Catatan Kuliah 11 Memahami dan Menganalisa Optimasi dengan Kendala Persamaan
1. Maksimum Kepuasan dan Permintaan Konsumen Misalkan seorang konsumen dihadapkan pada 2 pilihan barang untuk dikonsumsi, yaitu barang x dan barang y . Selain itu harga masing-masing barang tersebut adalah Px dan Py . Apabila anggaran yang dimiliki oleh konsumen hanya sebesar B , maka secara formal persoalan optimisasi di atas dapat dinyatakan sebagai : OF : Max U = U ( x, y ) ;
(U ,U x
y
> 0)
s.t : xPx + yPy = B Fungsi Lagrange : Z = U ( x, y ) + λ ⎡⎣ B − ( xPx + yPy ) ⎤⎦ FONC : Z x = 0 → U x − λ Px = 0
(1)
Z y = 0 → U y − λ Py = 0
(2)
Z λ = 0 → B − xPx − yPy = 0
(3)
Dari persamaan (1) dan persamaan (2) diperoleh :
Ux U y = =λ Px Py
(4)
Persamaan (4) menunjukkan bahwa untuk memperoleh kepuasan yang maksimum, seorang konsumen harus mengalokasikan anggarannya sedemikian rupa sehingga rasio dari marginal utility terhadap harga untuk setiap komoditi adalah sama. Bentuk persamaan (4) dapat dinyatakan dengan : MRS xy =
Ux U y = Px Py
(5)
Bentuk di atas untuk sisi kiri menggambarkan marginal rate of substitution dari barang x dan y
( MRS ) , sedangkan sisi kanan menggambarkan rasio harga dari xy
kedua barang. Sehingga agar kepuasan konsumen optimal, maka haruslah MRS xy =
Ux sama dengan rasio harga dari kedua barang. Uy
Sementara itu jika kepuasan seseorang dianggap konstan dengan tingkat U , maka dapat dinyatakan bentuk sbb : U = U ( x, y )
(6)
Bentuk ini menggambarkan tempat kedudukan titik–titik kombinasi dari x dan y pada tingkat U yang tetap sebesar U . Secara grafis dapat dinyatakan sebagai :
y ⎛ U ⎞ dy Indifferent curve ⎜ slope = =− x ⎟ ⎜ dx U y ⎟⎠ ⎝
y*
E
0
x*
⎛ P dy =− x Budget line ⎜ slope = ⎜ dx Py ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
x
Secara matematis, dengan total differensial diperoleh :
dU = U x dx + U y dy = 0 atau
U dy =− x dx Uy
(7)
Dengan demikian, negative slope dari indifferent curve setara dengan MRS xy . Untuk masalah optimisasi di atas, SOSC nya adalah : 0
Px
Py
H 2 = H = Px U xx U xy Py U yx U yy Jika diasumsikan bahwa H positif maka, 2 Px PyU xy − U xx Py 2 − U yy Px 2 > 0
Sekarang perhatikan kurva indifferent, dimana diketahui bahwa :
(8)
U dy =− x dx Uy
Maka bentuk
d 2 y d ⎛ dy ⎞ d ⎛ Ux = = − ⎜ ⎜ ⎟ dx 2 dx ⎝ dx ⎠ dx ⎜⎝ U y =−
Ingat bahwa
1 U y2
dU x dy = U xx + U yx dx dx
⎞ ⎟⎟ ⎠
dU y ⎤ ⎡ dU x −Ux ⎢U y ⎥ dx dx ⎦ ⎣
dan
dU y dx
= U xy + U yy
(9)
dy dx
(10)
Substitusi persamaan (10) ke persamaan (9) :
d2y 1 =− 2 2 dx Uy
⎡ ⎛ dy ⎞ dy ⎞ ⎤ ⎛ ⎢U y ⎜ U xx + U yx dx ⎟ − U x ⎜ U xy + U yy dx ⎟ ⎥ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎝
(11)
Ingat juga bahwa : U dy =− x dx Uy
dan
U x Px P dy = ⇒ =− x U y Py dx Py
U P U x Px = ⇒ Ux = y x U y Py Py
(12)
(13)
