Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB V. INTEGRAL

Catatan Kuliah

MA1123 KALKULUS ELEMENTER I

BAB V. INTEGRAL • • • • • • •

Anti-turunan dan Integral Tak Tentu Persamaan Diferensial Sederhana Notasi Sigma dan Luas Daerah di Bawah Kurva Integral Tentu Teorema Dasar Kalkulus Sifat-sifat Integral Tentu Lebih Lanjut Substitusi dalam Penghitungan Integral Tentu Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB

Catatan Kuliah


Anti-turunan dan Integral Tak Tentu Fungsi F disebut anti-turunan f pada I apabila F’(x) = f(x) untuk setiap x є I. Sebagai contoh, F(x) = x4 + 1 adalah anti-turunan f(x) = 4x3 pada R. Secara umum, keluarga fungsi F(x) = x4 + C merupakan anti-turunan f(x) = 4x3 pada R, karena F’(x) = 4x3 = f(x) untuk setiap x є R. Keluarga fungsi anti-turunan f(x) disebut integral tak tentu dari f(x), dan dilambangkan dengan ∫ f(x) dx. Jadi, sebagai contoh, ∫ 4x3 dx = x4 + C. Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB

Catatan Kuliah


Secara grafik, keluarga fungsi anti-turunan f(x) adalah keluarga fungsi yang anggotanya merupakan pergeseran ke atas atau ke bawah dari anggota lainnya. Semua anggota keluarga fungsi tersebut mempunyai turunan yang sama, yaitu f(x).

Keluarga fungsi yang turunannya sama Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB

Catatan Kuliah


Terkait dengan perbendaharaan turunan yang telah kita pelajari sebelumnya, kita mempunyai beberapa teorema berikut tentang integral tak tentu. Teorema 1 (Aturan Pangkat). Jika r є Q dan r ≠ -1, maka ∫ xr dx = xr+1/(r+1) + C. Contoh 1 (a) ∫ x2 dx = x3/3 + C.

(b) ∫ x-2 dx = - x-1 + C.

Teorema 2 (Integral Tak Tentu sin x dan cos x) ∫ sin x dx = - cos x + C; ∫ cos x dx = sin x + C. Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB

Catatan Kuliah


Teorema 3 (Kelinearan Integral Tak Tentu) Jika f dan g fungsi dan k adalah konstanta, maka ∫ k.f(x) dx = k.∫ f(x) dx dan ∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx. Contoh 3. ∫ (6x2 + 1) dx = 2 ∫ 3x2 dx + ∫ 1 dx = 2.x3 + x + C. Teorema 4 (Aturan Pangkat yang Diperumum) Jika r є Q dan r ≠ -1 dan g adalah fungsi yang mempunyai turunan, maka ∫ [g(x)]r.g’(x) dx = [g(x)]r+1/(r+1) + C. Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB

Catatan Kuliah


Contoh 4. ∫ (x2 + 1)5.2x dx = (x2 + 1)6/6 + C. (Di sini kita menerapkan Aturan Pangkat yang Diperumum dengan g(x) = x2 + 1, g’(x) = 2x.) Contoh 5. Jika g(x) = sin x, maka g’(x) = cos x. Jadi, menurut Aturan Pangkat yang Diperumum, kita peroleh ∫ sin x.cos x dx = (sin x)2/2 + C. Latihan. Tentukan integral tak tentu di bawah ini. 1. ∫ (x2 + x-2) dx. 2. ∫ (x3 + 1).x2 dx. 3. ∫ sin2 x.sin 2x dx. Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB

Catatan Kuliah


Persamaan Diferensial Sederhana Jika F’(x) = f(x), maka ∫ f(x) dx = F(x) + C. Dalam bahasa diferensial: jika F’(x) = f(x), maka (*) dF(x) = F’(x) dx = f(x) dx sehingga ∫ dF(x) = ∫ f(x) dx = F(x) + C. Persamaan (*) merupakan contoh persamaan diferensial yang (paling) sederhana. Persamaan diferensial banyak dijumpai dalam matematika, fisika, maupun bidang ilmu lainnya. Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB

