MATRIKS
DEFINISI
Matriks adalah susunan bilangan real atau bilangan kompleks (atau elemen-elemen) yang disusun dalam baris dan kolom sehinggga membentuk jajaran persegi panjang. Matriks memiliki m baris dan n kolom disebut matriks m x n matriks yang memiliki orde m x n
Banyaknya baris dan kolom suatu matriks menentukan ukuran dari matriks tersebut, disebut ordo matriks
Elemen matriks A tersebut berindeks rangkap, contoh: a23 menyatakan elemen matriks A pada baris ke 2 dan kolom ke 3 matriks A berordo m x n ditulis Amxn
Jenis-jenis matriks Berdasarkan ordonya: 1. Matriks bujursangkar/persegi matriks berordo n x n atau banyaknya baris = kolom (disebut juga matriks berordo n contoh:
2. Matriks baris matriks berordo 1 x n atau hanya memiliki satu baris. contoh: 3. Matriks kolom matriks yang hanya memiliki satu kolom contoh:
4. Matriks tegak matriks berordo m x n dengan m > n contoh:
5. Matriks datar matriks berordo m x n dengan m < n contoh:
Berdasarkan elemen-elemen penyusunnya: 1. Matriks nol matriks yang semua elemen penyusunnya adalah nol dan dinotasikan sebagai O contoh: 2. Matriks diagonal matriks persegi yang semua elemen di atas dan di bawahnya diagonal adalah nol dan dinotasikan sebagai D. contoh:
3. Matriks skalar matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya sama. contoh:
4. Matriks simetri matriks persegi, yang setiap elemennya, selain elemen diagonal, adalah simetri terhadap diagonal utama contoh:
5. Matriks simetri miring matriks simetri yang elemen-elemennya, selain elemen diagonal, saling berlawanan. contoh:
6. Matriks identitas/satuan matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya adalah 1 dan dinotasikan sebagai I. contoh:
7. Matriks segitiga atas matriks persegi yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya adalah nol. contoh:
8. Matriks segitiga bawah matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya adalah nol. contoh:
9. Matriks transpose matriks yang diperoleh dari memindahkan elemenelemen baris menjadi elemen pada kolom atau sebaliknya. transpose matriks A dilambangkan dengan AT contoh:
ordo dari AT adalah 2 x 3
OPERASI MATRIKS PENJUMLAHAN Contoh:
Jika A + B = C maka elemen-elemen C diperoleh dari penjumlahan elemen-elemen A dan B yang seletak, yaitu Cij = aij + bij untuk elemen C pada baris ke-i dan kolom ke-j. Akibatnya, matriks A dan B dapat dijumlahkan apabila kedua matriks memiliki ordo yang sama
Sifat-sifat penjumlahan matriks:
PENGURANGAN Contoh:
Jika A – B = C maka elemen-elemen C diperoleh dari pengurangan elemen-elemen A dan B yang seletak, yaitu Cij = aij - bij atau pengurangan dua matriks ini dapat dipandang sebagai penjumlahan : A + (-B)
PERKALIAN 1. Perkalian matriks dengan bilangan real (skalar) contoh:
Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar
2. Perkalian dua matriks dua matriks AB dapat dikalikan apabila jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B. jadi Amxn Bnxp bisa didefinisikan, tapi BnxpAmxn tidak dapat didefinisikan.
hasil kali dari matrik AB berordo mxp
Contoh: 1.
2.
Hasil kalinya merupakan suatu matriks berordo 3 x 3
3.
DETERMINAN
Determinan matriks adalah jumlah semua hasil perkalian elementer yang bertanda dari A dan dinyatakan dengan det (A). Yang diartikan dengan sebuah hasil perkalian elementer bertanda dari suatu matriks A adalah sebuah hasil perkalian elementer pada suatu kolom dengan +1 atau -1.
1. Determinan matriks berordo 2 x 2
Contoh:
2. Determinan matriks berordo 3 x 3 untuk mencari determinan berordo 3 x 3 dapat digunakan 2 metode, yaitu: (a) Metode sarrus
Metode sarrus tidak berlaku bila matriks berordo 4 x 4 atau ordo yang lebih tinggi lagi
Contoh:
(b) Metode kofaktor setiap elemen menghasilkan suatu kofaktor, yang tidak lain adalah minor dari elemen dalam determinan beserta ‘tanda tempatnya’ minor suatu matriks A| dilambangkan dengan Mij adalah matriks bagian dari A yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-i dan elemen-elemen pada kolom ke-j
Contoh:
M11, M12, dan M13 merupakan submatriks hasil ekspansi baris ke 1 dari matriks Q.
Kofaktor suatu elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A dilambangkan dengan
Untuk mencari det(A) dengan metode kofaktor cukup mengambil satu ekspansi saja yaitu ekspansi baris ke-1
Contoh: untuk mendapatkan det(Q) dengan metode kofaktor adalah mencari terlebih dahulu determinan-determinan minornya yang diperoleh dari ekspansi baris ke-1, yaitu det(M11) = - 13, det(M12) = -26, det(M13) = -13 |Q| = 2(-13) – 4(-26) + 6(-13) = -26 + 104 – 78 =0
ADJOIN MATRIKS
Adjoin matriks A adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut. Dilambangkan dengan adj A = (kij)t Contoh: telah diketahui dari hitungan sebelumnya bahwa k11 = - 13, k12 = -26 dan k13 = -13
K21 = -
= - (-12) = 12
K31 = +
= +(2) = 2
K22 = +
= +(-24) = -24
K32 = -
= -(4) = 4
K23 = -
= -(-12) = 12
K33 = +
= +(2) = 2
