan peluang transisi diatas tidak dapat direduksi (irreducible)? MA4181 Pros.Stok.
7
K. Syuhada, PhD.
3. Apakah yang dapat anda katakan tentang rantai Markov dengan matriks peluang transisi berikut:
0.5 0.5 0 0 0.5 0.5 0 0 P= 0.25 0.25 0.25 0.25 0 0 0 1 Sifat Keadaan Recurrent dan Transient Keadaan i dikatakan recurrent jika, dimulai dari keadaan i, proses akan pasti kembali ke keadaan i. Keadaan i dikatakan transient jika, dimulai dari keadaan i, proses akan mungkin kembali ke keadaan i. Jika keadaan i recurrent maka proses akan terus kembali ke keadaan i dengan peluang satu. Dengan definisi rantai Markov, proses akan dimulai lagi ketika kembali ke keadaan i, dan seterusnya, sehingga keadaan i akan dikunjungi lagi. Jika keadaan i recurrent maka dimulai dari keadaan i maka proses akan kembali ke keadaan i terus dan terus sebanyak tak hingga kali. Misalkan keadaan i transient. Setiap kali proses kembali ke keadaan i, terdapat kemungkinan (peluang yang positif) bahwa proses tidak pernah kembali ke keadaan i. Jika keadaan i transient maka, dimulai dari keadaan i, banyak periode/kali bahwa proses akan berada di keadaan i adalah peubah acak geometrik dengan parameter (1 - peluang kembali ke keadaan i). “Keadaan i recurrent jika dan hanya jika, dimulai dari keadaan i, maka banyak periode/kali yang diharapkan (expected number of time periods) bahwa proses akan berada di keadaan i adalah tak hingga” Misalkan ∑ In = 1 untuk Xn = i, In = 0 untuk Xn ̸= i. Misalkan ∞ n=0 In menyatakan banyak periode/kali bahwa proses berada dalam keadaan i. Perhatikan bahwa (∞ ) ∞ ∑ ∑ E In |X0 = i = E(In |X0 = i) n=0
=
n=0 ∞ ∑
P (Xn = i|X0 = i)
n=0
=
∞ ∑
Piin
n=0
Keadaan i adalah recurrent jika
∞ ∑
Piin = ∞, transient jika
Piin < ∞.
n=0
n=0
MA4181 Pros.Stok.
∞ ∑
8
K. Syuhada, PhD.
Catatan: • Pada rantai Markov dengan keadaan hingga, tidak semua keadaan bersifat transient. • Jika keadaan i recurrent dan keadaan i berkomunikasi (communicate) dengan keadaan j maka keadaan j recurrent. • Semua keadaan pada rantai Markov (hingga) yang tidak dapat direduksi adalah recurrent. Latihan: 1. Misalkan rantai Markov dengan keadaan 0,1,2,3 memiliki matriks peluang transisi:
0 1 P= 0 0
0 0.5 0.5 0 0 0 1 0 0 1 0 0
Tentukan keadaan mana yang recurrent dan keadaan mana yang transient! 2. Bagaimana dengan rantai Markov dengan matriks peluang transisi: P=
0.5 0.5 0 0 0 0.5 0.5 0 0 0 0 0 0.5 0.5 0 0 0 0.5 0.5 0 0.25 0.25 0 0 0.5
?
3. Misalkan rantai Markov dengan keadaan 0,1,2,3 memiliki matriks peluang transisi:
0.5 0.5 0 0 0.5 0.5 0 0 P= 0.25 0.25 0.25 0.25 0 0 0 1 Tentukan keadaan mana yang recurrent dan keadaan mana yang transient!
MA4181 Pros.Stok.
9
K. Syuhada, PhD.
4. Diketahui matriks peluang transisi (keadaan: 0,1,2,3,4,5) sebagai berikut: P =
1 0 0 0 0 0 0 0.96 0.04 0 0 0 0 0 0.94 0.06 0 0 0 0 0 0.94 0.06 0 0 0 0 0 0.96 0.04 0 0 0 0 0 1
Tentukan sifat keadaan dari rantai Markov diatas.