Catatan Kuliah


Contoh 6. Tentukan persamaan kurva yang melalui titik (1,2) dan mempunyai turunan 2x di setiap titik (x,y) yang dilaluinya. Jawab. Misalkan persamaan kurva tersebut adalah y = f(x). Maka, dalam bahasa diferensial, informasi di atas mengatakan bahwa dy = 2x dx. Integralkan kedua ruas, ∫ dy = ∫ 2x dx. sehingga kita peroleh y + C1 = x2 + C2 atau y = x2 + C, C = C2 – C1. Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB

Catatan Kuliah


Persamaan y = x2 + C merepresentasikan keluarga kurva yang mempunyai turunan 2x di titik (x,y). Sekarang kita akan mencari anggota keluarga kurva tersebut yang melalui titik (1,2). Dalam hal ini kita mempunyai persamaan 2 = 12 + C, sehingga mestilah C = 1. Jadi persamaan kurva yang kita cari adalah y = x2 + 1. Latihan. Tentukan fungsi y = f(x) sedemikian sehingga f ’(x) = 3x2 + 1 dan f(1) = 4. Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB

Catatan Kuliah


Notasi Sigma Penjumlahan deret n bilangan a1 + a2 + … + an dilambangkan dengan notasi sigma n

∑a Sebagai contoh,

i =1

i

5

2 2 2 2 2 2 i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 . ∑ i =1

Teorema 5 (Kelinearan Sigma) n

∑ k.a i =1

i

n

= k ∑ ai ; i =1

n

n

n

∑ (a + b ) = ∑ a + ∑ b . i =1

i

i

i =1

i

Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB

i =1

i

Catatan Kuliah


Beberapa deret khusus (dengan indeks i berjalan dari 1 sampai dengan n), di antaranya: ∑ i = 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2. ∑ i2 = 12 + 22 + … + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6. ∑ i3 = 13 + 23 + … + n3 = n2(n + 1)2/4. Deret pertama merupakan deret aritmetika n bilangan dengan suku pertama 1 dan beda 1. Untuk pembuktian rumus deret kedua dan ketiga, lihat Purcell hal. 262-264. Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB

Catatan Kuliah


Luas Daerah di Bawah Kurva Misalkan kita ingin menghitung luas daerah di bawah kurva y = f(x) = x2, 0 ≤ x ≤ 1. Pertama, bagi selang [0,1] atas n selang bagian yang sama panjangnya. Lalu, luas daerah tersebut (L) kita hampiri dengan jumlah luas 0 1/n 2/n persegipanjang di bawah kurva, yakni 2 2 2  1 2 1 2 (n − 1)  L ≈ 0 + 2 + 2 + ... + . 2 n n n n  Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB

1

Catatan Kuliah


Perhatikan bahwa deret di ruas kanan dapat kita tulisulang sebagai 1 2 2 2 1 + 2 + ... + ( n − 1 ) n3 yang jumlahnya

[

]

(n − 1)n(2n − 1) . 3 6n

Jadi, kita kita peroleh hampiran

(n − 1)n(2n − 1) := Ln . L≈ 3 6n Dari sini kita amati bahwa Ln → 1/3 bila n → ∞. Jadi, luas daerah yang sedang kita cari adalah 1/3. Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB

Catatan Kuliah


Integral Tentu Misalkan f : [a,b] → R kontinu kecuali di sejumlah terhingga titik. Bagi selang [a,b] atas n selang bagian (tak perlu sama panjang), sebutlah titik-titik pembaginya a = x0 < x1 < x2 < … < xn-1 < xn = b. Himpunan titik-titik ini disebut sebagai partisi dari [a,b]. Untuk tiap i = 1, …, n, tulis ∆xi = xi – xi-1 (= lebar selang bagian ke-i).

