Bilangan Kompleks Anwar Mutaqin Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA
DAFTAR ISI
1 BILANGAN KOMPLEKS 1.1 Eksistensi Bilangan Kompleks . . 1.2 Operasi Aritmatika . . . . . . . . 1.3 Sifat Aljabar . . . . . . . . . . . . 1.4 Kojugate dan Modulus . . . . . . 1.5 Bentuk Polar dan Rumus Euler . 1.6 Akar Bilangan Kompleks . . . . . 1.7 Eksponen dan Logaritma Natural 1.8 Pangkat Bilangan Kompleks . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
1 1 3 4 5 8 9 11 13
2 FUNGSI KOMPLEKS 2.1 Daerah pada Bidang Kompleks 2.2 De…nisi Fungsi . . . . . . . . . 2.3 Limit Fungsi . . . . . . . . . . . 2.4 Fungsi Kontinu . . . . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
14 14 17 20 23
3 FUNGSI ANALITIK 3.1 Turunan Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Persamaan Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Fungsi Analitik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24 24 26 28
i
. . . .
BAB 1 BILANGAN KOMPLEKS 1.1
Eksistensi Bilangan Kompleks
Perhatikan persamaan kuadrat berikut x2 + 1 = 0! Persamaan kuadrat tersebut tidak memiliki solusi bilangan real. Dalam hal ini p p solusinya adalah x = 1. Jelas 1 bukan bilangan real karena tidak ada bilangan real yang kuadratnya sama dengan 1. Serupa dengan hal tersebut, persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan a 6= 0, tidak memiliki solusi bilangan real jika D = b2 4ac < 1. Sebagai contoh x2 2x + 5 = 0, dengan rumus abc seperti yang telah dipelajari sejak SMA, solusinya adalah p p 2 b2 4ac 16 b = x1;2 = 2a 2 Dalam hal ini, persamaan kuadrat tersebut tidak memiliki solusi dalam sistem bilangan real. Agar setiap persamaan kuadrat memiliki solusi, kita perlu memperluas sistem bilangan. Sistem bilangan yang dimaksud adalah sistem bilangan kompleks. Lihat kembali solusi persamaan kuadrat di atas! Dalam solusi tersebut terdapat akar bilangan negatif (jelas, akar bilangan negatif bukan bilangan real). Setiap bilangan yang bukan bilangan real disebut bilangan imajiner dengan notasi Rc (komplemen dari R). Anggota bilangan imajiner adalah semua akar bilangan real negatif bersama negatifnya. p 1. Jadi, Selanjutnya, untuk memudahkan dalam penulisan, dide…nisikan i = p p p p p p p 16 = 16 1 = 4i. Dengan cara serupa, 20 = 2 5i, 27 = 3 3i, dan lain-lain. Dengan demikian, bilangan imajiner adalah bilangan yang dapat ditulis sebagai bi dengan 0 6= b 2 R. Selain bilangan real, kita telah memiliki jenis bilangan lain, yaitu bilangan imajiner. Gabungan bilangan real dan bilangan imajiner membentuk bilangan kompleks dengan notasi C. Himpunan bilangan kompleks ditulis C = fa + bi : a; b 2 Rg ; dengan a adalah bagian real dan b bagian imajiner. Hubungan antar himpunan bilangan dapat pada bagan 1 .
1
2 Himpunan Bilangan Kompleks
Himpunan Bilangan Real
Himpunan Bilangan Irasional
Himpunan Bilangan Imajiner
Himpunan Bilangan Rasional
Himpunan Bilangan Bulat
Himpunan Bilangan Bulat Negatif
Himpunan Bilangan Pecahan
Himpunan Bilangan Cacah
Himpunan Bilangan Asli
Bilangan 0
Bagan 1 Bilangan kompleks dinyatakan dalam bentuk z = x + yi atau dapat dipandang sebagai pasangan terurut (x; y) 2 R2 . Jika bilangan real dapat ditempatkan pada garis lurus, maka bilangan kompleks ditempatkan pada bidang R2 atau dalam hal ini disebut bidang kompleks (lihat gra…k 2).
Im z
z(x,y)
Re z
Gra…k 2 Untuk selanjutnya, penyajian bilangan kompleks dalam bidang kompleks dapat dipandang sebagai vektor di R2 (Lihat Gra…k 3). Hal ini mempermudah dalam interpretasi secara geometris.
3 Im z z = x + yi
y z
θ
Re z
x
Gra…k 3 Lihat kembali persamaan kuadrat di atas, solusi x2 + 1 = 0 adalah f i; ig dan solusi x2 2x + 5 = 0 adalah f1 2i; 1 + 2ig. Secara umum, kita selalu dapat mencari solusi persamaan polinom an z n + an 1 z n
1
+
+ a0 = 0
dengan an ; : : : ; a0 2 C dan an 6= 0. Pernyataan tersebut dikenal sebagai Teorema Dasar Aljabar yang dibuktikan pertama kali oleh Gauss.
Soal-Soal 1. Tentukan solusi dari persamaan kuadrat berikut: a. x2 b. x
2
4x + 8 = 0 x+7=0
2. Ubahlah akar bilangan negatif berikut dalam bentuk yi dengan y bilangan real! p 27 a. p b. 12 p 64 c. 3. Apakah bilangan imajiner memenuhi sifat lapangan? Jelaskan! 1.2
Operasi Aritmatika
Sebagaimana halnya pada sistem bilangan real, perlu dide…nisikan operasi aritmatika bilangan kompleks. Misalkan z = x + yi dan w = u + vi, penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks dide…nisikan sebagai z
w = (x
u) + (y
v) i:
Penjumlahan dua bilangan kompleks serupa dengan penjumlahan dua buah vektor. Secara gra…k
4 Im z z+w w
z
Gra…k 4 Perkalian bilangan kompleks sebagai berikut z:w = = = =
(x + yi) : (u + vi) xu + xvi + yiu + yvi2 xu + xvi + uyi + ( 1) yv (xu yv) + (xv + uy) i:
Pembagian dua buah bilangan kompleks seperti merasionalkan penyebut z x + yi u vi = w u + vi u vi (xu + yv) (xv uy) i = u2 + v 2 (xu + yv) ( xv + uy) = + i: u2 + v 2 u2 + v 2 Dalam bentuk pasangan terurut, penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian adalah berturut-turut z
1.3
w = = z:w = = z = w
(x; y) (u; v) (x u; y v) (x; y) : (u; v) (xu yv; xv + uy) (x; y) (u; v) xu + yv ( xv + uy) = ; u2 + v 2 u2 + v 2
:
Sifat Aljabar
Dengan de…nisi operasi aritmatika seperti di atas, bilangan kompleks membentuk lapangan (Field). Sifat Lapangan bilangan kompleks adalah sebagai berikut:
5 Teorema 1.1 (Sifat Lapangan Bilangan Kompleks) Misalkan z1 ; z2 ; dan z3 2 C, maka 1. z1 + z2 2 C 2. z1 + z2 = z2 + z1 3. (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) 4. Terdapat 0 2 C sehingga z + 0 = z untuk setiap z 2 C. 5. Untuk setiap z 2 C terdapat
z sehingga z + ( z) = 0
6. z1 :z2 2 C 7. z1 :z2 = z2 :z1 8. (z1 :z2 ) :z3 = z1 : (z2 :z3 ) 9. Terdapat 1 2 C sehingga z:1 = z untuk setiap z 2 C. 10. Untuk setiap 0 6= z 2 C terdapat z z 1 = z1 )
1
sehingga zz
1
= 0 (dalam hal ini
11. z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 : Bukti. diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. Dalam bilangan kompleks tidak berlaku sifat urutan. Dua buah bilangan kompleks tidak dapat dibandingkan dengan tanda pertidaksamaan. Secara umum tanda pertidaksamaan (<; ; >; dan ) tidak memiliki arti. Sifat kelengkapan dide…nisikan dengan kekonvergenan bilangan Cauchy di bidang kompleks.
