Catatan Kuliah 8 Memahami dan Menganalisa Optimisasi Pertumbuhan
1. Sifat dari Fungsi Eksponensial Fungsi eksponensial adalah fungsi yang variabel bebasnya muncul sebagai pangkat. Bentuk umum : y = f ( t ) = bt ; b > 1 dimana y : variabel dependent t : variabel independent b : basis atau bilangan dasar
Contoh : y = 5t ; y = 4( t − 2)
Fungsi eksponensial mempunyai dua basis, yaitu : (i)
Basis konstanta b •
Fungsi eksponensial dengan basis b > 1 Sifat utama : ¾ Nilai dari fungsi y akan mendekati sumbu t ketika t mendekati nilai
negatif tak hingga ( −∞ ) ¾ Nilai y akan monoton naik seiring dengan meningkatnya nilai t
y y = bt ; b > 1
1 •
0 t Fungsi eksponensial dengan basis 0 < b < 1 Sifat utama : ¾ Nilai dari fungsi y akan mendekati sumbu t ketika t mendekati nilai
positif tak hingga ( +∞ ) ¾ Nilai y akan monoton turun seiring dengan meningkatnya nilai t
y y = bt
0 < b <1
1 0 (ii)
t
Basis bilangan natural, e = 2, 71828... Fungsi eksponensial yang memiliki basis ini biasa disebut dengan fungsi eksponensial natural.
2. Fungsi Eksponensial Natural dan Masalah dalam Pertumbuhan Bilangan e
Fungsi eksponensial natural adalah fungsi eksponensial yang menggunakan basis bilangan e = 2, 71828...
1⎞ ⎛ Nilai e diperoleh dengan mengevaluasi pernyataan fungsi f ( m ) = ⎜ 1 + ⎟ ⎝ m⎠
m
ketika m mendekati bilangan yang semakin besar atau tak hingga. Jika nilai m semakin besar, maka f ( m ) menjadi : 1
⎛ 1⎞ f (1) = ⎜1 + ⎟ = 2 ⎝ 1⎠ 2
⎛ 1⎞ f ( 2 ) = ⎜1 + ⎟ = 2, 25 ⎝ 2⎠ 3
⎛ 1⎞ f ( 3) = ⎜ 1 + ⎟ = 2,37037... ⎝ 3⎠ 4
⎛ 1⎞ f ( 4 ) = ⎜1 + ⎟ = 2, 44141... ⎝ 4⎠ #
Selanjutnya, jika nilai m semakin besar sampai tak hingga ( ∞ ) , maka f ( m ) akan menjadi konvergen ke bilangan e = 2, 71828... Jadi, e dapat didefinisikan sebagai : 1⎞ ⎛ e ≡ lim f ( m ) = lim ⎜1 + ⎟ m →∞ m →∞ ⎝ m⎠
m
Interpretasi Ekonomi dari bilangan e
Dalam ekonomi, bilangan e dapat diinterpretasikan sebagai bentuk khusus dari bunga majemuk. Misalkan diberikan nilai pokok awal (initial principal) sebesar $1. Dan tingkat bunga yang ditawarkan oleh bank sebesar 100% per tahun. Jika bunganya digabungkan menjadi setahun sekali, maka nilai asset pada akhir tahun akan menjadi $2, yang secara matematis dinyatakan sbb :
V (1) = initial principal (1 + Interest rate ) 1
⎛ 1⎞ = 1(1 + 100% ) = 1⎜1 + ⎟ = 2 ⎝ 1⎠ Jika bunganya digabungkan menjadi semi tahunan sekali, maka nilai bunga sebesar 50% dari initial principal akan diberikan pada akhir periode 6 bulan pertama. Karenanya nilai asset awal pada periode 6 bulan kedua sebesar $1,50, dan nilai asset pada akhir tahun menjadi : 2
⎛ 1⎞ V ( 2 ) = (1 + 50% )(1 + 50% ) = ⎜1 + ⎟ = 2, 25 ⎝ 2⎠ 3
4
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ Dengan cara yang sama dapat ditulis : V ( 3) = ⎜ 1 + ⎟ ; V ( 4 ) = ⎜1 + ⎟ ; dst. ⎝ 3⎠ ⎝ 4⎠ 1⎞ ⎛ Secara umum dapat dinyatakan dengan : V ( m ) = ⎜1 + ⎟ ⎝ m⎠
m
dimana m menunjukkan frekuensi penggabungan bunga dalam 1 tahun. Jika bunga digabungkan secara kontinu dalam 1 tahun, maka m menjadi tak terbatas, maka nilai asset pada akhir tahun menjadi :
