BEBERAPA HASIL PENELITIAN YANG MENGGUNAKAN TEORI APOS PADA PEMBELAJARAN MATA KULIAH STRUKTUR ALJABAR (ALJABAR ABSTRAK) Disusun oleh;
Elah Nurlaelah JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
A. Pendahuluan Sudah beberapa tahun yang lalu komunitas peneliti yang tergabung dalam RUMEC
(Research in undergraduate Mathematics Education Community) telah
menerapkan kerangka penelitian tertentu untuk mempelajari cara belajar mahasiswa pada beberapa bidang studi yang berada pada kurikulum perguruan tinggi. Yang termasuk dalam kerangka penelitian adalah pengembangan dan implementasi perlakuan instruksional yang didasarkan pada teori APOS, yaitu suatu teori yang merupakan perluasan dari teori Piaget pada bagian reflektif abstraksi yang diterapkan pada kurikulum matematika Perguruan Tinggi. Fokus utama dari kerja RUMEC yaitu bagaimana mereka dapat mengembangkan pemahaman siswa pada konsep-konsep matematika. Berikut akan disajikan beberapa hasil penelitian yang berdasarkan Teori APOS yang diterapkan pada mata kuliah Struktur Aljabar (Aljabar Abstrak). Pengolahan data pada penelitian-penelitian ini menggunakan metode kualitatif. Data diperoleh dari hasil tes, yang dilengkapi dengan wawancara (indepth interview) untuk mendapat gambaran sejauh mana atau pada tingkat berfikir yang mana suatu konsep dikuasai oleh siswa (mahasiswa). Hasil penelitian yang akan dikaji adalah 1) “ The Development of students’ Understanding of Permutations and Symmetrics” yang memeriksa bagaimana mahasiswa mengembangkan pemahamannya untuk materi permutasi pada himpunan hingga dan sifat simetri dari poligon beraturan, 2) “ Student Understanding of Cosets, Normality, and Quotient Groups” yang mempelajari konstruksi mental yang terbentuk dalam mengembangkan pemahamannya pada konsep Koset, Normalitas, dan Grup
Kosien/Grup Faktor, dan 3) “ Learning Binary Operation, Groups, and Subgroups” yang memeriksa pemahaman siswa dalam memformulasikan konsep-konsep Operasi Biner, Grup, dan Subgrup. Data yang diperoleh pada penelitian
2) dan 3) merupakan data non-
perbandingan dan data perbandingan sementara pada penelitian 1) datanya hanya berupa data non-perbandingan. Data non- perbandingan dan
perbandingan diperoleh dari
subyek penelitian sebanyak 31 mahasiswa yang mengikuti perkuliahan secara lengkap selama satu semester dengan menggunakan Teori APOS dan pembelajaran dengan siklus ACE . Sebagai pembanding yaitu mahasiswa yang mengikuti pembelajaran dengan menggunakan metode tradisional, subyek penelitiannya terdiri dari 20 orang mahasiswa. Meskipun kedua metode pembelajaran yang dilaksanakan berbeda tetapi konsep yang dipelajari secara esensial sama. Data non-perbandingan berasal dari tiga kali ujian dan data yang berasal dari wawancara. Sedangkan data perbandingan pada penelitian 2) dan 3) berasal dari wawancara ke dua. Keseluruhan data tersebut diperoleh dari kelompok mahasiswa yang pembelajarannya menggunakan eksperimen (EKS)). tulisan,
Teori APOS (selanjutnya disebut kelompok
Ketiga puluh satu mahasiswa mengikuti secara lengkap ujian
24 mahasiswa berpartisipasi dalam wawancara ke satu
(data non-
perbandingan) dan 17 mahasiswa berpartisipasi pada wawancara ke dua. Ke 20 orang mahasiswa dari kelompok tradisional (TRAD) berpartisipasi dalam wawancara ke dua atau untuk data perbandingan.
B. Data Hasil Penelitian 1. Deskripsi Instrumen Untuk Ketiga Penelitian Dari tiga ujian tertulis, salah satu ujiannya dilaksanakan dalam kelompok, sementara dua yang lainnya dilaksanakan secara individual. Berikut adalah uraian dari topik-topik yang diujikan dan yang dijadikan bahan wawancara. Operasi Biner: operasi biner abstrak, Pengawetan sifat komutatif dalam suatu subgrup, operasi grup pada himpunan satuan dari suatu ring , operasi grup dalam grup permutasi, operasi pada koset-koset suatu ring. Sifat-sifat Grup: Memeriksa apakah suatu pasangan himpunan (G,*) membentuk suatu grup.
