Barisan dan Deret Bilangan

Bab

3

Barisan dan Deret Bilangan

m

b

m

r:

be

m Su

lo w. ww

co is. gil ok

Setelah mempelajari bab ini, diharapkan Anda dapat menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah, yaitu mengidentifikasi pola, barisan, dan deret bilangan, menerapkan konsep barisan dan deret aritmetika dan geometri.

SebuahhomeindustrypadabulanJanuari2008memproduksi 310 unit kerajinan tangan. Home industry tersebut menargetkan jumlah produksinya bertambah 20 unit setiap bulan. Berapakah jumlah produksi home industry tersebut pada bulan Desember 2008? Dengan menggunakan konsep barisan aritmetika, Anda dapat memecahkan masalah ini. Pada pembahasan kali ini, Anda akan mempelajari barisan bilangan, deret bilangan, dan penerapannya. Materi ini sebenarnya telah Anda dapatkan di Kelas IX SMP. Akan tetapi, pada pembelajaran kali ini materi pembelajaran lebih ditekankan pada masalah sehari-hari di sekitar Anda.

A. Pengertian Barisan dan Deret Bilangan B. Barisan dan Deret Aritmetika C. Barisan dan Deret Geometri


85

Peta Konsep Materi tentang Barisan dan Deret Bilangan dapat digambarkan sebagai berikut. Barisan dan Deret Bilangan mempelajari konsep

Deret Bilangan

Barisan Bilangan terdiri atas

Barisan Aritmetika

Deret Aritmetika

Barisan Geometri

Deret Geometri

rumus jumlah n suku pertama

Un = a + (n – 1) b

Un = apn–1

Sn =

rumus jumlah n suku pertama

n (2a + (n – 1)b) 2 Sn =

untuk p<1

a(1 – pn ) 1 p

untuk p>1

Sn =

a( pn – 1) p 1

Soal Pramateri Kerjakan soal-soal berikut, sebelum Anda mempelajari bab ini.

1.

Tentukanlah hasil operasi penjumlahan dan pengurangan berikut.

3.

Tentukanlah hasil operasi bilangan berikut.

a.

6 – (–6)

c.

a.

( 3 + ( –5 2) 2)

b.

–19 + (–12)

d. –15 – (–10)

2.

Tentukanlah hasil operasi perkalian dan

b.

6

pembagian berikut.

a.

2 ¥ 53

b.

16 ¥ 2

c.

1 36 ¥ 3

86

4

2

d. e.

–12 – 7

2 6: 3 90 :

1 4

2

c.

12

d.

2 4

2

Aktif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMK/MAK Rumpun Sosial, Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi

2

(12 + (

(

9

6 2) 3)

2

)

6 3 2 4 3 1 1

3 4

3 4

2

A Pengertian Barisan dan Deret Bilangan Pada pembahasan kali ini anda akan mengetahui perbedaan antara barisan bilangan dan deret bilangan. Pelajari pembahasan berikut dengan baik.

1. Barisan Bilangan Sebelum mempelajari barisan bilangan, pelajarilah ilustrasi berikut. Andi dan Sandi adalah dua orang yang berprofesi sebagai salesman di sebuah perusahaan produk alat-alat rumah tangga. Keduanya biasa menjual atau menawarkan barang dagangannya secaradoortodoorlangsungmendatangirumahcalonkonsumennya. Suatu hari pada rumah-rumah yang terletak di Jalan Delima, mereka berdua berbagi tugas. Andi memasarkan produk di sisi Utara, sedangkan Sandi memasarkan di sisi Selatan. Andi

1

3

Kata Kunci • • • • •

pola bilangan barisan bilangan deret bilngan barisan konvergen barisan divergen

5

Jalan Delima U Sandi 2

4

6

SecarakebetulanAndimendatangirumah-rumahbernomor 1, 3, 5,...dan seterusnya. Adapun Sandi mendatangi rumahrumah bernomor 2, 4, 6,...dan seterusnya. Nomor-nomor rumah yang didatangi Andi dan Sandi dapat dituliskan dalam urutan bilangan berikut. Nomor rumah yang didatangi Andi :1, 3, 5,... Nomor rumah yang didatangi Sandi : 2, 4, 6,... Selanjutnya, nomor-nomor rumah yang didatangi Andi disebut urutan bilangan (1) dan nomor-nomor rumah yang didatangi Sandi disebut urutan bilangan (2). Oleh karena itu, dapat dituliskan: urutan bilangan (1) : 1, 3, 5,... urutan bilangan (2) : 2, 4, 6,... Coba Anda perhatikan. Jika Andi telah mendatangi rumah nomor 5 dan kemudian ia melanjutkan ke rumah di sebelahnya, dapatkah Anda menyebutkan nomor rumah bernomor yang didatangi Andi?


87

Untuk menjawabnya, Anda harus menemukan pola atau aturan dari urutan bilangan (1). Dapatkah Anda menemukan polanya? Secara intuitif Anda dapat melihat polanya, yaitu "ditambah 2" Perhatikanlah pola urutan bilangan berikut. 1, 3, 5, … Gambar 3.1 Nomor rumah di perumahan membentuk barisan bilangan. Sebelah kanan membentuk barisan bilangan ganjil 1, 3, 5, ..., dan sebelah kiri membentuk barisan bilangan genap 2, 4, 6, ....

+2

+2

+2

Bilangan 1, 3, dan 5 terletak pada urutan ke-1, 2, dan 3. Bilangan yang terletak pada urutan ke-2 merupakan hasil penjumlahan dari bilangan yang terletak pada urutan ke-1 dengan 2, demikian juga bilangan yang terletak pada urutan ke-3 merupakan hasil penjumlahan dari bilangan yang terletak pada urutan ke-2 dengan 2. Setelah Anda menemukan pola urutan bilangan (1) maka rumah yang didatangi Andi setelah ia mendatangi rumah nomor 5 adalah rumah bernomor 5 + 2 = 7. Dalam matematika, urutan bilangan yang memiliki pola disebut barisan bilangan. Untuk lebih jelasnya, pelajarilah pengertian barisan bilangan berikut. Barisan bilangan didefinisikan sebagai susunan bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu antara satu bilangan dengan bilangan berikutnya. Dalam pembahasan mengenai barisan bilangan, dikenal istilah suku. Istilah suku di sini tidak sama dengan istilah suku dalam ilmu-ilmu sosial atau budaya yang merujuk pada pengertian etnis atau ras. Untuk memahami istilah suku dalam konsep barisan bilangan, coba Anda perhatikan kembali urutan bilangan (1). Pada urutan bilangan (1), angka 1, 3, dan 5 masing-masing terletak pada urutan ke-1, 2, dan 3. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa 1 merupakan suku ke-1, 3 merupakan suku ke-2, dan 5 merupakan suku ke-3 dari urutan bilangan (1). Dalam konsep barisan bilangan, suku ke-n disimbolkan dengan Un. Dengan demikian, pada barisan bilangan 1, 3, 5,... dapat dituliskan U1= 1, U2= 3, dan U3= 5. Contoh Soal 3.1 Ana seorang Manajer di sebuah perusahaan elektronika. Ia mendapat tugas dari atasannya untuk menjadi panitia dalam acara seminar mengenai "Strategi Pemasaran Barang-Barang Elektronika". Dalam ruang seminar itu, kursi-kursi para peserta disusun seperti pada gambar berikut.

88


Baris ke-n

dan seterusnya

Baris ke-2 Baris ke-1

Berdasarkan ilustrasi tersebut tentukan: a. Jika pada barisan terakhir terdiri atas 15 kursi, tentukan jumlah barisan yang disusun dalam ruangan tersebut. b. Jika untuk tamu undangan diperlukan tambahan 2 baris kursi maka tentukan jumlah tamu undangan tersebut. Jawab: a. Jumlah kursi yang disusun pada masing-masing barisan dalam ruang seminar adalah sebagai berikut. baris ke-1 = 3 kursi baris ke-2 = 5 kursi baris ke-3 = 7 kursi Jika Anda cermati, ternyata untuk setiap barisnya jumlah kursi bertambah dengan pola "ditambah 2", berarti jumlah kursi pada setiap barisnya, dapat disusun menggunakan barisan bilangan berikut. 3, 5, 7, 9, 11, 13,15 Pada barisan tersebut, angka 15 terdapat pada suku ke-7, berarti jumlah barisan yang disusun pada ruangan tersebut terdapat 7 baris. b. Jumlah tamu undangan dapat dihitung dari jumlah kursi dari 2 baris terakhir, yaitu baris ke-8 dan ke-9. Dengan melihat pola barisan bilangan yang menyatakan jumlah kursi pada setiap baris pada soal a dan kemudian ditambah 2 suku maka diperoleh barisan bilangan berikut. 3, 5, 7, 9, 11, 13,15, 17, 19

dua suku tambahan

Gambar 3.2 Jumlah kursi pada setiap baris di ruangan seminar dapat membentuk barisan bilangan.

Berdasarkan barisan bilangan di atas, diperoleh jumlah suku ke-8 dan ke-9 besarnya adalah U8 + U9 = 17 + 19 = 36. Jadi, jumlah tamu undangan adalah 36 orang.