Soal-Soal Buktikan sifat lapangan bilangan kompleks! 1.4
Kojugate dan Modulus
Salah satu komponen yang penting dalam bilangan kompleks adalah konjugate (sekawan). Konjugate bilangan kompleks z = x+yi adalah z = x yi. Konjugate z tidak lain adalah pencerminan z terhadap sumbu Re z. Secara gra…k dapat dilihat sebagai berikut
6 Im z z
Re z
z
Gra…k 5 Beberapa sifat dasar tentang Konjugate adalah sebagai berikut z = z z
w = z
w,
zw = zw,
dan
z w
=
z w
z z z+z , dan Im z = 2 2i Pembaca dapat membuktikan sifat-sifat dasar tersebut sebagai latihan. Bilangan real z dalam C dapat dikenali dengan sifat z = z. Sebuah bilangan imajiner (murni) berarti Re z = 0, atau tepatnya z = z. p Modulus jzj dari z = x + yi dide…nisikan sebagai jzj = x2 + y 2 . Buku lain menggunakan istilah magnitude atau nilai mutlak. Sebagai contoh, j 3 + 4ij = 5. Jelaslah jzj memberikan arti panjang vektor yang berkorespondensi dengan z (lihat kembali gra…k 3). Secara umum, jz wj adalah jarak antara dua titik yang merepresentasikan z dan w di bidang. Sifat-sifat modulus terangkum dalam teorema berikut. Re z =
Teorema 1.2 Misalkan z; w 2 C, maka a. jzj = jzj dan zz = jzj2 ; b. jzwj = jzj jwj dan c. jRe zj
z w
jzj dan jIm zj
d. jz
wj
jzj + jwj ;
e. jz
wj
jjzj
=
jzj ; jwj
jzj ;
jwjj :
Bukti. Hanya akan disajikan bukti untuk bagian b dan d, sisanya diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. Berdasarkan bagian a dan sifat konjugate, jzwj2 = (zw) (zw) = (zw) (zw) = (zz) (ww) = jzj2 jwj2 :
7 Jadi jzwj = jzj jwj. Selanjutnya untuk bagian d (d dan e dikenal juga sebagai ketaksamaan segitiga) jz + wj2 = = = =
(z + w) (z + w) = (z + w) (z + w) zz + zw + zw + ww jzj2 + zw + zw + jwj2 jzj2 + 2 Re (zw) + jwj2 jzj2 + 2 jzj jwj + jwj2 = (jzj + jwj)2 :
Jadi, Selanjutnya, jz
jz + wj
wj = jz + ( w)j
jzj + jwj :
jzj + j wj = jzj + jwj.
Perhatikan bahwa jika z 6= 0, maka z
1
=
z : jzj2
Secara Khusus, z 1 = z jika jzj = 1. Hal ini memberikan perbandingan secara gra…s antara z 1 dan z. Gra…k berikut menunjukkan z 1 dalam arah z dan 1 . memiliki modulus jzj Im z z
Re z
1 z
z −1 z
Gra…k 6
Soal-Soal 1. Buktikan teorema 1.2! 2. Gambarkan dalam gra…k secara vektor bilangan kompleks berikut! (a) 2i (b) 3 4i (c) 2 + i 3. Tunjukkan dengan menggunakan sifat konjugat dan modulus! a. 4
3i =
8 1.5
Bentuk Polar dan Rumus Euler
Selanjutnya bilangan kompleks z 6= 0 dapat ditulis dalam bentuk polar z = jzj (cos + i sin ) ; atau disingkat z = jzj cis ,dengan adalah bilangan real. Jika z = x + yi, kita dapat memilih sebarang yang memenuhi y x dan sin = : cos = jzj jzj
Sebagai contoh 1 + i dapat ditulis dalam bentuk polar p 1 + i = 2 cos + i sin : 4 4 Contoh-contoh lain: p p 3 3i = 3 2 cos + i sin = 3 2 cos 4 4 4 p 2 2 + i sin ; 1 + 3i = 2 cos 3 3
i sin
4
dan lain-lain. Setiap bilangan real yang memenuhi z = jzj (cos + i sin ) disebut argumen. Secara geometris, (dalam radian) adalah besarnya sudut dari sumbu Re z positif dalam arah berlawanan jarum jam sampai dengan vektor (yang berkorepondensi dengan) z dalam bidang kompleks. Notasi arg z digunakan untuk menyatakan himpunan semua argumen z. Sedangkan Arg z menyatakan argumen utama z. Dalam buku ini digunakan argumen utama < Arg z (Beberapa buku menggunakan argumen utama 0 Arg z < 2 ). Contoh 1.1 1. arg (1 + i) = 41 + 2k : k 2 Z , sedangkan Arg (1 + i) = 4 . p p 2. arg 3 3 3i = 11 + 2k : k 2 Z , sedangkan Arg 3 3 3i = 6
1 6
.
