Catatan Kuliah 9 Memahami dan Menganalisa Optimisasi Tanpa Kendala dengan 2 atau Lebih Variabel Keputusan
1. Kondisi Turunan Pertama Perhatikan kembali optimisasi dengan 1 variabel bebas, yaitu : z = f ( x)
(1)
Maka syarat perlu dan cukup bagi fungsi tersebut adalah : (i) FONC : dz = f ' ( x ) dx = 0 atau
dz = f '( x) = 0 dx
(2)
(ii) SOSC : d 2 z ≡ d ( dz ) = d ⎡⎣ f ' ( x ) dx ⎤⎦ = d ⎡⎣ f ' ( x ) ⎤⎦ dx
= ⎡⎣ f " ( x ) dx ⎤⎦ dx = f " ( x ) dx 2
(3)
d 2 z ⎧≤ 0 → max Jadi, f " ( x ) = 2 ⎨ dx ⎩ ≥ 0 → min
Misalkan sekarang diberikan fungsi dengan 2 variabel bebas yaitu : z = f ( x, y )
(4)
Maka syarat perlu dan cukup bagi fungsi tersebut adalah : (i) FONC : f x = f y = 0
atau
∂z ∂z = =0 ∂x ∂y
(5)
(ii) ♦ Turunan Kedua Derivatif Parsial Diketahui f x ≡
∂z ∂x
dan
fy ≡
∂z , maka ∂y
f xx ≡
∂ ∂ 2 z ∂ ⎛ ∂z ⎞ ≡ ⎜ ⎟ f atau ( x) ∂x 2 ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂x
(6)
f yy ≡
∂ 2 z ∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂ ≡ ⎜ ⎟ f y ) atau ( ∂y 2 ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂y
(7)
∂2 z ∂ ⎛ ∂z ⎞ ≡ ⎜ ⎟ dan f xy ≡ ∂x∂y ∂x ⎝ ∂y ⎠
∂2 z ∂ ⎛ ∂z ⎞ f yx ≡ ≡ ⎜ ⎟ ∂y∂x ∂y ⎝ ∂x ⎠
(8)
♦ Turunan Kedua Total Differensial Karena dz = f x dx + f y dy maka d 2 z ≡ d ( dz ) =
=
∂ ( dz ) ∂ ( dz ) dx + dy ∂x ∂y
∂ ( f x dx + f y dy ) ∂x
dx +
∂ ( f x dx + f y dy ) ∂y
dy
= ( f xx dx + f yx dy ) dx + ( f xy dx + f yy dy ) dy = f xx dx 2 + f yx dydx + f xy dxdy + f yy dy 2
(9)
Berdasarkan Teorema Young, f xy = f yx selama masing-masing derivatif parsial tersebut kontinu. Oleh karena itu, d 2 z = f xx dx 2 + 2 f xy dxdy + f yy dy 2
(10)
2. Kondisi Turunan Kedua
Jadi untuk masalah optimisasi 2 variabel, kondisi turunan keduanya adalah : Max → d 2 z ≤ 0 SOSC : Min → d 2 z ≥ 0 ⎧< 0 iff dimana d z ⎨ ⎩ > 0 iff 2
f xx < 0; f yy < 0; f xx f yy > f xy 2 f xx > 0; f yy > 0; f xx f yy > f xy 2
Jika disimpulkan, tabel kondisi untuk relative ekstremum z = f ( x, y ) : Kondisi
Maksimum
Minimum
FONC
fx = f y = 0
fx = f y = 0
SOSC
f xx < 0; f yy < 0; f xx f yy > f xy 2
f xx > 0; f yy > 0; f xx f yy > f xy 2
Contoh :
Diketahui : z = − x 2 − y 2 + 6 x + 2 y Carilah nilai ekstrem dari fungsi tersebut dan tentukan apakah maksimum atau minimum.
3. Bentuk Kuadrat
Perhatikan kembali bentuk persamaan (10) : d 2 z = f xx dx 2 + 2 f xy dxdy + f yy dy 2
Misalkan q ≡ d 2 z ; u ≡ dx ; v ≡ dy ;
a ≡ f xx ; b ≡ f yy ;
h ≡ f xy = f yx
Maka persamaan (10) menjadi :
q = au 2 + 2huv + bv 2
(11)
¾ Positive and Negative Definiteness
Suatu bentuk kuadrat q dikatakan : ⎧ positive ( > 0 ) positive definite ⎫ ⎪ ⎪ positive semidefinite ⎪ ⎪ nonnegative ( ≥ 0 ) ⎬ jika q selalu ⎨ negative semidefinite ⎪ ⎪ nonpositive ( ≤ 0 ) ⎪ negative ( < 0 ) negative definite ⎪⎭ ⎩ ¾ Determinantal Test for Sign Definiteness
Jika ruas kanan persamaan (11) ditambahkan dan dikurangkan dengan q = au 2 + 2huv +
h2 2 v : a
h2 2 h2 v + bv 2 − v 2 a a
⎛ 2h h2 ⎞ ⎛ h2 ⎞ = a ⎜ u 2 + uv + 2 v 2 ⎟ + ⎜ b − ⎟ v 2 a a a ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2
h ⎞ ⎛ ab − h 2 ⎞ 2 ⎛ = a⎜u + v⎟ + ⎜ ⎟v a ⎠ ⎝ a ⎠ ⎝
(12)
2
h ⎞ ⎛ Karena ⎜ u + v ⎟ > 0 dan v 2 > 0 , maka nilai q sangat bergantung pada nilai a a ⎠ ⎝ ⎛ ab − h 2 ⎞ dan ⎜ ⎟ ⎝ a ⎠ ⎛ ab − h 2 ⎞ Agar q > 0 , maka a > 0 dan ⎜ ⎟>0 ⎝ a ⎠