3.5
Limit Peluang Transisi
Misalkan matriks peluang transisi pada rantai Markov dengan dua keadaan adalah ( P=
0.5 0.5 0.7 0.3
) ,
dan matriks peluang transisi 4 dan 8 langkahnya: ( 4
P = ( P8 =
0.5840 0.4160 0.5824 0.4176 0.5833 0.4167 0.5833 0.4167
) , ) ,
...dst. Matriks P 8 hampir identik dengan P 4 (benar-benar identik dengan P 10 ). Selain itu, setiap baris dari P 8 memiliki unsur yang identik. Nampaknya, Pijn konvergen ke suatu nilai, untuk n → ∞, yang sama untuk semua i. Dengan kata lain, terdapat peluang limit (limiting probability) bahwa proses akan berada di keadaan j setelah sekian/banyak langkah/transisi. Nilai limit ini saling bebas dengan nilai pada keadaan awal. Perhatikan 2 sifat keadaan berikut: Keadaan i dikatakan memiliki periode d jika Piin = 0 untuk n yang tidak dapat dibagi oleh d (d suatu integer). Contoh, suatu proses dimulai dari keadaan i akan kembali ke i pada waktu 2, 4, 6, 8, . . . , maka keadaan i memiliki periode 2. Suatu keadaan yang memiliki periode 1 disebut aperiodik. Jika keadaan i memiliki periode d dan keadaan i berkomunikasi dengan keadaan j maka keadaan j juga memiliki periode d. MA4181 Pros.Stok.
10
K. Syuhada, PhD.
Jika keadaan i recurrent, maka keadaan tersebut akan dikatakan positive recurrent jika, dimulai dari keadaan i, waktu harapan hingga proses kembali ke i adalah hingga. Pada rantai Markov yang memiliki keadaan hingga, semua keadaan yang recurrent adalah positive recurrent. Suatu keadaan yang positive recurrent dan aperiodik disebut ergodik. Teorema Untuk rantai Markov yang ergodik dan tidak dapat direduksi, lim Pijn
n→∞
ada dan saling bebas dari i. Misalkan πj = lim Pijn , j ≥ 0, n→∞
maka πj adalah solusi nonnegatif tunggal dari πj =
∞ ∑
πi Pijn , j ≥ 0,
i=0
dengan
∑∞ j=0
πj = 1.
Catatan: • Perhatikan bahwa P (Xn+1 = j) =
∞ ∑
P (Xn+1 = j|Xn = i) P (Xn = i) =
i=0
∞ ∑
Pij P (Xn = i).
i=0
• Limit peluang πj adalah peluang jangka panjang (long-run proportion of time) bahwa suatu proses akan berada di keadaan j. • Jika rantai Markov tidak dapat direduksi, maka terdapat solusi untuk ∑ πj = πi Pij , j ≥ 0, i
∑ dengan j πj = 1, jika dan hanya jika rantai Markov bersifat positive recurrent. Jika solusinya ada maka solusi tersebut tunggal dan πj adalah proporsi jangka panjang bahwa rantai Markov berada dalam keadaan j. Jika rantai Markov aperiodik maka πj adalah peluang limit bahwa rantai akan berada di keadaan j.
MA4181 Pros.Stok.
11
K. Syuhada, PhD.
Latihan: 1. Jika hari ini hujan maka besok akan hujan dengan peluang α; jika hari ini tidak hujan maka besok akan hujan dengan peluang β. Jika ′ 0′ adalah keadaan hujan dan ′ 1′ adalah keadaan tidak hujan maka peluang hujan dan tidak hujan untuk jangka adalah... Matriks peluang transisi: ( P=
α 1−α β 1−β
) ,
dan kita punyai persamaan-persamaan: π 0 = α π0 + β π 1 π1 = (1 − α) π0 + (1 − β) π1 π0 + π 1 = 1
Kita peroleh peluang hujan dan tidak hujan pada jangka panjang: π0 =
β 1+β−α
π1 =
1−α 1+β−α
dan
2. Percobaan-percobaan dilakukan secara berurutan. Jika dalam dua percobaan terakhir SUKSES maka peluang SUKSES pada percobaan berikut adalah 0.8. Dalam keadaan YANG LAIN, peluang SUKSES adalah 0.5. Hitung peluang percobaan sukses untuk jangka panjang. 3. Pandang pelantunan-pelantunan sebuah koin (dengan peluang muncul MUKA adalah θ) yang saling bebas. Berapa banyak lantunan dibutuhkan yang diharapkan (expected number of tosses needed) agar pola HT HT muncul? Catatan: • Peluang jangka panjang πj , j ≥ 0, disebut juga peluang stasioner (stationary probability). Jika keadaan awal dipilih berdasarkan peluang πj , j ≥ 0, maka peluang akan menjadi keadaan j pada setiap waktu n adalah sama dengan πj . MA4181 Pros.Stok.
