BUKU DIKTAT
ANALISA VARIABEL KOMPLEKS
OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd
i
DAFTAR ISI
BAB I. BILANGAN KOMPLEKS ............................................................................ I. Bilangan Kompleks dan Operasinya ................................................................ II. Operasi Hitung Pada Bilangan Kompleks ......................................................... III. Kompleks Sekawan .......................................................................................... IV. Interpretasi Geometris Bilangan Kompleks ...................................................... V. Modulus (Nilai Mutlak) dari Bilangan Kompleks ............................................. VI. Bentuk Kutub (Polar) dan Eksponen dari Bilangan Kompleks .......................... VII. Pangkat dan Akar dari Bilangan Kompleks ...................................................... VIII. Akar Bilangan Kompleks .................................................................................
1 1 1 3 3 5 7 9 11
BAB II. FUNGSI, LIMIT DAN KEKONTINUAN .................................................. I. Konsep – Konsep Topologi pada Fungsi Kompleks .......................................... II. Fungsi Kompleks ............................................................................................. III. Komposisi Fungsi ............................................................................................ IV. Interpretasi Geometris ...................................................................................... V. Limit ................................................................................................................ VI. Kekontinuan fungsi ..........................................................................................
13 13 16 18 19 20 24
BAB III. TURUNAN ................................................................................................. I. Definisi Turunan .............................................................................................. II. Syarat Chauchy – Riemann .............................................................................. III. Syarat C – R pada Koordinat Kutub ................................................................. IV. Aturan Pendiferensial ....................................................................................... V. Fungsi Analitik ................................................................................................ VI. Titik Singular ................................................................................................... VII. Fungsi Harmonik .............................................................................................
26 26 27 30 31 31 32 33
i
1
BILANGAN KOMPLEKS
Dengan memiliki sistem bilangan real ℝ saja kita tidak dapat menyelesaikan persamaan
+ 1 = 0. Jadi disamping bilangan real kita perlu bilangan jenis baru.
Bilangan jenis baru ini dinamakan bilangan imajiner atau bilangan kompleks. I.
BILANGAN KOMPLEKS DAN OPERASINYA
Definisi 1.1 Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk: +
atau
+
,
dan
= – 1.
bilangan real dan
Notasi Bilangan kompleks dinyatakan dengan huruf =
menyatakan bilangan real. Jika kompleks, maka
+
dinamakan bagian real dan
, sedang huruf
dan
menyatakan sembarang bilangan bagian imajiner dari . Bagian real biasanya dinyatakan dengan Re( ) dan
dan bagian imaginer dari bilangan kompleks Im( ). II.
OPERASI HITUNG PADA BILANGAN KOMPLEKS
Definisi 2.1 Bilangan kompleks sama,
=
=
+
dan bilangan kompleks
, jika dan hanya jika
=
dan
=
=
+
dikatakan
.
Definisi 2.2 Untuk bilangan kompleks
=
+
=
dan
+
jumlah dan hasil kali
mereka berturut-turut didefinisikan sbb: +
= (
•
= (
+
) + ( –
+
) + (
) +
)
1
Himpunan semua bilangan kompleks diberi notasi ℂ Jadi ℂ = { |
=
+
∈ ℝ}
, ∈ ℝ,
Jika Im( ) = 0 maka bilangan kompleks
menjadi bilangan real , sehingga
bilangan real adalah keadaan khusus dari bilangan kompleks, sehingga ℝ ⊂ ℂ . Jika Re( ) = 0 dan Im( ) ≠ 0, maka
menjadi
dan dinamakan bilangan imajiner
= 0, yakni bilangan , dinamakan satuan
murni. Bilangan imajiner murni dengan imajiner. Sifat-sifat lapangan bilangan kompleks
Himpunan semua bilangan kompleks bersama operasi penjumlahan dan perkalian (ℂ , +,•) membentuk sebuah lapangan (field). Adapun sifat-sifat lapangan yang berlaku pada bilangan kompleks z1,z2 dan z3 adalah sebagai berikut: 1.
+
∈ ℂ dan
2.
+
=
3. (
+
)+
+
•
∈ ℂ (sifat tertutup)
dan
•
=
=
+(
+
)
)=
•
+
•
• dan
(sifat komutatif) (
•
)•
=
•(
•
)
(sifat
assosiatif) 4.
•(
+
(sifat distribtif)
5. Ada 0 = 0 + 0 ∈ ℂ , sehingga + 0 = 6. Ada 1 = 1 + 0 ∈ ℂ , sehingga • 1 =
(0 elemen netral penjumlahan) (1elemen netral perkalian)
7. Untuk setiap
=
+
ℂ, ada – =– –
8. Untuk setiap
=
+
ℂ, ada
dengan,
=
=
ℂ, sehingga + (– ) = 0 sehingga •
= 1.
1
=
1 +
=
1 +
= =
.
− −
− + +
−
+
Tugas: Buktikan sifat-sifat 1 – 8 menggunakan definsi yang telah diberikan.
2
Contoh 2.1 =
1. Jika
+
=
dan
+
−
, buktikan bahwa:
= x –x
+
i(y – y ) = 2 + 3 dan
2. Diketahui:
III.
= 5– . Tentukan
+
,
–
,
, dan
KOMPLEKS SEKAWAN =
Jika
+
bilangan kompleks, maka bilangan kompleks sekawan dari
ditulis ̅ , didefinisikan sebagai ̅ = (x, – y) = x – iy. Contoh 3.1 Sekawan dari 3 + 2 adalah 3 – 2 , dan sekawan dari 5 adalah – 5 . Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat berikut : Teorema 3.1 a. Jika
bilangan kompleks, maka :
1.
