Catatan Kuliah 2 Matematika Ekonomi
Memahami dan Menganalisa Aljabar Matriks (2)
1. Vektor dan Akar Karakteristik Apabila A adalah matriks berordo n × n dan X adalah vector n × 1 , akan dicari skalar λ ∈ ℜ yang memenuhi persamaan : AX = λ X
( A − λI ) X = 0
atau
Agar X ≠ 0 (solusinya bukan trivial) maka haruslah A − λI = 0 . Selanjutnya λ
disebut akar karakteristik. Sedangkan X yang memenuhi
persamaan di atas dikatakan sebagai vektor karakteristik yang bersesuaian dengan akar karakteristik apabila juga memenuhi X 12 + X 2 2 + ... + X n 2 = 1
Akar karakteristik digunakan untuk menguji sign-definiteness. ⎛a Misalkan suatu matriks A berdimensi 2 × 2 , A = ⎜ 11 ⎝ a21
AX = λ X → ( A − λ I ) X = 0
⎡⎛ a11 a12 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞⎤ ⎢⎜ ⎟−λ⎜ ⎟⎥ X = 0 ⎝ 0 1 ⎠⎦ ⎣⎝ a21 a22 ⎠ ⎛ a11 − λ ⎜ ⎝ a21
a12 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ = 0 a22 − λ ⎠ ⎝ x2 ⎠
a12 x2 ⎞ ⎛ (a11 − λ ) x1 ⎜ ⎟=0 (a22 − λ ) x2 ⎠ ⎝ a21 x1
Maka determinan dari matriks di atas adalah : a11 − λ
a12
a 21
a 22 − λ
=0
(a11 − λ )(a22 − λ ) − a21a22 = 0
a11a22 − a11λ − a22 λ + λλ − a21a22 = 0
λ 2 − (a11 + a22 )λ + (a11a22 − a12 a21 ) = 0
a12 ⎞ ⎟ a22 ⎠
Kesimpulan hasil akar karakteristik :
Jika seluruh akar karakteristik ( λ ) positive, A adalah positive definite
Jika seluruh λ negative, A adalah negative definite
Jika seluruh λ nonnegative dan minimal salah satu λ = 0 , A positive semidefinite
Jika seluruh λ nonpositive dan minimal salah satu λ = 0 , A negative semi definite.
Jika λ ada yang positif dan negative, A adalah indefinite.
Contoh :
⎡ −6 3 ⎤ A=⎢ ⎥ ⎣ 3 −6 ⎦ Tentukan akar dan vektor karakteristiknya. ¾ Untuk menemukan akar karakteristik dari A, determinan dari matriks
karakteristik A − λI harus sama dengan nol. A − λI =
−6 − λ
3
3
−6 − λ
=0
(−6 − λ )(−6 − λ ) − (3)(3) = 0
λ 2 + 12λ + 27 = 0 (λ + 9)(λ + 3) = 0
λ1 = −9 dan λ2 = −3 Karena kedua akar karakteristik memiliki tanda negative, matriks A merupakan negative definite. ¾ Vektor karakteristik ?
2. Matriks Inverse
•
Analoginya sama dengan kebalikan dari suatu bilangan. Misal kebalikan (inverse) dari 4 adalah
•
1 1 dimana 4 × = 1 4 4
Sedangkan untuk matriks, hasil perkalian matriks inverse dengan matriks asalnya adalah matriks identitas.
•
Invers suatu matriks A dinotasikan dengan A−1
•
AA−1 = A−1 A = I
•
Matriks yang mungkin memiliki invers adalah matriks bujur sangkar (square matrix) tapi tidak setiap matriks bujur sangkar memiliki invers.
•
Matriks bujur sangkar yang memiliki inverse adalah matriks yang bersifat non-singular matrix.
•
Sifat Inverse : a. Inverse dari suatu inverse matriks adalah matriks asalnya.
(A )
−1 −1
=A
b. Hasil perkalian suatu matriks adalah perkalian dari suatu inverse matriks dalam urutan yang terbalik.
( AB )
−1
= B −1 A−1
c. Inverse dari suatu transpose adalah transpose dari inverse matriks tersebut.
