BILANGAN A. Sistem Bilangan Dalam matematika mempelajari urutan dan keberaturan di antara bilangan-bilangan merupakan suatu bagian yang sangat fundamental. Dengan ditemukannya pola dalam suatu bilangan, maka kita dapat tertolong dalam meramalkan perilaku bilangan itu selanjutnya. Berikut ini disajikan diagram pohon bilangan. Bilangan Satu
Bilangan Prima
Bilangan Nol
Bilangan Asli
Bilangan Negatif
Bilangan Komposit
Bilangan Cacah Bilangan Genap
Bilangan Pecahan
Bilangan Bulat Bilangan Ganjil
Bilangan Irasional
Bilangan Rasional
Bilangan Imajiner Bilangan Real 1. Bilangan Abstrak Suatu bilangan tidak diikat terutama pada sesuatu dinamakan bilangan abstrak (abstract number). Contoh: satu, tiga, sepuluh, dan sebagainya. 2. Bilangan Konkrit Bilangan Kompleks Suatu bilangan dari suatu satuan dinamakan bilangan konkrit (concrete number). Contoh: 5 orang laki-laki, 15 kg beras, 23 menit, dan sebagainya 3. Angka Semua bilangan ditulis dengan menggunakan simbol 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 yang dinamakan angka (digit). 4. Bilangan Asli Bilangan asli juga dinamakan bilangan alam atau bilangan bulat postif (natural number) yang terdiri dari: 1, 2, 3, 4, 5, … Ditinjau dari jumlah faktornya bilangan asli dapat dibagi menjadi 3 kelompok, yaitu: a. Bilangan asli dengan satu faktor, yaitu 1. b. Bilangan asli dengan dua faktor, yaitu: 2., 3, 5, 7, 11, 13, … yang dinamakan bilangan prima (prime number). Bilangan prima didefinisikan sebagai bilangan asli lebih dari 1 yang tepat mempunyai dua faktor. Bilangan prima kembar (twin prime) adalah bilangan prima yang berbeda atau berselisih dua dinamakan bilangan prima kembar. Contoh: (5,7), (11,13) , dan (17,19) .
1 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
Pendirian Goldbach (Statement Goldbach’s, 1690-1764): Setiap bilangan genap yang lebih besar dari 4 adalah jumlah dari dua bilangan prima. Contoh: a. 8 = 3 + 5 c. 12 = 5 + 7 b. 10 = 3 + 7 d. 14 = 3 + 11 Strategi Untuk Menentukan Bilangan Prima Kurang dari 100 Bilangan prima kurang dari 100 dapat ditentukan dengan Saringan Eratosthenes (Metematikawan bangsa Yunani Kuno yang hidup sekitar 300 SM), dengan prosedur sebagai berikut ini. 1. Buatlah daftar bilangan dari 1 sampai dengan 100. 2. Coret bilangan 1. 3. Lingkari bilangan 2 dan coret semua bilangan kelipatan 2. 4. Lingkari bilangan 3 dan coret semua bilangan kelipatan 3. 5. Lingkari bilangan 5 dan coret semua bilangan kelipatan 5. 6. Lingkari bilangan 7 dan coret semua bilangan kelipatan 7. 7. Lingkari semua bilangan yang belum dilingkari dan belum dicoret. 8. Bilangan yang dilingkari adalah bilangan prima yg kurang dari 100. 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Jadi, banyak bilangan prima kurang dari 100 adalah 26 buah, yaitu 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73. 79, 83, 89, 91, dan 97 Strategi Pemeriksaan Bilangan Prima Jika anda ingin memeriksa suatu bilangan, apakah bilangan itu prima atau bukan, maka Anda dapat menempujh prosedur sebagai berikut. 1. Ambillah bilangan bulat terbesar yang merupakan akar dari bilangan yang diberikan. Misalnya bilangan yang diperoleh itu adalah x. 2. Tentukan bilangan prima yang kurang dari bilangan x. 3. Bagilah bilangan yang diberikan dengan bilangan-bilangan prima yang kurang dari x. Jika bilangan yang diberikan tidak habis dibagi oleh bilangan-bilangan prima itu,