12
K. Syuhada, PhD.
• Untuk keadaan j, definisikan mjj yaitu banyak transisi yang diharapkan (expected number of transitions) hingga suatu rantai Markov, dimulai dari keadaan j akan kembali ke keadaan tersebut: πj =
3.6
1 mjj
“Waktu” dalam Rantai Markov
Pandang matriks peluang transisi (m.p.t) berukuran 3 × 3 atau dengan ruang keadaan {0, 1, 2},
1 0 0 P = α β γ , 0 0 1 dimana α, β, γ > 0 dan α + β + γ = 1. Keadaan 0 dan 2 adalah keadaan yang absorbing. Jika, pada waktu t, proses berada di keadaan 0 atau 2, maka proses akan tetap berada di keadaan itu. Jika proses berada di keadaan 1, proses akan bergerak ke keadaan lain, 1→1→0 atau 1→1→2 Pertanyaan: • Ke keadaan mana, 0 atau 2, proses akan berakhir? • Berapa lama (langkah) proses akan berada di keadaan 1 sebelum akhirnya ke keadaan 0 atau 2? Dengan kata lain, misalkan T = min{n : Xn = 0 atau Xn = 2}. Kita akan menghitung E(T | X0 = 1) MA4181 Pros.Stok.
13
K. Syuhada, PhD.
Misalkan T = min{n ≥ 0; Xn = 0 atau Xn = 2}. Kita akan menentukan u = P (XT = 0|X0 = 1) dan v = E(T |X0 = 1). Pada langkah pertama, setelah langkah 0, proses mungkin berada di keadaan 0, 1 atau 2 dengan peluang berturut-turut α, β, γ. Jika X1 = 0 maka T = 1 dan XT = 0; jika X1 = 2 maka T = 1 dan XT = 2. Jika X1 = 1 maka proses berlanjut, P (XT = 0|X1 = 0) = 1, P (XT = 0|X1 = 1) = u, P (XT = 0|X1 = 2) = 0. Dengan menggunakan konsep peluang total, u = P (XT = 0|X0 = 0) =
=
2 ∑ k=0 2 ∑
P (XT = 0|X1 = k, X0 = 1)P (X1 = k|X0 = 1) P (XT = 0|X1 = k)P (X1 = k|X0 = 1)
k=0
= 1 · α + u · β + 0 · γ, Kita peroleh, u=
α α = . 1−β α+γ
Sementara itu, v = E(T |X0 = 1) =
2 ∑
E(1 + T |X1 = k, X0 = 1)
k=0
MA4181 Pros.Stok.
14
K. Syuhada, PhD.
yang sama dengan = 1 + E(T |X1 = 0, X0 = 1)P (X1 = 0|X0 = 1) + E(T |X1 = 1, X0 = 1)P (X1 = 1|X0 = 1) + E(T |X1 = 2, X0 = 1)P (X1 = 2|X0 = 1) = 1 + 0 · α + v · β + 0 · γ, Kita peroleh v=
1 . 1−β
Catatan: Perhatikan bahwa peubah acak T yang menyatakan langkah untuk mencapai proses/keadaan yang absorbing, berdistribusi geometrik dengan distribusi peluang P (T > k|X0 = 1) = β k , k = 0, 1, . . . , dan ekspektasi E(T |X0 = 1) =
MA4181 Pros.Stok.
1 . 1−β
15
K. Syuhada, PhD.
BAB 4 Distribusi Eksponensial Silabus: Distribusi eksponensial, sifat tanpa memory (memoryless property), jumlah p.a eksponensial, statistik terurut eksponensial, antrean. Tujuan: 1. Mengkaji distribusi eksponensial 2. Mempelajari dan menggunakan sifat tanpa memori 3. Memahami dan menggunakan sifat jumlah p.a eksponensial 4. Menghitung statistik terurut eksponensial 5. Mempelajari aplikasi distribusi eksponensial dalam antrean
4.1
Ilustrasi
Distribusi eksponensial dapat dipandang sebagai analog (kontinu) dari distribusi geometrik. Kita ketahui bahwa distribusi geometrik memodelkan banyaknya percobaan yang dibutuhkan oleh suatu proses diskrit untuk mengubah keadaan. Sedangkan distribusi eksponensial menjelaskan waktu untuk proses kontinu untuk mengubah keadaan (lihat Tabel 4.1). Asumsi laju konstan dalam praktiknya jarang dipenuhi. Misalnya, laju adanya telepon masuk akan berbeda setiap waktu dalam suatu hari. Namun, jika kita perhatikan selang waktu pada saat laju konstan, maka distribusi eksponensial dapat dikatakan model yang cukup baik untuk melihat waktu saat telepon masuk akan terjadi lagi.
1
Table 4.1: Percobaan Bernoulli vs Proses Poisson.
Bnyk “sukses” “Wkt” utk sukses I
Percobaan Bernoulli Distribusi Binomial Distribusi Geometrik
Proses Poisson Distribusi Poisson Distribusi Eksponensial
Misalkan disebuah Bank terdapat 2 orang teller yang sibuk melayani nasabah. Tidak ada orang lain yang antre. Seseorang K yang datang akan dilayani salah satu teller yang telah selesai dengan nasabah sebelumnya. Jika waktu melayani dari teller ke-i adalah peubah acak eksponensial dengan parameter θi , hitung E(T ), dimana T adalah waktu yang dihabiskan K di Bank.