89

Tugas Siswa 3.1 Cermati kembali ilustrasi mengenai Andi dan Sandi pada awal Bab 3 ini, diskusikan dengan kelompok, Anda kemudian jawablah pertanyaan berikut. 1. Jika Andi ditugaskan oleh supervisornya untuk memasarkan produknya untuk 15 rumah dan Sandi ditugaskan untuk 20 rumah, tentukan nomor rumah terakhir yang didatangi oleh Andi dan Sandi. 2. Saat Andi selesai mendatangi rumah nomor 15, ia merasakan telepon selularnya bergetar dan ternyata SMS dari Sandi masuk. SMS itu berbunyi "Andi kamu telah mendatangi berapa rumah? Aku sudah sampai di rumah nomor 30". Dapatkah Anda membantu Andi menjawab SMS dari Sandi, dan apa jawaban yang tepat? 3. Lihat kembali tugas nomor 2, berapakah jumlah rumah yang telah didatangi Sandi saat ia kirim SMS untuk Andi?

Contoh Soal 3.2 Pak Sanusi adalah seorang direktur perusahaan garmen nasional. Untuk memprediksi prospek keuntungan perusahaannya empat tahun ke depan, ia menggunakan jasa konsultan keuangan. Aspek-aspek yang menjadi pertimbangan ada dua macam, yaitu aspek dalam perusahaan dan aspek di luar perusahaan. Aspek dalam perusahaan meliputi kualitas SDM, sistem manajemen, dan kondisi neraca keuangan perusahaan. Aspek di luar perusahaan seperti tingkat inflasi, angka pertumbuhan penduduk, situasi politik regional, dan trend yang berlaku di masyarakat. Hasil prediksinya adalah sebagai berikut.

Gambar 3.3 Keuntungan perusahaan garmen dapat diprediksi dengan menggunakan konsep barisan bilangan.

90

Tahun

2008

2009

2010

2011

Prediksi Keuntungan (dalam milyar rupiah)

5

6

11

17

Jika Anda bekerja di perusahaan garmen tersebut dan menempati posisi sebagai akuntan keuangan, kemudian Anda mendapat tugas dari Pak Sanusi untuk memprediksi keuntungan perusahaan pada tahun 2012 dan 2013, dapatkah Anda menjawabnya? Jawab: Keuntungan perusahaan garmen dari tahun 2008 hingga 2011 dapat ditulis dalam urutan bilangan 5, 6, 11, 17, …(1) Perhatikan urutan bilangan tersebut. Ternyata memiliki pola yang dapat dinyatakan sebagai berikut. U1 + U2 = U3 Æ 5 + 6 = 11 U2 + U3 = U4 Æ 6 + 11 = 17


Berarti urutan bilangan (1) tersebut merupakan barisan bilangan karena memiliki pola tertentu. CobaAndaamati,keuntunganperusahaanpadatahun2012merupakan suku ke-5 dari barisan bilangan (1) dan keuntungan perusahaan pada tahun 2013 merupakan suku ke-6, U5 dan U6 dihitung dengan cara berikut. U3 + U4 = U5 ﬁ 11 + 17 = 28 Berarti, keuntungan perusahaan pada tahun 2012 besarnya adalah 28 milyar rupiah. Dengan menambahkan U5 pada barisan bilangan (1), diperoleh barisan bilangan berikut. 5, 6, 11, 17, 28, …(2) U6 diperoleh dengan perhitungan berikut U4 + U5 = U6 ﬁ 17 + 28 = 45, Jadi, keuntungan perusahaan pada tahun 2013 adalah 45 milyar rupiah.

Tugas Siswa 3.2 Coba Anda cermati kembali Contoh Soal 3.2. Misalkan, hasil penelitian konsultan keuangan mengenai prediksi keuntungan perusahaan garmen dalam 4 tahun mendatang seperti tabel berikut, Tahun

2008

2009

2010

2011

Prediksi Keuntungan (dalam milyar rupiah)

3

5

12

24

Diskusikanlah dengan kelompok Anda untuk memprediksikan keuntungan perusahaan pada tahun 2012 dan 2015.

Notes • 1, 2, 3, 4, 5,... dinamakan barisan bilangan asli • 2, 4, 6, 8,10,... dinamakan barisan bilangan asli genap • 1, 3, 6, 10, 15,... dinamakan barisan bilangan segitiga • 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... dinamakan barisan bilangan fibonacci • 1, 4, 9, 16, 25,... dinamakan barisan persegi • 2, 3, 5, 7, 11,... dinamakan barisan bilangan prima Dapatkah Anda temukan pola barisan-barisan tersebut?

2. Deret Bilangan Coba Anda cermati kembali Contoh Soal 3.1. Jumlah kursi pada setiap barisnya dalam ruang seminar tersebut dapat dinyatakan dengan barisan bilangan 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, .... Urutan tersebut merupakan barisan bilangan karena memiliki pola, yaitu "ditambah 2". Pada pembahasan kali ini, Anda akan diperkenalkan dengan konsep deret bilangan. Deret bilangan merupakan jumlah beruntun dari suku-suku suatu barisan bilangan. Berarti, deret bilangan dari barisan 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,... adalah 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + .... Jika dalam ruang seminar pada Contoh Soal 3.1, terdapat 7 baris kursi maka


91

Jelajah

Matematika

jumlah seluruh kursi dalam ruang seminar tersebut dapat dihitung dengan cara: 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 63 Selanjutnya, diperoleh jumlah seluruh kursi dalam ruang seminar tersebut adalah 63 buah. Hasil penjumlahan 7 suku pada suatu deret disimbolkan dengan S7 maka pada deret 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 +.... diperoleh S7 = 63. Uraian tersebut memperjelas definisi deret berikut. Jika U1, U2, U3, …, Un merupakan suku-suku suatu barisan maka U1 + U2 + U3 + … + Un dinamakan deret. Disimbolkan dengan Sn. Jadi, U1+ U2 + U3 + …+ Un = Sn

Fibonacci (1170–1250) Leonardo dari Pisa adalah orang yang mengenalkan angka nol ke dunia Barat. Anak muda yang lebih dikenal dengan nama Fibonacci ini belajar matematika dari orang-orang islam dan menjadi matematikawan jenius dengan autodidak. Ia menemukan deret bilangan yang diberi nama seperti namanya, deret Fibonacci, yaitu 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, … Sumber: Ensiklopedi Matematika,2008

Berikut dapat dilihat beberapa contoh deret. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 dinamakan deret 6 bilangan asli pertama 2 + 3 + 5 + 7 + 11 dinamakan deret 5 bilangan prima pertama 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 +12 dinamakan deret 7 bilangan genap pertama.

Tugas Siswa 3.3 Perhatikan deret bilangan asli, deret bilangan prima, dan deret bilangan genap pada uraian di atas. Kemudian, tentukanlah S10 dari masing-masing deret tersebut.

Untuk lebih memahami konsep deret bilangan, pelajari Contoh Soal 3.3 berikut dengan baik. Contoh Soal 3.3 Ani seorang staf di bagian personalia pada suatu perusahaan BUMN. Ia mendapat kepercayaan untuk menjadi ketua panitia pada hari ulang tahun ke-30 perusahaan tersebut. Peserta upacara pada hari ulang tahun perusahaan itu akan berbaris seperti gambar berikut.

….

Kelompok 1 Kelompok 2 Kelompok 3 Kelompok 4 Terdiri atas 7 kelompok

Tentukan jumlah peserta upacara yang harus dipersiapkan Ani.

92


Jawab: Jumlah peserta pada setiap kelompok dapat dinyatakan dengan barisan bilangan 1, 4, 9, 16, .... Oleh karena barisan upacara itu terdiri atas 7 kelompok maka harus ditentukan jumlah peserta pada kelompok 5 hingga 7, dengan menentukan pola bilangan pada barisan tersebut terlebih dahulu, yaitu: U1 = 1 maka 12 = 1 diperoleh U1 = 12 U2 = 4 maka 22 = 4 diperoleh U2 = 22 U3 = 9 maka 32 = 9 diperoleh U3 = 32 U4 = 16 maka 42 = 16 diperoleh U4 = 42 Berdasarkan uraian tersebut, diperoleh pola bilangan Un = n2 sehingga diperoleh: U5 = 52 = 25 U6 = 62 = 36 U7 = 72 = 49 Oleh karena urutan bilangan tersebut memiliki pola maka urutan bilangan itu merupakan barisan bilangan. Jadi, jumlah seluruh peserta upacara adalah 1 orang + 4 orang + 9 orang + 16 orang + 25 orang + 36 orang + 49 orang = 140 orang.

Contoh Soal 3.4 Biro Pusat Statistik memperkirakan bahwa angka kelahiran bayi di desa Suka Senang setiap bulannya, dari bulan Januari hingga Desember, selama tahun 2008 dapat dinyatakan dengan barisan bilangan 2, 6, 18,…. Nilai suku ke-1, ke-2, sampai ke-12 menyatakan jumlah bayi yang lahir pada bulan Januari, Februari, sampai Desember. Berdasarkan ilustrasi tersebut, a. temukan pola barisan bilangan 2, 6, 18,…dan tentukan pula nilai suku ke-4 sampai suku ke-6, b. tentukan jumlah seluruh kelahiran hingga bulan Juni. Jawab: a. Perhatikan barisan bilangan 2, 6, 18, … Nilai suku ke-2 barisan bilangan tersebut sama dengan hasil perkalian nilai suku ke-1 dengan 3. Demikian juga nilai suku ke-3 adalah hasil perkalian nilai suku ke-2 dengan 3. U1 = 2 U2 = 2 ¥ 3 = 6 U3 = 6 ¥ 3 = 18 Berdasarkan uraian tersebut, nilai U4, U5, dan U6 barisan bilangan tersebut dapat diperoleh dengan perhitungan berikut. U4 = 18 ¥ 3 = 54 U5 = 54 ¥ 3 = 162 U6 = 162 ¥ 3 = 486


93

b.

