1
BAB V TURUNAN FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar 1. Menggunakan sifat dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi aljabar 2. Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi aljabar dan memecahkan masalah 3. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi aljabar 4. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi aljabar dan penafsirannya.
A. Turunan Fungsi 1. Pengertian Turunan Fungsi Turunan fungsi f disembarang titik x dilambangkan dengan f ’(x) dengan definisi f ( x h) f ( x ) f ’(x) = lim . Proses mencari f ‘ dari f disebut penurunan; dikatakan h 0 h bahwa f diturunkan untuk mendapatkan f ‘. . Contoh 5.1: Carilah turunan fungsi f yang dinyatakan dengan f(x) = x2 + 5 pada x = 3 Jawab: Turunan f pada x = 3 ialah f ‘ (3) = lim h
0
f (3 h) h
f (3)
5 (3 2 5) h 0 h 2 9 6h h 5 9 5 = lim h 0 h h(6 h ) = lim h 0 h = lim (6 h) 6
= lim
h
(3 h) 2
0
Contoh 5.2: Carilah turunan fungsi f yang ditentukan oleh f(x) = x3 langsung dari definisi. Jawab: ( x h) 3 x 3 x 3 3x 2 h 3xh 2 h 3 x 3 f ( x h) f ( x ) f ’(x) = lim = lim = lim h 0 h 0 h 0 h h h 2 2 2 h(3 x 3 xh h ) = lim = lim (3x 2 3xh h 2 ) = 3x2 h 0 h 0 h h Contoh 3. Diketahui f(x) = 1/x2. Carilah f ‘(x) langsung dari definisi. Jawab:
1
2
x 2 ( x h) 2 1 1 ( x h) 2 x 2 ( x h) 2 x 2 f ( x h) f ( x ) f ’(x) = lim = lim = lim h 0 h 0 h 0 h h h 2 2 2 2 h( 2 x h) x ( x 2 xh h ) 2 xh h = lim = lim = lim 2 2 2 2 h 0 h 0 h 0 h( x h) 2 x 2 h( x h) x h( x h) x 2x h 2x h 2x h lim 2 lim 4 = lim 2 2 2 2 h 0 (x h 0 (x h 0 (x h) x 2 xh h ) x 2x3h x 2h 2 )
2x 2 = 3 4 x x
Latihan 1 Gunakan definisi fungsi turunan f ’(x) = lim h
0
f ( x h) h
f ( x)
untuk memeriksa nilai
f ‘(x) untuk tiap-tiap soal di bawah ini. 4. f(x) = 2/x2 ; f ‘(x) = - 4/x3 5. f(x) = 1/x ; f ‘(x) = - 1/x2
1. f(x) = 3x ; f ‘(x) = 3 2. f(x) = 5x2 ; f ‘(x) = 10x 3. f(x) = 2x3 ; f ‘(x) = 6x2 2. Turunan Beberapa Fungsi Khusus (i). Turunan fungsi-fungsi konstan Jika f(x) = c, dengan c konstan, maka:
f ‘(x) = lim h
0
f ( x h) h
f ( x)
c c 0 = lim = lim 0 = 0. 0 h 0 h h 0 h
= lim h
Turunan fungsi konstan adalah nol. (ii). Turunan xn (n bilangan bulat positif)
f ( x h) h
Untuk n = 1, maka f(x) = x, dan f ‘(x) = lim h
0
f ( x)
( x h) x h = lim 0 h 0 h h
= lim h
= lim 1 1 . h
0
Untuk n = 2, maka f(x) = x2, dan f ‘(x) = lim h
lim h
0
h( 2 x h) = lim 2 x h h 0 h
0
f ( x h) h
f ( x)
( x h) 2 0 h
= lim h
x2
==
2x . ( x h) 3 x 3 f ( x h) f ( x ) = lim = h 0 h 0 h h 3 xh 2 h 2 ) = lim (3x 2 3xh h 2 ) = 3x2 h 0 h