̿=
2.
+ ̅ = 2Re( )
3.
− ̅ = 2Im( )
4.
• ̅ = [Re( )] + [Im( )]
b. Jika
,
bilangan kompleks, maka:
1.
+
=
+
2.
−
=
−
3.
•
4. IV.
= =
• ≠0
, dengan
INTERPRETASI GEOMETRIS BILANGAN KOMPLEKS Karena
=
+
dapat dinyatakan sebagai
terurut bilangan real, maka
= ( , ), merupakan pasangan
dapat digambarkan secara geometri dalam koordinat
Kartesius sebagai sebuah titik ( , ). Pemberian nama untuk sumbu sumbu Real dan sumbu
diubah menjadi
diubah menjadi sumbu Imajiner. Bidang kompleks tersebut
di beri nama bidang Argand atau bidang− . Jika kita hubungkan titik asal (0,0) 3
dengan titik ( , ), maka terbentuk vektor; sehingga bilangan kompleks ( , ) dapat dipandang sebagai vektor
=
+
=
. Arti geometris dari penjumlahan dan
pengurangan bilangan kompleks dapat dilihat pada gambar berikut.
4
Tugas : 1 = 2 + 3 dan
Diketahui ,
argand) V.
,
+
,
= 5– . Gambarkan pada bidang kompleks (bidang
−
,
,
,
+
,
−
MODULUS (NILAI MUTLAK) DARI BILANGAN KOMPLEKS
Definisi 5.1 Jika
=
+
| +
|=
= ( , ) bilangan kompleks, maka modulus dari , ditulis | | = +
Arti geometri dari modulus
adalah merupakan jarak dari titik
= ( , ). Akibatnya, jarak antara dua bilangan kompleks +
(
adalah
Selanjutnya apabila
−
) +(
−
+
dan
=
lingkaran yang berpusat di titik Bagaimanakah dengan | –
| <
=
+
(0,0) ke dan
=
) . real positif, maka | –
| =
merupakan
dengan jari-jari . dan | –
| > , Gambarkanlah pada bidang
. Teorema 5.1 a. Jika
bilangan kompleks, maka berlaku :
1. | | = Re( )
+ Im( )
2. | | = | ̅| 3. | | = • ̅ 4. | | ≥ |Re( )| ≥ Re( ) 5. | | ≥ |Im( )| ≥ Im( ) b. Jika
,
bilangan kompleks, maka berlaku :
1. |
•
|= | |•| |
2.
=|
3. |
+
|≤| |+| |
4. |
−
|≥| |−| |
5. |
−
| ≥ | |−| |
|
| |
5
Tugas : Buktikanlah teorema a di atas dengan memisalkan
=
+
, kemudian
berdasarkan hasil a, buktikan juga teorema b ! 1. Akan dibuktikan | |
•
| = |(
)•(
+
= |(
+
)|
+
) +(
−
=
)|
+
)+ (
− (
=
|=| |•| |
•
)
+
−2
=
(
+
)•(
=
(
+
)• (
+
+
−2
)
+ +
)
=| |•| | Jadi, terbukti |
|=| |•| |
•
|
=|
2. Akan dibuktikan + +
=
= =
− +
+
+
=
=
− +
+ + +
=
|
− −
. + +
=
|
+2 (
( (
+ +
). ( ). (
(
+
)
(
+
)
+ +
+ +
+
−2
)
) )
| | | |
Jadi, terbukti
|
=|
| |
6
3. Akan dibuktikan | 0≤(
)
−
0≤
+
−2
2
≤
+
+ (
+2
+
+ ≤
+ (
|
+ +
) +(
) ≤
+
)(
+
+
)
+
)
+
+
+2 (
) ≤
+
) +(
+ +2
+
+
)(
+
)≤2 (
+ +2
(
≤
) ≤(
+
2(
)(
+
+
+
+
+
+
+
+
)+
+
|≤| |+| |
Jadi, terbukti |
|≤ | |+| |
+
4. Akan dibuktikan |
VI.
|≤| |+| |
+
−
| |=|
−
+
≤|
−
|+| |
|≥| |−| |
|
| |−| |≤ |
−
|
Jadi, terbukti |
−
|≥ | |−| |
BENTUK KUTUB (POLAR) DAN EKSPONEN DARI BILANGAN KOMPLEKS Selain dinyatakan dalam bentuk
=
+
= ( , ), bilangan kompleks
dapat dinyatakan pula dalam bentuk koordinat kutub atau Polar, yaitu
= ( , ).
7
Adapun hubungan antara keduanya, ( , ) dan ( , ) adalah: = cos ,
= sin
sehingga = arc tan
adalah sudut antara sumbu− positif dengan didapat juga =
=| |
+
Jadi, bentuk kutub bilangan kompleks adalah = ( , ) = (cos + sin ) = cis dan sekawan dari ̅ = ( , ) = (cos + sin ) Definisi 6.1 = ( , ) = (cos + sin ), sudut disebut argument dari
Pada bilangan kompleks
, ditulis arg . Sudut dengan 0 < 2 atau − < disebut argument utama dari , ditulis = Arg z. Pembatasan untuk sudut tersebut dipakai salah satu saja. Definisi 6.2 =
dikatakan sama, jika
(cos + sin ) dan
=
Dua bilangan kompleks
cis , maka anda dapat menuliskan
dan
= ( , ) = ( , ) = (cos + sin ) =
dalam rumus Euler (eksponen), yaitu
=
,
.
dan sekawannya adalah ̅ =
untuk cos , sin
(cos + sin )
, dan = .