2 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
maka bilangan yang diberikan adalah bilangan prima; sebaliknya bilangan yang diberikan adalah bilangan komposit. Contoh: 1. Apakah 509 bilangan prima? Solusi: Akar dari 509 terbesar mendekati 23. Bilangan prima kurang dari 23 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Jelaslah 509 tidak habis dibagi oleh salah satu bilangan prima itu. Jadi, 509 adalah bilangan prima. 2. Apakah 857 bilangan prima? Solusi: Akar dari 857 terbesar mendekati 30. Bilangan prima kurang dari 30 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Jelaslah 857 tidak habis dibagi oleh salah satu bilangan prima itu. Jadi, 857 adalah bilangan prima. 3. Apakah 979 bilangan prima? Solusi: Akar dari 979 terbesar mendekati 32. Bilangan prima kurang dari 32 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31. Jelaslah 979 habis dibagi oleh salah satu bilangan prima itu, yaitu 11. Jadi, 979 adalah bilangan bukan prima. 4. Tugas untuk Anda: Cobalah tunjukkan bahwa bilangan-bilangan 349, 647, 649, 657, 659, 757, 881, 913, 919, 1003, dan 1009 masing-masing adalah bilangan prima! c. Bilangan dengan lebih dari dua faktor, yaitu: 4, 6, 8, 9, 10, 12, … yang dinamakan bilangan komposit atau tersusun (composite number). 5. Bilangan Cacah Bilangan cacah (whole number) terdiri dari semua bilangan asli dab unsur (elemen) nol yang diberi lambing 0, yaitu: 0, 1, 2, 3, 4, 5, … 6. Bilangan Berurutan Suatu seri atau deretan bilangan yangmana masing-masing bilangan berbeda 1 dari pada bilangan yang mendahuluinya dinamakan bilangan berurutan (consecutive numbers). Contoh: 5, 6, 7 atau 14, 15, 16, 17 atau 103, 104, 105, 106, dan sebagainya. 7. Bilangan Bulat Bilangan bulat (integer) memuat semua bilangan cacah dan lawan (negatif) bilangan asli, yaitu: …, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … Bilangan bulat dapat dibagi menjadi dua kelompok, yaitu: a. bilangan bulat yang habis dibagi 2 atau kelipatan 2, yaitu: …, 8, 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6, 8, …, bilangan-bilangan ini dinamakan bilangan genap (even number), dan ditulis dengan lambang x = 2n, dengan n bilangan bulat. Kita dapat mengatakan bahwa suatu bilangan dapat dibagai 2 atau bilangan berakhiran 0, 2, 4, 6, atau 8 dinamakan bilangan genap. Catatan: Perhatikan 0 habis dibagi 2, karena pembagian 0 dengan 2 tidak memberikan sisa. Demikian 0 pula 0 habis dibagi oleh semua bilangan yang bukan 0 sendiri. Sedangkan tidak 0 mempunyai arti. b. Bilangan bulat yang tidak habis dibagi 2 atau bukan kelipatan 2, yaitu: …, 9, 7, 5, 3, 1, 1, 3, 5, 7, 9, …, bilangan-bilangan ini dinamakan bilangan ganjil (odd number), dan ditulis dengan lambing x = 2n + 1, dengan n bilangan bulat.