Untuk n = 3, maka f(x) = x3 dan f ’(x) = lim lim h
0
x3
3x 2 h 3xh 2 h
h3
x3
= lim h
h(3 x 2
0
. Dari uraian di atas diperoleh f(x)
x
x2
x3
f ‘(x)
1
2x
3x2
Bila diperhatikan dengan seksama, tampak pola turunan untuk x4, x5, dan seterusnya, sehingga dapat disimpulkan turunan dari f(x) = xn adalah f ’(x) = n xn – 1
2
3
Kesimpulan tersebut dapat dibuktikan dengan menggunakan definisi turunan sebagai berikut.. ( x h) n x n f ( x h) f ( x ) Misalkan f(x) = xn, maka f ’(x) = lim = lim h 0 h 0 h h n n n n1 n n2 2 n n n ( x h) n x x h x h ... xh n 1 h 0 1 2 n 1 n n n n! adalah kombinasi k unsur dari n unsur, dengan k k k!(n k )! ( x h) n x n ( x n nx n 1 h ... nxh n = lim 0 h 0 h h n n 1 n 2 n 1 h h(nx ... nxh h ) = lim = h 0 h h n 1 = nx n-1
1
Selanjutnya f ’(x) = lim h
nx n 1 h ... nxh n 1 h 0 h n 1 lim (nx ... nxh n 2 lim h
0
hn ) xn
=
Jika f(x) = xn, maka f ‘(x) = n xn -1 , dengan n bilangan bulat positif. (iii). Turunan axn (n bilangan bulat positif) a( x h) n ax n = h 0 h a[( x h) n x n ] a[( x h) n x n ] lim . Berdasarkan sifat limit diperoleh lim = h 0 h 0 h h [( x h) n x n ] ( x n nx n 1 h ... nxh n 1 h n ) x n a lim = a lim = h 0 h 0 h h nx n 1 h ... nxh n 1 h n h(nx n 1 ... nxh n 2 h n 1 ) a lim = a lim = h 0 h 0 h h a lim (nx n 1 ... nxh n 2 h n 1 = an x n-1
Misalkan f(x) = axn , a suatu konstanta , maka f ’(x) = lim
h
0
Jika f(x) = axn, maka f ‘(x) =an xn -1 , dengan n bilangan bulat positif. (iv). Turunan pangkat negative dan rasional dari x
1 Untuk n = -1, maka f(x) = x-1 =
1 f ( x h) , dan f ‘(x) = lim h 0 x h
f ( x)
= lim x h h 0 h
x ( x h) h 1 ( x h) x ( x h) x 1 lim = lim = lim 2 = = x -2 2 h 0 h 0 h 0 h h (x xh) x 1 f ( x h) f ( x ) Untuk n = -2, maka f(x) = x-2 = 2 , dan f ‘(x) = lim = h 0 h x x 2 ( x h) 2 x 2 ( x 2 2 xh h 2 ) 1 1 ( x h) 2 x 2 ( x 2 2 xh h 2 ) x 2 ( x h) 2 x 2 lim = lim = lim = h 0 h 0 h 0 h h h 2 xh h 2 h( 2 x h) 2 2 2 4 ( x 2 xh h ) x (x 2x3h x 2 h 2 ) ( 2 x h) lim = lim = lim 4 h 0 h 0 h 0 x h h 2x3h x 2 h 2 Dari uraian di atas diperoleh :
2x x4
1 x =
2 x
3
3
4
f(x)
1/x atau x -2
1/ x2 atau x – 2
f ‘(x)
- 1/x2 atau – x-2
- 2/x3 atau – 2x – 3
Bila dicermati diperoleh pola bahwa turunan dari f(x) = x -3, maka f ’(x) = -3x -4. Juga bila f(x) = x -4, maka f ’(x) = -4x -5, dan seterusnya. Dengan demikian bila f(x) = x -n, maka f ’(x) = -nx n-1, berlaku bagi n bilangan bulat untuk n ≠ 0. Jika f(x) = xn, maka f ‘(x) = n x n – 1 , dengan n bilangan bulat, n ≠ 0. Contoh 5.4 : Diketahui f(x) =