Identifikasi/Konstruksi Subgrup: Mengidentifikasi subgrup, menganalisa apakah himpunan yang diberikan merupakan suatu subgrup, menentukan semua subgrup dari grup tertentu. Subgrup secara Umum: Subgrup dari Grup Siklik, konjugat dari suatu grup. Elemen-Elemen dari Suatu Grup: order elemen-elemen suatu grup, order hasil kali dari elemen. Koset-Koset : Menentukan koset-koset dari grup tertentu, Menyatakan dan membuktikan Teorema Lagrange. Subgrup Normal dan Grup Kosien/Faktor: definisi ekuivalensi dari normalitas, memeriksa subgrup normal dari grup tertentu yang diberikan, Normalitas
kernel
darisuatu
homomorfisma,
mengkontruksi
dan
mengidentifikasi grup dan ring faktor, metode representatif untuk operasi kosetkoset. Grup Permutasi dan Simetri : Represntasi eksplisit elemen-elemen dari grup permutasi yang diberikan, mendiskusikan struktur sikel dari subhimpunan Sn, menetukan suatu subgrup atau subgrup normal dari grup permutasi, mengkonstruksi grup faktort dari grup permutasi.
Hasil yang diperoleh mahasiswa untuk materi-materi yang diuraikan di atas disajikan pada tabel di bawah ini Hasil Non-Perbandingan Hasil (Instrumen) Diberikan sembarang ring R dan identitas penjumlahannya adalah 0, Tunjukkan bahwa x.0 0, x R . 100% mahasiswa dapat mengkoordinasikan dua operasi pada ring. Skor rata-rata pada pertanyaan ini adalah 77% (individual tes). Diberikan suatu grup (G,*), mahasiswa diminta unutk mendefinisikan suatu operasi biner yang baru dalam bentu *, 3/7 grup mendapat nilai penuh dalammembuktikan bahwa (G, ) adalah suatu grup. Rata-rata keseluruhan score untuk pertanyaan ini adalah 89%( tes kelompok). Kekekalan sifat komutatif dari suatu 7/7 grup mendapat nilai penuh ketika
Materi/Topik Operasi Biner Operasi biner abstrak
subgrup
Grup operasi pada himpunan satuan dari suatu ring
Operasi Grup dari Grup Permutasi
Operasi koset-koset dari suatu ring
Sifat-Sifat Grup Tunjukan bahwa (G,*) membentuk suatu grup
Mengidentifikasi/ mengkonstruksi Subgrup Mengidentifikasi Subgrup
diminta untuk membuktikan atau menyajikan suatu counterexample dari pernyataan: setiap subgrup dari non abelian gruip adalah non abelian. ( grup tes). 100% mahasiswa mengerjakan secara tepat operasi pada R*, yang membedakannya dari operasi penjumlahan (individual tes). 42% dari mahasiswa merespon secara tepat atau dapat menghubungkan contoh khusus hasil kali permutasi dengan ide umum suatu fungsi dari dua variabel. (wawancara). 90% dari mahasiswa mengerjakan secara tepat operasi koset dari ring 2Z/6Z(individual tes). Diberikan dua grup (G1, *1) dan (G2, *2). 7/7 grup mendapat niali penuh dalam membuktikan bahwa (G = G1xG2, *) dimana [a,b] *[c,d] = [a *1c, b *2 d] adalah suatu grup. ( tes kelompok). Diberikan sebarang ring R, tunjukkan bahwa R* membentuk suatu grup, 39% dari mahasiswa memperoleh nilai penuh atau sedikit membuat kesalahan. Ratarata nilai untuk pertanyaan ini adalah 68% (individual tes).
(Pertanyaan benar/salah pada tes individual). Diberikan suatu subset tertutup dari Menentukan subgrupnya jika suatu grup, Apakah anda yakin bahwa diberikan grup tertentu subset iru suatu subgrup. 90% merespon secara tepat. Sn isomorfik dengan suibgrup dari Sn+2, 71% menjawab tepat. 7/7 grup menjawab tepat dalam mengidentifikasi suatu subgrup dari S4 isorfik dengan S3. (tes kelompok). 4/7 dapat menemukan semua subgrup Menentukan semua subgrup dari dari D4, 3 kelompok lainnya kurang satu grup tetentu. tau dua subgrup yang berorder 4. Elemen-Elemen suatu Grup 90% merespon posistif secara tepat Order dari elemen-elemen suatu grup semua order dari suatu elemen dari suatu grup untuk membentuk subgrup (individual tes)
Order dari produk dua elemen
Koset-Koset Menentukan koset-koset dari grup tertentu
Menyatakan/ Membuktikan Teorema Lagrange
Subgrup Normal dan Grup Faktor Definisi Ekuivalensi dari Kenormalan
Menentukan subgrup normal jika diberikan suatu grup.