Kelahiran bayi pada bulan Januari sampai dengan Juni membentuk barisan bilangan 2, 6, 18, 54, 162, 486. Jadi, jumlah seluruh kelahiran bayi dari bulan Januari hingga Juni besarnya adalah 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 = 728 kelahiran.

Tugas Siswa 3.4 Lakukan tugas ini secara bekelompok. Datangilah kantor kelurahan atau kecamatan di tempat tinggalmu, kemudian mintalah data tentang jumlah seluruh angka kelahiran bayi dari tahun 1995 hingga tahun 2007. Dari data tersebut, dapatkah Anda menemukan polanya?. Kemudian prediksilah jumlah kelahiran dari tahun 2008 hingga 2012, dan hitunglah seluruh kelahiran dari tahun 2008 hingga 2012.

Evaluasi Materi 3.1 Kerjakan soal-soal berikut di buku latihan Anda. 1. 2.

3. 4.

94

Tentukan pola barisan berikut, kemudian tentukanlah U6, U8, dan U10 dari masing-masing barisan. a. –6, 2, 10, 18, … c. 9, 2, –5, –12, … b. –1, 3, 8, 14, … d. 3, 1, –4, –8, … Tentukanlah U5, U7, dan U10 dari pola-pola bilangan berikut. a. Un = 2n + 3 c. Un = n2 + 2n b. Un = 3n – 5 d. Un = 7n – n2 Buatlah deret 10 suku pertama dari suku-suku barisan pada soal nomor 1. Tentukanlah nilai S10 dari deret tersebut. Data kelahiran bayi di Kecamatan Rukun Makmur selama tahun 2000 sampai 2007 dapat dinyatakan dengan barisan berikut. 40 bayi, 80 bayi, 160 bayi, ... Berdasarkan ilustrasi tersebut, jawablah per tanyaan berikut. a. Tentukanlah pola barisan yang menyata kan angka kelahiran bayi di Kecamatan Rukun Makmur.

5.


b.

Tentukan angka kelahiran bayi pada tahun 2006 dan 2007. c. Tentukan jumlah seluruh bayi yang lahir dari tahun 2000 hingga 2007. Data nilai ekspor dari perusahaan bisnis adalah sebagai berikut. Tahun

Nilai Ekspor (dalam milyar rupiah)

2002

3

2003

4

2004

6

2005

9

2006

13

2007

18

2008

…

2009

…

Berdasarkan ilustrasi tersebut, jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut.

a.

Jika nilai ekspor dari tahun 2002 hingga 2007membentuksuatubarisanbilangan maka tentukan pola barisan bilangan tersebut

b.

Prediksilah nilai ekspor perusahaan pada tahun 2008 dan 2009. c. Hitunglah jumlah prediksi nilai ekpor perusahaan tersebut dari tahun 2002 sampai dengan tahun 2010.

B Barisan dan Deret Aritmetika Secara umum, Anda telah mempelajari perbedaan antara barisan dan deret bilangan pada Subbab A. Pada Subbab ini, Anda akan mempelajari barisan dan deret yang khusus, yaitu barisan dan deret aritmetika. Pelajarilah uraian berikut dengan baik.

Kata Kunci • barisan aritmetika • deret aritmetika

1. Barisan Aritmetika Ciri barisan aritmetika adalah antara bilangan pada sukusuku yang berdampingan memiliki selisih atau beda yang tetap. Perhatikan barisan berikut. (i) 0, 2, 4, 6,… (ii) 8, 5, 2, –1, –4,… JikaAndacermati,setiapsuku-sukuyangberdampinganpada barisan bilangan (i) selalu memiliki beda yang tetap, yaitu 2. 2 – 0 = 4 – 2 = 6 – 4 = 2. Secara umum, dapat ditulis sebagai berikut. U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = Un – Un – 1 = b Pada barisan aritmetika, beda disimbolkan dengan , dan suku ke-1 yaitu U1 disimbolkan dengan a. Berdasarkan uraian tersebut, ciri barisan aritmetika adalah sebagai berikut. Un – Un –1 = b Rumus suku ke-n dinyatakan dengan persamaan: Un = a + (n – 1)b Barisan (i) memiliki a = 0, dan b = 2. Suku-suku pada barisan itu dapat dinyatakan sebagai berikut. U1 = 0 + (1 – 1) ◊ 2 = 0 U2 = 0 + (2 – 1) ◊ 2 = 2 U3 = 0 + (3 – 1) ◊ 2 = 4 U4 = 0 + (4 – 1) ◊ 2 = 6


95

Soal Pilihan Seorang ayah membagikan uang sebesar Rp100.000,00 kepada 4 orang anaknya. Makin muda usia anak, makin kecil uang yang diterima. Selisih yang diterima oleh setiap dua anak yang usianya berdekatan adalah Rp5000,00. Tentukan jumlah uang yang diterima oleh si bungsu.

maka diperoleh rumus suku ke-n pada barisan (i) adalah sebagai berikut. Un = a + (n – 1)b Un = 0 + (n – 1) ◊ 2 Un = 0 + 2n – 2 Un = 2n – 2

Tugas Siswa 3.5 Lihat kembali barisan (ii) pada uraian di atas. Tentukanlah rumus suku ke-n pada barisan (ii) dan tentukan bilangan yang merupakan suku ke-20 pada barisan (ii).

UAN, 2003

Konsep barisan aritmetika dapat diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari. Pelajarilah Contoh Soal 3.5 berikut agar Anda dapat memahaminya dengan baik. Contoh Soal 3.5 AndimembukarekeningtabungandisebuahBank.Padabulanpertama, ia menyetor uang Rp100.000,00. Jumlah setoran akan ia naikkan sebesar Rp 20.000,00 dari setiap bulan sebelumnya. Tentukan: a. besar setoran Andi pada bulan ke-10, b. pada bulan ke berapakah jumlah setoran Andi Rp 340.000,00?

Sumber : www.ebizzasia.com

Gambar 3.4 Jika tabungan awal diketahui dan jumlah perubahan tabungan konstan setiap bulannya maka bulan ke-n dapat ditentukan dengan menggunakan barisan aritmetika.

96

Jawab: a. Jumlah setoran Andi setiap bulannya dapat dituliskan dengan barisan berikut. 100.000, 120.000, 140.000, … Setoran bulan ke-1 Setoran bulan ke-2

Setoran bulan ke-3

Barisan tersebut merupakan barisan aritmetika karena beda setiap suku yang bersebelahan besarnya tetap. Setoran pada bulan ke-1 = a = 100.000 Kenaikkan setoran setiap bulannya = b = 20.000 Setoran pada bulan ke-10 menyatakan suku ke-10 atau U10 dari barisan tersebut. Dengan menggunakan rumus suku ke-n; diperoleh Un = a + (n – 1) ◊ b U10 = 100.000 + (10 – 1) ◊ 20.000 U10 = 100.000 + 9 ◊ 20.000 U10 = 100.000 + 180.000 U10 = 280.000 Jadi, setoran Andi pada bulan ke-10 besarnya adalah Rp 280.000,00


b.

Pada bulan ke-n, setoran Andi sebesar Rp340.000, berarti diperoleh persamaan sebagai berikut. Un = 340.000 ...(1) Un = a + (n – 1) ◊ b = 100.000 + (n – 1) 20.000 ...(2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh 340.000 = 100.000 + (n – 1) 20.000 340.000 – 100.000 = 20.000 (n – 1) 240.000 = 20.000 (n – 1) 240.000 n–1= 20.000 n – 1 = 12

n – 1 = 13 Jadi, setoran Andi pada bulan ke-13 besarnya Rp340.000,00.