1 . Carilah f ‘(x) : 3x 2
Jawab: f(x) =
x 2 3
1 3x 2 2x 3
f ‘ (x) =
2 1
2x 3
3
2 3x 3
Bagaimana bila f(x) = x n dengan n bilangan rasional? 1 x h f ( x h) f ( x ) Misalkan f(x) = x = x 2 , maka f ’(x) = lim = lim h 0 h 0 h h x h x h x h x x h x ) = lim ( lim ( )( ) = lim ( h 0 h 0 h 0 h h( x h x) h( x h x h x lim ( h
0
1 ( x h
x)
) =
1 ( x
1 x)
1 x 2
2 x
x
x)
=
) =
1 2
Jika f(x) = x n dengan n bilangan rasional, maka f ’(x) = n x n-1. Contoh 5.5 5
Diketahui f(x) = x 3 . Carilah f ‘(x) : Jawab: 5
5 3
5 Bila f(x) = x , maka f ‘(x) = x 3 3
1
2
5 3 x : 3
Latihan 2. Carilah turunan dari : 1. x ½
2. x 4/3
3. x 5/2
4. x ½
5. x 1/3
6. x -1
7. x -2
8. x -6
9. 2x -3
10. ½ x – 4
4
5
3. Sifat-sifat Turunan Fungsi Bila g(x) dan h(x) fungsi-fungsi yang memiliki turunan dan k konstanta, berlaku: (i) Jika f(x) = k g(x) maka f ’(x) = k g’(x) (ii) Jika f(x) = u(x) + v(x) maka f ’ (x) = u’(x) + v’(x) (iii) Jika f(x) = u(x) - v(x) maka f ’ (x) = u’(x) - v’(x) (iv) Jika f(x) = u(x).v(x) maka f ’ (x) = u’(x)v(x) + u(x)v(x) u ' ( x )v ( x ) u ( x )v ' ( x ) u ( x) (v) Jika f(x) = maka f ’ (x) = v( x) [v( x)] 2
Bukti (i).
f ( x h) f ( x ) kg( x h) kg( x) = lim = h 0 h h g ( x h) g ( x ) g ( x h) g ( x ) = k lim = k g’(x) lim k h 0 h 0 h h
Jika f(x) = k g(x) maka f ’(x) = lim h
0
Bukti (ii)
u ( x h) v( x h) (u ( x) v( x)) = h 0 h u ( x h) u ( x ) v ( x h) v ( x ) (u ( x h) u ( x)) (v( x h) v( x)) = lim = lim lim h 0 h 0 h 0 h h h u’(x) + v’(x). Jika f(x) = u(x)+v(x) maka f ’(x) = lim
Bukti (iii) serupa dengan bukti (ii). Bukti (iv)
u ( x h).v( x h) u ( x).v( x) = h u ( x h).v( x h)) u ( x h).v( x) u ( x h)v( x) u ( x)v( x) = lim h 0 h u ( x h).[v( x h)) .v( x)] [u ( x h) u ( x)]v( x) lim = h 0 h u ( x h).[v( x h)) .v( x)] [u ( x h) u ( x)]v( x) lim = h 0 h u ( x h).[v( x h)) .v( x)] .[u ( x h)) .u ( x)]v( x) lim lim = h 0 h 0 h h [v( x h)) .v( x)] .[u ( x h)) .u ( x)] lim u ( x h) lim v( x) = h 0 h 0 h h [v( x h)) .v( x)] .[u ( x h)) .u ( x)] lim u ( x h) lim lim lim v( x) = h 0 h 0 h 0 h 0 h h u(x)v’(x) + u’(x)v(x) = u’(x)v(x) + u(x)v’(x).
Jika f(x) = u(x)+v(x) maka f ’(x) = lim h
0
Bukti (v) serupa dengan bukti (iv) Contoh 5.6. Carilah turunan dari f(x) = 3x2 + 5x – 10 Jawab: f(x) = 3x2 + 5x – 10 Misalkan u(x) = 3x2, v(x) = 5x dan w(x) = 10, maka u’(x) = 6x, v’(x) = 5 dan w’(x) = 0 Selanjutnya f(x) = u(x) + v(x) – w(x) dan f ’(x) = u’(x) + v’(x) – w’(x) = 6x + 5.