Dalam bentuk polar, perkalian bilangan kompleks tak nol menjadi lebih mudah. Misalkan z = jzj (cos + i sin ) dan w = jwj (cos + i sin ), maka zw = = = =
jzj (cos + i sin ) jwj (cos + i sin ) jzj jwj (cos + i sin ) (cos + i sin ) jzj jwj [cos cos ' sin sin ' + (cos sin ' + cos sin ') i] jzj jwj [cos ( + ) + i sin ( + )] :
Jadi, zw adalah bilangan kompleks dengan modulus jzj jwj dan salah satu argumennya. Selanjutnya pembagian bilangan kompleks menjadi z jzj (cos + i sin ) = w jwj (cos + i sin ) jzj = [cos ( ) + i sin ( jwj
)] :
+
sebagai
9 Sebagai implikasi dari perkalian bilangan kompleks, maka z 2 = jzj2 [cos (2 ) + i sin (2 )]. Bagaimana halnya dengan z n untuk sebarang n bilangan bulat? Dengan memanfaatkan rumus de Moivre (cos + i sin )n = cos (n ) + i sin (n ) untuk setiap bilangan real dan sebarang n bilangan bulat, maka dengan mudah kita dapatkan z n = jzjn [cos (n ) + i sin (n )] untuk sebarang n bilangan bulat. Selain bentuk polar, bilangan kompleks dapat ditulis dalam rumus Euler. Ingat kembali pada mata kuliah kalkulus ekspansi deret Taylor 1 1 2 1 3 t + t + + tn + 2! 3! n! 1 3 1 5 1 7 t + t t + 3! 5! 7! 1 2 1 4 1 6 t + t t + 2! 4! 6!
et = 1 + t + sin t = t cos t = 1
untuk sebarang bilangan real t. Jika kita substitusi t dengan i, maka akan kita dapatkan e
i
1 1 ( i)2 + ( i)3 + + 2! 3! 1 2 1 1 4 1 = 1+ i i 3+ +i 2! 3! 4! 5! 1 2 1 4 = 1 + +i 2! 4! = cos + i sin : = 1+ i+
1 ( i)n + n! 5
1 3!
3
+
1 5!
5
1 7!
7
+
Ini berarti z = jzj (cos + i sin ) = jzj e dengan jzj adalah modulus dari z dan
i
= arg z. Sebagai contoh, 1 + i =
p
1
2e 4 i .
Serupa dengan bentuk polar, zw = jzj jwj e( + z jzj ( )i = e w jwj z n = jzjn en i : 1.6
)i
Akar Bilangan Kompleks
Sebagai akibat dari penyajian bilangan kompleks dalam bentuk polar/euler tidak tunggal, kita dapat mende…nisikan akar pangkat-n dari bilangan kompleks. Berbeda
10 dengan bilangan real, akar pangkat-n bilangan kompleks tidak tunggal yaitu sebanyak n. Akar pangkat-n dari bilangan kompleks z adalah p n
z=
atau dalam rumus Euler
p +2 k +2 k n + i sin jzj cos n n p n
p n
z=
+2 k i n
jzje
dengan k = 0; 1 : : : ; n 1. Secara geometris, akar pangkat-n dari z adalah himp n punan n titik di sepanjang lingkaran dengan jari-jari jzj dan berpusat di (0; 0) dan membagi lingkaran tersebut menjadi n bagian yang sama. Berikut ini ilusp p 4 trasi dari 8 + 8 3i
y
3 2 1
-3
-2
-1
1
2
-1
3
x
-2 -3
Gra…k 7 Akar pangkat-n bilangan kompleks yang diperoleh dari k = 0 disebut akar pangkatp n utama. Dalam buku ini, n z berarti akar pangkat-n utama dari z, yaitu p n
z=
atau dalam rumus Euler
p n
jzj cos p n
z=
Arg z Arg z + i sin n n p n
jzje
Arg z i n
dengan k = 0; 1 : : : ; n 1. p p 4 Contoh. Hitunglah 8 + 8 3i! Jawab. cos 13 +i sin 13 , 2 cos 56 + i sin 56 , 2 cos 61 p p p Setelah dihitung, maka didapat 1 + i 3, 3 + 1, 3 p 3 Contoh. Hitung 27i! p p Jawab. 3i, 32 3 32 i, dan 23 3 32 i Contoh. Tentukan Solusi persamaan kuadrat z 2 Jawab. f1 + i; 2 ig.
i sin 16 , dan 2 cos 32 p i, dan 1 3i.
3z + 3 + i = 0!
i sin 23
.
11 1.7
Eksponen dan Logaritma Natural
Tujuan sub bab ini adalah mende…nisikan ez dan ln z untuk z 2 C dan sifat-sifat yang diturunkannya. Kita tulis z = x + yi dan hasil dari ekspansi deret Taylor untuk eiy = cos y + i sin y. Salah satu sifat eksponen natural untuk bilangan real adalah es+t = es et . Sifat ini kita anggap berlaku untuk bilangan kompleks yaitu, ez = ex+yi = ex eyi . Jadi, ez = ex (cos y + i sin y) : Notasi lain untuk ez adalah exp(z), khususnya jika e dipangkatkan dengan f (z), 1 . Berikut ini beberapa contoh menghitung ez : seperti exp z2 e0 = 1 e i = cos + i sin = 1 e2+4i = e2 (cos 4 + i sin 4) e1 i = e (cos 1 i sin 1) : Berdasarkan de…nisi, jelas ez 6= 0 untuk setiap z 2 C. Sifat-sifat lain yang diturunkan dari de…nisi adalah jez j = eRe z , arg ez = Im z. Lebih lanjut, berdasarkan hukum De Moivre didapat (ez )n = enz untuk setiap bilangan bulat n. Khususnya, (ez )
1
= e z:
Seperti halnya eksponen bilangan real, dalam bilangan kompleks berlaku sifat ez ew = ex (cos x + i sin y) eu (cos v + i sin v) = ex+u [cos (y + v) + i sin (y + v)] = ez+w : Begitu juga
ez : ew Sifat-sifat lainnya diserahkan kepada pembaca untuk dieksplorasi. ez
w
=
2
Selanjutnya, bagaimana menentukan solusi ez z = ez+8 ? Untuk menjawab persoalan tersebut atau persamaan eksponen secara umum, kita harus mulai dengan mencari nilai-nilai z yang memenuhi ez = 1. Jika kita tulis z = x + yi, maka ez = ex (cos y + i sin y) = 1:
12 Ini berarti ex = 1, cos y = 1, dan sin y = 0. Hal tersebut akan dipenuhi untuk x = 0 dan y = 2 k untuk setiap k 2 Z. Jadi solusi untuk ez = 1 adalah fz = 2 ki : k 2 Zg : Berdasarkan hasil tersebut kita dapat mencari solusi persamaan eksponen. Jadi, persoalan persamaan eksponen di atas dapat disederhanakan menjadi ez ez
2
2
z
2z 8
= ez+8 = 1:
Dan, solusinya didapat dengan menyelesaikan persamaan z 2 2z 8 = 2 ki p p untuk setiap k 2 Z, yaitu 1 + 9 + 2 ki; 1 9 + 2 ki untuk setiap k 2 Z. Solusi persamaan eksponen ez = 1 ternyata tidak tunggal, yaitu terdapat tak hingga banyak solusi. Demikian pula dengan persamaan ew = z. Solusi persamaan ew = z disebut logaritma natural z (ditulis ln z = w). Hal ini berarti nilai ln z tak hingga banyak. Perhatikan bahwa ew = z = jzj ei arg z = elnjzj ei arg z = elnjzj+i arg z : Jadi, ln z = ln jzj + i arg z: Logaritma utama (principal logarithm) z didapat dengan mengambil argumen utama, yaitu Ln z = ln jzj + i Arg z: Agar lebih jelas, perhatikan contoh-contoh berikut: Ln (1 + i) = ln j1 + 1j + i Arg j1 + 1j = ln 2 + Ln
Ln ( 4) = ln 4 + i p 1 5 5 3i = ln 10 i: 3
Sedangkan ln (1 + i) = ln 2 +
+2 k i 4 ln ( 4) = ln 4 + ( + 2 k) i p 1 ln 5 5 3i = ln 10 + +2 k i 3 untuk setiap k 2 Z.