y=f(x)

a

a x1


b

xn-1 b

Catatan Kuliah


Dari tiap selang bagian, pilih sebarang titik ti є [xi-1, xi]. Lalu bentuk penjumlahan berikut RP = ∑ f(ti).∆xi dengan indeks i berjalan dari 1 hingga n. Bentuk ini dikenal sebagai jumlah Riemann untuk f terhadap partisi P = {a=x0, x1, …, xn-1, xn=b} dan titik-titik ti. Contoh 7. Misalkan f(x) = x2, x є [0,1], P = {0, ⅓, ¾, 1}, t1 = ⅓, t2 = ½, t3 = ⅞. Maka jumlah Riemann untuk f terhadap partisi P dan titik-titik ti adalah RP = f(⅓).⅓ + f(½).(¾ – ⅓) + f(⅞)(1 – ¾) = 1/27 + 5/48 + 49/256. Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB

Catatan Kuliah


Jumlah Riemann untuk f merupakan hampiran untuk luas daerah di bawah kurva y = f(x), x є [a,b]. Semakin ‘halus’ partisinya, semakin baik hampiran tersebut. Jika n

lim ∑ f (ti ).∆xi

| P| → 0

i =1

ada, maka f dikatakan terintegralkan pada [a,b] dan integral tentu f dari a ke b didefinisikan sebagai b

n

∫ f ( x)dx = lim ∑ f (t ).∆x a

| P| → 0

i =1

i

i

Catatan. |P| = maks {∆xi : i = 1, …, n}. Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB

Catatan Kuliah


b

Dalam notasi

∫ f ( x)dx , kita mengasumsikan bahwa a

a < b. Jika a > b, maka kita definisikan b

a

a

b

∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx. Jika a = b, maka kita definisikan b

a

a

a

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx = 0. Catat pula bahwa b

b

b

a

a

a

∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u )du. Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB

Catatan Kuliah


Teorema 6. Jika f terbatas dan kontinu kecuali di sejumlah terhingga titik pada [a,b], maka fungsi f terintegralkan pada [a,b]. Akibat 7. Fungsi polinom, fungsi rasional, f(x) = | x |, g(x) = √x, s(x) = sin x, dan c(x) = cos x merupakan fungsi yang terintegralkan pada sebarang selang terbatas yang termuat dalam daerah asalnya. Sampai di sini kita hanya dapat mengatakan apakah sebuah fungsi terintegralkan pada suatu selang, dengan melihat apakah fungsi tersebut terbatas dan kontinu kecuali di sejumlah terhingga titik. Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB

Catatan Kuliah


Namun, untuk menghitung integral tentu fungsi tersebut, selain dengan menggunakan definisinya, memerlukan ‘alat bantu’ yang lebih ampuh. Teorema Dasar Kalkulus Salah satu alat bantu untuk menghitung integral tentu adalah Teorema Dasar Kalkulus, yang berbunyi: Jika f kontinu dan mempunyai anti-turunan F pada [a,b], maka b

∫ f ( x)dx = F (b) − F (a). a


Catatan Kuliah


Catatan. Dalam penghitungan integral tentu, notasi b F ( x)]a berarti F(b) – F(a). Contoh 8 (a) π /2

(b)

1

∫ x dx = 2

]=

1 x3 3 0

1 3

− 0 = 13 .

0

∫ (cos x)dx = sin x]0

π /2

= sin π2 − sin 0 = 1.

0

Teorema 9 (Kelinearan Integral tentu) b b

∫ k. f ( x)dx = k.∫ f ( x)dx; a b

a

b

b

a

a

∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx. a


Catatan Kuliah


Contoh 9. Dengan menggunakan kelinearan integral tentu, kita dapat menghitung 2

2

2

0

0

0

2 2 8 4 ( x + x ) dx = x dx + x dx = + 2. 3 3 ∫ ∫ ∫

Sifat-sifat Lanjut Integral Tentu Selain kelinearan, integral tentu juga memenuhi: Sifat penjumlahan selang: c

b

c

a

a

b

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx. Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB

Catatan Kuliah


Sifat pembandingan: Jika f(x) < g(x) pada [a,b], maka b

b

a

a

∫ f ( x)dx < ∫ g ( x)dx. Sifat keterbatasan: Jika m ≤ f(x) ≤ M pada [a,b], maka b

m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a ). a

Contoh 10. Pada [0,1] berlaku 1 ≤ √1 + x4 ≤ √2; karena itu menurut sifat keterbatasan 1

1 ≤ ∫ 1 + x 4 dx ≤ 2. 0


Catatan Kuliah


Misalkan f terintegralkan pada [a,b]. Definisikan

y = f(t)

x

G ( x) = ∫ f (t )dt. a

Di sini, G(x) menyatakan luas daerah di bawah kurva y = f(t), a ≤ t ≤ x (lihat gambar).

a

x

b

Teorema Dasar Kalkulus II. G’(x) = f(x) pada [a,b]; x yakni,   d

 ∫ f (t )dt  = f ( x), ∀x ∈ [a, b].  dx  a  Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB

Catatan Kuliah


Contoh 11 x   d (a) 3  ∫ t dt  = x 3 .  dx  1  1 x     d d 3 3 (b)  ∫ t dt  =  − ∫ t dt  = − x 3 .  dx   dx  x   1 

u 2x d  3  u = 2 x d  3  du 3 3  ∫ t dt  =  ∫ t dt  = u . 2 = 16 x . (c)     dx  1 du  1   dx 2x 1 2x       d d d 3 3 3  ∫ t dt  =  ∫ t dt  +  ∫ t dt  (d)   dx   dx  dx  x   1  x = − x 3 + 16 x 3 = 15 x 3 . Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB

Catatan Kuliah


Teorema Nilai Rata-rata Integral Jika f kontinu pada [a,b], maka terdapat c є [a,b] sedemikian sehingga b

1 f (c ) = f (t )dt. ∫ b−a a Catatan. Nilai f(c) dalam teorema ini disebut nilai rata-rata integral f pada [a,b] (lihat gambar). Perhatikan bahwa luas daerah di bawah kurva y = f(t), t є [a,b], sama dengan f(c)(b – a).

y = f(t)

a


c

b

Catatan Kuliah


Contoh 12. Misalkan f(x) = x2, x є [0,1]. Maka 1

∫ x dx = 2

]

1 x3 3 0

= 13 − 0 = 13 .

0

Jadi nilai rata-rata integral f pada [0,1] adalah ⅓. Latihan. Tentukan nilai rata-rata integral f(x) = 4x3 pada [1,3]. Substitusi dalam Penghitungan Integral Tentu Misalkan kita ingin menghitung integral berikut 4

∫

x 2 + x .(2 x + 1)dx.

0


Catatan Kuliah


Dengan menggunakan Aturan Pangkat yang Diperumum, kita dapat menghitung integral tak tentunya: ∫ (x2 + x)½.(2x + 1) dx = ⅔(x2 + x)3/2 + C. Dengan demikian, integral tentu tadi dapat dihitung: 4

∫ ( x + x) (2 x + 1)dx = ( x + x) 2

1/ 2

2 3

2

]

3/ 2 4 0

= 23 (20) 3 / 2 .

0

Integral semacam ini, baik integral tentu maupun integral tak tentu, dapat pula dihitung dengan teknik substitusi, yang akan kita bahas selanjutnya. Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB

Catatan Kuliah


Sebagai contoh, untuk menghitung integral tak tentu ∫ (x2 + x)½.(2x + 1) dx, kita gunakan substitusi peubah u = x2 + x, sehingga du = (2x + 1)dx dan integral di atas menjadi ∫ u½ du. Dengan Aturan Pangkat, kita peroleh ∫ u½ du = ⅔ u3/2 + C. Substitusikan kembali u = x2 + x, kita dapatkan ∫ (x2 + x)½.(2x + 1) dx = ⅔(x2 + x)3/2 + C, sebagaimana yang kita peroleh sebelumnya dengan Aturan Pangkat yang Diperumum. Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB

Catatan Kuliah


Sekarang, untuk menghitung integral tentu 4

2 1/ 2 ( x + x ) (2 x + 1)dx, ∫ 0

kita lakukan substitusi seperti tadi: u = x2 + x, du = (2x + 1)dx. Selanjutnya kita perhatikan efek substitusi ini terhadap kedua batas integral. Pada saat x = 0, kita peroleh u = 0; sementara pada saat x = 4, kita dapatkan u = 20. Dengan demikian 4

20

∫ ( x + x) (2 x + 1)dx = ∫ u du = u 2

0

1/ 2

1/ 2

2 3

]

3 / 2 20 0

= 23 (20) 3 / 2 ,

0

sama seperti yang kita peroleh sebelumnya. Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB

Catatan Kuliah


Catatan. Dalam menghitung integral tentu dengan teknik substitusi, kedua batas integral pada umumnya berubah dan kita dapat menghitung integral dalam peubah baru tanpa harus mensubstitusikan kembali peubah lama. Secara umum, dengan melakukan substitusi u = g(x), du = g’(x)dx, kita peroleh Integral tak tentu: ∫ f(g(x)).g’(x)dx = ∫ f(u) du. Integral tentu:

b

g (b )

a

g (a)

∫ f ( g ( x)).g ' ( x)dx = ∫ f (u )du.


Catatan Kuliah


Latihan. Hitung integral tentu/tak tentu berikut: 1. ∫ √3x + 2 dx. 2. ∫ cos(3x + 2) dx. 1

3.

3 ( 3 x + 2 ) dx. ∫ 0

π 2 /4

4.

∫

cos x x

dx.

0

4

5.

∫

1 t ( t +1) 3

dt.

1


Catatan Kuliah


SOAL-SOAL BAB V 5.1 no. 1, 5, 10, 15, 22, 23, 32, 33. 5.2 no. 5, 13, 15. 5.3 no. 1, 9, 21, 25. 5.4 no. 19. 5.5 no. 1, 11, 21, 25. 5.6 no. 1, 7, 12, 15, 22. 5.7 no. 1, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 27, 30. 5.8 no. 5, 8, 17, 20, 25, 32.


Catatan Kuliah


BAB. VI PENGGUNAAN INTEGRAL • Luas Daerah di Bidang • Volume Benda Pejal di Ruang: – Metode Cincin – Metode Kulit Tabung – Metode Irisan Sejajar

• Momen dan Pusat Massa Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB

Catatan Kuliah


Luas Daerah di Bidang

Diketahui daerah di bidang seperti pada gambar di samping, bagaimana kita dapat menghitung luas daerah tersebut? Pada prinsipnya, kita dapat membagi daerah tersebut menjadi beberapa bagian, di mana tiap bagian merupakan daerah di antara dua kurva. Jadi persoalannya adalah bagaimana menghitung luas daerah di antara dua kurva, yang akan dibahas selanjutnya. Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB

Catatan Kuliah


Contoh 1. Hitung luas daerah (tertutup) yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = x.

y=x y = x2

Jawab: Misal kita ‘iris’ daerah 0 ∆x 1 tersebut secara vertikal, dan tiap irisannya mempunyai lebar ∆x dan tinggi kira-kira sama dengan x – x2, sehingga luasnya adalah ∆L ≈ (x – x2)∆x (lihat gambar). Jadi, luas daerah tersebut secara keseluruhan adalah L ≈ ∑x (x – x2)∆x. Ambil limitnya, kita peroleh 1

L = ∫ ( x − x )dx = 2

0

x2 2

−

]=

1 x3 3 0

1 6


.