Selain penulisan bilangan kompleks
Tugas: Buktikan bahwa
=
= cos + sin , dengan menggunakan deret MacLaurin
dengan mengganti = .
Contoh 6.1 Nyatakan bilangan kompleks
= 1 + dalam bentuk polar dan eksponen!
Jawab : =1+ ,
= √2, tan = 1, sehingga = 45 =
Jadi = √2 cos
+ sin
= √2 cis
= √2
8
VII.
PANGKAT DAN AKAR DARI BILANGAN KOMPLEKS
A. Perkalian dan Pemangkatan Telah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam bentuk kutub adalah
=
(cos + sin ). Jika
=
(cos + sin ) dan
=
(cos + sin ), maka kita peroleh
hasil perkalian keduanya sebagai berikut : = [ (cos + sin )][ (cos + sin )] =
[(cos cos − sin sin ) + (sin cos + cos sin )] [cos( + ) + sin( + )]
=
Dari hasil perkalian tersebut diperoleh: arg(
) = + = arg
+ arg
Pertanyaan : ………
Bagaimanakah jika kita perkalikan
dan
…
=
?
Jika diketahui: =
(cos + sin )
=
(cos + sin )
=
(cos + sin ), untuk
asli
maka secara induksi matematika, diperoleh rumus perkalian ………
… … … [cos( + + ⋯ + ) + sin( + + ⋯ +
=
)] Akibatnya jika, =
=
=⋯=
=
(cos + sin )
Khusus untuk
= (cos + sin ) maka
……………… (1)
= 1, disebut Dalil De-Moivre
(cos + sin ) = cos + sin , dengan
asli.
B. Pembagian Sedangkan pembagian
dan
adalah sebagai berikut: =
(cos + sin ) (cos + sin )
Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengan sekawan penyebut, yaitu 9
=
(cos − sin ), maka diperoleh:
=
[cos( − ) + sin( − )]
Dari rumus di atas diperoleh: arg
= − = arg
= (cos + sin ).
Akibat lain jika maka, untuk,
1
=
1
1
=
− arg
[cos(− ) + sin(− )] 1 + sin
(cos
)
setelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawan penyebut, maka diperoleh: 1 .
=
1
[cos(−
) + sin(−
)]
………………… (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh: =
[cos(
) + sin(
)] ,
berlaku untuk semua
Dalil De-Moivre
bilangan bulat.
Contoh 7.1 Hitunglah: √3 − Jawab: = √3 − = | | = √3 + 1 = 2 tan
=
−1 √3 = −30
Karena
di kuadran IV, maka dipilih
Jadi,
√3 − = 2(cos(−30 ) + sin(−30 )) √3 −
= 2 (cos(−180 ) + sin(−180 )) = 2 (−1 + 0) = −2 10
VIII.
=
1 (−2)
=
1 64
AKAR BILANGAN KOMPLEKS Bilangan kompleks =
=
, dan ditulis
=
sin ), sehingga = dan = Akibatnya, =
= (cos =
=
diperoleh: (cos + sin ) = (cos
+
+2
,
bulat.
dari bilangan kompleks + sin ) adalah:
cos
+ sin
bulat dan
bilangan asli.
Dari persamaan
dari bilangan kompleks
+2
dan =
Jadi, akar pangkat
, jika
.
+ sin ), maka dari
=
, ada
Untuk mempermudah dipilih 0
dari bilangan kompleks
= (cos + sin ) akar pangkat
Jika (cos
adalah akar pangkat
buah akar berbeda yang memenuhi persamaan itu. = 0,1,2,3, … , ( − 1);
< 2, sehingga diperoleh
,
,…,
sebagai akar ke- dari .
Contoh 8.1 Hitunglah (−81) Jawab : Misalkan Tulis
= (−81) , berarti harus dicari penyelesaian persamaan
= −81
= (cos + sin ) dan −81 = 81(cos 180 + sin 180 )
sehingga (cos 4 + sin 4) = 81(cos 180 + sin 180 ) diperoleh = 81, atau = 3 dan Jadi = 3[cos
+ sin
. ]
Keempat akar yang dicari dapat diperoleh dengan mensubstitusi
= 0,1,2,3 ke
persamaan terakhir.
11
Latihan Soal Bab I 1. Buktikan Teorema 1 dengan memisalkan = ( , ) = 2. Diketahui Tentukan 3. Jika
= 6 + 5 dan
= 8– .
+
,
,
−
= −1 − , buktikan
4. Cari bilangan kompleks a.
,
+
.
+ 2 + 2 = 0. yang memenuhi sifat:
=
b. ̅ = − 5. Buktikan untuk setiap bilangan kompleks berlaku: 6. Hitung jarak antara
= 2 + 3 dan
.
=
.
= 2Re(
)
= 5– .
7. Gambarkan pada diagram argand dan sebutkan nama kurva yang terjad : a. | – 5| = 6 dan | – 5| > 6 b. | + | = | – | c. 1 < | – | < 3 8. Nyatakan bilangan kompleks
= 2 − 2 dalam bentuk polar dan eksponen.