4.2
Peubah Acak Eksponensial
Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi peluang f (x) = θ e−θx , x ≥ 0. Peubah acak tersebut disebut peubah acak eksponensial dan distribusinya disebut distribusi eksponensial. Sifat distribusi dan momennya antara lain: 1. Fungsi distribusi: F (x) = 2. Ekspektasi: E(X) = 3. Fungsi pembangkit momen atau f.p.m: M (t) = Data berdistribusi eksponensial (contoh: Y ∼ exp(1/3)) dapat dibangkitkan menggunakan kode berikut: y = exprnd(3,10,1); hist(y) Membangkitkan data dapat pula menggunakan teknik simulasi stokastik yang sederhana yaitu “Invers Transformation Method”. Misalkan U peubah acak Uniform(0, 1). Untuk setiap fungsi distribusi kontinu F , jika kita definisikan peubah acak X sbb: X = F −1 (U )
MA4181 Pros.Stok.
2
K. Syuhada, PhD.
maka peubah acak X memiliki fungsi distribusi F . Contoh. Jika F (x) = 1 − e−x/3 maka F −1 (u) adalah nilai x sedemikian hingga 1 − e−x/3 = u atau x = −3 log(1 − u) Jadi, jika U adalah peubah acah Uniform(0,1) maka F −1 (U ) = −3 log(1 − U ) adalah peubah acak eksponensial dengan mean 1 (parameter 1). Sifat Tanpa Memori Misalkan X peubah acak. Sifat tanpa memori (memoryless property) pada X adalah sifat dimana “peluang X lebih dari s + t dengan syarat/diberikan X lebih dari t sama dengan peluang X lebih dari s”, atau ( ) ( ) P X > s + t X > t = P X > s Contoh: Misalkan X menyatakan waktu tunggu seseorang mendapatkan kebahagiaan. Peluang orang tsb menunggu lebih dari 7 tahun setelah dia menunggu lebih dari 5 tahun sama dengan peluang dia menunggu lebih dari 2 tahun. Orang itu tidak lagi mengingat bahwa dia telah menunggu selama 5 tahun. Itu sebabnya dikatakan “sifat tanpa memori”. Perhatikan:
( ) ) P X > s + t, X > t ( ) P X >s+t X >t = P X>t ( ) P X >s+t ( ) = P X>t ( ) =P X>s (
Akibatnya: ( ) ( ) ( ) P X >s+t =P X >s P X >t yang dipenuhi HANYA oleh X berdistribusi eksponensial dengan parameter θ.
MA4181 Pros.Stok.
3
K. Syuhada, PhD.
Buktinya sbb: Misalkan X ∼ exp(θ), maka ( ) ( ) P X >s+t =1−P X <s+t = 1 − FX (s + t) ( ) = 1 − 1 − e−θ s−θ t = e−θ s−θ t = e−θ s e−θ t ( ) ( ) =P X>s P X>t Sifat tanpa memori ini tidak dipenuhi oleh distribusi lain. Sebagai contoh, misalkan X ∼ U (0, 1), maka ( ) ( ) P X >s+t =1−P X <s+t = 1 − FX (s + t) = 1 − (s + t) ̸= (1 − s)(1 − t) = (1 − FX (s)) (1 − FX (t)) ( ) ( ) =P X>s P X>t Contoh/Latihan: 1. Misalkan waktu tunggu (dalam menit) antrean di Bank berdistribusi eksponensial dengan mean 10. Peluang bahwa seorang nasabah menunggu lebih dari 15 menit untuk dilayani adalah... Sedangkan peluang seseorang menunggu lebih dari 15 menit setelah dia menunggu lebih dari 10 menit adalah... 2. Misalkan disebuah Bank terdapat 2 orang teller A dan B yang sibuk melayani nasabah Uvi dan Ivi. Tidak ada orang lain yang antre. Seseorang, Ovi, yang datang akan dilayani salah satu teller yang telah selesai dengan nasabahnya. Diketahui waktu layanan (service time) teller A dan B berturut-turut adalah peubah acak eksponensial dengan parameter θ1 dan θ2 . Misalkan θ1 = θ2 = θ. Berapa peluang bahwa Ovi adalah nasabah terakhir yang akan meninggalkan Bank? 3. Banyaknya uang yang terlibat dalam kecelakaan adalah peubah acak eksponensial dengan mean 1000. Banyaknya uang yang dibayar oleh perusahaan asuransi tergantung apakah klaim pemegang polis lebih dari 400. Tentukan mean dan variansi banyak uang yang dibayar perusahaan asuransi pada setiap kecelakaan. 4. Misalkan masa hidup (lifetime) sebuah lampu, sebelum akhirnya mati/terbakar, adalah p.a eksponensial dengan mean 10 (jam). Misalkan Ani memasuki MA4181 Pros.Stok.