5
6
Contoh 5.7 Carilah turunan f(x) = (3x2 -1)(x4 + 2x) Jawab: Dengan menggunakan sifat (iv) Misalkan u(x) = 3x2 -1 dan v(x) = x4 +2x, maka u’(x) = 6x dan v’(x) = 4x3 + 2 Jika f(x) = u(x).v(x) maka f ’(x) = u’(x)v(x) + u(x)v’(x) sehingga tururnan dari f(x) = (3x2 -1)(x4 +2x) adalah f ’(x) = 6x(x4+2x)+ (3x2-1)(4x3+2) = 18x⁵+18x²-4x³-2 Hasilnya sama dengan cara mengalikan dahulu u(x).v(x) yaitu f(x) = (3x2 -1)(x4 +2x) = 3x⁶+6x³-x⁴-2x, dan f ’ (x) = 18x⁵+18x²-4x³-2. Contoh 8 Carilah turunan f(x) =
2x 4 x x2 1
Jawab: Dengan menggunakan sifat (iv) Misalkan u(x) = 2x4 – x dan v(x) = x2 +1 maka u’(x) = 8x3 - 1dan v’(x) = 2x. u ' ( x )v ( x ) u ( x )v ' ( x ) u ( x) Jika f(x) = maka f ’ (x) = . v( x) [v( x)] 2 2x 4 x adalah x2 1 1)(x 2 1) (2 x 4 x)(2 x) 4 x 5 8x 3 x 2 1 = [ x 2 1]2 ( x 2 1) 2
Selanjutnya turunan dari f(x) = f ’(x) =
(8x 3
Latihan 3 Carilah turunan dari fungsi-fungsi berikut. 1. x2 + 2x + 3 2. x3 – 7x2 + 2 1. 4x4 – x2 + 9 2. (x 3 + 3x2)(2x – 1) 3. (5x2 -7)(3x2 -2x +1) 2 4. 2 5x 1 2x 2 1 5. 3x 5 5x 2 2 x 6 6. 2x 1 7. Jika f(0) = 4, f ‘(0) = -1, g(0) = -3 dan g’(0) = 5 Carilah (f-g)’(0); (f.g)’(0); dan (f/g)’(0) 8. Jika f(3) = 7, f ‘(3) = 2, g(3) = 6 dan g’(3) = -10 Carilah (f+g)’(3); (f.g)’(3); dan (f/g)’(3)
4. Arti Geometris Turunan a. Gardien Garis singgung Kurva Perhatikan grafik fungsi f pada gambar berikut. Titik A, B, dan C terletak pada grafik f, bila absisnya berturut-turut x1, x2, dan x3, maka koordinat titik A(x1, f(x1)), B(x2, f(x2)), dan C(x3, f(x3)). Garis AB memotong grafik f y yA f ( x 2 ) f ( x1 ) memiliki gradien B . Garis AC memotong grafik f memiliki xB x A x 2 x1
6
7
yC y A f ( x3 ) f ( x1 ) . Misalkan selisih absis titik C dan absis titik C sama xC x A x3 x1 dengan h, maka x3 = x1 + h, sehingga gradien garis AC sama dengan f ( x3 ) f ( x1 ) f ( x1 h) f ( x1 ) f ( x1 h) f ( x1 ) x3 x1 ( x1 h) x1 h
gradien
10
y B
8 6 C 4 2
A
0
-1
1
2
3
4
5
x
Gambar 5.1 Jika titik C pada grafik terus digeser mendekati titik A, maka x 3 mendekati x1 atau f ( x1 h) f ( x1 ) sehingga selisihnya yaitu h mendekati 0, ditulis lim dilambangkan h 0 h dengan f ’(x1) yang memiliki makna gradien garis singgung kurva f di titik A(x1, f(x1)). Contoh 5. 9 : Tentukan gradien garis singgung kurva f(x) = x2 -1 di titik x = 2 Jawab: f(x) = x2 -1, maka f’(x) = 2x Gradien garis singgung di x = 2 adalah f ’(2) = 2.2. = 4 b. NotasiLeibniz Fungsi f: x x2 +1 biasa ditulis f(x) = x2 +1, tetapi sering juga ditulis sebagai y 2 2 = x +1 . Jika f(x) = x +1 maka f ’(x) = 2x, dan bila y = x2 +1 sering ditulis y’ = 2x. f ( x h) f ( x ) Dari definisi fungsi turunan dari f (x) adalah f ‘(x) = lim , h h 0 h melambangkan perubahan nilai x. Dalam berbagai penerapan kalkulus perlu sekali lambang h sering ditulis sebagai x, sedang perubahan nilai f atau y yang sesuai disebut dilambangkan dengan f atau y. f (x x) f ( x) y Jika y = f (x), maka y = f(x + x) – f(x) dan y’ = lim = lim . x 0 x 0 x x y dy Oleh Leibniz lim ditulis sebagai . x 0 x dx 10