9. Hitunglah (−2 + 2 ) . 10. Tentukan himpunan penyelesaian dari:
− = 0.
12
2
FUNGSI, LIMIT DAN KEKONTINUAN
Sebelum dibahas mengenai fungsi kompleks, maka perlu dipelajari konsepkonsep topologi yang akan digunakan pada fungsi kompleks. I.
KONSEP-KONSEP TOPOLOGI PADA FUNGSI KOMPLEKS Himpunan pada pembahasan ini adalah koleksi atau kumpulan titik-titik pada
bidang Z. Dianggap anda telah memahami operasi pada himpunan yaitu gabungan, irisan, penjumlahan dan pengurangan beserta sifat-sifatnya. 1. Lingkungan/persekitaran a. Persekitaran
adalah himpunan semua titik
yang berpusat di
, berjari-jari ,
b. Persekitaran tanpa
> 0. Ditulis
( , ) atau | –
adalah himpunan semua titik
dalam lingkaran yang berpusat di atau 0 < | –
yangterletak di dalam lingkaran
, berjari-jari ,
≠
|< .
yang terletak di
> 0. Ditulis
∗
( > 0, )
|< .
Contoh 1.1 a.
( , 1) atau | – | < 1, lihat pada gambar 1
b.
∗
( , ) atau 0 < | – | < , lihat pada gambar 2
13
2. Komplemen Andaikan S suatu himpunan. Komplemen dari
ditulis
, merupakan himpunan
semua titik pada bidang ℤ yang tidak termasuk di . Contoh 1.2 Gambarkan,
= { |Im( ) < 1}, maka = { |2 <
< 4}, maka
= { |Im( )1}. = { | 2 atau 4}.
3. Titik limit Titik zo disebut titik limit dari himpunan S jika untuk setiap N*(zo,) maka N*(zo,) S . Jika zo ∈ S dan zo bukan titik limit, maka zo disebut titik terasing. 4. Titik batas Titik zo disebut titik batas dari himpunan S jika untuk setiap N*(zo,) memuat suatu titik di S dan memuat suatu titik yang tidak di S. 5. Batas dari himpunan S adalah himpunan semua titik batas dari S. 6. Interior dan Eksterior Titik zo disebut interior dari himpunan S jika ada N(zo,) sehingga N(zo,) S. Titik yang bukan titik interior atau bukan titik batas disebut titik eksterior. 7. Himpunan Terbuka Himpunan S disebut himpunan terbuka jika semua anggota S adalah titik interior S.
14
8. Himpunan Tertutup Himpunan S disebut himpunan tertutup jika S memuat semua titik limitnya. 9. Himpunan Terhubung Himpunan terbuka S disebut terhubung, jika setiap dua titik di S dapat dihubungkan oleh penggal garis yang seluruhnya terletak di S. 10. Daerah domain Himpunan terbuka S yang terhubung disebut daerah domain. 11. Daerah Tertutup Daerah tertutup S adalah daerah terbuka digabung dengan batasnya. 12. Penutup dari himpunan S adalah himpunan S digabung dengan titik limitnya. Contoh 1.3 1. Diberikan
= { || | < 1}, maka:
adalah himpunan terbuka dan terhubung. Batas dari Penutup dari
adalah {
| | = 1}.
adalah = { || | ≤ 1}.
15
2. Diberikan
= { || | < 1} ∪ {(0,1)}, maka:
B adalah bukan himpunan terbuka dan juga bukan himpunan tertutup. adalah { || |1}.
Titik-titik limit dari 3. Diberikan
= { || | 2}, maka:
Titik-titik interior II.
adalah { || | < 2}.
FUNGSI KOMPLEKS
Definisi 2.1 Misalkan
himpunan titik pada bidang Z.
Fungsi kompleks anggota
adalah suatu aturan yang memasangkan setiap titik
dengan satu dan hanya satu titik
Fungsi tersebut ditulis Himpunan nilai dari
pada bidang W, yaitu ( , ).
= ( ).
disebut daerah asal (domain) dari , ditulis
atau peta dari
dan ( ) disebut
oleh . Range atau daerah hasil (jelajah) dari
yaitu himpunan ( ) untuk setiap
ditulis
,
anggota .
16
Contoh 2.1 a)
= + 1–
b)
=4+2
c)
=
d)
–5
( )=
Contoh a), b), c) adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada bidang Z. Contoh d) adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada bidang Z , kecuali =− . =
Jika ( , )+
+
= ( ) dapat diuraikan menjadi
, maka fungsi
=
( , ) yang berarti Re( ) dan Im( ) masing-masing merupakan fungsi
dengan dua variabel real Apabila
dan .
= (cos + sin ), maka
= ( , ) +
( , ).
Contoh 2.2 1. Tuliskan ( ) = 2 – dalam bentuk
dan .
Jawab : Misal
=
maka fungsi
+
, = ( )=2 – = 2( + = 2(
+2
) − −
)–
17
= 2( = 2(
Jadi 2. Jika
−
) dan
− =2
) + (2
− 1).
− 1.
= (cos + sin ). ( )=
Tentukan
+
Jawab: ( )=
+
= [ (cos + sin )] + =
[cos − sin + 2 sin cos ] +
=
(cos − sin ) +
=
(cos − sin ) + (
berarti III.
=
sin 2 + sin 2 + 1)
(cos − sin ) dan
=
sin 2 + 1
KOMPOSISI FUNGSI Diberikan fungsi ( ) dengan domain
Jika
domain
Jika domain
dan fungsi ( ) dengan domain
.