Catatan Kuliah


Latihan. Hitung luas daerah di Kuadran I yang dibatasi oleh kurva y = 2 – x2, garis y = x, dan sumbu-x. (Petunjuk. Setelah anda menggambar daerah yang dimaksud, irislah daerah tersebut secara horisontal dan taksir luas tiap irisannya.) Volume Benda Pejal di Ruang; Metode Cincin

Bila suatu daerah D diputar mengelilingi sebuah sumbu, maka akan diperoleh suatu benda putar. Bagaimana menghitung volumenya? Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB

D

Catatan Kuliah


Contoh 2. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = x diputar mengelilingi sumbu-x. Hitung volume benda putar yang terbentuk.

y=x y = x2

0

∆x 1

Jawab: Tiap irisan membentuk cincin dengan jari-jari luar x2, jari-jari dalam x4, dan tebal ∆x, yang volumenya adalah ∆V ≈ π(x2 – x4)∆x. Jumlahkan dan ambil limitnya, kita peroleh 1

V = ∫ π ( x − x )dx = π 2

4

[

x3 3

−

]=

1 x5 5 0

0


2π 15

.

Catatan Kuliah


Latihan. Daerah pada Contoh 2 diputar mengelilingi sumbu-y. Hitung volume benda putar yang terbentuk. (Petunjuk. Iris daerah tersebut secara horisontal dan taksir volume cincin yang terbentuk dari tiap irisannya.)

y=x y = x2

0

1

Metode Kulit Tabung

Volume benda putar pada soal latihan di atas dapat pula dihitung dengan Metode Kulit Tabung sebagai berikut. Iris daerahnya secara vertikal, sehingga tiap Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB

Catatan Kuliah


irisannya akan membentuk suatu kulit tabung dengan jari-jari x, tinggi x – x2, dan tebal ∆x. Volume kulit tabung tsb adalah ∆V ≈ 2πx(x – x2)∆x. Jumlahkan dan ambil limitnya, kita peroleh

y=x y = x2

0

∆x

1

1

V = ∫ 2πx( x − x 2 )dx. 0

Anda dapat menghitung integral ini dan bandingkan hasilnya dengan hasil yang Anda peroleh dengan Metode Cincin. Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB

Catatan Kuliah


Latihan. Hitung volume benda putar yang terbentuk apabila daerah yang dibatasi oleh y = x2 dan y = x diputar mengelilingi garis x = 1, dengan (a) Metode Cincin dan (b) Metode Kulit Tabung. 0

y=x

y = x2

1

Metode Irisan Sejajar

Benda putar memiliki penampang berbentuk cakram atau cincin. Volume benda dengan penampang tertentu secara umum dapat dihitung dengan Metode Irisan Sejajar. Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB

Catatan Kuliah


Contoh 3. Alas sebuah benda adalah daerah di Kuadran I yang dibatasi oleh kurva y = 1 – x2, sumbu-x, dan sumbu-y. Penampangnya yang tegak lurus terhadap sumbu-x berbentuk bujursangkar. Hitung volume benda tersebut.

y = 1-x2 alas keping

∆x

alas benda

Jawab: Iris benda tersebut secara tegak lurus terhadap sumbu-x. Maka, tiap irisannya berbentuk seperti keping bujursangkar dengan panjang sisi 1 – x2 dan tebal ∆x, sehingga volumenya adalah ∆V ≈ (1 – x2)2∆x. Jumlahkan dan ambil limitnya, Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB

Catatan Kuliah


kita peroleh volume benda tersebut 1

V = ∫ (1 − x 2 ) 2 dx = 158 . 0

Latihan. Alas sebuah benda adalah daerah yang dibatasi oleh lingkaran x2 + y2 = 1. Penampangnya yang tegak lurus terhadap sumbu-x berbentuk bujursangkar. Hitung volume benda tersebut. Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB

1

Catatan Kuliah


Momen dan Pusat Massa

Misalkan kita mempunyai kawat yang kita letakkan pada garis bilangan real sehingga menutupi selang [a,b]. Misalkan diketahui rapat massa kawat tersebut di titik x adalah ρ(x). Maka, massa potongan kawat yang lebarnya ∆x kurang-lebih akan sama dengan ∆m ≈ ρ(x)∆x. 0

∆x

a

b

Jumlahkan dan ambil limitnya, kita peroleh massa b kawat tersebut: m = ∫ ρ ( x)dx. a


Catatan Kuliah


Kita juga dapat menghitung momennya terhadap titik 0. (Momen = jarak × massa.) Pertama, momen tiap potongan kawat dengan lebar ∆x terhadap 0 adalah ∆M ≈ xρ(x)∆x. Jumlahkan dan ambil limitnya, kita peroleh momen kawat tersebut terhadap 0: b

M = ∫ xρ ( x)dx. a

Dengan mengetahui massa kawat dan momennya terhadap 0, kita dapat menentukan pusat massanya, b yakni xρ ( x)dx

M = x= m

∫ ∫ a

b

a

ρ ( x)dx

.