Normalitas suatu Kernel dari suatu Homomorfisma.
Mengkonstruksi/Mengidentifikasi Grup Faktor
Diberikan grup komutatif G dengan suatu elemen berorser 2 dan yang satunya berorder 3, haruskah G memiliki elemen dengan order 6? Apa yang akan terjadi jika 2 dan 3 diganti dengan bilangan yang lainnya ? 46% dari mahasiswa menjawab secara tapat (wawancara). Diberikan G = S3 dan H = A3, 77% mahasiswa menentukan koset-koset G/H dengan tepat (Individual tes). Diberikan G = 2Z dan H = 6Z, 90% mahaiswa dapat menentukan koset-koset 2Z/6Z dengan tepat ( tes kelompok) 7/7 grup dapat menyatakan teorema dengan tepat, Rata-rata nilai grup pada pembuktian Teorema Lagrange adalah 76%. 845 mahassiswa mengerti bahwa normalitas merupakan suatu sifat dari suatu subgrup (individual tes) 52% dari mahasiswa dapat menyebutkan definisi ekuivalensi untuk kenormalan (individual tes). 65% mahasiswa dapat mengajukan definisi normalitas pada saat mendiskusikan apa yang akan terjadi jika diberikan K = {(1), (12)(34),(14)(23), (13)(24) } suatu subgrup dari S4. (wawancara) 84% mengidentifikasi dengan tepat suatu subgrup normal dari S3. 24 orang mengidentifikasi grup alternating sebagai suatu contoh 9individual tes). 53% mahasiswa membeuktikan secara tepat bahwa kernel suatu homomorfisma adalah suatu subgrup normal (individual tes). Bekerja dengan S3, 73% mahasiswa mendaftarkan semua koset dari S3/A3 secara tepat. 30% mahasiswa mengidentifikasi grup faktor sebagai Z2 (individual tes).
Grup Permutasi dan grup Simetri Menuliskan Kembali elemen-elemen dari Grup Permutasi Mendiskusikan Struktur Cycle dari subset Sn
Grup faktor 2Z/6Z, 90% menyusun semua koset-kosetnya, menentukan operasi, dan menghitungnya dengan menggunakan tabel cayley secara tepat (individual tes) Untuk S4, 63% mahasiswa dapat menentukan himpunan koset-koset, menyusunnya dalam suatu tabel, dan melakukan operasi pada koset-koset. (wawancara). 71% mahasiswa menyampaikan suatu definisi yang dapat diterima tentang koset. ( wawancara). 7/7 secara kelompok menghasilkan nilai yang sempurna 61% mahasiswa menerangkan apa yang dimaksud dengan suatu subset Sn tertutup terhadap struktur Cycle. (individual tes). 94% mahasiswa mngerti apa yang dimaksud dengan dua permutasi memiliki strukstur cycle yang sama. (individual tes)
Respon Individual : Rata-rata setiap tes individual atau pertanyaan wawancara dijawab secara tepat oleh 72% mahasiswa. 8 (35%) dari keseluruhan soal (23) dijawab secara sempurna oleh paling tidak 90% mahasiswa. Tes Kelompok : Setiap kelompok mendapat nilai penuh untuk 5 dari 7 soal yang ada. Sisa lainnya yaitu, satu pertanyaan mengenai penentuan semua subgrup dari D4, 3 kelompok tidak mendapat nilai penuh karena tidak dapat menentukan satu atau dua subgrup lainnya. Kasus yang lainnya, ditemukan oleh Hart bahwa menuliskan bukti
untuk materi operasi biner
yang merupakan sub topik pada teori grup
merupakan salah satu kesulitan yang standar dari setiap kelompok. Selanjutnya dari penelitian ini diketahui yaitu walaupun hanya 3 kelompok yang mendapat nilai penuh, tapi rata-rata keseluruhan yaitu 89% dapat menjawab soal yang diujikan.