Untuk lebih memahami konsep barisan aritmetika pelajarilah Contoh Soal 3.6 berikut. Contoh Soal 3.6 Ayu seorang staf personalia di sebuah perusahaan manufaktur. Ia mendapat tugas dari manajer untuk membuat laporan mengenai jumlah surat lamaran yang masuk ke perusahaan tersebut dari tahun 1999 sampai tahun 2006. Akan tetapi, catatan tersebut hilang. Ia hanya mengingat bahwa jumlah surat lamaran setiap tahun dari tahun 1999 sampai tahun 2006 membentuk suatu barisan aritmetika, jumlah pelamar pada tahun 2001 dan tahun 2005 besarnya masing-masing adalah 110 dan 210. Berdasarkan ilustrasi tersebut, tentukan jumlah pelamar setiap tahunnya dari tahun 1999 sampai tahun 2006. Jawab: Jika jumlah pelamar setiap tahun membentuk suatu barisan aritmetika, berarti jumlah pelamar pada tahun 1999 merupakan suku ke-1, jumlah pelamar pada tahun 2000 merupakan suku ke-2, dan seterusnya. Oleh karena, jumlah pelamar pada tahun 2001 dan 2005 merupakan suku ke-3 dan suku ke-7 dari barisan aritmetika tersebut. Oleh karena rumus suku ke-n barisan aritmetika adalah Un = a + (n – 1)b maka diperoleh U3 = a + (3 – 1)b = a + 2b Oleh karena U3 = 110 maka a + 2b = 110 …(1), dan U7 = a + (7 – 1)b = a + 6b, Oleh karena U7 = 210 maka a + 6b = 210 …(2). Untuk memperoleh beda (b) dari deret aritmetika, dapat digunakan cara substitusi berikut. Dari persamaan (1), diperoleh a + 2b = 110 ¤ a = 110 – 26 …(3) Subtitusi persamaan (3) pada persamaan (2), diperoleh (110 – 2b + 6b )= 210 110 + 4b = 210 110 + 4b = 210

Soal Pilihan Buatlah 5 contoh barisan aritmetika selain contoh yang sudah ada. Dari ke- 5 contoh tersebut, tentukan pula rumus jumlah suku n pertamanya


97

4b = 210 – 110 210 110 100 b= =25 = 4 4 Kemudian, untuk memperoleh U1 = a substitusi b = 25 pada persamaan (3) sehingga diperoleh a = 110 – 2 (25) = 110 – 50 = 60 Jadi, suku pertama deret tersebut adalah 60. Berdasarkan hasil perhitungan tersebut, diperoleh barisan aritmetika yang menyatakan jumlah pelamar dari tahun 1999 hingga tahun 2006 adalah sebagai berikut. 60 orang, 85 orang, 110 orang, 135 orang, 160 orang, 185 orang, 210 orang.

2. Deret Aritmetika Coba Anda lihat kembali Contoh Soal 3.3 pada pembahasan sebelumnya. Jika ditanyakan "berapakah besar setoran Andi seluruhnya selama 10 bulan pertama?" maka jawabannya adalah deret berikut: S10= 100.000 + 120.000 + 140.000 + … + 280.000

Setoran bulan ke-1

Setoran bulan ke-10

Deret tersebut merupakan deret aritmetika karena setiap sukunya memiliki perbedaan tetap. Deret tersebut menyatakan jumlah 10 suku pertama, disimbolkan dengan S10. Pada pembahasan sebelumnya, Anda telah mengetahui bahwa jumlah n suku pertama dari suatu deret disimbolkan dengan Sn. Jumlah n suku pertama deret aritmetika dapat diperoleh dengan persaman berikut. n Sn = (a + Un) atau 2 n Sn = (2a + (n – 1) b) 2 Keterangan: n = banyak suku, a = suku pertama, dan b = beda Jumlah total setoran Andi selama 10 bulan pertama dapat dihitung dengan perhitungan berikut. n Sn = (2a + (n – 1)b) 2 di mana n = 10, a = 100.000, dan b = 20.000 sehingga diperoleh

98


10 (2 ◊ 100.000 + (10 – 1) ◊ 20.000 2 S10 = 5 ◊ (200.000 + 9 ◊ 20.000) S10 = 5 ◊ (200.000 + 180.000) S10 = 5 ◊ (380.000) S10 = 1.900.000 Berdasarkan perhitungan tersebut, diperoleh besar setoran Andi selama 10 bulan adalah Rp1.900.000,00. Untuk jumlah suku yang tidak banyak, dapat dihitung dengan cara berikut: 100.000 + 120.000 + 140.000 + 160.000 + 180.000 + 200.000 + 220.000 + 240.000 + 260.000 + 280.000 = 1.900.000 Diperoleh hasil yang sama, tetapi untuk n yang cukup besar cara ini akan memakan waktu lama. Uraian tersebut S10 =

Soal Pilihan Keuntungan seorang pedagang bertambah setiap bulan dengan jumlah yang sama. Keuntungan sampai bulan keempat Rp30.000,00 dan sampai bulan kedelapan Rp172.000,00. Tentukan keuntungan pedagang itu sampai bulan ke-18. UMPTN, 1998

memperjelas definisi deret aritmetika berikut. Jika U1, U2, U3, … Un merupakan suku-suku barisan aritmetika, maka U1 + U2 + U3… + Un dinamakan deret Contoh Soal 3.7 Jumlah angka kelahiran bayi di desa Sukamaju pada 1995 banyaknya 1.000 orang per tahun. Biro Pusat Statistik (BPS) memperkirakan bahwa jumlah kelahiran bayi pada tahun-tahun berikutnya akan meningkat 200 orang dari tahun sebelumnya. Berdasarkan perkiraan BPS tersebut, tentukan: a. jumlah bayi yang lahir pada tahun 2007, b. jumlah seluruh kelahiran bayi dari tahun 1995 hingga tahun 2005, c. jumlah seluruh kelahiran bayi dari tahun 2000 hingga tahun 2005. Jawab: a. Jumlah bayi yang lahir setiap tahun di desa Sukamaju dapat ditulis dalam barisan aritmetika berikut. 1.000, 1.200, 1.400, … Bayi yang lahir pada tahun 1995

Sumber : images.diniauliya. multiply.com

Gambar 3.5 Jumlah angka kelahiran dari tahun ke tahun dapat ditentukan dengan konsep barisan dan deret aritmetika.

Bayi yang lahir pada tahun 1996

Bayi yang lahir pada tahun 1997

Bayi yang lahir pada tahun 1995 = a = 1.000 Kenaikan jumlah kelahiran bayi tiap tahun = b = 200 Bayi yang lahir pada tahun 2007 merupakan suku ke-13 dari barisan aritmetika tersebut. Berarti, bayi yang lahir pada tahun 2007 = U13 dan n = 13 Dengan menggunakan rumus suku ke-n: Un = a + (n – 1) ◊ b, diperoleh


99

Solusi Cerdas Suatu perusahan pada tahun pertama memproduksi 5.000 unit barang. Pada tahun-tahun berikutnya produksinya turun secara tetap sebesar 80 unit per tahun. Produksi 3.000 unit barang terjadi pada tahun ke …. a. 24 b. 25 c. 26 d. 27 e. 28 Jawab U1 = 5.000 b = 80 Un = 3.000 Un = a + (n – 1) b 3.000 = 5.000 + (n – 1) (–80) –2.000 = –80 n + 80 = –80 n 2 . 080 n = = 26 80

U13 = 1.000 + (13 – 1)·200 U13 = 1.000 + 12·200 U13 = 1.000 + 2.400 U13 = 3.400 Jadi, jumlah kelahiran bayi pada tahun 2007 adalah 3.400 orang. Dari tahun 1995 sampai tahun 2005 terdiri atas 11 suku. Jumlah seluruh bayi yang lahir dari tahun 1995 hingga tahun 2005, adalah S11 dengan a = 1.000, b = 200, dan n = 11. Dengan menggunakan rumus jumlah n suku pertama dari deret aritmetika, diperoleh n Sn = (2a + (n – 1)b) 2 11 S11 = (2 ◊ 1.000 + (11 – 1) ◊ 200) 2 11 S11 = (2.000 + (10) ◊ 200) 2 11 S11 = (2.000 + 2.000) 2 11 S11 = (4.000) 2 S11 = 22.000

c.

Jadi, jumlah seluruh bayi yang lahir dari tahun 1995 hingga tahun 2005 adalah 22.000 orang. Jumlah seluruh kelahiran bayi dari tahun 2000 hingga tahun 2005 dapatdihitungdenganmenjumlahseluruhkelahiranbayidaritahun 1995 sampai dengan tahun 2005. Kemudian, dikurangi jumlah seluruh kelahiran bayi dari tahun 1995 sampai tahun 2000.

b.

Jawaban: c

UAN SMK, 2002

1995 U1

2000 U6

Jumlah bayi yang lahir dari tahun 2000 hingga tahun 2005 = S11 – S6

2005 U11

Jumlah bayi yang lahir dari tahun 1995 hingaga tahun 2000 = S6 Jumlah bayi yang lahir dari tahun 1995 hingga tahun 2005 = S11

100

Jumlah seluruh kelahiran bayi dari tahun 2000 hingga tahun 2005 adalah S11 – S6, di mana S11 = 22.000

S6 =

6 (2 · 1.000 + (6 – 1) -200) 2

= 3 (2.000 + 1.000)

= 9.000


sehingga = 22.000 – 9.000 = 12.000 Jadi, jumlah kelahiran bayi dari tahun 2000 hingga tahun 2005 adalah 12.000 orang.

Contoh Soal 3.8 Diperoleh data mengenai jumlah karyawan baru yang diterima oleh suatu perusahaan dari tahun 1997 sampai tahun 2006. Ternyata data tersebut membentuk suatu barisan aritmetika. Diketahui jumlah seluruh karyawan yang diterima selama kurun waktu dari tahun 1997 sampai tahun 2006 berjumlah 325 orang, dan jumlah karyawan yang diterima pada tahun 2000 adalah 25 orang. Tentukanlah: a. jumlah karyawan yang diterima perusahaan tersebut pada tahun 2004, b. jumlah seluruh karyawan yang diterima perusahaan tersebut dalam kurun waktu tahun 2000 hingga 2006. Jawab: a. Jumlah karyawan yang diterima oleh perusahaan tersebut dari tahun 1997 sampai tahun 2006 dapat dinyatakan dengan barisan bilangan berikut. U1, U2, U3, …, U10 ….