y B
8 6 C 4 y
y
2
A x
-1
0
1
2
y
3
4
5
x
Gambar 5.2
7
8
Contoh 5.10 Jika C (x) = 100 + 3x – x2 , tentukan
dC dx
Jawab: dC = C’(x) = 3 -2x dx Tugas 4 1. Tentukan gradien garis singgung f(x) = x2, di titik (1,1). 2. Tentukanlah koordinat titik pada kurva y = x 2 + 4x + 6 sehingga garissinggung kurva di titik itu mempunyai gradien 12 3. Tentukan persamaan garis singgung dari kurva y = x2 + x yang melalui (-1,0). 4. Tentukanlah persamaan garisinggung kurva y = x – 1/x2 di titik potong kurva dengan sumbu X 5. Aturan Rantai Jika f(x) = (uov)(x) = u(v(x)), maka f ’(x) = u’(v(x)).v’(x) Contoh 11: Carilah f ‘(x) bila f(x) = (2x + 1)3 Jawab: Cara pertama f(x) = (2x + 1)3 = 8x³+12x²+6x+1, maka f ’ (x) = 24x2 + 24x2 + 6x = 6(8x2+2x +1) = = 6(2x+1)2. Cara kedua Menggunakan sifat (vi) jika f(x) = (uov)(x) = u(v(x)), maka f ’(x) = u’(v(x)).v’(x). Untuk f(x) = (2x + 1)3 , misalkan dengan u(x) = x3 dan v(x) = 2x+1, sehingga f(x) = (uov)(x) = u(v(x)). Bila u(x) = x3 maka u’(x) = 3x2 dan bila v(x) = 2x + 1 maka v’(x) = 2 f ’(x) = 3(2x + 1)2. 2 = 6(2x + 1)2.
Contoh 12: Carilah f ‘(x) bila f(x) = Jawab: f(x) =
10
x
2x
5
x10
10 = ( x
2x 5 10
10
2x
5
10 )
1 2
1 2
f(x) = (uov)(x) dengan u(x) = x dan v(x) = x 10 + 2x 5 -10, maka u’(x) =
1 x 2
1 2
dan
v’(x) = 10x9 + 10x4 1 f ‘(x) = ( x 10 2
2x
5
1 2
10 ) (10x9 + 10x4) =
10x 9 10x 4 2 x10
2 x 5 10
Dengan menggunakan notasi Leibniz, Teorema Aturan Rantai dapat dy dy du dinyatakan sebagai berikut: Jika y = f(u) dan u = g(x), maka y’ = . dx du dx
8
9
Contoh 13 Carilah y ‘ bila y = (2x + 1)3 Jawab: Misalkan v = 2x + 1 maka y = (2x + 1)3 = v3 dy dv dy dy dv 3v 2 dan 2 sehingga 3v 2 .2 dv dx dx dv dx
6v 2
6(2 x 1) 2
Tugas 5 Carilah turunan dari fungsi-fungsi berikut. 1. f(x) = (3 -2x)5 2. y = (x3 -2x2 +3x +1)11 3. f(x) = (x2 –x +1) -7 1 4. y = 2 ( x 3) 9
B. Karakteristik Grafik Fungsi 1. Kurva Naik dan Kurva Turun Bila suatu kurva dari grafik fungsi digambarkan pada koordinat kartesius, kurva dikatakan naik, bila makin ke kanan kurva makin tinggi, seperti terlihat pada Gambar 5.3. Suatu kurva dikatakan turun bila makin ke kanan kurva makin rendah, seperti pada Gambar 5. 4. 10
y
10
8 6
y
8 6
f f
4
4
2
2
0
-1
1
2
3
x
Gambar 5.3
-1
0
1
x
2
3
Gambar 5.4