, maka ada fungsi komposisi (
)( ) = ( ( )), dengan
, maka ada fungsi komposisi (
)( ) = ( ( )), dengan
.
.
18
Jadi, tidak berlaku hukum komutatif pada (
)( ) dan (
)( ).
Contoh 3.1 ( ) = 3 – dan ( ) =
Misal:
Jika
maka (
+ –1 +
, )( ) = ( ( )) = (3 – ) = (3 – ) + (3 – )– 1 + = 9 –6 –1 + 3 – –1 + =9
Jika
maka (
Karena 9 Jadi, ( IV.
– 3 – 2– 6
, )( ) = ( ( )) = (
+ –1 + )
=3
+3 –3+3 –
– 3 – 2– 6 )( ) (
≠3
+ 3 –3 + 3 –
)( ) atau (tidak komutatif).
INTERPRETASI GEOMETRIS =
Untuk setiap variabel bebas satu variabel tak bebas
=
+
+
anggota domain ada satu dan hanya
yang terletak pada suatu bidang kompleks.
Masing-masing variabel terletak pada suatu bidang kompleks, pada bidang
pada bidang
dan
. Karena pasangan ( , ) mengandung 4 dimensi, maka kita tidak dapat
menggambarkannya pada satu sistem. Tetapi kita dapat melihat gambaran dari = ( ). Caranya dengan memandang fungsi (transformasi) dari titik di bidang
ke titik di bidang
tersebut sebagai pemetaan dengan aturan . Untuk suatu
titik maka ( ) disebut peta dari .
Contoh 4.1 Diketahui fungsi = (2 – 1) + (2 diperoleh:
= 2 – 1 + . Untuk setiap variabel bebas
=
+ 1) . Misalnya untuk
= 2– 3 , berturut-turut
= 1 + 3 , dan
= 1 + , dan
= 3– 5 . Gambar dari
,
,
+
, dan
didapat nilai
dapat dilihat
di bawah ini: 19
Contoh 4.2 Diketahui fungsi
=
.
Dengan menggunakan
= (cos + sin ), maka diperoleh
=
=
(cos 2 +
sin 2). Jika sebuah lingkaran pusat bidang
berjari-jari
pada bidang , maka dapat dipetakan ke
menjadi sebuah lingkaran pusat
dipetakan menjadi daerah 0 arg
berjari-jari
. Daerah 0 arg
2.
Gambar keduanya dapat dilihat di bawah ini.
V.
LIMIT Diketahui daerah
batas . Misalkan fungsi
pada bidang
dan titik
terletak di dalam
= ( ) terdefinisi pada , kecuali di
atau pada
. 20
Apabila titik
bergerak mendekati titik
melalui setiap lengkungan sebarang
dan mengakibatkan nilai ( ) bergerak mendekati suatu nilai tertentu, yaitu bidang lim
→
, maka dikatakan limit ( )=
( ) adalah
untuk
mendekati
,
pada ditulis:
.
Definisi 5.1 Misalkan fungsi
= ( ) terdefinisi pada daerah , kecuali di
(titik
atau pada batas
). limit ( ) adalah
, jika untuk setiap
untuk
> 0, terdapat > 0 sedemikian hingga | ( )–
mendekati
di dalam
| < , apabila 0 < | –
| < ,
ditulis: lim ( ) = →
Perlu diperhatikan bahwa : 1. Titik 2. Titik
adalah titik limit domain fungsi . menuju
melalui sebarang lengkungan , artinya
menuju
dari segala
arah. 3. Apabila
menuju
melalui dua lengkungan yang berbeda, mengakibatkan ( )
menuju dua nilai yang berbeda, maka limit fungsi mendekati
tersebut tidak ada untuk
.
Contoh 5.1 Buktikan bahwa: lim
→
=5
Bukti: Misalkan diberikan bilangan > 0, kita akan mencari > 0 sedemikian, sehingga: 21
0<| –
|< →
− 5 < , untuk 2.
Lihat bagian sebelah kanan Dari persamaan kanan diperoleh: 2
−3 −2 −5 < −2
↔
(2 + 1)( − 2) −5 < −2
↔
(2 + 1 − 5)( − 2) < −2
↔ |2( − 2)| < ↔ | − 2| < Hal ini menunjukkan bahwa
=
2
telah diperoleh.
Bukti Formal : Jika diberikan > 0, maka terdapat 0 < | – 2| < → =
2
= , sehingga untuk 2, diperoleh:
−3 −2 −5 −2
(2 + 1)( − 2) −5 −2
= |2( − 2)| < 2 = −5 <
Jadi, Terbukti, lim
apabila 0 <
– 2 < =
=5
→
Teorema Limit : Teorema 5.1 Jika fungsi f mempunyai limit untuk menuju
, maka nilai limitnya tunggal.
Bukti: Misal limitnya
dan
| ( )−
|=|
| ( )−
|=
|
, maka
− ( )| =
2
2
− ( )+ ( )−
|≤|
− ( )| + | ( ) −
|=
2
+
2
=
22
Sehingga, |
−
|≤
=
Jadi,
Teorema 5.2 Misalkan =( , Maka, lim
=( , )=
+
)=
di dalam
+ ( )=
→
jika dan hanya jika lim
dan ( ) = ( , ) +
( , ) dengan domain
. Titik
atau batas .