Catatan Kuliah


Contoh 4. Diketahui kawat dengan panjang 10 cm dan rapat massa di setiap titik sama dengan 3 kali kuadrat jarak titik tsb dari salah satu ujung kawat. Tentukan massa dan pusat massa kawat tersebut.

Jawab: Kita letakkan kawat tersebut sehingga menempati selang [0,10] pada garis bilangan real. Maka, rapat massanya di titik x adalah ρ(x) = 3x2. Massa kawat tersebut dan momenya terhadap 0 adalah 10

m = ∫ 3x 2 dx = 1000; 0

10

M = ∫ 3 x 3 dx = 7500. 0

Jadi, pusat massanya adalah 7,5 cm dari ujung kiri. Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB

Catatan Kuliah


Sekarang misalkan kita memy=f(x) punyai suatu keping homogen (rapat massanya ρ konstan) yg menempati daerah D yang tery=g(x) letak di antara dua kurva, sebut a b y = f(x) dan y = g(x), seperti pada gambar. Iris daerah D secara vertikal. Maka, massa, momen terhadap sumbu-y, dan momen terhadap sumbu-x dari tiap irisannya adalah

∆m ≈ ρ [ f ( x) − g ( x)]∆x;

∆M y ≈ xρ [ f ( x) − g ( x)]∆x;

[

]

∆M x ≈ 12 ρ f ( x) 2 − g ( x) 2 ∆x. Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB

Catatan Kuliah


Jumlahkan dan ambil limitnya, kita peroleh massa keping dan momennya terhadap kedua sumbu koordinat, yakni

m = ρ∫

[ f ( x) − g ( x)]dx;

b

a

M y = ρ ∫ x[ f ( x) − g ( x)]dx; b

a

Mx = ρ∫ 1 2

b

a

[ f ( x)

2

]

− g ( x) 2 dx.

Koordinat pusat massa keping tersebut adalah

My

Mx x= ; y= . m m Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB

Catatan Kuliah


Contoh 5. Diketahui keping homogen dengan rapat massa 1 yang menempati daerah yang dibatasi oleh kurva y = √x dan y = x2. Tentukan massa dan pusat massa keping tersebut.

Jawab. Massa keping tersebut adalah 1 1 2 m = ∫ ( x − x )dx = . 3 0 Momennya terhadap kedua sumbu koordinat adalah 1

M y = ∫ x( x − x 2 )dx = 0

Mx =

1 1 2 0

∫

( x − x 4 )dx =

3 20

3 20

;

.


Catatan Kuliah


Dengan demikian pusat massanya adalah (9/10,9/10). (Di sini pusat massanya terletak pada garis y = x, yang merupakan sumbu simetri keping tersebut.) Latihan. Tentukan massa dan pusat massa keping setengah lingkaran x2 + y2 = 1 bagian atas. Teorema Pappus. Jika suatu daerah D pada bidang diputar mengelilingi suatu sumbu yang tidak me-motong D, maka volume benda putar yang terbentuk sama dgn luas daerah D kali keliling lingkaran yang ditempuh oleh titik pusat massa D. Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB

D

Catatan Kuliah


SOAL-SOAL BAB VI 6.1 no. 3, 9, 11, 15, 25. 6.2 no. 1, 9, 13, 19, 27, 32, 33. 6.3 no. 8, 9, 11, 15. 6.8 no. 11, 19, 24. Catatan. Bagian 6.4 - 6.7 tidak dibahas.


Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB V. INTEGRAL

Recommend Documents