BAB VI INTEGRAL TAK TENTU DAN PENGGUNAANNYA Jika dari suatu fungsi kita dapat memperoleh turunannya, bagaimana mengembalikan turunan suatu fungsi ke fungsi semula? Operasi semacam ini disebut operasi balikan atau invers dari operasi semula. Dalam matematika banyak dikenal pasangan operasi balikan, misalnya penambahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian, serta pemangkatan dan penarikan akar. Pada bab ini kita akan membahas balikan dari operasi turunan yang dinamakan dengan anti turunan. TIK : Setelah mempelajari pokok bahasan ini, mahasiswa diharapkan dapat 1. menentukan integral taktentu suatu fungsi yang diberikan. 2. menerapkan integral tak tentu pada berbagai kasus. 6.1. Pengertian Integral Taktentu Anti turunan atau integral tak tentu dari fungsi f adalah fungsi F sehingga turunan dari F sama dengan f. Karena turunan dari konstanta adalah nol, maka turunan dari F(x) + C juga sama dengan f. dengan demikian integral tak tentu dari suatu fungsi f tidaklah tunggal. Jika integral tak tentu dari f dinotasikan dengan
f (x )dx , maka
f (x )dx = F(x) + C. Contoh : 1. Misalkan n merupakan bilangan asli dengan n -1. Turunan y =
1 n+1 x adalah n 1
dy xn . dx
Dengan demikian
x
n
dx
1 n 1 x C. n 1
dy 1 1 atau dy = dx. Sehingga dx x x
2. Turunan dari y = ln x adalah
1
x dx ln x C . 3. Turunan dari y = ex adalah
dy x e x atau dy = e dx. Sehingga dx
4. Turunan dari y = sin x adalah
x
e dx e
x
C.
dy = cos x atau dy = cos x dx. Sehingga dx
cos x dx = sin x + C. 5. Turunan dari y = cos x adalah
dy = -sin x atau dy = - sin x dx. Sehingga dx
sin x dx
= -cos x + C. 41
6.2. Integrasi Parsial Pada subbab ini akan dijelaskan tentang integral parsial. Setiap aturan penurunan berkaitan dengan aturan pengintegralan suatu fungsi. Aturan pengintegralan yang berkaitan dengan aturan hasil kali untuk turunan dinamakan aturan pengintegralan parsial. Aturan hasil kali menyatakan bahwa jika f dan g adalah fungsi yang dapat diturunan, maka d f ( x )g( x ) f ( x )g ( x ) f ( x )g( x ) dx
Jika kedua ruas diintegralkan, maka :
f ( x )g ( x ) f ( x )g( x )dx f ( x )g( x ) atau
f ( x )g ( x )dx f ( x )g( x )dx f ( x )g( x ) atau
f ( x )g ( x )dx f ( x )g( x ) g( x ) f ( x )dx Jadi jika u = f(x) dan v = g(x) maka du f (x) dx dan dv g (x) dx , sehingga didapatkan rumus integrasi parsial, yaitu :
u dv u v - v du
Contoh : Hitung 1. ln( x ) dx 2.
x
2
1 x dx
Penyelesaian : 1. Pilih u = ln x dan dv = dx maka du
ln( x ) dx x ln x x
dx dan v x . x
dx x ln x dx x ln x x C x
2. Pilih u = x2 dan dv 1 x dx maka du = 2x dx dan v
x
2 1 x 3 2 . Sehingga 3
3 3 2 4 1 x dx x 2 1 x 2 x 1 x 2 dx 3 3
2
3 5 2 4 2 2 x 2 1 x 2 x1 x 2 3 3 5 5
1 x
5
2 dx
3 5 2 8 16 1 x 7 2 C x 2 1 x 2 x1 x 2 3 15 105
Soal Latihan Hitunglah : 3
5 x 2 7 x )dx
1.
( x
2.
( 5 2x
3.
e
6 x 7
dx
2
) 6 xdx
16.
( 2x 7 )
17.
( 2x
18.
( x 3 )e
3
6
dx
7 ) 4 x 2 dx x2 6x7
dx
42
cos 2 x
4.
e
5.
2 x 5 dx
6.
( 2 x 5 ) ln( 2 x 5 ) dx
e
20.
2x
21.
x
ex dx ex 1
22.
sec 2 x dx
1 dx 1
23.
e
1
1
7.
8.
e
9.
xe dx
x
x
x
2
sin 2 xdx
x 2
5
dx
1 dx 1
2
x
1 dx ex
24. ln x dx
10. ( x 2 4 ) ln x dx 11.
cos 2 x
19.
sin 2 xdx
25.
x
3
sin x dx
26. sin 2 2 x dx
cos 2 x dx
12. cos 2 4 x dx
27. tan5x dx .
13.
28.
x 5
29.
x ln x
30.
x
x ln x dx
14. ( x 2 4 ) ln x dx 15.