1997 1998 …

Oleh karena dari tahun 1997 sampai tahun 2006 terdiri atas 10 suku maka jumlah seluruh karyawan yang diterima oleh perusahaan tersebut dari tahun 1997 hingga tahun 2006 merupakan deret 10 suku pertamanya, yaitu U1 + U2 + U3 + ... + U10 = 325 S10 = 325 Dengan mengingat rumus jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika n Sn = (2a + (n – 1) b) maka diperoleh persamaan berikut. 2 10 S10 = (2a + (10 – 1)b) 2 325 = 5(2a + 9b) 325 = 10a + 45b …(1) Persamaan lainnya dapat diformulasikan dari keterangan bahwa jumlah karyawan yang diterima pada tahun 2000 adalah 25 orang. Jumlah karyawan yang diterima pada tahun 2000 merupakan suku ke-4 dari barisan maka dengan rumus Un = a + (n – 1)b, diperoleh persamaan U4 = a + (4 – 1)b U4 = a + 3b 25 = a + 3b …(2) Barisan dan Deret Bilangan

101

Dari persamaan (2), diperoleh 25 = a + 3b ¤ a = 25 – 3b …(3) Substitusi persamaan (3) pada persamaan (1), diperoleh persamaan berikut. 325 = 10( 25 – 3b) + 45b 325 = 250 – 30b + 45b 325 – 250 = 15b 75 = 15b 75 b= =5 15 Jadi, diperoleh beda barisan aritmetika tersebut adalah b = 5. Untuk memperoleh nilai a = U1, substitusi b = 5 pada persamaan (3), diperoleh a = 25 – 3(5) a = 25 – 15 a = 10 Jumlah karyawan yang diterima perusahaan tersebut pada tahun 2004 merupakan suku ke-8 maka diperoleh U8 = a + (8 – 1)b = 10 + (7)◊ 5 = 10 + 35 = 45. Jadi, jumlah karyawan yang diterima perusahaan tersebut pada tahun 2004 adalah 45 orang. b. Jumlah seluruh karyawan yang diterima pada tahun 2000 sampai tahun2006dapatdihitungdenganmengurangkanjumlahseluruh karyawan yang diterima pada tahun 1997 sampai tahun 2006 dengan jumlah seluruh karyawan yang diterima pada tahun 1997 sampai tahun 1999. Karyawan yang diterima pada tahun 1997 sampai tahun 2006 adalah 325 orang dan yang diterima pada tahun 1997 sampai tahun 1999 merupakan penjumlahan deret 3 suku pertamanya. Dengan demikian, diperoleh 3 325 – S3 = 325 – (2(10) + (3 – 1) 5) 2 3 = 325 – (20 + 10) 2 = 325 – 45 = 280 Jadi, jumlah seluruh karyawan yang diterima pada tahun 2000 sampai tahun 2006 ada 280 orang.

Evaluasi Materi 3.2 Kerjakan soal-soal berikut di buku latihan Anda. 1.

102

Perhatikan barisan aritmetika berikut. i. 2, 7, 12, 17, … ii. –3, 5, 13, 21, …


iii. 12, 6, 0, –6, … iv. 2, –3, –8, –13, …

Jawablah pertanyaan berikut. a. Tentukan rumus suku ke-n dari barisanbarisan tersebut. (Petunjuk: tentukan dahulu nilai a dan b dari setiap barisan, kemudian substitusikan ke rumus Un) b. Tentukan suku ke 17 dari barisan i, suku ke-10 dari barisan ii, suku ke-9 dari barisan iii, dan suku ke 12 dari barisan iv. c. Pada barisan i, tentukan nilai n jika Un = 77. d. Pada barisan ii, tentukan nilai n jika Un = 93 e. Pada barisan iii, tentukan nilai n jika Un = –108 f. Pada barisan iv, tentukan nilai n jika Un = 48 g. Tentukan jumlah 10 suku pertama pada barisan i. h. Tentukan jumlah 20 suku pertama pada barisan ii. i. Tentukan jumlah 15 suku pertama pada barisan iii. j. Tentukan jumlah 10 suku pertama pada barisan iv. k. Tentukan hasil penjumlahan seluruh suku dari suku ke-5 hingga suku ke-12 pada barisan i. l. Tentukan hasil penjumlahan seluruh suku dari suku ke-10 hingga suku ke-15 pada barisan iv. 2. Tentukan banyaknya suku pada barisan aritmetika berikut ini. a. –4, 8, 20, …176 b. 10, 6, 2, -2, …, –70 c. 8, 23, 38, …, 158. 3. Tentukan hasil penjumlahan seluruh suku pada barisan a, b, dan c soal nomor 2. 4. PakBudimembukapeternakanayampadaawal tahun 2007. Mula-mula dipelihara 60 ekor ayam. Selama bulan Januari 2007, menetas 10 ekor ayam. Diprediksi jumlah ayam yang menetas setiap bulan akan bertambah 5 ekor dari bulan sebelumnya. Tentukan. a. jumlah ayam yang menetas pada bulan Februari 2008,

Sumber : www.goodexperience.co

5.

6.

b.

jumlah seluruh ayam yang menetas se lama tahun 2007, c. jumlah seluruh ayam yang dimiliki Pak Budi sampai Desember 2008, d. jumlah ayam yang menetas sepanjang tahun 2008. Berdasarkan sensus Departemen Sosial yang dilakukan di Kota X, berhasil diketahui bahwa jumlah seluruh penduduk yang hidup di bawah garis kemiskinan pada tahun 2000 adalah 576.000 jiwa. Setelah perbaikan ekonomi nasional, pada tahun 2001 jumlah penduduk miskin berkurang 1000 orang. Pengurangan jumlah penduduk miskin tersebut setiap tahun akan meningkat 2000 orang dari setiap tahun sebelumnya. Kapan seluruh penduduk kota X akan seluruhnya hidup di atas garis kemiskinan? Dalam suatu perusahaan terdapat 5 divisi. Divisi-divisi tersebut memiliki jumlah personel. Jika divisi-divisi tersebut diurutkan mulai dari yang jumlah personelnya paling sedikit ke jumlah personel yang makin banyak maka diperoleh urutan sebagai berikut: divisi personalia, divisi logistik, divisi keuangan, divisi pemasaran, dan divisi produksi. Setelah diurutkan, ternyata jumlah masingmasing personel dari setiap divisi tersebut membentuk barisan aritmetika. Jikadiketahuijumlahpersoneldivisikeuangan adalah 320 orang dan jumlah personel divisi pemasaran dan produksi adalah 820 orang, tentukan: a. jumlah seluruh personel divisi personalia dan divisi logistik. b. jumlah seluruh karyawan perusahaan tersebut.


103

C Barisan dan Deret Geometri Kata Kunci • barisan geometri • deret geometri • rasio

Pada subbab B, Anda telah mempelajari barisan aritmetika. Ciri barisan aritmetika memiliki beda yang sama. Pada subbab ini, Anda akan mempelajari barisan geometri. Apakah perbedaan antara barisan aritmetika dan barisan geometri? Pelajarilah uraian berikut.

1. Barisan Geometri Coba Anda perhatikan barisan berikut. a. 3, 9, 27, 81, ... b. 32, 18, 8, 4, ... Dari barisan a, dapat dilihat bahwa pada suku-suku yang berdekatan memiliki hasil bagi yang tetap, yaitu:

U2 9 = =3 U1 3

U 3 27 = =3 U2 9

U 4 81 = =3 U 3 27

Berdasarkan perhitungan tersebut, Anda dapat melihat bahwa hasil bagi pada barisan tersebut adalah 3. Barisan tersebut memiliki ciri tertentu, yaitu perbandingan dua suku berurutan memiliki nilai tetap (konstan). Barisan yang memiliki ciri seperti ini disebut barisan geometri. Perbedaan yang konstan itu disebut rasio. Uraian tersebut memperjelas bahwa barisan geometri memiliki ciri sebagai berikut. Un =r Un 1 dengan r merupakan rasio barisan geometri. Rasio pada barisan geometri dapat merupakan bilangan bulat (positif dan negatif ), dapat pula merupakan bilangan pecahan (positif dan negatif ). Coba Anda lihat barisan b pada pembahasan sebelumnya. Barisan tersebut memiliki urutan bilangan sebagai berikut. 32, 16, 8, 4, …

104


Rasio pada barisan tersebut adalah U r= n Un 1

r=

U2 U3 U4 = = U1 U 2 U 3

r=

16 8 4 = = 32 16 8

1 2 Coba Anda bandingkan barisan a dan barisan b pada pembahasan tersebut. Apa yang dapat Anda simpulkan? • Jika r > 1 maka semakin besar sukunya, bilangan juga semakin besar. • Jika r < 1 maka semakin besar sukunya, bilangan juga semakin kecil. Rumus suku ke-n barisan geometri dapat dinyatakan sebagai berikut. Un = a · rn – 1

r=

dengan a merupakan suku ke-1 dan r merupakan rasio bilangan. Dapatkah Anda menentukan rumus suku ke-n pada barisan a dan b ? Barisan a memiliki a = 3 dan r = 3 maka rumus suku ke-n barisan ini adalah Un = 3 · 3n – 1 Un = 31 · 3n · 3– 1 Un = 3n · 31–1 Un = 3n · 30 Un = 3n Jadi, rumus suku ke-n barisan 3, 9, 27, 81, ... 1 Barisan b memiliki a = 32 dan r = maka rumus suku ke-n barisan ini adalah sebagai berikut. 2