2. Data Perbandingan dan Perkembangan Tingkat Kognitif pada Penelitian (3) A. Brown, et.al (1997) dalam penelitiannya melakukan perbandingan antara kelompok eksperimen (EKS) yang pembelajarannya berdasarkan Teori APOS dan
kelompok kontrol (TRAD) yang pembelajarannya menggunakan metode tradisional. Perbandingan yang dilakukan oleh A. Brown dkk didasarkan pada analisa butir soal untuk materi Sifat-Sifat grup dan Identifikasi Subgrup. Setiap soal dianalisa dengan mengidentikasi indikator-indikator keberhasilan (succesful) dan ketidakberhasilan (unsuccesful). Tabel di bawah berikut menampilkan indikator (keberhasilan dan ketidakberhasilan) yang dicapai oleh mahasiswa.
Q#1 (Wawancara). Mahasiswa diberikan definisi tentang pusat (Center) dari suatu grup. Mahasiswa diminta untuk mengekspresikan definisi tersebut dalam notasi himpunan, selanjutnya diminta menunjukkan bahwa pusat suatu grup adalah suatu subgrup. Indikator Keberhasilan Penampilan Mahasiswa dapat mengkonstruksi pusat suatu grup sebagai suatu subset Mahasiswa memahami bagaimana menggunakan aksiomaaksioma grup pada pusat suatu grup. Mahasiswa menunjukkan bahwa keempat aksioma grup harus diperiksa Mahasiswa membuktikan bahwa setiap aksioma dipenuhi pada suatu pusat
EKS 47% (8/17) 88% (15/17) 76% (13/17) 35% (6/17)
TRAD 40% (8/20) 55% (11/20) 5% (1/20) 15% (3/20)
Indikator Ketidakberhasilan Penampilan Mahasiswa membuat sedikit langkah dalam mengkonstruksi pusat suatu grup sebagai suatu subset Mahasiswa menunjukkan tidak mengetahui aksiomaaksioma grup Mahasiswa tidak dapat membuktikan bahwa pusat memenuhi aksioma-aksioma grup
EKS 35% (6/17) 0% (0/17) 18% (3/17)
TRAD 30% (6/20) 30% (6/20) 20% (4/20)
Q#2 (wawancara). Mahasiswa diminta unutk menyajikan contoh-contoh subgrup dari Z, selanjutnya diminta untuk membuat pernyataan secara
umum
berkaitan dengan
struktur suatu subgrup.
Indikator Keberhasilan Penampilan Mahasiswa mengetahui bahwa setiap subset yang berbentuk nZ adalah subgrup dari Z. Mahasiswa mengetahui bahwa semua subgrup dari Z berbentuk nZ
EKS 82% (14/17) 47% (8/17)
TRAD 50% (10/20) 20% (4/20)
Indikator Ketidakberhasilan Penampilan Mahasiswa secara esensial tidak dapat menemukan subgrupsubgrup dari Z Mahasiswa berfikir bahwa grup Zn adalah subgrup dari Z
EKS 0% (0/17) 29% (8/17)
TRAD 15% (10/20) 60% (4/20)
Catatan : subyek sampel dalam wawancara ini 17 orang. Rata-rata Indikator untuk Q#1 dan Q#2. Rata-rata 62.5% dari mahasiswa kelompok eksperimen memenuhi kriteria keberhasilan, sedangkan kelompok kontrol (tradisional) hanya 30.8%. Untuk indikator ketidakberhasilan secara rata kelompok eksperimen menunjukkan penampilan yang tidak memuaskan sebanyak 16%, sedangkan kelompok traadisional sebanyak 31%. 3. Data Perbandingan dan Perkembangan Tingkat Kognitif Pada Penelitian (2) Pada penelitian ini peneliti menginvestigasi pemahaman siswa untuk konsep Koset dan Normalitas. Pertanyaan-pertanyaan yang digunakan untuk menganalisa konsep Koset mahasiswa. Tiga pertanyaan dalam tes individual digunakan untuk menganalisa konsep Koset yang terbentuk
dalam pikiran mahasiswa, yaitu dengan memeriksa apakah mahasiswa
mencapai pemahaman tingkat Action, Process, dan Object. Q#1 (Tes Individual). Terdapat beberapa kondisi yang ekuivalen dalam membuktikan bahwa suatu subgrup H adalah subgrup normal dari G. Salah satunya adalah gHg
1
g
G,
H . Tentukan kondisi yang lain dan tunjukkan bahwa kondisi tersebut
ekuivalen dengan dengan pernyataan di atas. Tingkat Kognitif – Untuk Konsep Koset, Q#1 Mahasiswa melakukan operasi pada tingkat Object Mahasiswa melakukan operasi pada tingkat Process Mahasiswa melakukan operasi pada tingkat Action Mahasiswa menunjukkan hanya sedikit memahami fakta-fakta tentang pengertian Koset
EKS 58% (8/31) 10%(3/31) 16%(5/31) 16%(5/31)
Q#2 ( Tes Individual). Dalam grup S4, perhatikan subgrup berikut; K = {(1), (12)(34), (14)(32), (13)(24)}. Apa yang terjadi jika K merupakan subgrup normal ? Q#3 (Tes Individual). Periksa dengan menggunakan tabel Cayley tentang S4/K
Tingkat Kognitif- Untuk Konsep Koset, Q#2, Q#3 Mahasiswa melakukan operasi pada tingkat Object Mahasiswa melakukan operasi pada tingkat Process Mahasiwa melakukan operasi antara tingkat Action dan Process
EKS 71% (17/24) 17% (4/24) 12% ( 3/24)
Ketika membandingkan data wawancara, konsep koset dimasukkan dalam konteks pertanyaan yang meliputi Teorema Lagrange.