+ ( , )=
→
dan lim
→
( , )=
Teorema 5.3 Misalkan fungsi lim ( ) =
dan
limitnya ada.
dan lim ( ) = , maka
1. lim( ( ) + ( )) =
+
(untuk
2. lim( ( ). ( )) = . (untuk 3. lim(
( ) ( )
)=
(untuk
→
→
→
)
)
)
Tugas : Buktikan ketiga teorema limit tersebut ! Contoh 5.2 Hitunglah lim
→
Jawab: lim →
( + )( − ) +1 = lim → − − = lim( + ) →
=2 Contoh 5.3 Jika ( ) =
+
. Buktikan lim
→
( ) tidak ada!
Bukti : Kita tunjukkan bahwa untuk menuju 0 di sepanjang garis lim ( ) = →
lim
( , )→( , )
Sedangkan di sepanjang garis
( ) = lim →
= 0, maka
= 0 … … … … … … … … (1)
= ,
23
lim ( ) = →
lim
( , )→( , )
Dari (1) dan (2), terbukti lim VI.
( ) = lim 1 +
= 1 … … … … … … … … (1)
+1
→
( ) tidak ada.
→
KEKONTINUAN FUNGSI
Definisi 6.1 Misalkan fungsi ( ) terdefinisi di
pada bidang
, fungsi ( ) dikatakan kontinu di
dan titik
jika untuk
terletak pada interior
menuju
, maka lim ( ) =
( ). Jadi, ada tiga syarat fungsi ( ) kontinu di zo, yaitu : 1.
( ) ada
2. lim
→
( ) ada
3. lim
→
( )= ( )
Fungsi ( ) dikatakan kontinu pada suatu daerah , jika ( ) kontinu pada setiap titik pada daerah
tersebut.
Teorema 6.1 Jika ( ) = ( , ) + dan
=
+
( , ), ( ) terdefinisi di setiap titik pada daerah
titik di dalam
, maka fungsi ( ) kontinu di
jika ( , ) dan ( , ) masing-masing kontinu di ( ,
,
jika dan hanya
).
Teorema 6.2 Andaikan ( ) dan ( ) kontinu di 1.
( )+ ( )
2.
( ). ( )
3. 4.
( ) ( )
, maka masing-masing fungsi :
, ( )0
( ( ));
kontinu di ( ), kontinu di
.
Contoh 6.1 Fungsi ( ) =
,
≠ 2 , apakah kontinu di 2 ? 3+4 , = 2
24
Jawab : (2 ) = 3 + 4(2 ) = 3 + 4 , sedangkan untuk
mendekati 2 , lim ( ) = + 2 ,
sehingga, lim
( ) ≠ (2 )
→
jadi ( ) diskontinu di
=2.
Contoh 6.2 Dimanakah fungsi ( ) =
kontinu ?
Jawab : Coba anda periksa bahwa ( ) diskontinu di daerah
= 1 dan
= 2. Jadi ( ) kontinu di
| |>2 .
25
3 I.
TURUNAN
DEFINISI TURUNAN
Diberikan fungsi
yang didefinisikan pada daerah ( )
Jika diketahui bahwa nilai lim turunan atau derivatif fungsi
(
)
→
di titik
dan
.
ada, maka nilai limit ini dinamakan
.
Dinotasikan : ′( ).
Jika ′( ) ada, maka Dengan kata lain :
Jika
dikatakan terdifferensial atau diferensiabel di
( ) = lim∆
∆ → ∆
= lim∆
( →
terdifferensial di semua titik pada , maka
∆ )
(
.
)
∆
terdifferensial pada
Contoh 1.1 Buktikan ( ) =
terdifferensiasi diseluruh ℂ
Bukti : Ditinjau sebarang titik − −
( ) = lim →
= lim
ℂ.
( +
→
)( − −
)
=2 sebarang maka ( ) =
Karena
terdefferensial di seluruh ℂ.
Teorema 1.1 Jika
fungsi kompleks dan
( ) ada, maka
kontinu di
Bukti : Diketahui
( ) ada
Akan dibuktikan
kontinu di
atau lim ( ) = ( ) →
26
( )
( ) − ( ) = lim
lim →
(
→
= lim →
)
.( −
)
( )− ( ) . lim ( − → −
)
( ). 0
= =0
Sehingga, lim ( ) =, lim ( ) = ( ) →
→
dengan kata lain
kontinu di
.
Contoh 1.2 Buktikan ( ) = | | kontinu di seluruh bidang kompleks tetapi hanya terdifferensial di = 0 Bukti : ( )=| | = dan
+
berarti ( , ) =
+
dan ( , ) = 0
kontinu di , maka ( ) kontinu di .
(0) = lim →
= lim
( ) − (0) −0 | |
→
= lim
̅
→
=0 Jadi ( ) terdifferensial di II.
= 0.