x
2
1 x dx
2
x
dx 2
dx
e x dx
6.3. Penggunaan Integral Tak Tentu Contoh : 1. Misalkan laju pertumbuhan populasi sebanding dengan banyak populasi saat itu. Jika pada saat t = t0 banyak populasi adalah N0, maka buatlah model pertumbuhan populasi di atas. Penyelesaian : Misalkan N(t) menyatakan banyak populasi pada saat t. Karena laju pertumbuhan populasi pada saat t sebanding dengan banyak populasi saat itu, maka laju pertumbuhan populasi pada saat t adalah dN ( t ) kN ( t ) atau dt
dN ( t ) k .dt . N( t )
Sehingga
d( N( t ) k .dt . N( t )
ln N(t) = k.t + L
(L konstanta)
atau N(t) = C ekt. (C= eL) Dengan syarat awal N(t0) = N0, maka N0 = C e kt0 . 43
Sehingga
N( t ) e k ( t t0 ) atau N ( t ) N 0 e k ( t t0 ) . N0
2. Misalkan laju pertumbuhan penduduk bumi sebanding dengan banyaknya penduduk bumi saat itu. Jika banyaknya penduduk bumi pada tahun 1970 dan pada tahun 1980 berturutturut sebanyak 3,651 milyar dan 4,368 milyar, maka prediksikan banyaknya penduduk pada tahun 2010. Penyelesaian : Dengan menggunakan jawaban soal no. 1 diperoleh : t0 = 1970 dan N0 = 3,651. N ( t ) 3,651e k ( t 1970 )
Karena
N ( 1980 ) 3,651 e k ( 19801970 ) 4,368
maka diperoleh k = 0,0179304135. Oleh karena itu N ( t ) 3,651 e 0 ,0179304135( t 1970 )
Dengan demikian N ( 2010 ) 3,651 e 0 ,0179304135( 20101970 ) 7 ,48
Jadi banyaknya penduduk dunia pada tahun 2010 diperkirakan 7,48 milyar. 3. Diketahui laju pertumbuhan bakteri sebanding dengan banyaknya bakteri saat itu. Jika banyaknya bakteri pada pukul 12.00 ada 10000 dan dua jam kemudian menjadi 40000, maka tentukan banyaknya bakteri pada pukul 17.00. Penyelesaian : Dengan menggunakan hasil no.1 diperoleh : t0 = 12 dan N0 = 10000. Sehingga N ( t ) 10000 e k ( t 12 )
Karena
N ( 14 ) 10000 e k ( 1412 ) 40000 ,
maka
k 0,693.
Oleh karena itu
N ( t ) 10000 e 0 ,693( t 12 )
Dengan demikian N ( 17 ) 10000 e 0 ,693( 1712 ) 320000 4. Karbon 14 merupakan salah satu dari tiga isotop karbon dan merupakan zat radioaktif. Zat ini meluruh dengan laju sebanding dengan berat zat tersebut saat itu. Jika zat ini mempunyai waktu paruh 5570 tahun dan pada saat awal adalah 10 gram, maka tentukan sisa zat karbon tersebut setelah 2000 tahun. Penyelesaian : Dengan menggunakan jawaban no. 1 diperoleh : t0 = 0 dan N0 = 10, sehingga N ( t ) 10 e kt
Karena N ( 5570 ) 10 e 5570k 5 , maka Oleh karena itu
k -0,000124.
N ( t ) 10 e 0,000124t . Dengan demikian N ( 2000 ) 10 e 0 ,000124( 2000 ) 7 ,8 .
Jadi setelah 2000 tahun tersisa 7,8 gram zat karbon. 44
Soal Latihan 1. Sekelompok bakteri berkembang dengan laju sebanding dengan banyaknya bakteri pada kelompok itu saat itu. Pada awalnya ada 10000 bakteri dan setelah 10 hari berkembang menjadi 24000 bakteri. Tentukan : a. banyaknya bakteri setelah 25 hari b. kapan bakteri menjadi 4 kalinya. 2. Banyaknya penduduk Amerika pada tahun 1790 adalah 4 juta dan menjadi 180 juta pada tahun 1960. Jika laju pertumbuhan penduduk Amerika sebanding dengan banyaknya penduduk pada saat itu, maka prediksikan banyaknya penduduk Amerika pada tahun 2020. 3. Diketahui waktu paruh zat radioaktif adalah 810 tahun. Jika pada awal tahun 2001 ada 10 gram, maka tentukan banyaknya zat tersebut pada tahun 3000. 4. Jika dalam 100 tahun zat radioaktif kehilangan 20% dari bobotnya, maka tentukan waktu paruh zat radioaktif tersebut. 5. Semua makhluk hidup mengandung karbon 12 yang stabil dan karbon 14 yang radioaktif. Selama makhluk hidup masih hidup, perbandingan antara dua isotop karbon di atas tidak berubah. Setelah mati tidak ada lagi karbon yang diserap. Diketahui waktu paruh karbon 14 adalah 5570 tahun dan diketahui pula bahwa sebuah benteng terbakar sesaat setelah dibangun dengan kayu yang baru ditebang. Jika pada saat ini ditemukan arang dari kayu bekas bahan bangunan benteng tua itu dengan kandungan karbon 14 sebanyak 70% dari seharusnya, maka tentukan saat benteng tersebut terbakar. 6. Diketahui bahwa laju pertumbuhan populasi sebanding dengan N(t)(L-N(t)) dengan N(t) menyatakan besar populasi pada saat t. Tentukan model pertumbuhan dari populasi tersebut jika diketahui pada saat t = t0, besar populasinya adalah N0. Tentukan maksimal dari besar populasi. 7. Gambarlah grafik model yang diperoleh dari soal no. 6 untuk L = 16, N0 = 4, dan k=0,00186. 8. Karena terbatasnya sumber daya alam, laju pertumbuhan bakteri sebanding dengan N(t)(100000-N(t)) dengan N(t) menyatakan banyaknya bakteri pada saat t. Tentukan model pertumbuhan dari bakteri tersebut jika pada saat awal terdapat 10000 bakteri dan setelah dua jam bakteri telah mencapai 15000. Tentukan setelah berapa lama bakteri mencapai 3 kali lipat dari keadaan semula. 9. Diketahui waktu paruh zat suatu zat radioaktif adalah 100 tahun. Jika laju peluruhan zat radioaktif tersebut sebanding dengan banyaknya zat tersebut pada waktu itu dan diketahui pula bahwa pada awal tahun 2001 terdapat 10 gram zat radioaktif tersebut, maka tentukan pada tahun berapa zat tersebut tinggal seperempatnya.
45