Q#4. (Wawancara) 1. Apakah kamu ingat tentang Teorema Lagrange ? 2. Bagaimana isi dari Teorema Lagrange ? 3. Bagaimana membuktikan Teorema Lagrange ? Data penampilan secara perbandingan dari wawancara ini disajikan pada tabel di bawah ini; Katagori Pertanyaan Mahasiswa dapat menyatakan Teorema Lagrange Mahasiswa dapat membuktikan Teorema Lagrange Mahasiawa dapat mengingat aplikasi dari Teorema Lagrange Mahasiswa dapat mengingat/mengkonstruksi konsep koset tanpa desakan
EKS 41% (7/17) 35%(6/17)
TRAD 20%(4/20) 15%(3/20)
65%(11/17)
20%(4/20)
53% (9/17)
15%(3/20)
Secara keseluruhan 11/17 (65%) mahasiswa dari kelompok eksperimen dan 7/20 ( 35%) mahasiswa dari kelompok tradisional dapat mengemukakan konsep koset secara bermakna ( 2 orang dari kelompok eksperimen dan 4 orang dari kelompok tradisional membutuhkan sedikit paksaan untuk menjawab). Hasil wawancara ini selanjutnya diklasifikasikan dalam tiga kelompok tingkatan kognitif berikut; Tingkatan Kognitif – Untuk konsep Koset, Q#4
EKS
TRAD
Tingkat Tinggi
Tingkat rendah
Mahasiswa mendemontrasikan taraf berfikir tingkat Object secara kuat Mahasiswa mendemontrasikan kemampuan untuk merekontruksi pengetahuannnya tentang konsep koset dan kemampuan untuk deencapsulate(mengurai kembali), walaupun penampilannya tidak menunjukkan kemapuan berfikir tingkat object yang kuat. Walaupun mereka mendiskusikan tentang konsep koset sebagai suatu object, mereka tidak mendemontrasikan kemampuan de-encapsulate ( mengurai kembali) ataupan kemampuan untuk menggunakan tingkat berfikir Action untuk konsep Koset.
45%
43%
27%
14%
27%
43%
Di bawah ini disajikan pertanyaan-pertanyaan yang digunakan untuk menganalisa tingkat berfikir mahasiswa untuk konsep Normalitas. Q (Wawancara). Definisikan pusat suatu grup. Tunjukkan bahwa puast suatu grup membentuk suatu subgrup normal. Peneliti mengklasifikasikan respon mahasiswa tentang konsep normalitas berdasarkan lima tingkat katagori perkembangan berikut;
Katagori Perkembangan
EXP
TRAD
Tngkat Tinggi
Tingkat rendah
4.