SYARAT CHAUCHY-RIEMANN Syarat yang diperlukan agar fungsi
terdiferensial di
=
+
adalah
syarat Chauchy-Riemann, yang menghubungkan derivatif-derivatif parsial tingkat pertama dari fungsi bagian real dan fungsi bagian imajiner dari . Teorema 2.1 (SYARAT CHAUCHY-RIEMANN) Jika
( )= ( , )+
( , ) terdifferensial di
=
( , ) mempunyai derivatif parsial pertama di ( ,
+
, maka
( , ) dan
) dan di titik ini dipenuhi
persamaan Cauchy – Riemann. =
=− 27
derivatif
di
dapat dinyatakan dengan ( ,
′( ) =
Jika persamaan C-R tidak dipenuhi di ( , ( )= ( , )+
)+
( ,
)
=
+
) maka
( , ) tidak terdifferensial di
Contoh 2.1 Buktikan ( ) = | | tidak terdifferensiasi di 0 Bukti : ( )=
+
sehingga ( , ) =
+
dan
( , )=0
Persamaan Cauchy – Riemann: =2 =0
dan
=2
dan
=0
↔ 2 = 0 … … … … … (1)
=
↔ 2 = 0 … … … … … (2)
=−
(1) dan (2) tidak dipenuhi jika 0 atau 0, jadi pasti f tidak terdeferensial di 0. CATATAN : Syarat C-R hanya syarat perlu untuk keterdifferensialan. Contoh 2.2 Buktikan fungsi ( ) =
(
)
(
)
dan (0) = 0, tidak terdifferensial di 0, memenuhi C-R. Bukti : =
dengan (0,0) = 0
=
dengan (0,0) = 0
(0,0) = lim →
( , 0) − (0,0)
=1
28
( , 0) − (0,0)
(0,0) = lim →
(0,0) = lim
( , 0) − (0,0)
→
(0,0) = lim
( , 0) − (0,0)
→
= −1 =1 =1
Jadi persamaan Cauchy – Riemann terpenuhi. Tetapi, lim
( ) − (0 )
→
(1 + ) − (1 − ) ( + )( + )
= lim →
(
Untuk
→ 0 sepanjang garis real
= 0 lim
→
Untuk
→ 0 sepanjang garis real
=
→
Jadi, lim
( )
( )
→
Sehingga
lim
(
)
)
=1+ =
tidak ada.
tidak terdifferensial di 0 meskipun persamaan C-R dipenuhi di (0,0).
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa : i)
Syarat perlu ( ) = ( , )+ ′( ) ada maka
( , ), ,
,
,
=
+
ada di ( ,
)
berlaku C-R yaitu : = ( ,
dan ′( ) =
)+
( ,
dan
=−
).
ii) Syarat cukup ( , ), ( , ), pada kitar
=
( , ), +
( , ), dan di ( ,
( , ),
( , ) kontinu
)dipenuhi C-R maka ′( ) ada
Contoh 2.3 Buktikan ( ) =
(cos + sin ) terdiferensial untuk setiap
dalam ℂ.
Bukti : 29
( , )=
cos
( , )=
cos
( , )=− ( , )=
sin
ada dan kontinu di setiap (x,y) ℂ
sin
( , )=
sin
( , )=
cos
Berdasarkan persamaan C-R : =
=−
dan
dipenuhi di ∀( , )ℂ, dan ada kitar dimana keenam fungsi
kontinu dan C-R dipenuhi di ( , ). Jadi ′( ) ada ∀ ℂ. Dan
III.
( )=
( , )+
( , )
=
cos +
sin
SYARAT C-R PADA KOORDINAT KUTUB Jika ( ) = ( , ) +
( , ) dapat diilustrasikan dalam koordinat kartesius = cos dan
maka dengan menggunakan hubungan
cos + sin , sehingga ( ) = ( , ) +
= sin , diperoleh
=
( , ) dalam sistem koordinat kutub.
Teorema 3.1 Jika ( ) = ( , ) +
( , ) terdiferensial dan kontinu pada suatu kitar ( , ) dan
jika dalam kitar tersebut
,
,
,
ada dan kontinu di ( , ) dan dipenuhi C-R
yaitu: = maka
′( ) = ada di
1
=
dan
dan
1
=−
,
′( ) = (cos
≠0 – sin ) [ ( , ) +
( , )] Contoh 3.1 Diketahui ( ) =
, tentukan ′( ) dalam bentuk kootdinat kutub.
Jawab : ( )=
= =
(cos 3 − sin 3), maka : cos 3, sehingga
= −3
=−
sin 3 , sehingga
cos 3 dan
=−
sin 3
=3
sin 3 dan
=−
cos 3 30
keenam fungsi ini kontinu dan syarat C-R dipenuhi untuk semua 0 Jadi ( ) =
terdiferensial untuk 0
Dengan demikian ′( ) dalam koordinat kutub adalah : ′( ) = (cos – sin ) (−3 = cis (−) (−3 = −3 IV.
cos 3 + 3
sin 3)
) cis(−3 )
(−4)
ATURAN PENDIFERENSIALAN
Jika ( ), ( ) dan ℎ ( ) adalah fungsi- fungsi kompleks serta ′( ), ′( ) dan ℎ′( ) ada, maka berlaku rumus-rumus:
2.
( )
= 0,
1. [
( )]
=
=1 ( )
3.
[ ( ) ± ( )] =
4.
[ ( ) ( )] = ( )
5.
=
( )
( )±
( )
( ) ( )+ ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
[ ( )]
=
6.
7. Jika
ℎ( ) = [ ( )]
ℎ′( ) = ′[ ( )] ′( )
biasa
disebut
dengan
komposisi (aturan rantai) =
V.
.
FUNGSI ANALITIK
Definisi 5.1 Fungsi
analitik di
, jika ada
( , ) (persekitaran
> 0 sedemikian, hingga ′( ) ada untuk setiap
)
Fungsi analitik untuk setiap ℂ dinamakan fungsi utuh 31
Contoh 5.1 1.