4
K. Syuhada, PhD.
Teller B
Teller A
SA ~ Exp( 1)
SB ~ Exp( 2)
Figure 4.1: Antrian di Bank dengan 2 teller ruangan dan mendapatkan lampu mati/terbakar. Jika Ani ingin bekerja di ruangan itu selama 5 jam, berapa peluang bahwa Ani dapat menyelesaikan pekerjaannya sebelum lampu mati/terbakar/padam?
Fungsi Laju Kegagalan Sifat tanpa memori dapat juga diilustrasikan dengan fungsi LG atau laju kegagalan (failure/hazard rate function) dari distribusi eksponensial. Misalkan peubah acak X memiliki fungsi peluang f dan fungsi distribusi F . Fungsi LG didefinisikan r(t) =
f (t) , 1 − F (t)
dimana jika “sesuatu” memiliki waktu hidup X dan telah bertahan selama waktu t maka laju r(t) akan mengukur peluang sesuatu itu tidak dapat bertahan pada waktu tambahan dt. Dengan kata lain ( ) f (t) dt P X ∈ (t, t + dt) | X > t ≈ 1 − F (t) atau peluang bersyarat bahwa sesuatu (dengan umur t) akan gagal.
MA4181 Pros.Stok.
5
K. Syuhada, PhD.
4.3
Jumlah P.A Eksponensial dan Statistik Terurut
Misalkan X1 , . . . , Xn sampel acak berdistribusi eksponensial. Misalkan Y =
n ∑
Xi ,
i=n
maka distribusi dari Y dapat ditentukan dengan metode fungsi pembangkit momen, MY (t) = E(exp(tY )) = E(exp(t[X1 + · · · + Xn ])) = Jadi, Y ∼ . . ., dengan mean dan variansi.... Pandang dua buah p.a eksponensial X1 dan X2 yang saling bebas dengan parameter θ1 dan θ2 , maka ∫ ∫ P (X1 < X2 ) = fX1 ,X2 (x1 , x2 ) dx2 dx1 ∫ ∞∫ ∞ = λ1 e−λ1 x1 λ2 e−λ2 x2 dx2 dx1 0
= ··· =
x1
λ1 λ1 + λ2
Statistik Terurut Eksponensial Misalkan X1 , . . . , Xn sampel acak berukuran n dari distribusi eksponensial dengan parameter λ. Akan ditentukan distribusi dari Y(k) , statistik terurut ke-k. Ambil kasus untuk k = 1 dan/atau k = n. Solusi: Fungsi peluang untuk statistik terurut ke-k adalah: n (FX (x))k−1 fX (x) (1 − FX (x))n−k fX(k) (x) = Ck−1,1,n−k
Untuk s.a berukuran 2 dari distribusi eksponensial dengan parameter λ, 2 (1 − e−λx )1−1 λ e−λx (e−λx )2−1 fX(1) (x) = C0,1,1
= 2 λ e−2λx
MA4181 Pros.Stok.
6
K. Syuhada, PhD.
4.4
Aplikasi P.A Eksponensial dalam Antrean
Misalkan disebuah Bank terdapat 2 orang teller yang sibuk melayani nasabah. Tidak ada orang lain yang antre. Seseorang K yang datang akan dilayani salah satu teller yang telah selesai dengan nasabah sebelumnya. Jika waktu melayani dari teller ke-i adalah peubah acak ekspoensial dengan parameter θi , hitung E(T ), dimana T adalah waktu yang dihabiskan K di Bank. Solusi: E(T ) = E(T |R1 < R2 ) P (R1 < R2 ) + E(T |R2 < R1 ) P (R2 < R1 ) = ··· dimana E(T |R1 < R2 ) = E(S + R1 |R1 < R2 ) = E(S|R1 < R2 ) + E(R1 |R1 < R2 ) = ···
Solusi (alternatif): E(T ) = E(min(R1 , R2 ) + S) = ··· dimana E(S) = E(S|R1 < R2 )
λ1 λ2 + E(S|R2 < R1 ) λ1 + λ2 λ1 + λ2
Contoh/Latihan: 1. Pandang soal sebelumnya (Uvi, Ivi, Ovi) dengan distribusi waktu layanan teller A dan B memiliki parameter yang berbeda. Berapa peluang Ovi bukanlah nasabah terakhir keluar dari bank? 2. Misalkan Ita memasuki sebuah bank yang memiliki seorang teller. Ita melihat ada 5 nasabah di bank, 1 orang sedang dilayani dan 4 orang yang lain antre. Ita pun antre. Jika waktu layanan berdistribusi dengan parameter µ, berapa lama waktu (expected amount of time) yang dihabiskan Ita di bank?