( A ') •
−1
= ( A−1 ) '
Invers matriks dapat dirumuskan sebagai berikut:
A −1 =
1 adj A A
Invers dari matriks 2X2 ⎡a A = ⎢ 11 ⎣a21
a12 ⎤ a22 ⎥⎦
A −1 =
1 adj A A
A −1 =
1 A
A−1 =
⎡c11 ⎢c ⎣ 12
c 21 ⎤ c 22 ⎥⎦
⎡ a22 1 (a22 a11 − a21a12 ) ⎢⎣− a21
Contoh :
⎡3 2⎤ 1) A = ⎢ ⎥ ⎣1 0⎦
− a12 ⎤ 1 ⎡ a22 = ⎥ a11 ⎦ | A | ⎢⎣− a21
− a12 ⎤ a11 ⎥⎦
A −1 =
1 ⎤ 1 ⎡ 0 − 2⎤ ⎡ 0 = ⎢ ⎥ − 2 ⎢⎣− 1 3 ⎥⎦ ⎣⎢ 1 2 − 3 2 ⎦⎥
Invers untuk matriks 3X3
•
Untuk mencari invers matriks 3X3 perlu diketahui matriks adjoint terlebih dahulu
•
Matriks adjoint adalah transpose dari sebuah matriks yang terbentuk dari kofaktor-kofaktor matriks asalnya (transpose dari “matriks kofaktor”). ⎡ a11 a12 Misalkan matriks A = ⎢⎢a 21 a 22 ⎢⎣ a 31 a 32 ⎡ C11 C12 Matriks kofaktor : C = ⎢⎢C21 C22 ⎢⎣C31 C32 ⎡ a 22 ⎢ ⎢ a32 ⎢ a dimana C = ⎢− 12 ⎢ a32 ⎢ a12 ⎢ ⎣ a 22
a13 ⎤ a 23 ⎥⎥ a 33 ⎥⎦ C13 ⎤ C23 ⎥⎥ C33 ⎥⎦
a 23 a33 a13
−
a33 a13
a31 a33 a a13 − 11 a 21 a 23
a 23
a 21 a 23 a31 a33 a11 a13
a 21 a31 a − 11 a31 a11 a 21
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ a32 ⎥ a12 ⎥ ⎥ a 22 ⎦ a 22 a32 a12
⎡ C11 C21 C31 ⎤ Matriks Adjoint : Adj(A) = C = ⎢⎢C12 C22 C32 ⎥⎥ ⎢⎣C13 C23 C33 ⎥⎦ T
Invers matriks A diperoleh dengan cara : ⎡ C11 C21 C31 ⎤ 1 1 ⎢ A = C12 C22 C32 ⎥⎥ Adj(A) = ⎢ | A| | A| ⎢⎣C13 C23 C33 ⎥⎦ −1
Contoh : ⎡10 1 8 ⎤ A = ⎢⎢ 1 2 1 ⎥⎥ ⎢⎣ 0 3 2⎥⎦
Tentukan matriks inversnya.
Jawab : Matriks kofaktor dari A adalah : ⎡ 2 ⎢ ⎢ 3 ⎢ 1 C = ⎢− ⎢ 3 ⎢ ⎢ 1 ⎢⎣ 2
1 2
−
1 1 0 2
8
10 8
2
0
8 1
−
2
10 8 1 1
1 2 ⎤ ⎥ 0 3 ⎥ ⎡ 1 −2 3 ⎤ 10 1 ⎥ ⎢ ⎥ = 22 20 −30 ⎥ − ⎥ 0 3⎥ ⎢ ⎢ ⎥⎦ 15 2 19 − − ⎥ ⎣ 10 1 ⎥ 1 2 ⎥⎦
22 −15⎤ ⎡1 ⎢ Adj (A) = C = ⎢ −2 20 −2 ⎥⎥ ⎢⎣ 3 −30 19 ⎥⎦ T
⎡ 1 22 −15⎤ ⎡ 1 32 1 A−1 = ⎢⎢ −2 20 −2 ⎥⎥ = ⎢⎢ −2 32 32 ⎢⎣ 3 −30 19 ⎥⎦ ⎢⎣ 3 32
22 20
32 32
−30
32
⎤ −2 ⎥ 32 ⎥ 19 32 ⎥ ⎦
−15
32
3. Sistem Persamaan Linear
A ≠0
A =0
d ≠0
d =0
Non-homogen
Homogen
AX = d
I
AX = 0
X * = A−1d
X * = A −1 0 = 0
Unique solution
Unique, Trivial solution
AX = d
III
A =0
AX = 0
II
IV
A =0
Tidak unique atau banyak solusi
Banyak solusi, satu diantaranya
Tidak termasuk ( 0, 0 )
adalah ( 0, 0 )
x2
Contoh SPL I :
2 x1 − x2 = 5
x1 + 2 x2 = 5⎫ x1* = 3 ⎬ 2 x1 − x2 = 5⎭ x2* = 1
(3,1) x1 x1 + 2 x2 = 5
x2
2 x1 − x2 = 0
Contoh SPL II : x1 + 2 x2 = 0 ⎫ x1* = 0 ⎬ 2 x1 − x2 = 0 ⎭ x2* = 0
x1 x1 + 2 x2 = 0
Contoh SPL III :
x2
x1 + 2 x2 = 5 ⎫ ⎬ solusi tidak unique 2 x1 + 4 x2 = 10 ⎭
x1 x1 + 2 x2 = 5
Contoh SPL IV : x1 + 2 x2 = 0 ⎫ ⎬ solusi tidak unique 2 x1 + 4 x2 = 0 ⎭
x2
x1 x1 + 2 x2 = 0