Substitusi persamaan (12) dan (13) ke persamaan (11) : Px ⎞ U y Px ⎛ Px ⎞ ⎤ d2y 1 ⎡ ⎛ = − U U − U − U − U ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ y xx yx xy yy dx 2 U y 2 ⎣⎢ ⎜⎝ Py ⎟⎠ Py ⎜⎝ Py ⎟⎠ ⎥⎦
1 =− 2 Uy
⎡⎛ U yyU y Px 2 ⎞ ⎤ Px ⎞ ⎛ U y PU x xy − ⎢⎜⎜ U yU xx − U yU yx ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎥ Py ⎠ ⎝ Py Py 2 ⎟⎠ ⎥⎦ ⎢⎣⎝
1 U y2
⎡U y ⎤ 2 2 ⎤ ⎢ 2 ⎥ ⎡⎣( Py U xx − U yx Py Px ) − ( PU x xy Py − U yy Px ) ⎦ P ⎣⎢ y ⎦⎥
=−
=
2 Px PyU yx − Py 2U xx − Px 2U yy
U y Py
2
Jika SOSC terpenuhi maka
=
H U y Py 2
d2y > 0 , dimana H > 0 ; U y > 0 ; Py 2 > 0 2 dx
(14)
d2y Karena > 0 maka kurva indifferent adalah strictly convex. dx 2 Catatan : H > 0 dipenuhi oleh U xx , U yy < 0 dan U yx > 0
2. Analisa Komparatif Statik
Misalkan fungsi kepuasan konsumen didefinisikan sbb : OF : Max U = U ( x, y )
s.t : xPx + yPy = B a) Perlihatkan bahwa x * , y * , dan λ * merupakan fungsi dari Px , Py , dan B b) Tentukan
∂x * ∂y * ∂x * ∂y * , , , ∂Px ∂Px ∂B ∂B
Jawab : Fungsi Lagrange : Z = U ( x, y ) + λ ⎡⎣ B − ( xPx + yPy ) ⎤⎦
FONC : Z λ = 0 → B − xPx − yPy = 0 ⎫ ⎪ Z x = 0 → U x − λ Px = 0 ⎬ Z y = 0 → U y − λ Py = 0 ⎪⎭
(1)
Solusi bagi (1) adalah sekumpulan fungsi dimana variabel endogen merupakan fungsi dari variabel eksogen yaitu :
λ * = λ * ( B, Px , Py ) ⎫ ⎪ ⎪ x* = x * ( B, Px , Py ) ⎬ ⎪ y* = y * ( B, Px , Py ) ⎪⎭
(2)
Apabila (2) disubstitusi ke (1) maka : B − x * Px − y * Py = 0 ⎫ ⎪ U x ( x*, y *) − λ * Px = 0 ⎬ U y ( x*, y *) − λ * Py = 0 ⎪⎭
(3)
Ingat kembali bahwa (3) adalah sekumpulan fungsi implisit dengan aturan total differensial, maka dari (3) dapat dinyatakan bentuk :
dB − x * dPx − Px dx * − y * dPy − Py dy* = 0 ⎫ ⎪ U xx dx * +U xy dy * −λ * dPx − Px d λ * = 0 ⎬ U yx dx * +U yy dy * −λ * dPy − Py d λ* = 0 ⎭⎪ Jika ingin dianalisis pengaruh satu variabel eksogen
(4)
( B) ,
misalkan dPx = dPy = 0
maka (4) menjadi : ⎫ ⎪ − Px d λ * +U xx dx * +U xy dy* = 0 ⎬ − Py d λ * +U yx dx * +U yy dy* = 0 ⎪⎭ − Px dx * − Py dy* = − dB
(5)
Jika (5) diubah ke dalam bentuk matriks maka : ⎛ 0 ⎜ ⎜ − Px ⎜ −P ⎝ y
− Px U xx U yx
− Py ⎞ ⎛ ∂λ * ⎞ ⎛ −∂B ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ U xy ⎟ ⎜ ∂x * ⎟ = ⎜ 0 ⎟ U yy ⎟⎠ ⎜⎝ ∂y * ⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎠
(6)
Kedua ruas dibagi dengan ( ∂B ) : ⎛ 0 ⎜ ⎜ − Px ⎜ ⎝ − Py
− Px U xx U yx
⎛ ∂λ * ⎞ ∂B ⎟ ⎛ −1⎞ − Py ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ∂x * ⎟ ⎜ ⎟ = 0 U xy ⎟ ⎜ ∂B ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ U yy ⎠ ⎜ ∂y * ⎟ ⎜⎝ 0 ⎟⎠ ⎜ ⎟ ∂B ⎠ ⎝
(7)
Dari (7) dengan metode aturan Cramer diperoleh : 0 − Px − Py
−1 − Py 0 U xy 0 U yy
∂x * = ∂B 0 − Px − Py
− Px U xx U yx
− Py U xy U yy
0 − Px − Py
− Px U xx U yx
−1 0 0
− Px U xx U yx
− Py U xy U yy
∂y * = ∂B 0 − Px − Py
=
1 − Px U xy J − Py U yy
=−
1 − Px U xx J − Py U yx
(8)
(9)
Jika ingin dianalisis pengaruh perubahan
( Px ) ,
misalkan dPy = dB = 0 maka (4)
