Catatan Kuliah 1 Matematika Ekonomi
Memahami dan Menganalisa Aljabar Matriks
1. Matriks dan Vektor Matriks Matriks adalah kumpulan bilangan, parameter atau variabel tersusun dalam baris dan kolom sehingga terbentuk segi empat. Susunan ini biasanya diletakkan dalam tanda kurung ( ) atau kurung siku [ ] . Bilangan, parameter atau variabel yang berada dalam kurung tersebut merupakan anggota atau elemen dari matriks. Notasi : huruf besar, misal : A Contoh matriks A dengan elemen aij :
A = ⎡⎣ aij ⎤⎦
Amxn
⎛ a11 ⎜ a = ⎜ 21 ⎜ # ⎜ ⎝ am1
,
i = 1, 2,..., m j = 1, 2,..., n
a12 a22 # am 2
" a1n ⎞ ⎡ a11 ⎟ ⎢a " a2 n ⎟ atau Amxn = ⎢ 21 ⎢ # % # ⎟ ⎟ ⎢ " amn ⎠ ⎣ am1
m
: jumlah baris
n
: jumlah kolom
m × n : dimensi matriks
i
: baris ke-i
j
: kolom ke-j
Contoh :
Matriks A berdimensi 3 × 3
A3×3
⎡6 3 4⎤ = ⎢⎢ 3 6 3 ⎥⎥ ⎣⎢ 2 2 8 ⎥⎦
1
a12 a22 # am 2
" a1n ⎤ " a2 n ⎥⎥ % # ⎥ ⎥ " amn ⎦
Vektor Susunan bilangan yang hanya terdiri dari satu baris (vektor baris) atau satu kolom (vektor kolom).
A(1xn ) = [a11
Vektor baris
Vektor kolom
A( mx1)
a12 " a1n ]
⎡ a11 ⎤ ⎢a ⎥ = ⎢ 21 ⎥ ⎢ # ⎥ ⎢ ⎥ ⎣a m1 ⎦
Jenis-Jenis Matriks a. Matriks bujur sangkar Matriks yang memiliki jumlah baris (m) dan jumlah kolom (n) yang sama. Misal matriks A berdimensi 2 × 2 dimana m = 2 dan n = 2 ⎡a A2 x 2 = ⎢ 11 ⎣a 21
a12 ⎤ ⎥ 22 ⎦
b. Matriks diagonal Matriks A disebut matriks diagonal jika aij = 0 untuk i ≠ j . ⎡ a11 [ A] = ⎢⎢ a21 ⎢⎣ a31
a12 a22 a32
a13 ⎤ ⎡1 0 0 ⎤ a23 ⎥⎥ = ⎢⎢0 2 0 ⎥⎥ a33 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 3⎥⎦
c. Matriks simetris
Matriks bujur sangkar yang memiliki elemen di bawah diagonal merupakan cerminan dari elemen di atas diagonal sehingga transpose matriks A ( A ' atau AT ) sama dengan matriks A
( A' = A
T
= A ) . Atau dengan kata lain, matriks
A disebut matriks simetris jika aij = a ji untuk setiap i dan j. ⎡ a11 [ A] = ⎢⎢ a21 ⎢⎣ a31
a12 a22 a32
a12 = a21
a13 ⎤ ⎡1 3 5 ⎤ a23 ⎥⎥ = ⎢⎢3 2 7 ⎥⎥ a33 ⎥⎦ ⎢⎣5 7 4 ⎥⎦
dimana a13 = a31 a23 = a32
2
d. Matriks skalar
Matriks bujur sangkar yang memiliki elemen-elemen nilai yang sama pada diagonal utamanya. ⎡a11 A = ⎢⎢ 0 ⎢⎣ 0