4
i
13 1.8
Pangkat Bilangan Kompleks
Cara yang baku untuk mende…nisikan xy dengan x bilangan real positif dan y sebarang bilangan real adalah dengan rumus xy = ey ln x . Jika rumus ini kita bawa ke bilangan kompleks, maka z w = ew ln z . Tetapi, nilai ln z ada tak hingga banyak, oleh karena itu kita dapat mengambil nilai logaritma utama (principal logarithm) untuk mendapatkan nilai utama (principal value) dari z w , yaitu z w = ew:Ln z : Berikut beberapa contoh menghitung nilai utama z w : 2 i 2 ) = e i2 i = e2 i:Ln i = e2 i:(ln 1+ p 3 ( 1 + i)i = ei:Ln( 1+i) = ei(ln 2+ 4 i) = e
3 4
+i ln
p
2
:
Perhatikan bahwa jika w bilangan bulat, maka akan kembali ke pembahasan di sub bab 1.5 tentang perpangkatan bilangan kompleks dengan bilangan bulat.
BAB 2 FUNGSI KOMPLEKS 2.1
Daerah pada Bidang Kompleks
Pada bab ini akan dibahas fungsi bernilai kompleks dengan variabel kompleks. Tetapi sebelumnya terlebih dahulu dibahas beberapa konsep topologi bilangan kompleks. Pembahasan topologi bilangan kompleks hanya menyangkut istilah dan ilustrasi geometris, tanpa analisis lebih dalam. Beberapa hal yang akan dibahas adalah: titik interior, titik eksterior dan titik batas suatu himpunan di bidang kompleks, cakram, himpunan buka, himpunan tutup, closure, himpunan terhubung, dan domain. Setelah membaca sub bab ini, pembaca diharapkan dapat menyebutkan de…nisi dan menunjukkan secara geometris istilah-istilah di atas. Kajian lebih mendalam tentang topologi bilangan kompleks dapat dibaca di daftar pustaka [1] atau buku Elements of Real Analysis yang ditulis oleh Bartle. Jika z0 suatu titik di bidang kompleks dan 0 < r < 1, maka 4 (z0 ; r) 4 (z0 ; r) 4 (z0 ; r) K (z0 ; r)
= = = =
fz fz fz fz
: jz : jz : jz : jz
z0 j < rg z0 j < rg z0 j rg z0 j = rg
fz0 g
masing-masing disebut cakram buka, cakram buka terhapus, dan cakram tutup dan lingkaran. Titik z0 disebut pusat dan r adalah jari-jari. Lihat gra…k di bawah,
r
r
z0
z0
Cakram Buka
Cakram Buka
14
15
r
r
z0
z0
Cakram Tutup
Lingkaran
Cakram buka digunakan untuk mende…nisikan titik interior, titik eksterior dan titik batas himpunan. De…nisi 2.1 Misalkan ; = 6 A
C.