Solusi Cerdas Dari suatu barisan geometri diketahui suku ke-5 adalah 25 dan suku ke-7 adalah 625. Suku ke-3 barisan tersebut adalah …. 1 a. 25 1 b. 5 c. 0 d. 1 e. 5 Jawab U5 = 25 = ar4 …. (1) U7 = 625 = ar6 …. (2) Dari (1) dan (2) diperoleh ar6 625 2 ¤ r = 25 = 25 ar4 r =±5 Dari (1), diperoleh ar4 = a (5)4 = 25 a · 625 = 25 25 1 a = = 625 25 U3 = ar2 =

1 · (5)2 25 Jawaban: d

UAN SMK, 2003

1n 1 Un = 32 · 2 n

1

1 1 ◊ Un = 32 · 2 2 n

1 Un = 32 · .2 2 n 1 Un = 64 · 2 Barisan dan Deret Bilangan

105

Jadi, rumus suku ke-n barisan 32, 16, 8, 4, ... adalah n 1 Un = 64 . 2 Sekarang, coba Anda perhatikan uraian berikut. 1 1 • Bilangan pada suku ke-1 adalah U1 = 64 · 2 1 2

U1 = 64 ·

Search Ketik: www.e-dukasi.net/ mapok/barisan dan deret. Website ini memuat materi barisan dan deret, yang terdiri atas barisan dan deret aritmetika dan geometri. Selain itu, memuat latihan dan simulasi menggunakan animasi sehingga Anda dapat berlatih secara online.

U1 = 32 •

Bilangan pada suku ke-2 adalah

U2 = 64 · 1 4

U2 = 72 ·

U2 = 16 •

Bilangan pada suku ke-3 adalah U3 = 64 ·

U3 = 64 ·

U3 = 8

1 8

1 2

3

1 2

2

Contoh Soal 3.9 Berdasarkan penelitian Biro Pusat Statistik (BPS), pertumbuhan penduduk di kota A, selalu meningkat 3 kali dari tahun sebelumnya. Hasil sensus penduduk tahun 1998 menunjukkan jumlah penduduk di kota tersebut adalah 900.000 jiwa. Tentukan: a. barisan geometri yang menyatakan jumlah penduduk di kota A, mulai dari tahun 1998, b. jumlah penduduk di kota A pada tahun 2008 (menurut penelitian BPS). Jawab: a. Jumlah penduduk di kota A tahun 1998 = a = 900.000 Pertumbuhan penduduk meningkat 3 kali dari tahun sebelumnya, berarti rasio = 3 atau r = 3. Diperoleh barisan geometri sebagai berikut. 900.000, 2.700.000, 8.100.000, ….

106

×3

×3

Jadi, barisan geometri yang dimaksud adalah 900.000, 2.700.000, 8.100.000, ...


b. Jumlah penduduk tahun 1998 = 900.000 Æ suku ke-1 Jumlah penduduk tahun 1999 = 2.700.000 Æ suku ke-2 Jumlah penduduk tahun 2008 = …? Æ suku ke-11 Berdasarkan pembahasan pada soal a, diperoleh a = U1 = 900.000 r=3 diperoleh rumus suku ke-n sebagai berikut Un = arn – 1 Un = 900.000 · 3n – 1 3n n –1 Un = 900.000 · 3 ·3 3 Un = 300.000 · 3n Jumlah penduduk kota A tahun 2008 merupakan bilangan pada suku ke-11 dari barisan geometri sehingga diperoleh U11 = 300.000 ¥ 3 ¥ 11 U11 = 53.144.100.000 jiwa. Jadi, jumlah penduduk kota A pada tahun 2008 adalah 53.144.100.000 jiwa.

Contoh Soal 3.9 merupakan aplikasi dari barisan geometri. Contoh lain dari aplikasi barisan geometri dapat Anda pelajari pada Contoh Soal 3.10 berikut.

Sumber: dementad.com

Gambar 3.6 Jumlah penduduk di suatu kota dari tahun ke tahun dapat diprediksi menggunakan barisan dan deret geometri.

Contoh Soal 3.10 Biro Pusat statistik memperoleh data yang menyatakan bahwa jika angka pengangguran diurutkan mulai dari tahun 2002 hingga tahun 2007 maka terbentuk suatu barisan geometri. Diperoleh juga informasi bahwa angka pengangguran pada tahun 2004 adalah 2000 orang dan tahun 2006 adalah 8000 orang. Berdasarkan ilustrasi tersebut, tulislah barisan geometri yang menyatakan angka dari tahun 2002-tahun 2007. Jawab: Barisan geometri yang dimaksud adalah sebagai berikut. Angka pengangguran tahun 2002, pengangguran tahun 2003, pengangguran tahun 2004, pengangguran tahun 2005, pengangguran tahun 2006, pengangguran tahun 2007. Berdasarkan barisan geometri tersebut, diperoleh keterangan bahwa angka pengangguran pada tahun 2004 adalah 2000, merupakan suku ke-3 atau dituliskan U3 = 2000. Dengan memperhatikan bahwa rumus suku ke-n pada barisan geometri dapat ditulis sebagai Un = a.rn–1, maka diperoleh,


107

Search Ketik: http://bebas_ vism.org/v12/ sponsor/sponsor. pendamping/ praweda/ matematika Bunga majemuk merupakan salah satu aplikasi deret geometri. Website ini memuat rumus bunga majemuk yang dapat digunakan untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p70), juga untuk masalah penyusutan mesin.

U3 = 2000 ar3 – 1 = 2000 ar2 = 2000....(1) Angka pengangguran pada tahun 2006 adalah 8000, merupakan suku ke-5. Dengan cara yang sama, diperoleh U5 = 8000 ar5 – 1 = 8000 ar4 = 8000....(2) Dari persamaan (1) dapat diperoleh persamaan(3) berikut. 2000 ar2 = 2000 ¤ …(3) r2 Substitusi persamaan (3) ke persamaan (2) diperoleh 2000 4 ◊ r = 8000 r2 2000 ◊ r2 = 8000 8.000 r2 = 2.000 r2 = 4 r = ± 4 diperoleh r1 = 2 dan r2= –2 Diperoleh 2 buah nilai r, yaitu 2 dan –2. Untuk nilai rasio barisan geometri pada kasus permasalahan ini tidak mungkin bernilai negatif (coba Anda jelaskan mengapa?). Oleh sebab itu, diambil nilai r = 2, kemudian substitusi pada 2000 2000 persamaan (3), sehingga diperoleh a = 2 = = 500. 2 4 Oleh karena a menyatakan nilai suku ke-1 maka diperoleh U1 = 500, dan nilai suku-suku ke-2 hingga ke-6 diperoleh dengan perhitungan berikut. U2 = 500 ◊ 22 – 1 = 500 ◊ 2 = 1000 U3 = 500 ◊ 23 – 1 = 500 ◊ 4 = 2000 U4 = 500 ◊ 24 – 1 = 500 ◊ 8 = 4000 U5 = 500 ◊ 25 – 1 = 500 ◊ 16 = 8000 U6 = 500 ◊ 26 – 1 = 500 ◊ 32 = 16000 Dengan demikian, diperoleh barisan geometri yang menyatakan angka pengangguran di desa dari tahun 2002 sampai tahun 2007 adalah 500, 1000, 2000, 4000, 8000, 16000.

2. Deret Geometri Coba perhatikan barisan geometri berikut. 3, 9, 27, 81, … Dapatkah Anda menghitung jumlah 4 suku pertamanya? Untuk menghitung jumlah 4 suku pertamanya, dapat dilakukan penjumlahan 3 + 9 + 27 + 81 = 120.

108


Penjumlahanberuntunsuku-sukugeometrimerupakanderet geometri. Jadi, 3 + 9 + 27 + 81 merupakan deret geometri. Pada deret geometri, jumlah n suku pertamanya dinyatakan sebagai berikut.

(

) untuk r < –1 atau r > 1

(

) untuk –1 < r < 1

a rn 1

Sn =

Sn =

r 1 a 1 rn 1 r

Dengan Sn menyatakan jumlah n suku pertama. Jadi, jumlah 4 suku pertama barisan geometri 3, 9, 27, 81, … dapat dihitung dengan rumus berikut.

(

S4 =

) di mana a = 3, r = 3, dan n = 3

a rn 1

Sn = sehingga

r 1

(

Soal Pilihan Jumlah penduduk sebuah kota setiap 10 tahun menjadi 2 kali lipat. Menurut perhitungan, pada tahun 2000 mencapai 3,2 juta orang. Tentukan jumlah penduduk kota itu pada tahun 1950.