4. Cramer’s Rule Solusi persamaan linear bisa dihitung dengan Cramer’s rule. Aj
xj =
; A ≠0
A
dimana Aj adalah matriks yang kolom ke-j nya diganti vektor B . Misalkan suatu SPL : a11 x1 + a12 x2 = d1 a21 x1 + a22 x2 = d 2
Jika kedua persamaan di atas diubah ke dalam bentuk matriks AX = B maka :
⎛ a11 ⎜ ⎝ a21
a12 ⎞⎛ x1 ⎞ ⎛ d1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ a22 ⎠⎝ x2 ⎠ ⎝ d 2 ⎠ A
X
B
a11
a12
a21
a22
A1 =
d1 d2
a12 = (d1a22 − d 2 a12 ) a22
A2 =
a11 a21
d1 = (a11d 2 − a21d1 ) d2
A=
−
x1 =
A1 A
= (a11a22 − a21a12 )
−
dan
x2 =
A2 A
Contoh : Carilah solusi dari sistem persamaan berikut : a. − x1 + 3 x2 = −3 4 x1 − x2 = 12 b. 4 x + 3 y − 2 z = 7
x+ y =5 3x + z = 4
5. Aplikasi Dalam Model Ekonomi a. Market Model Diketahui fungsi permintaan dan penawaran dari 2 komoditi :
Qd 1 = 10 − 2 P1 + P2
Qd 2 = 15 + P1 − P2
Qs1 = −2 + 3P1
Qs 2 = −1 + 2 P2
Tentukan solusi equilibrium. Jawab : Syarat equilibrium : Qd = Qs
Qd 1 = Qs1 → 10 − 2 P1 + P2 = −2 + 3P1 5 P1 − P2 = 12
…(i)
Qd 1 = Qs1 → 15 + P1 − P2 = −1 + 2 P2 P1 − 3P2 = −16
…(ii)
Persamaan (i) dan (ii) diubah ke dalam bentuk matriks AX = B :
⎛ 5 −1 ⎞ ⎛ P1 ⎞ ⎛ 12 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ 1 −3 ⎠ ⎝ P2 ⎠ ⎝ −16 ⎠ A
B
X
Dengan aturan Cramer’s, diperoleh nilai P1 * dan P2 * Kemudian substitusi nilai P1 * dan P2 * ke fungsi permintaan atau penawaran komoditi 1 dan 2, sehingga diperoleh nilai Q1 * dan Q2 *
b. Model Pendapatan Nasional
Y = C + I 0 + G0 C = a + bY
( a > 0;0 < b < 1)
Tentukan solusi Y * dan C * Jawab : Pisahkan antara variabel endogen dan eksogen :
Y − C = I 0 + G0 −bY + C = a
Kemudian ubah ke dalam bentuk matriks AX = B :
⎛ 1 −1⎞⎛ Y ⎞ ⎛ I 0 + G0 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ −b 1 ⎠⎝ C ⎠ ⎝ a ⎠ A
X
B
Dengan aturan Cramer’s, diperoleh nilai Y * dan C *
c. Model IS-LM : Closed Economy IS : Y = C + I + G C = a + b (1 − t ) Y I = d − ei
G = G0 LM : M d = M s
M d = kY − li Ms = M0 Tentukan solusi Y * Jawab : Jika disederhanakan persamaan LM menjadi : M 0 = kY − li Pisahkan antara variabel endogen dan eksogen dari persamaan IS dan LM :
Y − C − I = G0 b (1 − t ) Y − C = − a
I + ei = d kY − li = M 0 Kemudian ubah ke dalam bentuk matriks AX = B :
−1 −1 0 ⎞⎛ Y ⎞ ⎛ G0 ⎞ ⎛ 1 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎜ b (1 − t ) −1 0 0 ⎟⎜ C ⎟ = ⎜ −a ⎟ ⎜ 0 0 1 e ⎟⎜ I ⎟ ⎜ d ⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ 0 0 −l ⎠⎝ i ⎠ ⎝ M 0 ⎠ ⎝ k A
X
B
Dengan aturan Cramer’s, diperoleh nilai Y *