1. Titik z0 2 A disebut titik interior A jika terdapat r > 0 sehingga 4 (z0 ; r) A. Himpunan semua titik interior A ditulis int (A). 2. Titik z0 2 C disebut titik eksterior A jika terdapat r > 0 sehingga 4 (z0 ; r)\ A = ;. Himpunan semua titik interior A ditulis ext (A). 3. Titik z0 2 C disebut titik batas A jika setiap r > 0, 4 (z0 ; r) \ A 6= ; dan 4 (z0 ; r) \ Ac 6= ;. Himpunan semua titik batas A ditulis (A). Suatu himpunan A C disebut himpunan buka jika setiap titiknya adalah titik interior A. Berikut ini adalah contoh beberapa himpunan buka: 4 (z0 ; r), 4 (z0 ; r), fz : jz z0 j > rg, fz : Re z > 0g, fz : jz 2j + jz + 2j < 6g, dan lainlain. Selanjutnya A C disebut himpunan tutup jika CnA adalah himpunan buka. Beberapa contoh himpunan tutup adalah 4 (z0 ; r), fz : Im z 3g, dan lain-lain. Perhatikan contoh-contoh himpunan buka dan himpunan tutup tersebut, batas-batas masing-masing himpunan adalah sebagai berikut: (fz : Re z > 0g) = Rc , (fz : jz z0 j > rg) = (fz : jz z0 j rg) = K (z0 ; r), dan lain-lain. Closure suatu himpunan A adalah A = A [ (A). Perhatikan gambar di bawah
16
Himpunan Buka Terhubung
Himpunan Tutup
Himpunan Tidak Buka dan Tidak Tutup
Himpunan Buka Tidak Terhubung
Teorema 2.2 Gabungan sebarang koleksi himpunan buka adalah himpunan buka. Irisan koleksi berhingga himpunan buka adalah himpunan buka Teorema 2.3 Irisan sebarang koleksi himpunan tutup adalah himpunan tutup. Gabungan koleksi berhingga himpunan tutup adalah himpunan tutup. Teorema 2.4 A dan (A) adalah himpunan tutup Teorema 2.5 Himpunan A tutup jika dan hanya jika A = A. Himpunan A C disebut tidak terhubung (disconnected) jika terdapat himpunan buka U dan V sedemikian sehingga: (i) U \ V = ;, (ii) A \ U 6= ; dan A \ V 6= ;, dan (iii) A U [ V . Jika A tidak memenuhi syarat tersebut, maka A
17 disebut himpunan terhubung. Sedangkan domain adalah himpunan buka yang terhubung. 2.2
De…nisi Fungsi
Pada bagian ini dibahas fungsi bernilai kompleks dengan variabel kompleks (selanjutnya cukup disebut fungsi kompleks). Simbol untuk variabel kompleks adalah z, untuk membedakan dengan fungsi bernilai real dengan simbol variabel x. Sebuah fungsi kompleks f adalah aturan yang mengaitkan setiap anggota himpunan A dengan anggota himpunan B (notasi : f : A ! B). Himpunan A disebut domain fungsi (ingat domain adalah himpunan buka dan terhubung), himpunan B disebut kodomain dan f (A) disebut range. Peta dari z oleh f adalah f (z) (disebut juga nilai fungsi). Dalam hal ini, fungsi yang akan dibahas adalah fungsi dengan domain A C dan kodomain C. Fungsi kompleks f : A!C : z 7 ! z2 biasanya hanya ditulis f (z) = z 2 . Misalkan diketahui fungsi f : A ! C dan g : B ! C dan c 2 C, maka (cf ) (z) = cf (z) (f g) (z) = f (z) g (z) (f:g) (z) = f (z) :g (z) dan jika g (z) 6= 0, maka
f (z) f (z) = : g g (z)
Domain untuk fungsi-fungsi tersebut adalah A \ B. Selain itu, fungsi kompleks dapat dikomposisikan, yaitu (f asalkan g (B)
g) (z) = f (g (z))
A.
Selain dalam variabel bebas z, fungsi kompleks dapat ditulis dalam bentuk f (z) = u (x; y) + v (x; y) i dengan u; v : R2 ! R. Berdasarkan hal tersebut, fungsi kompleks dapat dipandang sebagai pemetaan dari R2 ke R2 , yaitu f (x; y) = (u (x; y) ; v (x; y)) : Sebagai contoh, fungsi f (z) = z 2 dapat ditulis sebagai f (z) = (x + yi)2 = x2 y 2 + 2xyi
18 atau sebagai pemetaan dari R2 ke R2 , yaitu f (x; y) = x2
y 2 ; 2xy :
Gra…k fungsi kompleks tidak dapat digambar secara utuh dalam sistem koordinat. Hal ini karena untuk menggambar gra…k fungsi kompleks diperlukan ruang empat dimensi. Untuk itu, fungsi kompleks dapat dipandang sebagai pemetaan (mapping) atau transformasi dari R2 ke R2 . Daerah domain dinamakan bidang z sedangkan daerah range disebut bidang w. Dalam hal ini fungsi kompleks ditulis w = f (z). Gra…knya digambarkan sebagai berikut
f z
Bidang z
f(z)
Bidang w
Contoh 2.1 Gambarkan fungsi f (z) = az + b dengan a; b 2 C. Jawab. Misalkan g (z) = iz, h (z) = jaj z, dan k (z) = z + b, maka f (z) = (k h g) (z). Fungsi g, h, dan k berturut-turut adalah rotasi, dilatasi dan translasi. perhatikan bahwa f mentransformasikan segmen garis sebagai berikut
19
y
y
x
g
x
f
h
y
y
k x
x
g
f
h k
Contoh 2.2 Gambarkan fungsi f (z) = z 2 Jawab. Perhatikan bahwa fungsi tersebut dapat ditulis sebagai f (x; y) = (x2 y 2 ; 2xy). Misalkan daerah domain berbentuk cakram dengan pusat (0; 0) dan jari-jari r. Batas daerah domain tersebut adalah lingkaran
20
f r
r2 θ
Bidang z
2θ
Bidang w
Fungsi kompleks dapat bernilai majemuk (ingat akar pangkat-n dari bilangan kompleks), oleh karena itu dalam de…nisi fungsi kata-kata ’secara tunggal’ dihilangkan. Jika untuk setiap anggota domain petanya hanya satu buah, maka disebut fungsi bernilai tunggal. Jika tidak demikian, maka disebut fungsi bernilai majemuk. Sebagai contoh, f (z) = z 2 adalah fungsi benilai tunggal, sedangkan 1 f (z) = z 3 adalah fungsi benilai majemuk. Fungsi bernilai majemuk dapat dipandang sebagai koleksi himpunan fungsi bernilai tunggal. Setiap anggotanya disebut cabang (branch) dari fungsi. Pembahasan fungsi benilai majemuk biasanya difokuskan pada satu cabang utama (principal value) dari fungsi dan disebut nilai utama (principal value). Dalam buku ini jika disebutkan fungsi, maka yang dimaksud adalah fungsi bernilai tunggal kecuali disebutkan secara khusus. 2.3
Limit Fungsi
Limit merupakan salah satu konsep kunci dalam kajian analisis. Sedangkan limit fungsi merupakan konsep masuk untuk kekontinuan fungsi, turunan fungsi, dan integral. Begitu pun halnya dalam fungsi kompleks. Limit fungsi di suatu z0 menggambarkan perilaku fungsi di sekitar z0 . Secara intuisi kita dapat menghitung limit fungsi kompleks, seperti di kalkulus. Perhatikan contoh-contoh berikut: 1.
lim (3z + 4
i) = 3 (2
z!2 3i
2. lim z 2 = ( i)2 =
3i) + 4
i = 10
10i
2
z! i
z 2 +4 z!2i z 2i
3. lim
(z 2i)(z+2i) z 2i z!2i
= lim
z 2 z+1 i 2 z!1+i z 2z+2
4. lim
=1
= lim (z + 2i) = 4i z!2i
1 i 2
Secara formal de…nisi limit fungsi di suatu titik adalah sebagai berikut.
21
f z0
f (z ) ε w0
δ z
Bidang z
Bidang w
De…nisi 2.6 lim f (z) = w0 jika untuk setiap " > 0 terdapat
> 0 sedemikian sehingga jika
z!z0
0 < jz
z0 j < , maka jf (z)
w0 j < ".