m
1⎞ ⎛ lim V ( m ) = lim ⎜1 + ⎟ = e ( dollars ) m →∞ m →∞ ⎝ m⎠ Karenanya, bilangan e dapa diinterpretasikan sebagai nilai akhir tahun dimana nilai pokok awal sebesar $1 akan tumbuh jika tingkat bunga sebesar 100% per tahun digabung secara kontinu. Bunga Majemuk dan Fungsi Aert
Dengan initial principal sebesar $ A , akan diinvestasikan selama t tahun pada tingkat suku bunga nominal r . Maka bentuk umum bunga majemuk dimodifikasi menjadi : r⎞ ⎛ V ( m ) = A ⎜1 + ⎟ ⎝ m⎠
mt
Bentuk di atas dapat dinyatakan dengan : mr ⎡⎛ r⎞ ⎤ V ( m ) = A ⎢⎜ 1 + ⎟ ⎥ ⎢⎣⎝ m ⎠ ⎥⎦
⎡⎛ 1 ⎞ w ⎤ = A ⎢⎜ 1 + ⎟ ⎥ ⎣⎢⎝ w ⎠ ⎦⎥
rt
rt
, dimana w ≡
m r
Ketika m meningkat sampai tak terhingga, maka w → ∞ . Oleh karena itu, secara umum nilai asset dalam proses penggabungan bunga yang kontinu adalah : V ≡ lim V ( m ) = Ae rt m →∞
Instantaneous Rate of Growth
Koefisien r dalam fungsi Ae rt dapat diinterpretasikan sebagai instantaneous rate of growth. Diberikan fungsi V = Ae rt , maka tingkat perubahan V adalah :
dV = rAe rt = rV dt
Tingkat pertumbuhan (rate of growth) V adalah tingkat perubahan V yang dinyatakan dalam bentuk relative atau persentase, karenanya :
Rate of growth of V ≡
dV dt rV = =r V V
Nilai r di atas disebut instantaneous rate of growth. Discounting & Negative Growth
Permasalahan discounting adalah menentukan present value A . Untuk kasus diskrit, diketahui future value : V = A (1 + i )
Maka bentuk discounting untuk kasus diskrit : A =
t
V
(1 + i )
t
= V (1 + i )
−t
Sedangkan untuk kasus kontinu, diketahui future value : V = Aert Maka bentuk discounting untuk kasus kontinu : A =
V = Ve− rt rt e
3. Logaritma
Logaritma dapat diartikan sebagai pangkat dari suatu bilangan pokok untuk menghasilkan suatu bilangan tertentu. Bentuk umum : b log t Basis atau bilangan dasar ( b ) dari suatu logaritma dapat berupa bilangan positif, kecuali 1. Akan tetapi, basis yang lazim digunakan adalalah basis 10 dan basis e . (i)
Logaritma biasa (common logarithms) Logaritma yang menggunakan basis 10 dan dilambangkan dengan log . Contoh :
(ii)
10
log100 =10 log102 = 2
Logaritma natural Logaritma yang menggunakan basis e = 2, 71828... , dan dilambangkan dengan e log atau ln . Contoh : e log e 2 = ln e 2 = 2
Aturan-aturan logaritma :
•
ln ( uv ) = ln u + ln v
•
⎛u⎞ ln ⎜ ⎟ = ln u − ln v ⎝v⎠
•
ln u a = a ln u u a = ( eln u ) = ea ln u a
•
b
log u = ( b log e )( e log u )
•
b
log e =
•
b
•
b
log y =
•
b
log y = ( b log e )( e log y )
b
log y
e
1 1 = log b ln b
=y
= =
log y log b
e
1 e log y log b
ln y ln b
4. Fungsi Logaritma
Jika suatu variabel dinyatakan sebagai fungsi logaritma dari variabel lain, maka fungsi ini disebut sebagai fungsi logaritma. Bentuk umum : t =b log y → y = bt dan t = e log y ( = ln y ) Perhatikan grafik di bawah ini : t
y y=t
y = et
y=t
t = e log y ( = ln y )
1 0
1
0
y
t
Berdasarkan grafik di atas, ternyata kurva fungsi log adalah pencerminan dari kurva fungsi eksponensial.