Perhatikan Gambar 5.5., pada interval - < x < -1 kurva naik, pada interval -1 < x < 1 kurva turun, dan pada interval 1 <x < kurva naik. Sedangkan pada x = -1 dan x = 1 kurva tidak naik maupun turun, dikatakan kurva mencapai stasioner. Titik A dan B disebut titik stasioner kurva. 3
y
2 A
f
1
x -3
-2
-1
0
1
-1
2
3
B
-2
Gambar 5.5
9
10
Hubungan Turunan Fungsi dengan Grafik Fungsi Perhatikan Gambar 5.6., pada interval - < x < 1 grafik naik dan garis-garis singgungnya membentuk sudut lancip dengan sumbu x positif, artinya gradien-gradien garis singgung grafik f pada saat kurva f itu naik adalah positif. Dengan kata lain, grafik fungsi f naik bila f ’(x) > 0. Perhatikan Gambar 5.7., pada interval 1 < x < grafik turun dan garis-garis singgungnya membentuk sudut tumpul dengan sumbu x positif, artinya gradien-gradien garis singgung grafik f pada saat kurva f turun adalah negatif. Dengan kata lain, grafik fungsi f turun bila f’(x) < 0.
-4
-2
6
6
4
4
2
2
0
2 x
4
-4
-2
0
-2
-2
-4
-4
Gambar 5.6
2 x
4
Gambar 5.7
Contoh 14 Bila f(x) = 2x3 – 3x2 -12x +7, tentukan dimana grafik f naik dan grafik f turun. Jawab: f(x) = 2x3 – 3x2 -12x +7 maka f ‘(x) = 6x2 – 6x -12 Grafik f naik bila f ‘(x) > 0 6x2 – 6x -12 > 0 x2 – x -2 > 0 (x-2)(x+1)>0 Batas-batas interval adalah (x-2)(x+1)= 0 x = 2 dan x = -1 Untuk daerah pada garis bilangan sebelah kiri -1 itu daerah positif (+) atau negatif (-) subsitusikan sembarang bilangan sebelah kiri -1, misalnya -2 diperoleh (-2-2)(-2+1) = (-4)(-1) = 4 positif (+). Untuk daerah pada garis bilangan antara -1 dan 2 itu daerah positif (+) atau negatif (-) subsitusikan sembarang bilangan sebelah kiri di antara kedua bilangan, misalnya 0 diperoleh (0-2)(0+1) = (-2)(1) = -2 negatif (-). Begitu juga untuk memeriksa daerah garis bilangan sebelah kanan 2, ambil bilangan 3, kemudian subsitusikan ke (x-2)(x+1) = (3-2)(3+1) = 1.4 = 4 positif (+) +++
--+++ -1 2 Grafik f naik pada interval garis bilangan yang bertanda positif (+) yaitu, - < x <-1 dan 2<x< . Dengan menggunakan garis bilangan yang sama, sekaligus diperoleh interval dimana grafik f turun, yaitu pada interval garis bilangan yang bertanda negatif (-). Grafik f turun pada interval - 1 < x < 2. Ini sesuai dengan grafik f(x) = 2x3 – 3x2 -12x +7 pada Gambar 8.
10
11
15
y
10 f
5
x -3
-2
-1
1
2
3
4
-5 -10 -15
Gambar 5.8.
Tugas 6 Untuk setiap fungsi di bawah ini, tentukanlah interval-interval dimana fungsi itu naik dan dimana fungsi itu turun 1. f(x) = x2 – 8x + 10 2. f(x) = 2x - x2 3. f(x) = 3x – x3 4. f(x) = 2x3 – 9x2 + 12 5. f(x) = 1/3 x3 – x2 – 3x + 3 6 f(x) = x(x – 2)2 7. f(x) = 1 + x – x2 – x3 8. Tunjukkanlah grafik fungsi f(x) = x3 – 3x2 + 3x – 10 tidak pernah turun.