Mahasiswa secara tepat dapat menyebutkan definisi yang ekuivalen dan menjawab kondisi yang diperlukan secara umum Mahasiswa dapat menyatakan kondisi normalitas seperti gH = Hg, dengan kemampuan untuk mengganti dengan elemen- elemen g yang berbeda. Mahasiswa dapat menyatakan suatu kondisi, seperti ag= ga atau gH = Hg. Dalam kasus sebelumnya, mahasiswa mungkin masih bingung dengan sifat komutatif dari suatu subgrup Normal. Akhirnya mahasiswa dapat menyatakan g sebagai suatu elemen tertentu pada G Mahasiswa memikirkan Normalitas sebagai suatu Action yang bekerja pada suatu grup, tetapi konsep Action yang lemah Mahasiswa menunjukkan sedikit atau ketidak mengertian pada konsep
29% (5/17)
5% (1/20)
35% 6/17)
5% (1/20)
12% (2/17)
15% (3/20)
24% (4/17)
35% (7/20)
0% (0/17)
40% (8/20)
Perkembangan Tingkat Kognitif pada Penelitian (1) Peneliti mengklasifikan pemahaman mahasiswa tentang konsep permutasi dan
simetri berkaitan dengan operasi yang dilakukannya pada tingkat Action, Process, dan Object. Data ini tidak disajikan sebagai data perbandingan. Tingkat Kognitif untuk Materi Permutasi dan Simetri Tingkat APOS EKS Mahasiswa melakukan operasi pada tingkat Object 42%(10/24) Mahasiswa melakukan operasi pada tingkat Process 38% (9/24) Mahasiwa melakukan operasi pada tingkat Action 20% (5/24)
C. Penutup Beberapa faktor potensial yang mempengaruhi reliabilitas data yang disajikan pada laporan penelitian adalah: triangulasi yang kurang, ukuran sampel yang sedikit apabila data diolah secara kuantitatif, randomisasi yang kurang acak ketika pemilihan sampel mahasiswa, kurang objektif dalam melaksanakan wawancara, pengontrolan yang kurang antara kelompok eksperimen dan kelompok kontrol, memunculkan bias ketika melakukan wawancara untuk kelompok eksperimen. Meskipun demikian data yang diperoleh perbedaannya mencolok, penelitian yang dilakukan konsisten, dan dasar
yang luas dalam arti disertakannya penelitian pada kelompok. Akibatnya secara umum diperoleh hasil; Data perbandingan pada mata kuliah Struktur Aljabar menunjukkan hasil yang konsisten pada kelompok eksperimen. Khususnya untuk setiap katagori, mahasiswa yang berasal dari kelompok eksperimen mencapai hasil yang lebih tinggi daripada mahasiswa pada kelompok tradisional. Berkaitan dengan data non-perbandingan, mahasiswa yang pembelajarannya menggunakan Teori APOS dan Siklus ACE, data yang dihasilkan
saling
melengkapi dengan data yang dihasilkan pada analisis perbandingan. Berdasarkan pengalaman pada waktu mengajar, dipercaya bahwa hasil yang diperoleh lebih tinggi daripada hasil yang diperoleh mahasiswa yang pembelajarannya dengan cara tradisional. Karena 72% mahasiswa secara ratarata, setiap individu menjawab tes individual dan wawancara secara tepat. Pada ujian kelompok semua menjawab secara sempurna 5 pertanyaan dari 7 pertanyaan yang ada. Untuk beberapa materi sisa, kelompok yang kehilangan beberapa nilai menjawab hampir dekat kepada jawaban yang benar, selanjutnya secara keseluruhan rata-rata nilai kelompok adalah 89%. Berkaitan dengan perkembangan kognitif. Paling tidak 42% mahasiswa pada kelompok eksperimen mencapai tingkat kognitif Object untuk satu atau beberapa konsep.
Ditambahkan bahwa pembelajaran berdasarkan teori APOS dapat meningkatkan ketertarikan dan semangat mahasiswa pada matematika, yang merupakan hal yang potensial dimana hal ini akan memberikan keuntungan yang baik dalam segi akademik. Disamping itu mahasiswa cenderung memberikan perhatian yang khusus pada pembelajarannya. Karena pembelajaran dengan
teori APOS
dapat menganalisa tingkat
pemahaman mahasiswa pada suatu konsep, maka teori ini dapat dijadikan alat untuk menjelaskan dan untuk meningkatkan kemampuan mahasiswa terhadap matematika.
Daftar Pustaka Asiala, M. et.al (1997). Student Understanding of Cosets, Normality, and Quotient Groups. Journal of Mathematical Behavior. 16(3). 241-309.
Asiala, M. et. al (1998). The Development of Students’ Understanding of Permutation and Symmetries. International Journal of Mathematical Learning. 3, 13-43. Brown, A. et.al (1997). Learning Binary Operations, Groups, and Subgroups. Journal of Mathematical Behavior. 16(3), 247-285.