3 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
Kita dapat mengatakan bahwa suatu bilangan tidak dapat dibagai 2 atau bilangan berakhiran 1, 3, 5, 7, atau 9 dinamakan bilangan ganjil. 8. Bilangan Rasional Bilangan rasional (bilangan terukur) adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi a bilangan bulat dengan bilangan asli. Bentuknya x , dengan a bilangan bulat dan b bilangan b asli. Ada dua kemungkinan yang dapat terjadi, yaitu: a. jika a habis dibagi b, maka x adalah bilangan bulat. b. Jika a tidak habis dibagi b, maka x adalah bilangan pecahan. a Bilangan rasional yang merupakan bilangan pecahan x , dengan a dinamakan pembilang dan b b dinamakan penyebut, biasanya dengan syarat pembilang dan penyebut tidak mempunyai faktor persekutuan. 4 24 450 1 Contoh: pecahan 7 ditulis 7 , pecahan ditulis 8 . 81 90 15 3 Jadi, bilangan rasional dapat berupa bilangan bulat dan bilangan pecahan. 9. Bentuk Desimal Berulang dari Bilangan Rasional Setiap bilangan rasional dapat dituliskan dalam bentuk desimal berulang. Contoh: 1 5 0,4545... , ditulis 0, 45 a. 0,3333... ,ditulis 0, 3 c. 3 11 5 71 0,123123123... , ditulis 0, 123 b. 6 6,5555... , ditulis 6, 5 d. 9 333 Strategi Mengubah Bilangan Desimal Berulang Menjadi Pecahan Biasa Strategi 1: Misalnya bilangan desimal berulang adalah x. Untuk mengubah bilangan desimal berulang menjadi pecahan biasa, maka kalikan x dengan 10 pangkat banyaknya digit (angka) berulang kemudian kurangkan dengan x dan hasilnya dapat dinyatakan sebagai pecahan biasa. Strategi 2: Jika suatu bentuk desimal berulang telah terjadi sejak desimal pertama, maka bentuk pecahannya adalah bilangan terulang Bentuk pecahan Bilangan bulat 10 pengulangan 1 Contoh: Tentukan pecahan biasa dari setiap bilangan decimal berulangan berikut ini. a. 0,6666… c. 8,108108108… b. 1,353535… d. 0,00225225225… Solusi: a. Strategi 1: Strategi 2: Misalnya x = 0,6666… 6 6 6 2 10x = 6,666… 0,6666... 1 x = 0.6666… 10 1 10 1 9 3 + 9x = 6 6 2 x 9 3
4 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
Jadi, pecahan biasa dari bilangan decimal berulang 0,6666… adalah b. Strategi 1: Misalnya x = 1,353535… 100x = 135,3535… x= 1,353535… + 99x = 134 134 35 x 1 99 99
2 . 3
Strategi 2:
1,353535... 1
35 35 35 1 1 2 10 1 100 1 99
Jadi, pecahan biasa dari bilangan decimal berulang 1,353535… adalah 1 c. Strategi 1: Misalnya x = 8,108108108… 1000x = 8108,108108… x= 8,108108108… + 999x = 8100 8100 12 x 8 999 111
35 . 99
Strategi 2:
108 108 8 3 1000 1 10 1 108 12 8 8 999 111
8,108108108... 8
Jadi, pecahan biasa dari bilangan decimal berulang 8,108108108… adalah 8 d. Strategi 1: Misalnya x = 0,00225225225… 100000x = 225,225225… 100x = 0,225225225… + 99900x = 225 225 1 x 99900 444
12 . 111
Strategi 2:
0,225225225... 100 225 225 3 10 1 999 100 100 225 1 99900 444 1 Jadi, pecahan biasa dari bilangan decimal berulang 0,00225225225…adalah . 444 10. Bilangan Irrasional Bilangan irrasioanl (bilangan tidak terukur) adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam hasil bagi bilangan bulat dan bilangan asli, dan juga tidak dapat dituliskan dalam bentuk desimal a berulang. Jadi, x adalah bilangan irrasional, jika x , dengan a bilangan bulat dan b bilangan b asli. Contoh:
a. 5 2,36067... b. e = 2,71828…
0,00225225225...
c. π 3,141592654... d. log 3 0,47712...
11. Bilangan Real Bilangan real (bilangan nyata) terdiri dari kumpulan bilangan rasional dan irrasional (positif dan negatif) dan nol. Contoh: 2 a. 5 c. 1 e. 3 2 π 15
5 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
b. 12
d. 3 5 7
f.