menjadi : ⎫ − Px dx * − Py dy* = x * dPx ⎪ − Px d λ * +U xx dx * +U xy dy* = λ * dPx ⎬ − Py d λ * +U yx dx * +U yy dy* = 0 ⎪⎭
(10)
Jika (10) diubah ke dalam bentuk matriks maka : ⎛ 0 ⎜ ⎜ − Px ⎜ − Py ⎝
− Px U xx U yx
− Py ⎞ ⎛ ∂λ * ⎞ ⎛ x * ∂Px ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ U xy ⎟ ⎜ ∂x * ⎟ = ⎜ λ * ∂Px ⎟ U yy ⎟⎠ ⎜⎝ ∂y * ⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎠
(11)
Kedua ruas dibagi dengan ( ∂Px ) : ⎛ 0 ⎜ ⎜ − Px ⎜ ⎝ − Py
− Px U xx U yx
⎛ ∂λ * ⎞ ⎜ ∂Px ⎟ ⎛ x * ⎞ − Py ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ = ⎜ λ *⎟ U xy ⎟ ⎜ ∂x * ⎜ ⎟ ∂ P x ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ U yy ⎠⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 ⎠ ∂y * ⎜ ∂Px ⎟⎠ ⎝
0 ∂x * 1 = − Px ∂Px J − Py =−
(12)
x * − Py λ * U xy 0
U yy
x * − Px U xy λ * 0 + J − Py U yy J − Py
− Py U yy
≡ T1 + T2
(13)
∂x * menunjukkan bagaimana perubahan dalam Px mempengaruhi nilai optimal x * . ∂Px Ada 2 komponen dalam efek ini. Pertama, T1 , yang berdasarkan (8) dapat dinyatakan sebagai ⎡⎣ − ( ∂x * ∂B ) x *⎤⎦ . Dalam hal ini T1 mengukur efek perubahan dalam B (budget atau income) terhadap nilai optimal x * , dimana x *
itu sendiri adalah
weighting factor. Karena x * diturunkan terhadap perubahan harga maka T1
diinterpretasikan sebagai income effect of a price change. Saat Px meningkat, penurunan real income konsumen akan berpengaruh terhadap x * , sama halnya dengan penurunan B , karenanya ⎡⎣ − ( ∂x * ∂B ) ⎤⎦ .
Secara umum, nyatakan consumer’s effective income loss dengan differensial dB = − x * dPx , maka x* = −
dB dPx
⎛ ∂x * ⎞ ⎛ ∂x * ⎞ dB dan T1 = − ⎜ ⎟ x* = ⎜ ⎟ ⎝ ∂B ⎠ ⎝ ∂B ⎠ dPx
(14)
dimana T1 mengukur efek perubahan dalam Px terhadap x * melalui B . Hal ini disebut dengan income effect. Jika konsumen diberikan kompensasi untuk menutupi kerugian effective income dengan pembayaran tunai yang secara numeric sama dengan dB , maka karena neutralisasi income effect, komponen ke dua dari comparative static
∂x * , yaitu T2 ∂Px
akan mengukur substitution effect dari perubahan dalam Px . Saat menganalisa efek perubahan dalam Px , asumsikan dPy = dB = 0 . Maka persamaan pertama dalam (4) , dapat ditulis dengan : − Px dx * − Py dy* = x * dPx Untuk mengkompensasi konsumen, artinya x * dPx = 0 ⎛ x*⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ Karenanya, vektor konstan dalam (12) harus diubah dari ⎜ λ * ⎟ ke ⎜⎜ λ * ⎟⎟ , dan ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
kompensasi income menjadi : 0 ⎛ ∂x * ⎞ 1 = − Px ⎜ ⎟ ⎝ ∂Px ⎠ kompensasi J − P y
0
− Py
λ * U xy = 0
U yy
λ* 0 J − Py
Sehingga (13) dapat dinyatakan dalam bentuk : ⎛ ∂x * ⎞ ⎛ ∂x * ⎞ ⎛ ∂x * ⎞ ⎜ ⎟ = T1 + T2 = − ⎜ ⎟ ⎟ x*+ ⎜ B ⎠ ⎝ ∂Px ⎠ kompensasi ⎝ ∂ ⎝ ∂Px ⎠
income effect
substitution effect
− Py = T2 U yy
0 ∂y * 1 = − Px ∂Px J − Py =
− Px
x*
U xx U yx
λ* 0
x * − Px U xx λ * 0 − J − Py U yx J − Py
≡ T3 + T4
− Px U yx