MA4181 Pros.Stok.
7
K. Syuhada, PhD.
3. Manakah pernyataan yang BENAR? E(X 2 |X > 1) = E((X + 1)2 ) E(X 2 |X > 1) = E(X 2 ) + 1 E(X 2 |X > 1) = (E(X) + 1)2 ) Bagaimana dengan E(X|X > 1)? 4. Disebuah toko ada 2 petugas jaga. Tiga orang: Fer, Fir dan Fur datang ke toko bersamaan. Fer dan Fir langsung mendatangi petugas toko, sedangkan Fur menunggu (baca: antre). Berapa peluang bahwa Fer masih berada di toko setelah Fir dan Fur pergi apabila waktu layanan: (a) untuk setiap pertugas adalah tepat (tidak acak) 10 menit? (b) adalah i dengan peluang 1/3, i = 1, 2, 3? (c) berdistribusi eksponensial dengan mean 1/µ? 5. Jika X1 dan X2 peubah acak-peubah acak kontinu non negatif yang saling bebas, tunjukkan P (X1 < X2 | min(X1 , X2 ) = t) =
r1 (t) , r1 (t) + r2 (t)
dimana ri (t) fungsi LG untuk Xi .
MA4181 Pros.Stok.
8
K. Syuhada, PhD.
BAB 5 Proses Poisson Seperti sudah disampaikan sebelumnya, analog dengan percobaan Bernoulli, percobaan atau proses Poisson akan mengkaji (i) banyak sukses dalam suatu periode waktu, dan (ii) waktu (kontinu) yang dibutuhkan untuk mendapatkan sukses yang pertama. Distribusi yang terlibat dalam (i) adalah distribusi Poisson, sedangkan distribusi yang berkaitan dengan (ii) adalah distribusi eksponensial. Sebagai gambaran untuk melihat proses Poisson, perhatikan ilustrasiilustrasi berikut. Ilustrasi-1: Para nasabah datang ke suatu tempat layanan dengan dua meja layanan. Nasabah yang datang akan menuju meja 1, meja 2, lalu pulang. Misalkan waktu layanan setiap meja adalah peubah acak eksponensial dengan parameter µ1 dan µ2 . Waktu yang dihabiskan nasabah di tempat layanan adalah... Ilustrasi-2: Para nasabah datang ke suatu tempat layanan dengan dua meja layanan. Ketika nasabah baru datang, setiap nasabah yang ada harus segera meninggalkan tempat layanan tersebut. Nasabah yang datang akan menuju meja 1, meja 2, lalu pulang. Jika waktu layanan setiap meja adalah peubah acak eksponensial dengan parameter µ1 dan µ2 . Tentukan proporsi nasabah yang selesai di meja 2. Ilustrasi-3: Para nasabah datang ke suatu tempat layanan, dengan dua meja layanan, mengikuti proses Poisson dengan laju λ. Ketika nasabah baru datang, setiap nasabah yang ada harus segera meninggalkan tempat layanan tersebut. Nasabah yang datang akan menuju meja 1, meja 2, lalu pulang. Jika waktu layanan setiap meja adalah peubah acak eksponensial dengan parameter µ1 dan µ2 . Tentukan proporsi nasabah yang selesai di meja 2.
1
5.1
Waktu Antar Kedatangan dan Waktu Tunggu
Waktu Antar Kedatangan Misalkan T1 menyatakan waktu dari kejadian/kedatangan pertama. Untuk n > 1, misalkan Tn menyatakan waktu tersisa antara kejadian ke-(n − 1) dam kejadian ke-n. Barisan {Tn , n = 1, 2, . . .} adalah barisan waktu antar kejadian (interarrival times). Untuk menentukan distribusi dari Tn , perhatikan bahwa kejadian {T1 > t} terjadi jika dan hanya jika tidak ada kejadian dari proses Poisson yang terjadi pada interval [0, t], sehingga P (T1 > t) = P (Nt = 0) = e−λt Jadi T1 berdistribusi eksponensial dengan mean 1/λ. Perhatikan juga bahwa ( ) P (T2 > t) = E P (T2 > t | T1 ) , sedangkan P (T2 > t | T1 = s) = P (tidak ada kejadian pada (s, s + t] | T1 = s) = P (tidak ada kejadian pada (s, s + t]) = e−λt Dengan demikian, T2 juga peubah acak eksponensial dengan mean 1/λ, dan T2 saling bebas dengan T1 . Demikian seterusnya untuk T3 , T4 , . . . , Tn yang juga berdistribusi eksponensial dan peubah acak-peubah acak tersebut saling bebas. Waktu Tunggu Statistik lain yang kita perhatikan berikut adalah Sn yaitu waktu kedatangan kejadian ke-n atau waktu tunggu (waiting time) hingga kejadian ke-n, Sn = T1 + · · · + Tn , n ≥ 1 yang berdistribusi... (distribusi Erlang?) Contoh-1: Misalkan turis-turis datang ke suatu pulau mengikuti proses Poisson dengan parameter λ = 1 per hari. Berapa waktu yang diharapkan hingga turis kesepuluh datang? Berapa peluang waktu yang dibutuhkan (elapsed time) antara turis kesepuluh dan kesebelas datang melebihi 2 hari?