5. Derivatif Eksponensial dan Fungsi Logaritma
•
•
Aturan derivatif fungsi eksponensial
(i)
y ( t ) = et → y ' ( t ) = et
(ii)
y ( t ) = e f (t ) → y ' ( t ) = f ' ( t ) e f (t )
(iii)
y ( t ) = bt → y ' ( t ) = bt ln b
Aturan derivatif fungsi logaritma
1 t
(i)
y ( t ) = ln t → y ' ( t ) =
(ii)
y ( t ) = ln f ( t ) → y ' ( t ) =
f ' (t ) f (t )
Optimal Timing
1) Seorang pedagang wine, mempunyai 1 unit wine yang dapat dijual sekarang atau nanti dengan harga yang lebih mahal. Apabila harga sekarang adalah k dan harga pada waktu ke- t adalah V ( t ) = ke
t
dimana t > 0 .
Kapankah wine tersebut harus dijual agar keuntungannya maksimum? (Perlihatkan SOSC) Jawab : Misal diasumsikan suku bunga sebesar r , maka present value A ( t ) dari nilai jual wine pada waktu ke- t adalah : A ( t ) = V ( t ) e − rt
= ⎡ ke t ⎤ e − rt ⎣ ⎦
= ke
t − rt
Tujuan dari masalah ini adalah memaksimumkan A ( t ) . Berdasarkan persamaan di atas : A ( t ) = ke
t − rt
Log linierkan kedua ruas :
(
ln A ( t ) = ln ke
t − rt
ln A ( t ) = ln k + ln e
) t − rt
ln A ( t ) = ln k + t − rt Differensialkan kedua ruas terhadap t : d ⎡⎣ln A ( t ) ⎤⎦ dt
=
d [ ln k ] dt
+
d ⎣⎡ t ⎦⎤ d [ rt ] − dt dt
1 dA 1 − 1 2 = t −r A dt 2
dA ⎡1 −1 ⎤ = A(t ) ⎢ t 2 − r ⎥ dt ⎣2 ⎦ Agar A ( t ) maksimal, maka syarat FONC yang harus dipenuhi adalah dA ⎡1 −1 ⎤ = A(t ) ⎢ t 2 − r ⎥ = 0 dt ⎣2 ⎦ ⎡1 −1 ⎤ Karena A ( t ) ≠ 0 maka ⎢ t 2 − r ⎥ = 0 ⎣2 ⎦ t
−1
( ) t
−1
2
2
−2
= 2r
= ( 2r )
t* = SOSC :
−2
1 4r 2
dA = 0 , maka dt
⎡ ⎛ 1 −1 ⎞⎤ d ⎢ A ( t ) ⎜ t 2 − r ⎟⎥ d A ⎝2 ⎠⎦ = ⎣ 2 dt dt 2
d 2 A dA ⎛ 1 − 1 2 ⎞ ⎛ 1 −32 ⎞ = ⎜ t − r ⎟ + A (t ) ⎜ − t ⎟ 2 dt dt ⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠
Karena
dA = 0 , maka persamaan di atas menjadi : dt
A (t ) d2A 1 −3 = − t 2 A(t ) = − 2 dt 4 4 t3 Substitusi nilai t* =
1 ke persamaan di atas menghasilkan : 4r 2
A(t ) d2A =− <0 2 dt 2 3 4 (1 4r ) Karena
1 d2A < 0 maka waktu optimal agar A ( t ) maksimum adalah t* = 2 2 dt 4r
2) Jika nilai wine tumbuh mengikuti fungsi : V ( t ) = ke 2
t
Berapa waktu optimal untuk menyimpan wine tersebut? (periksa SOSC)