Berikut ilustrasi de…nisi limit di atas secara geometris Perhatikan kembali contoh-contoh di atas. Bukti lim (3z + 4 z!2 3i
i) = 10
10i
adalah sebagai berikut. j(3z + 4 Karena 0 < jz
i)
(10
10i)j = j3z = 3 jz
(6 (2
9i)j 3i)j
3i)j < , maka
(2
j(3z + 4
i)
(10
10i)j < 3 < "
Ini berarti harus dipilih < 3" : Bukti formalnya sebagai berikut: Diberikan " > 0 sebarang, pilih < 3" sehingga jika 0 < jz (2 3i)j < maka j(3z + 4
i)
(10
10i)j = j3z (6 = 3 jz (2 < 3 < ":
Ini membuktikan bahwa lim (3z + 4 z!2 3i 2 2
i) = 10
10i.
Selanjutnya, bukti lim z =
. Perhatikan bahwa
z2
i) (z + i)j = j(z
z! i
Kita batasi
2
= j(z
i)j j(z + i)j :
1, maka berdasarkan ketaksamaan segitiga jjzj
atau dapat ditulis jzj
j ijj
j(z
i)j
1
1 + :Dengan demikian j(z + i)j
jzj +
9i)j 3i)j
1+2 :
22 Selanjutnya z2
2
(1 + 2 ) j(z
i)j < ":
" . Bukti formalnya sebagai berikut: Jadi, kita harus memilih < min 1; 1+2 " Diberikan " > 0 sebarang, pilih < min 1; 1+2 sehingga jika 0 < jz ( i)j < maka
z2
2
= j(z i)j j(z + i)j (1 + 2 ) j(z i)j < ":
Ini membuktikan bahwa lim z 2 =
2
z! i
.
Contoh. lim zz tidak ada. Jika limit tersebut ada, maka z ! 0 dari arah mana z!0 pun, nilai limitnya akan sama. Perhatikan bahwa jika z = x + 0i dengan x ! 0, maka x + 0i = 1: lim x!0 x 0i Tetapi jika z = 0 + yi dengan y ! 0, maka lim
y!0
0 + yi = 0 yi
1:
Karena kedua limit tersebut tidak sama, maka lim zz tidak ada. z!0
p
Bagaimana menghitung lim
z!0
x2 x2 +y 2
+p
y2 x2 +y 2
i ? Menggunakan de…nisi tentu
sangat sulit. Dengan intuisi pun sulit menebak nilai limit tersebut. Tetapi jika kita ingat limit fungsi dua peubah, maka limit tersebut dengan mudah dapat diselesaikan dengan teorema berikut. Teorema 2.7 Misalkan f (z) = u (x; y) + iv (x; y), z0 = x0 + y0 i dan w0 = u0 + v0 i, maka lim f (z) = w0 jika dan hanya jika lim u (x; y) = u0 dan lim v (x; y) = z!z0 (x;y)!(x0 ;y0 ) (x;y)!(x0 ;y0 ) v0 Bukti teorema tersebut cukup mudah, oleh karena itu diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. Kembali ke persoalan mencari lim
z!0
px
2
x2 +y 2
2
+ p y2
x +y 2
i .
Perhatikan bahwa x2
p
x2 + y 2
sehingga
lim
(x;y)!(0;0)
px
2
x2 +y 2
p x2 + y 2 p = x2 + y 2 x2 + y 2
= 0. Dengan cara yang sama,
Jadi, lim
z!0
p
x2 x2 + y 2
+p
y2 x2 + y 2
i
!
lim
(x;y)!(0;0)
py
2
x2 +y 2
= 0.
= 0:
Berikut ini adalah beberapa aturan berkaitan dengan mencari limit suatu fungsi. Sifat-sifat ini pun sudah dikenal dengan baik pada saat kuliah kalkulus.
23 Teorema 2.8 Misalkan lim f (z) dan lim g (z) ada, maka z!z0
z!z0
lim cf (z) = c lim f (z)
z!z0
lim [f (z)
z!z0
z!z0
g (z)] =
lim [f (z) :g (z)] =
z!z0
dan
lim f (z)
z!z0
lim g (z)
z!z0
lim f (z) : lim g (z)
z!z0
z!z0
lim f (z) f (z) z!z0 = lim z!z0 g (z) lim g (z) z!z0
asalkan lim g (z) 6= 0. z!z0
2.4
Fungsi Kontinu
Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada z0 jika lim f (z) = f (z0 ). De…nisi tersebut z!z0
mensyaratkan tiga hal, yaitu (i) lim f (z) ada, (ii) f (z0 ) ada, dan (iii) lim f (z) = z!z0
z!z0
f (z0 ). Dalam bahasa " , fungsi f dikatakan kontinu pada z0 jika untuk setiap " > 0 terdapat > 0 sehingga jika jz z0 j < maka jf (z) f (z0 )j < ". Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada domain A jika f kontinu di setiap z 2 A. Berdasarkan teorema-teorema limit, jika f dan g masing-masing fungsi kontinu dan c 2 C, maka cf , f g, dan f:g fungsi-fungsi yang kontinu. Fungsi fg juga kontinu asalkan g (z) 6= 0 untuk setiap z anggota domain. Berikut ini adalah contoh-contoh fungsi kontinu: 1. Fungsi polinom f (z) = an z n + an 1 z n
1
+
+ a0 dengan an 6= 0.