MA4181 Pros.Stok.
2
K. Syuhada, PhD.
Contoh-2: Misalkan TK menyatakan waktu yang dibutuhkan (elapsed time) untuk klaimklaim asuransi diproses; T1 menyatakan waktu yang dibutuhkan hingga klaim pertama diproses. Diketahui T1 , T2 , . . . saling bebas dan berdistribusi dengan fungsi peluang f (t) = 0.1 e−0.1 t , t > 0 dengan t diukur dalam setengah-jam. Hitung peluang bahwa setidaknya sebuah klaim akan diproses pada 5 jam kedepan. Berapa peluang bahwa setidaknya 3 klaim diproses dalam 5 jam?
5.2
Mengapa Proses Poisson?
Ilustrasi dan kajian tentang peubah acak waktu antar kedatangan serta waktu tunggu diatas telah menggiring kita untuk memahami lebih jauh tentang proses Poisson dan alasan mengapa proses ini penting. • Proses Poisson (PP) adalah proses menghitung (counting process) untuk banyaknya kejadian yang terjadi hingga suatu waktu tertentu • Proses ini sering disebut proses lompatan (jump process) karena keadaan akan berpindah ke yang lebih tinggi setiap kali kejadian terjadi Proses Menghitung Suatu proses stokastik {Nt , t ≥ 0} adalah proses menghitung (counting process) jika Nt merupakan total banyaknya kejadian (events) yang terjadi sampai waktu t. Sebagai contoh, (i) banyaknya orang yang masuk ke suatu restoran pada waktu/sampai waktu t, (ii) banyaknya gol yang diciptakan pemain, dan (iii) banyaknya klaim asuransi yang masuk. Proses menghitung {Nt , t ≥ 0} haruslah memenuhi kriteria berikut: • Nt ≥ 0 • Nt bernilai integer • Jika s < t maka Ns ≤ Nt • Untuk s < t, Nt − Ns adalah banyaknya kejadian pada interval (s, t] Dua sifat penting yang melekat pada proses menghitung adalah sebagai berikut. Pertama, kenaikan independen (independent increments). Suatu proses MA4181 Pros.Stok.
3
K. Syuhada, PhD.
menghitung {Nt } memiliki independent increments jika banyak kejadian yang terjadi pada [s, t], yaitu Nt − Ns , saling bebas dengan banyak kejadian sampai waktu s. Dengan kata lain, banyak kejadian yang terjadi pada selang waktu yang saling asing adalah saling bebas. Kedua, kenaikan stasioner (stationary increments). Suatu proses menghitung {Nt } memiliki stationary increments jikadistribusi banyak kejadian pada setiap selang hanya bergantung pada panjang selang.
5.3
Definisi Proses Poisson
Definisi -1 Proses menghitung {Nt , t ≥ 0} adalah proses Poisson dengan laju λ(> 0), jika • N0 = 0 • Proses memiliki kenaikan independen • Banyaknya kejadian di sebarang interval dengan panjang t berdistribusi Poisson dengan mean λt. Untuk setiap s, t ≥ 0 ( ) (λt)n P {Ns+t − Ns = n} = e−λt , n = 0, 1, 2, . . . n! Definisi -2 Proses menghitung {Nt , t ≥ 0} adalah proses Poisson dengan laju λ(> 0), jika • N0 = 0 • Proses memiliki kenaikan stasioner dan independen ( ) • P {Nh = 1} = λh + o(h) ( ) • P {Nh ≥ 2} = o(h) Diskusi: Tunjukkan bahwa kedua definisi proses Poisson diatas identik.
MA4181 Pros.Stok.