( ) =
2.
( )=
+ =
diperoleh : =3
;
=
; =0;
sehingga
= 0;
=3
dengan menggunakan persamaan C-R : 3
=3
=±
dan
=
=0
persamaan C-R dipenuhi dan kontinu digaris berarti ′( ) ada hanya di
=±
=±
Jadi ( ) tidak analitik dimanapun karena tidak ada kitar. Misalnya
dan
±
analitik pada , maka :
merupakan fungsi analitik
merupakan fungsi analitik / merupakan fungsi analitik dengan
ℎ=
berlaku aturan L’hospital yaitu :
∘
merupakan fungsi analitik
lim →
VI.
≠0
( ) ′( ) = , dengan ( ) ′( )
( ) ≠ 0 dan
′( ) ≠ 0
TITIK SINGULAR
Definisi 6.1 Titik dari
disebut titik singular dari
jika
tidak analitik di
memuat paling sedikit satu titik dimana
tetapi untuk setiap kitar
analitik.
Jenis kesingularan ( ) atau titik singular antara lain : 1. Titik singular terisolasi Titik
dinamakan titik singular terisolasi dari ( ) jika terdapat > 0 demikian
sehingga lingkaran | – seperti itu tidak ada, maka
| = hanya melingkari titik singular lainnya. Jika =
disebut titik singular tidak terisolasi.
2. Titik Pole (titik kutub)
32
=
Titik
disebut titik pole tingkat n, jika berlaku lim ( − →
= 1,
Jika
)
( )=
≠0
disebut sebagai titik pole sederhana.
3. Titik Cabang Dari fungsi bernilai banyak dapat menjadi titik singular. 4. Titik Singular dapat dihapuskan Titik singular lim
disebut titik singular dapat dihapuskan dari f(z) jika
( ) ada.
→
5. Titik Singular Essensial Titik singular
=
yang tidak memenuhi syarat titik singular pole titik cabang
atau titik singular yang dapat dihapuskan disebut titik singular essensial. 6. Titik Singular tak hingga ( ) mempunyai titik singular di
Jika
( ) mempunyai titik singular di
= , maka sama dengan menyatakan
= 0.
Contoh 6.1 ( )=(
berarti titik
= adalah titik pole tingkat 2 dari ( )
( ) = | | tidak merupakan titik singular ( ) = ln(
( VII.
)
+ – 2) maka titik cabang adalah
= 1 dan
= −2 karena
+ – 2) = ( – 1)( + 2) = 0
FUNGSI HARMONIK ( )= ( , )+
( , ) analitik pada
maka
parsial di semua orde yang kontinue pada . Jadi dalam =–
mempunyai derivatif
berlaku C-R ,
=
dan
. Karena derifatif-derivatif parsial dari
=
dan
. Jika dalam
maka ( , ) berlaku
=
dan =
=– = 0 dan
dan
kontinue dalam , maka berlaku
diderivatifkan parsial terhadap =
dan
= 0.
33
Jika
analitik pada
maka
dan
pada
memenuhi persamaan
differensial Laplace dalam 2 dimensi. +
dan
( )= ( , )+
dimana
=0
( , ) analitik pada suatu domain maka ( )
harmonik pada domain tersebut. Dua fungsi
sedemikian sehingga ( ) = ( , ) +
dan
( , ) analitik dalam
suatu domain dinamakan dua fungsi yang harmonik konjugat dalam domain itu. Contoh 7.1 Diberikan ( , ) harmonik pada =4
dengan
– 12
dan tentukan fungsi
yang harmonik konjugat
, ( , ) ℂ
Jawab : Misal diklaim konjugatnya adalah ( , ) jadi
( )= ( , )+
=
=–
dan = 4
– 12
= 12 =–
karena
=
= 4
–4
=
maka −12
diperoleh ( ) = Jadi
( , ) analitik pada ℂ sedemikian sehingga berlaku C-R
– 12 –6
+
+
( )
( ) = −12
+4
sehingga
( )=4
+ C
–6
+
+
CARA MILNE THOMSON Cara yang lebih praktis menentukan fungsi harmonik konjugat atau dari fungsi harmonik
diberikan ( , ) harmonik pada ( )= ( , )+ ′′( ) =
( , ) analitik pada
( , )+
sesuai persamaan C-R : ”( ) = = =
+ ̅ 2
+
dan dan
andaikan ( , ) sehingga
( , ) ( , )–
̅=
−
=
− ̅ 2
( , )
sehingga diperoleh
34
+ ̅ − ̅ , − 2 2
( )=
+ ̅ − ̅ , 2 2
Suatu identitas dalam dan ̅, jika diambil ( )
( , 0) −
=
( , 0). Jadi
=
maka
( ) adalah fungsi yang derivatifnya
( , 0) −
( , 0) kemudian didapat ( , ) Contoh 7.1 =4
Dari Contoh 1 dengan
–4
, ( , ) ℂ, jika diselesaikan dengan
menggunakan cara Milne Thomson. Jawab : =4
– 12
= 12 ( )=
–4 ( , 0) −
( , 0)
= – (– 4 ) = 4 sehingga ( ) = ( )= ( + =4
–4
+ ) + + (
–6
+
)+
35
DAFTAR PUSTAKA
Ruel V. Churchill. 1984. Complex variables and applications. New York : McGrawHill. Marsden, Jerrold. E. 1999. Basic Complex Analysis. New York: California State University.
36