Sipenmaru, 1985

)

3 34 1

3 1 3◊( 81 1) S4 = 2 3◊80 S4 = 2 240 S4 = 2 S4 = 120 1 36, 18, 9, 4 , …? Barisan geometri tersebut memiliki 2 1 a = 36, r = . Oleh karena –1 < r < 1 maka jumlah 6 suku 2 pertama deret tersebut adalah sebagai berikut. a(1– rn ) Sn = 1– r

1 2 S6 = 1 1 2 1 36 1 64 S6 = 1 2 36 1

6


109

64 64 63 S6 = 72 · 64 S6 = 36

1 ◊2 64

567 8

S6 =

S6 = 70

7 8

Contoh Soal 3.11

Sumber : www.suarantb.com

Gambar 3.7 Total keuntungan yang diraih suatu perusahan dapat dihitung menggunakan deret geometri

Sebuah perusahaan home industry pada tahun 2007 mencatat keuntungan di bulan Januari sebesar Rp14.000.000,00. Oleh karena kinerja perusahaan semakin baik, dan didukung ekonomi nasional yang semakin sehat maka di tahun tersebut keuntungan 1 perusahaan naik menjadi 1 kali lipat dari bulan sebelumnya. 2 Tentukanlah: a. barisan geometri yang menyatakan keuntungan perusahaan tersebut setiap bulannya, mulai bulan januari 2007, b. total keuntungan yang diraih perusahaan tersebut hingga bulan Agustus. Jawab: a. Keuntungan bulan Januari Æ U1 = 14.000.000 Keuntungan bulan Februari 1 3 Æ U2 = 1 × 14.000.000 = × 7.000.000 = 21.000.000 2 2 Keuntungan bulan Maret 3 1 Æ U3 = 1 × 21.000.000 = × 10.500.000 = 31500.000 2 2 Jadi, diperoleh barisan geometri sebagai berikut. 14.000.000, 21.000.000, 31.500.000, … b. Total keuntungan yang diraih perusahaan hingga bulan Agustus merupakan jumlah 8 suku pertama barisan geometri pada soal 1 a. Barisan geometri tersebut memiliki a = 14.000.000, r = 1 . 2 Jadi, jumlah keuntungan perusahaan sampai bulan Agustus dihitung dengan rumus Sn =

110


(

)

a rn 1 r 1

diperoleh, S8 =

(

)

14.000.000 28 1

2 1 14.000.000( 256 1) S8 = 1 S8 = 14.000.000 (255) S8 = 3.570.000.000 Jadi,keuntunganperusahaanhomeindustryhinggabulanAgustus adalah Rp3.570.000.000,00.

Contoh Soal 3.12 Hasil penelitian gabungan Dinas Sosial dan Dinas Pendidikan Nasional dari tahun 2002 hingga tahun 2007 menunjukkan kecenderungan minat membaca penduduk kecamatan Y selalu meningkat dari tahun ke tahun dengan kelipatan perbandingan yang tetap. Jika jumlah total penduduk yang memiliki minat membaca pada tahun 2002 dan tahun 2003 adalah 80 orang, dan jumlah total penduduk yang memiliki minat membaca pada tahun 2002, 2003, 2004, dan 2005 besarnya 800 orang. Tentukanlah jumlah penduduk yang memiliki minat membaca pada tahun 2007. Jawab: Oleh karena minat membaca penduduk meningkat dengan kelipatan perbadingan yang tetap maka akan membentuk barisan geometri dengan r > 1 berikut. U1 , U2, U3, U4, U5 , U6 2002 …

… 2007

Dari tahun ke tahun jumlah penduduk yang memiliki minat membaca selalu meningkat dengan perbandingan tetap maka r > 1. Jumlah total penduduk yang memiliki minat membaca pada tahun 2002 ditambah tahun 2003 yang berjumlah 80 orang dapat dinyatakan dengan persamaan berikut U1 + U2 = 80 …(1) Persamaan (1) merupakan hasil penjumlahan dua suku pertama dari suatu deret geometri. Mengingat rumus hasil penjumlahan n suku a(r2 1) pertama dari suatu deret geometri adalah Sn = maka hasil r 1 penjumlahan dua suku pertama dari suatu deret geometri dapat a(r2 1) dinyatakan dengan rumus Sn = , sehingga diperoleh r 1 persamaan berikut. a(r2 1)= 80 …(2) r 1


111

Jumlah total penduduk yang memiliki minat membaca pada tahun 2002, 2003, 2004, dan 2005 adalah 800 orang dapat dinyatakan dengan persamaan berikut. U1 + U2 + U3 + U4 = 800 …(3) Persamaan tersebut merupakan hasil penjumlahan empat suku pertama dari suatu deret geometri, sehingga diperoleh persamaan a(r4 1) S4 = berikut. r 1 a(r4 1) = 800 …(4), r 1 Dari persamaan (2) dapat diperoleh persamaan (5) berikut. 80(r 1) a(r2 1) = 80 ¤ a = 2 …(5) r 1 r 1 Persamaan (5) substitusi ke persamaan (4) sehingga diperoleh perhitungan berikut. 80(r 1) (r4 1) = 800 ◊ r2 1 r2 1 80(r4 1) = 800 (r2 1) (r4 1) 800 = (r2 1) 80 Dengan mengingat (r4 – 1) = (r2 – 1)(r2 + 1), maka diperoleh perhitungan berikut. (r2 1)(r2 + 1) = 10 (r2 1) r2 + 1 = 10 r2 = 10 – 1 r2 = 9 r = ± 9 maka diperoleh nilai rasio barisan geometri tersebut adalah r1 = 3 atau r2 = –3. Pada kasus permasalahan ini, nilai rasio barisan geometri tidak mungkin bernilai negatif maka nilai yang digunakan adalah r = 3, substitusi nilai r ke persamaan (2) diperoleh a(32 1) = 80 3 1 a(9 1) = 80 3 1 a◊8 = 80 2 80 ◊2 a = = 20 8

112


Oleh karena jumlah penduduk yang memiliki minat membaca pada tahun 2007 adalah barisan geometri, maka U6 = 20.36 – 1 = 20.35 = 20.243 = 4860 Jadi, jumlah penduduk yang memiliki minat membaca pada tahun 2007 adalah 4860 orang.

3. Deret Geometri Tak Berhingga Pada deret geometri, untuk n yang besarnya menuju tak hingga maka deret tersebut dikatakan deret geometri tak berhingga. Bentuk umum deret geometri tak berhingga adalah sebagai berikut. a + ar + ar2 + ar3 + ....

Soal Pilihan Sebuah bola pingpong dijatuhkan ke lantai dari ketinggian 2 m. Setiap kali setelah bola itu memantul, ia mencapai ketinggian tiga per empat dari ketinggian yang dicapai sebelumnya. Dapatkah Anda menentukan panjang lintasan bola tersebut dari pantulan awal sampai bola itu berhenti?

Deret geometri tak berhingga tersebut akan konvergen a (mempunyai jumlah) jika –1 < r < 1 dan jumlah S = . Jika 1 r r tidak terletak pada –1 < r < 1 maka deret tersebut dikatakan divergen (tidak mempunyai jumlah) Contoh Soal 3.13 Suku ke-n suatu deret geometri adalah 4-n . Tentukan jumlah berhingga deret tersebut. Jawab: Un = 4–n maka U1 = a = 4–1 =

1 4

2 1 U2 4 = 1 = 4–1 = 4 U1 4 a S = 1 r 1 = 4 1 1 4 1 1 = 4 = 3 3 4 1 Jadi, jumlah tak berhingga deret tersebut adalah . 3

r =


113

Contoh Soal 3.14 Data nilai impor negara X dari tahun 2000 hingga tahun-tahun berikutnya selalu menurun dengan perbandingan yang konstan. Nilai impor negara X pada tahun 2000 adalah 640 milyar rupiah dan tahun 2002 besarnya 160 milyar rupiah. Jika fenomena ini terus berlanjut hingga tahun-tahun mendatang, prediksilah nilai total impor negara X tersebut hingga tahun-tahun mendatang. Jawab: Oleh karena penurunan nilai impor memiliki perbandingan yang konstan maka nilai impor dari tahun 2000 hingga tahun-tahun berikutnya membentuk barisan geometri tak hingga berikut. U1, U2, U3, U4, ... Dengan U1 = Nilai impor tahun 2000 = 640 milyar U2 = Nilai impor tahun 2001, U3 = Nilai impor tahun 2002 = 160 milyar Mengingat bahwa nilai suku ke-n suatu barisan geometri dapat dinyatakan dengan rumus Un = arn – 1, maka U1 dan U3 dapat dinyatakan dengan: U1 = ar1 – 1 = ar0 = a U3 = ar3 – 1 = ar2 Dengan memperhatikan nilai U1 dan U3 yang masing-masing besarnya adalah 640 dan 160 milyar, diperoleh dua persamaan berikut a = 640 …(1) ar2 =160 …(2) Dengan menyubstitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) maka diperoleh persamaan berikut. (640 ¥ 109) ◊ r2 = 160 ¥ 109 160 109 1 r2 = = 640 109 4 1 , diperoleh 4 1 1 r1 = atau r2 = – 2 2 Pada permasalahan ini, gunakan r yang bernilai positif karena tidak ada nilai impor yang bernilai negatif. Dengan demikian, diperoleh: U1 = a = 640 1 U2 = ar2 – 1 = ar1 = 640 ¥ 109 ¥ ( )1 = 320 2 1 U3 =ar3 – 1 = ar2 = 640 ¥ 109 ¥ ( )2 = 160 2 1 U4= ar4 – 1 = ar3 = 640 ¥ 109 ¥ ( )3 = 80, dan seterusnya. 2 r = ±

Nilai total impor negara X hingga tahun-tahun mendatang dapat

114


dihitung menggunakan deret geometri tak berhingga berikut. a U1 + U2 + U3 + U4 + ... = 1 r 640 640 + 320 + 160 + 80 + ... = 1 1 2 640 = 1 2 = 640 ¥ 2 = 1280 Jadi, diperoleh nilai total impor negara X dari tahun 2000 hingga tahuntahun mendatang besarnya adalah 1.280 milyar atau 1,28 triliun rupiah.