4
K. Syuhada, PhD.
5.4
Jumlahan Proses Poisson Saling Bebas
Pandang dua proses Poisson {N1 (t)} dan {N2 (t)} yang saling bebas dengan parameter, berturut-turut, λ1 dan λ2 . Kita mendapatkan N (t) = N1 (t) + N2 (t), yang juga merupakan proses Poisson dengan parameter λ1 + λ2 . Contoh-3: Mahasiswa-mahasiswa MA ITB akan datang ke Gedung Matematika melewati pintu Tamansari atau pintu DayangSumbi. Kedatangan mahasiswa melalui kedua pintu tersebut, berturut-turut, mengikuti proses Poisson dengan parameter λ1 = 1/2, λ2 = 3/2 per menit. Berapa peluang tidak ada mahasiswa yang datang padang selang waktu 3 menit? Hitung mean waktu antara kedatangan mahasiswa-mahasiswa. Berapa peluang seorang mahasiswa benar-benar datang melalui pintu DayangSumbi? Jawab: NT S ∼ P OI(1/2), NDS ∼ P OI(3/2) dan NT S + NDS = NT ∼ P OI(2). Karena λ = 2 = 1/2 + 3/2, maka T1 ∼ exp(2), P (T1 > 3) = e−6 E(Tk ) = 1/2 P (TDS < TT S ) = · · · Contoh-4: Penjualan tiket pertandingan semifinal AFF 2010 mengikuti tiga proses Poisson sbb: • penjualan tiket harga sebenarnya: 2/jam • penjualan tiket harga diskon (harga tembak kali...): 4/jam • penjualan tiket VIP: 0.3/jam Hitung: (a) waktu harapan hingga penjualan tiket berikutnya, (b) waktu harapan hingga penjualan tiket VIP berikutnya, (c) peluang bahwa penjualan tiket setelah tiket harga sebenarnya adalah tiket harga sebenarnya yang lain, (d) peluang bahwa tiket VIP akan dijual/terjual pada 30 menit kedepan, (e) peluang bahwa setidaknya 2 dari 3 tiket yang dijual berikutnya adalah tiket diskon
MA4181 Pros.Stok.
5
K. Syuhada, PhD.
Contoh-5: Di suatu terminal bis, Bis A dan Bis B datang saling bebas mengikuti proses Poisson. Ada sebuah bis A datang setiap 12 menit dan sebuah bis B setiap 8 menit. Misalkan Yun untuk melakukan observasi terhadap bis-bis tersebut. Berapa peluang bahwa tepat 2 bis A akan datang pada 24 menit pertama dan tepat 3 bis B datang pada 36 menit pertama? Hitung mean waktu tunggu (expected waiting time) hingga sebuah bis datang. Berapa peluang bahwa diperlukan waktu setidaknya 20 menit untuk 2 bis B datang?
5.5
“Thinning” dari Proses Poisson
Diketahui suatu proses Poisson {Nt } dengan parameter λ. Misalkan setiap kali terdapat suatu kejadian, kejadian tersebut dapat diklasifikasi ke Tipe I dengan peluang p atau Tipe II dengan peluang 1 − p, yang saling bebas untuk seluruh kejadian. Jika N1 (t) dan N2 (t) berturut-turut adalah kejadian tipe I dan II pada selang [0, t] maka • {N1 (t)} adalah proses Poisson dengan parameter λp • {N2 (t)} adalah proses Poisson dengan parameter λ(1 − p) • Kedua proses saling bebas Contoh-6: 1. Sebuah perusahaan asuransi memiliki dua jenis polis yaitu polis K dan M. Pengajuan klaim yang datang mengikuti proses Poisson dengan parameter 9 (per hari). Pemilihan klaim secara acak menunjukkan bahwa peluang polis jenis K terpilih adalah 1/3. Hitung peluang bahwa klaimklaim polis jenis K (atau M) yang diajukan pada suatu hari kurang dari 2. Berapa peluang bahwa total klaim yang diajukan pada suatu hari kurang dari 2? 2. Sejalan dengan soal sebelumnya, ternyata 2/3 klaim dari polis jenis K memiliki besar klaim lebih dari 10jt. Sementara itu, hanya 2/9 dari polis M. Tentukan nilai harapan banyaknya klaim yang bernilai lebih dari 10jt. Berapa peluang bahwa pada suatu hari klaim yang bernilai lebih dari 10jt kurang dari 2?
MA4181 Pros.Stok.
6
K. Syuhada, PhD.
3. Ike datang ke halte bis transjakarta pukul 8.15 pagi. Informasi yang ada sbb: - hingga pukul 9, bis akan datang mengikuti proses Poisson dengan parameter 1 (per 30 menit) - mulai pukul 9, bis akan datang mengikuti proses Poisson dengan parameter 2 (per 30 menit) Berapa waktu tunggu yang diharapkan (expected waiting time) Ike hingga sebuah bis datang?
MA4181 Pros.Stok.
7
K. Syuhada, PhD.