0 a 22 0
0⎤ 0 ⎥⎥ a33 ⎥⎦
dimana a11 = a 22 = a33
Contoh : ⎡3 0 0⎤ ⎢0 3 0⎥ = 3 ⎢ ⎥ [ ] ⎢⎣ 0 0 3⎥⎦
e. Matriks Identitas (I atau In)
Matriks bujur sangkar dengan elemen-elemen pada diagonal utama bernilai 1, sedangkan elemen yang lainnya bernilai nol. ⎡1 0 0 ⎤ I 3 = ⎢⎢0 1 0 ⎥⎥ ⎢⎣0 0 1 ⎥⎦
⎡1 0 ⎤ I2 = ⎢ ⎥ ⎣0 1 ⎦ Sifat-sifat : •
AI = AI = A
•
IT = I
•
I −1 = I
f. Matriks Nol
Matriks yang seluruh elemen-elemennya terdiri dari bilangan nol. 02×2
⎡0 0 ⎤ =⎢ ⎥ , ⎣0 0 ⎦
⎡0⎤ 03×1 = ⎢⎢ 0 ⎥⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
g. Matriks segitiga Matriks dimana nilai semua elemen di atas diagonal utama atau di bawah diagonal utama bernilai nol. Matriks segitiga atas
:
⎡a11 A = ⎢⎢ 0 ⎢⎣ 0
3
a12 a 22 0
a13 ⎤ a 23 ⎥⎥ a33 ⎥⎦
Matriks segitiga bawah :
⎡ a11 A = ⎢⎢a 21 ⎢⎣ a31
0
a 22 a32
0⎤ 0 ⎥⎥ a 23 ⎥⎦
h. Matriks Idempoten Matriks bujur sangkar A disebut matriks idempoten jika memenuhi aturan
AA = A . Contoh :
⎡0, 4 0,8 ⎤ A=⎢ ⎥ ⎣ 0,3 0, 6 ⎦ ⎡0, 4 0,8 ⎤ ⎡0, 4 0,8 ⎤ ⎡ 0, 4 0,8 ⎤ AA = ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥=A ⎣ 0,3 0, 6 ⎦ ⎣ 0,3 0, 6 ⎦ ⎣ 0,3 0, 6 ⎦ i. Matriks Partisi Suatu matriks yang dibagi menjadi dua atau lebih submatriks. Pembagiannya dapat dilakukan menurut baris dan (atau) kolom. Matriks partisi ini ditandai dengan garis horizontal dan (atau) garis vertikal secara terputus-putus. Kegunaannya adalah untuk memudahkan dalam operasi matriks. Misal matriks A berukuran m × n :
⎡A ⎤ A=⎢ 1⎥ , ⎣ A2 ⎦
A = [ A1 | A2 ] ,
⎡A |A ⎤ A = ⎢ 11 12 ⎥ ⎣ A21 | A22 ⎦
j. Matriks Transpose Matriks yang barisnya saling dipertukarkan menjadi kolom atau sebaliknya kolom menjadi baris. Notasi : A ' atau AT
⎡3 7 ⎤ ⎡3 9⎤ maka AT = ⎢ Contoh : A = ⎢ ⎥ ⎥ ⎣9 2 ⎦ ⎣7 2 ⎦ Sifat-sifat Transpose : •
Transpose dari transpose suatu matriks adalah matriks itu sendiri atau matriks aslinya. T
⎡⎣ AT ⎤⎦ = A •
Transpose dari suatu jumlah atau selisih matriks adalah jumlah atau selisih matriks masing-masing transpose.
[ A ± B]
T
= AT + BT 4
•
Transpose dari suatu hasil kali matriks adalah perkalian dari transposetranspose dalam urutan yang terbalik.