Karena a > 0 , maka ( ab − h 2 ) > 0 sehingga ab > h 2 Jadi, agar q minimum(positive definite) atau q ≡ d 2 z > 0 syaratnya adalah a ≡ f xx > 0 dan f xx f yy > f xy 2 Dengan cara yang sama, agar q maksimum(negative definite) atau q ≡ d 2 z < 0 syaratnya adalah a ≡ f xx < 0 dan f xx f yy > f xy 2 Bentuk kuadrat q pada persamaan (11) dapat dinyatakan dalam bentuk : ⎡ a h ⎤ ⎡u ⎤ q = [u v ] ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣h b ⎦ ⎣v ⎦
; u, v ≠ 0
(13)
Karena u dan v merupakan vektor tidak nol, maka bentuk q sangat bergantung ⎡ a h ⎤ ⎡ f xx pada ⎢ ⎥=⎢ ⎣ h b ⎦ ⎣ f yx
f xy ⎤ f yy ⎥⎦
Berdasarkan uraian sebelumnya, dinyatakan bahwa syarat maksimum adalah : f xx < 0; f yy < 0; f xx f yy − f xy 2 > 0
⎡ a h ⎤ ⎡ f xx Bentuk di atas adalah determinan dari matriks ⎢ ⎥=⎢ ⎣ h b ⎦ ⎣ f yx
dengan H1 = f xx < 0 dan H 2 =
f xx
f xy
f yx
f yy
>0
dimana H adalah determinan Hessian. Dengan cara yang sama, maka untuk syarat minimum adalah : H1 = f xx > 0 dan H 2 =
f xx f yx
f xy >0 f yy
f xy ⎤ =H f yy ⎥⎦
Sehingga dapat disimpulkan sbb : Kondisi
Maksimum
Minimum
FONC
fx = f y = 0
fx = f y = 0
SOSC
H1 < 0; H 2 > 0
H1 > 0; H 2 > 0
Contoh :
Tentukan apakah q = 3u 2 − 4uv + 7v 2 positive atau negative definite?
4. Akar Ciri
Diberikan matriks D berukuran n × n Jika kita dapat menentukan besarnya skalar r dan vektor x ≠ 0 berukuran n × 1 , yang memenuhi persamaan : D x = r x ( n×n ) ( n×1)
(14)
( n×1)
maka skalar r disebut dengan akar karakteristik atau akar ciri dari matriks D , dan vektor x disebut dengan vector karakteristik dari matriks D . Persamaan (14) dapat ditulis dengan bentuk : Dx − rIx = 0 atau
( D − rI ) x = 0
(15)
dimana 0 adalah vektor berukuran n ×1 Matriks koefisien ( D − rI ) adalah matriks karakteristik dari D , yang harus singular d11 − r
atau D − rI =
d 21 " d n1
"
d1n
d 22 − r "
d2n
d12 " dn2
" " " d nn − r
=0
Persamaan (16) adalah persamaan karakteristik dari matriks D . Contoh :
Tentukan akar karakteristik dari matriks D =
4 2 2 3
(16)
5. Fungsi Obyektif dengan 2 atau Lebih Variabel
Untuk kasus n -variabel, fungsi obyektif dapat dinyatakan sebagai berikut : z = f ( x1 , x2 ,..., xn )
(17)
Total differensial dari persamaan di atas adalah :
dz = f1dx1 + f 2 dx2 + ... + f n dxn
Matriks Hessian : H =
(18)
f11
f12 "
f 21 "
f 22 " f 2 n " " "
f n1
fn2 "
f1n
(19)
f nn
Maka uji determinan untuk fungsi obyektif z = f ( x1 , x2 ,..., xn ) adalah : Kondisi
Maksimum
Minimum
FONC
f1 = f 2 = ... = f n = 0
f1 = f 2 = ... = f n = 0
SOSC
H1 < 0; H 2 > 0
H1 > 0; H 2 > 0;...; H n > 0
H 3 < 0;...; ( −1) H n > 0 n
Contoh :
Apakah fungsi z = x12 + 3x2 2 − 3x1 x2 + 4 x2 x3 + 6 x32 maksimum atau minimum?
6. Hubungan Turunan Kedua dengan Concave dan Convex ⎧ positive definite ⎫ ⎧ strictly convex ⎪ ⎪ ⎪ convex ⎪ positive semidefinite ⎪ ⎪ Jika d 2 z ⎨ maka z ⎬ ⎨ concave ⎪negative semidefinite ⎪ ⎪ ⎪⎩ negative definite ⎪⎭ ⎪⎩ strictly concave
7. Aplikasi dalam Ilmu Ekonomi Contoh :
Misalkan dalam pasar monopoli ditawarkan 2 produk dalam 2 pasar dengan fungsi permintaan masing-masing pasar adalah sbb :
Q1 = 40 − 2 P1 − P2 Q2 = 35 − P1 − P2 Biaya total : C (Q1 , Q2 ) = Q12 + 2Q2 2 + 10 Tentukan Q1 dan Q2 yang memaksimumkan keuntungan serta perlihatkan kondisi turunan keduanya.