Evaluasi Materi 3.3 I.

Kerjakan soal-soal berikut.

1.

Tentukan rumus ke-n barisan geometri berikut, kemudian tentukan jumlah 8 suku pertamanya.

a.

6, 9, 13 , …

b.

c.

d.

18, 12, 8, … 2 , 2, –6, 18, … 3 4 4 20, 4, , , … 5 25

2. Pada awal tahun 2001, jumlah wisatawan yang mengunjungi pulau P adalah 18.000.000 orang. Akibat terjadinya bencana alam di awal tahun tersebut maka setiap bulan berikutnya jumlah wisatawan 3 berkurang menjadi nya. Berapakah 4 jumlah wisatawan yang mengunjungi pulau P dari bulan Januari 2001 hingga Oktober 2001? 4.

Sebuah perusahaan meubel pada bulan Maret 2005 mendapat pesanan meubel sebanyak 64 buah. Ternyata hingga bulan

Desember 2005, pesanan selalu naik 1 menjadi 1 kali lipat tersebut dari bulan 2 sebelumnya. a. Tentukanderetgeometriyangterbentuk dari pesanan meubel pada perusahan itu dan tentukan rumus suku ke-n. b. Padabulanapakahperusahaanmeubel tersebutmendapatpesananmeubelse banyak 486? c. Tentukan jumlah mebel yang sudah dibuat perusahaan meubel itu selama 1 tahun.

5. Tentukan jumlah deret geometri tak 16 32 hingga dari 8 + + . 3 0 6. Diperoleh data keuntungan perusahaan X mulai dari tahun 2003 hingga tahun 2007 membentuk suatu barisan geometri. Jika jumlah total keuntungan dari tahun 2003 sampai tahun 2007 adalah 85,25 milyar rupiah dan jumlah keuntungan mulai dari tahun 2003 sampai tahun 2005 adalah 5,25 milyar rupiah, tentukanlah keuntungan per


115

Ringkasan

Barisan bilangan didefinisikan sebagai susunan bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu antara satu bilangan dengan bilangan berikutnya. Deret adalah penjumlahan berurut dari sukusuku barisan. Barisan aritmetika adalah barisan yang selisih dua suku yang berurutan selalu tetap. Rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah Un = a + (n – 1)b a = suku pertama barisan aritmetika b = selisih dua suku yang berurutan (beda) n = banyaknya suku (bilangan asli 1, 2, 3, ...) Un = suku ke–n Jumlah suku pertama barisan aritmetika adalah n (a + Un) 2

Sn =

Sn = jumlah n suku pertama deret aritmetika Barisan geometri adalah barisan yang memiliki perbandingan dua suku yang berurutan selalu tetap.

Perbandingan dua suku yang berurutan disebut rasio. Rumus suku ke-n deret geometri adalah Un = a . r n – 1 Un = suku ke-n a = suku pertama r = rasio Deret geometri adalah jumlah suku dari suku-suku yang berurutan. Jumlah n suku pertama barisan geometri adalah selalu tetap.

Sn =

Sn =

(

a 1n

) untuk r > 1

r

(1 r)

(

a 1 rn

(1 r)

) untuk r < 1.

Jumlah deret geometri tak terhingga adalah a

S∞ =

S∞ = jumlah deret geometri tak hingga a = suku pertama r = rasio.

(1 r)

; –1 < r < 1

Kaji Diri Setelah mempelajari materi tentang Barisan dan Deret Bilangan, tuliskan bagian mana saja yang belum Anda pahami. Selain itu, tuliskan juga materi yang Anda senangi beserta alasannya. Bacakan tulisan Anda di depan kelas.

116


Evaluasi Materi Bab 3 I. 1.

Pilihlah salah satu jawaban yang tepat. Kerjakanlah di buku latihan Anda. Perhatikan barisan bilangan berikut. 1, 2, 3, 5, …

Bilangan selanjutnya adalah …. a. –2 d. 10 b. 6 e. 7 c. 8

2.

Rumus suku ke-n barisan bilangan 10, 5, 0, –5, … adalah …. a. 10 – 2n d. 10 + 3n b. 2 + 3n e. n2 –1 c. 15 – 5n

3. 4.

8.

Sebuahbarisanaritmetikasukupertamanya adalah 1. Jika jumlah 6 suku pertama barisan bilangan tersebut besarnya adalah 66 maka beda pada barisan tersebut adalah …. a. –4 d. –2 b. 2 e. 5 c. 4

9.

Suku ke–10 barisan aritmetika pada soal nomor. 4 adalah …. a. 75 d. 190 b. 80 e. 200 c. 100

Jumlah 10 suku pertama barisan bilangan 10, 5, 0, –5, adalah …. a. –125 d. –100 b. 90 e. –75 c. –85

5.

6.

7.

Anton menabung setiap bulan di sebuah bank swasta, mulai Januari 2005 hingga seterusnya. Setoran Anton per bulannya terus naik sesuai dengan barisan aritmetika berikut. 200.000, 250.000, 300.000, …. Setoran Anton pada September 2005 besar nya adalah …. a. Rp450.000,00 b. Rp550.000,00 c. Rp600.000,00

d. e.

Rp700,000,00 Rp750.000,00

JumlahtotalsetoranAnton(padasoalnomor 6) hingga Desember 2005 adalah …. a. Rp5.700.000,00 b. Rp5.000.000,00 c. Rp5.000.000,00 d. Rp4.800.000,00 e. Rp4.000.000,00 Rumus suku ke–n barisan geometri 40, 20, 10, 5, … adalah …. 20 a. Un = n d. Un = 80 ◊ n 2 80 b. Un = 40n e. Un = n 2 c.

40·2n

Jumlah 10 suku pertama barisan 40, 20, 10, 5 adalah …. 18 1 a. 60 d. 78 25 2 1 b. 70 e. 80 3 59 c. 79 64 10. Suatu barisan geometri memiliki suku pertama adalah 12, jumlah 3 suku pertama adalah 57. Suku ke empat barisan geometri tersebut adalah …. 1 a. 40 d. 40 2 b. 38 e. 36

c.

45

11. Jumlah 5 suku pertama suatu barisan geometri adalah 93. Jika rasio barisan tersebut adalah 2 maka suku ke–6 barisan tersebut adalah …. a. 48 d. 96 b. 60 e. 100 c. 90


117

12. Sebuah peternakan ayam memiliki 128 ekor ayam. Oleh karena terjadi wabah flu burung maka setiap hari jumlah ayam 1 berkurang menjadi kalinya. Jumlah 2 ayam menjadi tinggal 4 ekor pada hari ke …. a. 8 b. 7 c. 5

d. e.

4 3

b. c.

8.560 9.000

e.

10.000

14. Jumlah 6 suku pertama dari barisan pada soal nomor 13 adalah …. a. 1.000 d. 1.600 b. 1.300 e. 1.512 c. 1.400 15. Jika barisan 20, x, 5, … merupakan barisan geometri maka suku ke-5 nya adalah …. a. 1 d. 1,75

13. Jika barisan 24, 48, x, 192 merupakan barisan geometri … maka nilai x2 adalah …. a. 4.760 d. 9.216 b. c.

1,25 1,5

e.

2

II. Kerjakanlah soal-soal berikut. 1.

2.

Ibu Sarah memiliki 3 orang anak. Setiap hari ibu Sarah memberi anak-anaknya uang saku. SetiapharinyaibuSarahmemberiRp20.000,00 untukanakpertama,Rp16.000,00untukanak kedua, dan Rp4.000,00 untuk anak bung sunya. Tentukan jumlah uang yang harus disediakan ibu sarah selama satu bulan untuk uang saku anak-anaknya. Ayah membeli sebuah mobil seharga Rp150.000.000,00. Harga mobil menyusut sebesar 0,8% setiap tahunnya. Taksirlah harga mobil tersebut pada tahun ke-15 setelah pembelian.

3.

Keuntunganseorangpedagangbertambah setiap bulan dengan jumlah yang sama. Jika keuntungan bulan ke-4 adalah Rp30.000,00 dan bulan ke-8 adalah Rp172.000,00, tentukan keuntungan bulan ke-18.

4.

Pertambahanpenduduksetiaptahundisuatu desamengikutideretgeometri.Pertambah an penduduk pada tahun 1996 sebanyak 24 orang, tahun 1998 sebesar 96 orang. Tentukan pertambahan penduduk tahun 2001.

5.

Diketahui jumlah deret geometri tak hingga adalah 10 dan suku pertamanya adalah 2. Tentukan rasio deret geometri tak hingga tersebut.

Pilihan Karir Psikolog adalah seorang ahli dalam bidang psikologi, bidang ilmu pengetahuan yang mempelajari tingkah laku dan proses mental. Psikolog dapat dikategorikan ke dalam beberapa bidang tersendiri sesuai dengan cabang ilmu psikologi yang ditekuninya. Tetapi kata "psikolog" lebih sering digunakan untuk menyebut ahli psikolog klinis, ahli psikologi di bidang kesehatan mental. Psikolog di Indonesia tergabung dalam organisasi profesi bernama Himpunan Psikolog Indonesia (HIMPSI).

118


Barisan dan Deret Bilangan

Recommend Documents