[ AB ]
T
= BT AT atau
[ ABC ]
T
= C T BT AT
2. Operasi Matriks a. Penjumlahan dan pengurangan matriks
Matriks dapat dijumlah atau dikurang jika memiliki dimensi (ukuran) yang sama. Am×n ± Bm×n = Cm×n
Sifat-sifat penjumlahan (atau pengurangan) :
Komutatif : A ± B = B ± A
Asosiatif : ( A ± B ) ± C = A ± ( B ± C )
b. Perkalian matriks
Matriks dapat dikalikan jika hanya jika ukuran kolom suatu matriks sama dengan ukuran baris matriks lainnya. Am×n × B p×q = Cm×q
dimana n = p
Sifat-sifat :
A× 0 = 0
AI = A
Perkalian scalar (k) : kA = Ak
AB ≠ BA
Asosiatif : ( AB ) C = A ( BC )
Distributif : A ( B + C ) = AB + AC
( B + C ) A = BA + CA 3. Determinan dan Sifat Dasar dari Determinan
Determinan suatu matriks adalah suatu bilangan skalar yang diperoleh melalui operasi tertentu dari elemen-elemen matriks tersebut. Determinan hanya dapat diperoleh pada matriks bujur sangkar. Penulisan suatu determinan matriks ditandai dengan kurung
, misalkan determinan matriks A ditulis A .
5
Metode penghitungan determinan:
a) Determinan tingkat dua (second-order determinant) ⎡a A = ⎢ 11 ⎣a 21
A=
a12 ⎤ a 22 ⎥⎦
a11 a21
a12 = ( a11a22 ) − ( a12 a21 ) a22
Contoh :
A=
10 4 = {(10)(5)} − {(8)(4)} = 18 8 5
b) Determinan tingkat 3 (third-order determinant) ⎡ a11 [A] = ⎢⎢a 21 ⎢⎣a31
•
a13 ⎤ a 23 ⎥⎥ a33 ⎥⎦
a12 a 22 a32
Metode sarrus
a11 |A| = a 21 a31
a12 a 22 a32
a13 a11 a 23 a 21 a33 a31
a12 a 22 a32
= (a11 a 22 a33 + a12 a 23 a31 + a13 a 21 a32 ) − (a31 a 22 a13 + a32 a 23 a11 + a33 a 21 a12 ) Contoh :
2 1 3 A = 4 5 6 = (2)(5)(9) + (1)(6)(7) + (3)(8)(4) − (2)(8)(6) − (1)(4)(9) − (3)(5)(7) = −9 7 8 9 •
Metode laplace expantion n
A = ∑ aij C ij i =1
dimana :
C ij = (−1) i + j M ij aij : elemen matriks A ke-ij Cij : cofaktor matriks ke-ij
6
Mij : minor matriks ke ij, merupakan nilai submatriks dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j Sehingga nilai determinan dari matriks A berdimensi 3x3 : A = a11C11 + a12 C12 + a13 C13 A = a11 M 11 − a12 M 12 + a13 M 13
A = a11
a 22 a32
a 23 a − a12 21 a33 a31
a 23 a + a13 21 a33 a31
a 22 a32
= a11 a 22 a33 − a11 a 23 a32 + a12 a 23 a31 − a12 a 21 a33 + a13 a 21 a32 − a13 a 22 a31
Sifat-sifat determinan :
1. Pertukaran baris dengan kolom tidak mempengaruhi nilai determinan. Dengan kata lain, nilai determinan suatu matriks sama dengan nilai determinan transpose matriks tersebut.
A = A' a b a c = = ad − bc c d b d Contoh:
4 3 5 6
=
4 5 3 6
=9
2. Pertukaran dua baris (atau dua kolom) manapun akan mengubah tanda, tetapi nilai dari determinannya tidak berubah.
a b = ad − bc c d pertukaran kedua baris menghasilkan :
c d = cb − ad = −(ad − bc) , a b Contoh: 0 1 3 2 5 7 = −26 , 3 0 1 pertukaran kolom pertama dengan kolom ketiga menghasilkan:
7
3 1 0 7 5 2 = 26 1 0 3 3. Perkalian dari satu baris (atau satu kolom) manapun dengan bilangan skalar k akan mengubah nilai determinan sebesar k kali.
ka kb = kad − kbc = k (ad − bc) c d Perlu diingat bahwa: kA ≠ k A Jika mengalikan suatu matriks A dengan bilangan konstan k, maka semua elemen dalam A dikalikan oleh k. Tetapi, bila mengalikan determinan A dengan k, hanya satu baris (atau kolom) yang dikalikan oleh k.