2. Fungsi rasional asalkan penyebut tidak nol untuk setiap anggota domain. 3. Fungsi eksponen natural.
BAB 3 FUNGSI ANALITIK 3.1
Turunan Fungsi
Suatu fungsi f : A ! C dikatakan mempunyai turunan (terdiferensialkan) di z0 dengan z0 adalah titik interior A jika f (z) f (z0 ) z!z0 z z0 0 ada. Notasi untuk turunan adalah f dan ditulis lim
f 0 (z0 ) = lim
z!z0
f (z) z
f (z0 ) ; z0
atau dapat ditulis f (z0 + h) f (z0 ) : h!0 h Fungsi f dikatakan mempunyai turunan di domain A jika f 0 (z) ada untuk setiap z 2 A. f 0 (z0 ) = lim
Keterdiferensialan fungsi f pada suatu titik mengakibatkan kekontinuan fungsi f pada titik tersebut. Hal ini dinyatakan dalam teorema berikut. Teorema 3.1 Jika f mempunyai turunan di z0 , maka f kontinu di z0 . Bukti. lim f (z) =
z !z0
lim
z !z0
f (z0 ) + (z
z0 )
f (z) z
f (z0 ) z0
= f (z0 ) + 0:f 0 (z0 ) = f (z0 )
Kebalikan teorema tersebut tidak berlaku. Contoh penyangkalnya adalah f (z) = jzj kontinu di z = 0, tetapi f 0 (0) tidak ada (Buktikan!). Contoh. Hitung f 0 (z) jika f (z) = z n untuk n bilangan bulat positif Untuk sebarang bilangan z0 2 C, maka z n z0n f 0 (z0 ) = lim z!z0 z z0 (z z0 ) z n 1 + z n 2 z0 + + zz0n 2 + z0n 1 = lim z!z0 z z0 n 1 n 2 = lim z + z z0 + + zz0n 2 + z0n 1 =
z!z0 nz0n 1 :
24
25 Hal ini berarti hasil yang diperoleh dari kalkulus berlaku juga di bilangan kompleks, yaitu f 0 (z) = nz n 1 untuk sebarang z 2 C. Selanjutnya, jika f dan g dua buah fungsi yang terdiferensialkan di z0 , maka kita dapat mencari turunan cf; f g; f g, dan f =g. Khusus bagian yang terakhir ditambahkan syarat g (z0 ) 6= 0. Aturan turunannya adalah seperti yang ada di kalkulus, yaitu: (cf )0 (z0 ) (f g)0 (z0 ) (f g)0 (z0 ) f (z0 ) g
= cf 0 (z0 ) = f 0 (z0 ) g 0 (z0 ) = f 0 (z0 ) :g (z0 ) + f (z0 ) :g 0 (z0 ) f 0 (z0 ) :g (z0 ) f (z0 ) :g 0 (z0 ) = [g (z0 )]2 :
Buktinya seperti yang ada di buku teks kalkulus. Dengan aturan tersebut, contoh 1 berlaku untuk sebarang n bilangan bulat. Contoh. Carilah f 0 (z) jika 1. f (z) = z 2
(3 + i) z + 4
2. f (z) = 3z 4 + z 2 + iz 3. f (z) =
2i
1
z 2 3+2i z 2 +iz
Jawab. Kita gunakan aturan turunan, maka didapat 1. f 0 (z) = 2z
(3 + i)
2. f 0 (z) = 12z 3 + 2 z 3. f 0 (z) =
2z (z 2 +iz )
(z2
iz
2
3+2i)(2z+i)
(z 2 +iz)2
=
iz 2 +(6 4i)z+2+3i z 4 +2iz 3 z 2
Seperti halnya di kalkulus, salah satu aturan yang penting dalam turunan adalah aturan rantai, yaitu mencari turunan fungsi komposisi. Dalam hal ini, (f g)0 = (f 0 g) g 0 . Untuk lebih lengkapnya, perhatikan teorema berikut! Teorema 3.2 Misalkan f : A ! C dan g : A ! C adalah fungsi sehingga f (A) B. Jika f terdiferensialkan di z0 dan g terdiferensialkan di f (z0 ), maka g f terdiferensialkan di z0 dan (g f )0 (z0 ) = g 0 (f (z0 )) f 0 (z0 ). Sebagai contoh tentukan f 0 (z) jika f (z) = f 0 (z) = 10
z2 1 z2 + 1
9
z2 1 z 2 +1
10
! Maka 9
4z (z 2 1) = 40 : (z 2 + 1)2 (z 2 + 1)11
Secara umum, menentukan turunan fungsi yang variabelnya masih dalam z tidaklah sukar karena cara-cara yang telah dipelajari di kalkulus dapat diterapkan. Tetapi jika fungsi tersebut tidak dalam z (misalnya f (z) = z atau f (z) = 2xy + (x2 + y 2 ) i), maka aturan di atas tidak sepenuhnya dapat diterapkan. Bahkan kita harus mencari di titik mana saja fungsi-fungsi tersebut mempunyai turunan. Hal ini membawa kita pada Persamaan Caucy-Riemann.
26 3.2
Persamaan Cauchy-Riemann
Misalkan f (z) = u (x; y) + iv (x; y) fungsi yang terdiferensialkan di z0 = x0 + y0 i. Berdasarkan de…nisi, z0 mestilah titik interior domain f dan f (z) f (z0 ) z!z0 z z0 ada. Penting dicatat bahwa limit tersebut ada dalam setiap arah z ! z0 . Jadi, jika kita pilih z = x + y0 i dengan x ! x0 , maka nilai limitnya sama. Dalam hal ini, f dapat dipandang sebagai fungsi dua variabel x dan y, yaitu f 0 (z0 ) = lim
f (x + y0 i) f (x0 + y0 i) x x0 f (x; y0 ) f (x0 ; y0 ) = lim x!x0 x x0 u (x; y0 ) u (x0 ; y0 ) v (x; y0 ) = lim + i lim x!x0 x!x0 x x0 x = ux (z0 ) + ivx (z0 ) :
f 0 (z0 ) =
lim
x!x0
v (x0 ; y0 ) x0
Kita simpulkan turunan parsial ux (z0 ) dan vx (z0 ) hal ini berarti turunan parsial fx (z0 ) = ux (z0 ) + ivx (z0 ) ada dan memenuhi f 0 (z0 ) = ux (z0 ) + ivx (z0 ) = fx (z0 ) : Serupa dengan hal tersebut, jika kita pilih z = x0 + yi dengan y ! y0 , maka f (x0 + yi) f (x0 + y0 i) y!y0 i (y y0 ) v (x0 ; y) v (x0 ; y0 ) u (x0 ; y) = lim i lim y!y0 y!y0 y y0 y = vy (z0 ) iuy (z0 ) :
f 0 (z0 ) =
lim
u (x0 ; y0 ) y0
Hal ini berarti fy (z0 ) = uy (z0 ) + ivy (z0 ) juga ada dan memenuhi f 0 (z0 ) = vy (z0 )
iuy (z0 ) =
ify (z0 ) :
Jika kedua hasil itu dibandingkan, maka akan didapat ux (z0 ) = vy (z0 ) dan uy (z0 ) =
vx (z0 ) :
Sistem persaman diferensial parsial tersebut dikenal sebagai persamaan Cauchy Riemann sebagai penghargaan kepada Augustin-Louis Cauchy (1789 - 1857) dan Georg Bernhard Riemann (1826 - 1866), dua orang arsitek Analisis Kompleks. Dalam koordinat polar, jika f (r; ) = u (r; )+iv (r; ), maka persamaan CauchyRiemann fungsi tersebut adalah 1 1 ur (r; ) = v (r; ) dan vr (r; ) = u (r; ) . r r Pembaca dapat membuktikan bentuk persamaan tersebut sebagai latihan. Persamaan Cauchy-Riemann merupakan syarat perlu keterdiferensialan sebuah fungsi. Uraian di atas dapat dirangkum dalam teorema berikut.