1 3 2 log 5 4
12. Bilangan Kompleks Akar dari suatu bilangan negative itu dinamakan bilangan imajiner (bilangan khayal). Bilangan 1
didefinisikan sebagai satuan imajiner yang dilambangkan dengan i. Jadi,
1 i ,
sehingga i 1 , i i , i 1 , dan seterusnya. Contoh: 2
3
4
a. 3 1 3 i 3 b. 16 1 16 4i Suatu bilangan kompleks dinyatakan sebagai z a bi , dengan a dan b bilangan real dan i satuan imajiner. Bilangan a disebut bagian real dari z dan bilangan b disebut bagian imajiner dari z. Contoh: Bilangan kompleks z = 5 – 4i, dengan 5 bagian real dari z dan 4 bagian imajiner dari z. 13. Bilangan Sempurna Suatu bilangan yang sama dengan jumlah semua pembaginya (faktor-faktornya) kecuali dirinya sendiri dinamakan bilangan sempurna (perfect number). Contoh: 6 = 1 + 2 + 3 (faktor-faktor dari 6 adalah 1, 2, 3, dan 6. Dalam kasus ini 6 adalah bilangan sempurna, maka 6 tidak disertakan dalam penjumlahan faktor-faktornya) 14. Bilangan Bersahabat Dua bilangan dinamakan bersahabat jika bilangan yang satu memiliki jumlah faktor yang sama dengan bilangan lain. Contoh: Apakah pasangan bilangan 284 dan 220; 18.416 dan 17.296; dan 1.184 dan 1.210?. Solusi: Bilangan-bilangan 284 dan 220 adalah bersahabat (terkecil), karena faktor-faktor dari 220 adalah 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, dan 110, yang kesemuanya berjumlah 284. Demikian juga dengan faktor-faktor dari 284 adalah 1, 2, 4, 71, dan 142, yang kesemuanya berjumlah 220. Bilangan-bilangan 18.416 dan 17.296 adalah bersahabat, karena faktor-faktor dari 18.416 adalah 1, 2, 4, 8, 16, 1.151, 2.302, 4.604, dan 9.208, yang kesemuanya berjumlah 17.296. Demikian juga dengan faktor-faktor dari 17.296 adalah 1, 2, 4, 8, 16, 23, 46, 47, 92, 94, 184, 188, 368, 376, 752, 1.081, 2.162, 4.324, dan 8.648, yang kesemuanya berjumlah 18.416. Bilangan-bilangan 1.184 dan 1.210 adalah bersahabat, karena faktor-faktor dari 1.210 adalah 1, 2, 4, 8, 16, 32, 37, 74, 148, 296, dan 592, yang kesemuanya berjumlah 1.210. Demikian juga dengan faktor dari 1.210 adalah 1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110, 121, 242, dan 605, yang kesemuanya berjumlah 1.184. Bilangan bersahabat 220 dan 284 ditemukan oleh Pythagoras sekitar 500 SM. Sampai tahun 1636 tidak ditemukan bilangan bersahabat yang baru, setelah itu seorang ahli teori bilangan dari Perancis bernama Fermat menemukan bahwa bilangan 17.296 dan 18.416 adalah sepasang bilangan bersahabat. Pada tahun 1750, setelah melakukan pengkajian sistematik, Euler mempublikasikan lebih dari enampuluh pasang bilangan bersahabat. Sangat mengherankan ia melalaikan pasangan kedua terkecil yaitu 1.184 dan 1.210, dan hal ini tidak ditemukannya sampai pada tahun 1866. Pakar matematika dari Italia, Paganini seorang remaja laki-laki yang berumur 16 tahun yang menemukan pasangan bilangan bersahabat terkecil kedua itu. Kemudian pasangan bilangan bersahabat yang terakhir ditemukan tahun 1976 yang salah satu bilangannya adalah 5.070.746.263.958.274.212.545.800.175.616. Tugas Anda: Tunjukkan bahwa pasangan bilangan 2.620 dan 2.924; dan pasangan bilangan 6.232 dan 6.368 masing-masing adalah bilangan bersahabat.
6 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