⎡a b ⎤ ⎡ka kb ⎤ k⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎣ c d ⎦ ⎣ kc kd ⎦ k
a b ka kb ka b = = c d c d kc d
4. Penambahan (atau pengurangan) dari suatu kelipatan baris atau kolom manapun, ke baris atau kolom yang lain akan menyebabkan nilai determinannya tidak berubah.
a b a b = a(d + kb) − b(c + ka) = ad − bc = c + ka d + kb c d 5. Apabila satu baris atau kolom adalah identik atau kelipatan dari baris atau kolom lainnya, maka nilai determinannya akan menjadi nol 2a 2b
a
b
= 2ab − 2ab = 0
4. Kombinasi Linier dan Rank Kombinasi Linier
Suatu vektor W dikatakan sebagai kombinasi linier dari himpunan vektor-vektor
u1 , u2 ,..., un apabila W dapat dinyatakan dalam bentuk : n
W = ∑ ki ui = k1u1 + k2u2 + ... + kn un
; ki ∈ ℜ
i =1
8
Kebebasan Linier (Linearly Independent) Suatu himpunan vektor-vektor u1 , u2 ,..., un bebas linier jika dan hanya jika n
∑k u i =1
i i
= k1u1 + k2u2 + ... + knun = 0
hanya untuk k1 = k2 = ... = kn = 0 , dimana 0
adalah vektor nol.
Terpaut Linier (Linearly Dependent) Suatu himpunan vektor-vektor u1 , u2 ,..., un bebas linier jika dan hanya jika n
∑k u i =1
i i
= k1u1 + k2u2 + ... + knun = 0 dengan ki tidak semuanya bernilai nol.
Rank
Rank digunakan untuk menentukan singularitas suatu matriks dan linear independent pada suatu sistem persamaan linear.
Cara menentukan rank :
a. Determinan jika nilai determinan suatu matriks tidak sama dengan nol maka matriks tersebut memilik rank penuh. b. Operasi baris elementer Seandainya determinan suatu matriks itu nol, nilai rank masih bisa ditentukan dengan cara operasi baris elementer. Ketentuan proses operasi baris elementer: 9 Pertukaran antara 2 baris pada matriks 9 Perkalian atau pembagian dari suatu baris dengan suatu skalar 9 Penjumlahan dari k kali suatu baris dengan baris yang lain
Contoh : ⎡ 1 5 1⎤ A = ⎢⎢ 0 3 9⎥⎥ ⎢⎣− 1 0 0⎥⎦
9
Cara determinan : 1 5 1 0 3 9 = −42 → rank = 3 −1 0 0 Cara operasi baris elementer : ⎡ 1 5 1⎤ ⎡1 5 1 ⎤ ⎡1 5 1 ⎤ ⎢ 0 3 9⎥ E k ⎢0 3 9⎥ E k ⎢ 0 3 9 ⎥ → rank = 3 ⎢ ⎥ 3.1(1) ⎢ ⎥ 3.2( − 5 2 ) ⎢ ⎥ ⎢⎣ −1 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 5 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 −14 ⎥⎦
Soal :
Apakah matriks A mempunyai full rank? Berapa rank dari matriks A? Lakukan analisis determinan dan operasi baris elementer. ⎡1 0 2 1⎤ a) A = ⎢⎢0 2 4 2⎥⎥ ⎢⎣0 2 2 1⎥⎦ ⎡ − 1 0 2 1⎤ b) A = ⎢⎢− 2 2 4 2⎥⎥ ⎢⎣ − 3 1 6 3⎥⎦
⎡1 ⎢0 c) A = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣1
0 2 2 2
2⎤ 4⎥⎥ 2⎥ ⎥ 1⎦
10