27 Teorema 3.3 Jika f = u + iv mempunyai turunan di z0 , maka u dan v memenuhi Persamaan Cauchy-Riemann di z0 . Kebalikan teorema tersebut, secara umum tidak berlaku. Sebagai contoh, fungsi yang dide…nisikan dengan f (z) =
exp ( z 4 ) jika z 6= 0 0 jika z = 0
memenuhi persamaan Cauchy-Riemann di 0, tetapi tidak terdiferensialkan di 0 bahkan tidak kontinu di 0 (Silakan diperiksa!) . Teorema berikut menjamin kriteria keterdiferensialan fungsi f = u + iv di suatu titik z0 . Teorema 3.4 Misalkan f = u+iv terde…nisi pada domain A C dan turunan parsial ux , uy , vx , dan vy ada di setiap elemen A:Jika semua turunan parsial tersebut kontinu dan memenuhi persamaan Cauchy Riemann di z0 2 A, maka f mempunyai turunan di z0 dan f 0 (z0 ) = fx (z0 ) = ify (z0 ). Contoh. Di titik mana fungsi f (z) = z mempunyai turunan? Fungsi f (z) = z dapat ditulis sebagai f = x yi. Turunan parsial u dan v masing-masing ux (z) = 1, vy (z) = 1, dan uy (z) = vx (z) = 0 untuk setiap z. Perhatikan bahwa tidak ada z yang memenuhi persamaan Cauchy-Riemann. Jadi, f (z) = z tidak mempunyai turunan di mana-mana. Contoh. Di titik mana fungsi f (z) = 2xy + (x2 + y 2 ) i mempunyai turunan dan hitung nilai turunannya? Turunan parsial u dan v masing-masing ux (z) = 2y, uy (z) = 2x, vx (z) = 2x, dan vy (z) = 2y untuk setiap z. Persamaan Cauchy-Riemann: ux (z) = vy (z) dan 2y = 2y
uy (z) = vx (z) 2x = 2x
hanya terpenuhi untuk setiap z dengan x = 0. Jadi, f mempunyai turunan di z = yi dan f 0 (iy) = ux (iy) + vx (iy) = 2y. Contoh. Tentukan di titik mana fungsi f (z) = x2 y 2 +2xyi mempunyai turunan dan hitung turunannya dititik tersebut! Perhatikan bahwa Persamaan Cauchy-Riemann: ux (z) = vy (z) dan 2x = 2x
uy (z) = vx (z) 2y = 2y
terpenuhi untuk setiap z. Jadi, f mempunyai turunan di setiap z = x + yi dan f 0 (z) = ux (z) + vx (z) = 2x + 2y = 2 (x + y) = 2z. Hasil tersebut sesuai karena fungsi di atas tak lain adalah f (z) = z 2 yang turunannya f 0 (z) = 2z untuk setiap z.
28 3.3
Fungsi Analitik
Salah satu konsep yang penting dalam analisis kompleks adalah fungsi analitik. Istilah lain untuk fungsi analitik adalah holomorpik dan reguler. Misalkan f : A ! C suatu fungsi (ingat bahwa A adalah himpunan buka dan terhubung) dan z0 2 A, fungsi f dikatakan analitik di z0 jika terdapat 4 (z0 ; r) sehingga f mempunyai turunan di seluruh 4 (z0 ; r). Fungsi f dikatakan analitik pada A jika f analitik di setiap z 2 A(secara sederhana, f analitik di A jika f mempunyai turunan di seluruh A). Sebagai contoh, fungsi f (z) = z1 adalah fungsi analitik di C f0g. Fungsi f (z) = jzj2 tidak analitik di mana-mana karena hanya mempunyai turunan di z = 0, tetapi tidak mempunyai turunan di cakram buka 4 (0; r) untuk setiap r > 0. Sedangkan fungsi f (z) = z 2 analitik di seluruh bidang kompleks. Jika fungsi f analitik di suatu domain A, maka berdasarkan de…nisi A termuat di domain f 0 . Kemudian dapat dibuktikan bahwa f 0 sendiri analitik di A, yaitu turunan kedua f 00 ada di setiap elemen A. Dengan menggunakan induksi dapat ditunjukkan f 0 , f 00 , : : :, f (n) , : : : ada di setiap elemen A. Hal ini berarti f dapat diekspansi menjadi deret Taylor. Selanjutnya, berdasarkan aturan turunan, jika f dan g fungsi analitik, maka cf dengan c konstanta, f g, dan f:g adalah fungsi-fungsi analitik. Sedangkan fg analitik pada domain fz 2 A : g (z) 6= 0g. Kemudian berdasarkan aturan rantai, maka komposisi fungsi analitik juga fungsi analitik Seperti halnya pada turunan, menentukan analitik fungsi sangat mudah jika variabel fungsi masih dalam z. Tetapi akan sulit jika variabelnya tidak lagi dalam z. Namun demikian, dengan menggunakan teorema 3.4 kita dapat menentukan apakah suatu fungsi analitik atau tidak di suatu domain. Fungsi yang analitik di seluruh bidang kompleks disebut fungsi entire. Fungsi polinom f (z) = an z n + an 1 z n 1 + + a0 dengan an 6= 0, fungsi eksponen f (z) = ez adalah contoh-contoh fungsi entire. Titik-titik di mana sebuah fungsi kompleks tidak analitik disebut titik singular. Jenis-jenis titik singular adalah sebagai berikut: 1. Titik singular terisolasi. Titik z0 disebut titik singular terioslasi dari f (z) jika terdapat 4 (z0 ; r) sehingga di luar cakram tersebut f analitik. 2. Pole. Titik z0 disebut pole jika terdapat bilangan bulat positif n sehingga lim (z z0 )n f (z) = A 6= 0. z!z0
3. Singular terhapus. Titik z0 disebut titik singular terhapus jika lim f (z) z!z0
ada. 4. Singular essensial. Jika bukan pole dan bukan singular terhapus.