2. Titik Stasioner Pada Gambar 5.9., sebelah kiri titik A kurva naik, dan sebelah kanan titik A kurva turun, sedangkan di titik A kurva tidak naik maupun turun, oleh karena itu A disebut titik stasioner. Titik stasioner A pada Gambar 9. ini disebut titik balik maksimum. Sedangkan pada dan Gambar 5.10., sebelah kiri titik A kurva turun dan sebelah kanan titik A kurva naik. Titik stasioner A pada Gambar 10. disebut titik balik minimum. Baik pada Gambar 5.9., maupun Gambar 5.10., garis singgung di titik stasioner A sejajar dengan sumbu x, artinya gradien garis singgung grafik fungsi f di A adalah 0. Dengan kata lain, grafik f mencapai stasioner bila f ’(x) = 0. 8 6
A
4 4
2
2 -4
-2
0 -2 -4
2
4
A
x x -1
0
1
2
3
4
5
-2
Gambar 9
Gambar 10
Contoh 15 Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari grafik f(x) = x2-4x+3 Jawab:
11
12
Grafik f mencapai stasioner bila f ’ (x) = 0 f(x) = x2 – 4x + 3, maka f ’(x) = 2x -4 f ’(x) = 0, artinya 2x – 4 = 0 atau x = 2 Nilai stasionernya f(2) = 22 - 4.2 + 3 = -1 Jadi titik stasionernya (2,-1) Gunakan garis bilangan berikut untuk memeriksa jenis stasioner . --+++ 2 x = 2 adalah absis titik stasioner, batas kurva naik atau turun. Daerah pada garis bilangan sebelah kiri 2 adalah negatif (-) sebab f ’(0) = 2.0 – 4 = -4 negatif (-), sedangkan sebelah kanan 2 adalah positif (+), sebab f ’(3) = 2.3 – 4 = 2 positif (+). Sebelah kiri x = 2 kurva turun dan sebelah kanan x = 2 kurva naik, disimpulkan jenis titik stasioner (2,-1) adalah titik minimum. Jawaban di atas sesuai dengan grafik f(x) = x2 – 4x + 3 pada Gambar 5.11. 6
y
5 f 3 2 1 -2
-1
0
1
2
3
4
5
x
-1 A(2,-1) -2
Gambar 5.11.
Contoh 16 Tentukan titik-titik stasioner dan jenisnya dari grafik f(x) = 5x3 – 3x5 Jawab: Fungsi turunan dari f(x) = 5x3 – 3x5 adalah f ’(x) = 15x2 – 15x4 . Grafik f mencapai stasioner bila f ’(x) = 0 15x2 – 15x4 = 0 15x2(1 – x)(1 + x) = 0, 15x2 = 0 atau 1 – x = 0 atau 1 + x = 0, sehingga diperoleh absis titik-titik stasioner x = 0, x = 1, dan x = -1. Masing - masing ordinat titik stasionernya adalah, f(0) = 5.03 – 3.05 = 0, f(1) = 5.13 – 3.15 = 2, dan f(1) = 5.(-1)3 – 3.(-1)5 = -2, sehingga diperoleh titiktitik stasioner (0,0), (1,2) dan (-1,-2). Untuk memeriksa jenis titik stasioner itu, digunakan garis bilangan sebagai berikut. ---
+++ -1
+++ 0
--1
Daerah pada garis bilangan sebelah kiri -1 adalah negatif (-) sebab bila disubsitusi oleh sebarang bilangan kurang dari -1 misalnya -1, f ’(-2) = 15(-2)2(1 –(-2))(1 + (-2)) = -180 adalah bilangan negatif. 2.0 – 4 = -4 negatif (-). Daerah antara -1 dan 0 adalah positif 45 (+), sebab f ’(- ½) = 15(- ½ )2(1 –(- ½ ))(1 + (- ½ )) = adalah bilangan positif. 16 45 Daerah antara 0 dan 1 adalah positif (+), sebab f ’( ½) = 15( ½ )2(1 – ½ )(1 + ½ ) = 16 2 adalah bilangan positif. Daerah sebelah kanan 1 negatif (-), sebab f ’(2) = 15(2) (1 – 2))(1 + 2) = -180 adalah bilangan negatif. Titik (-1,-2) adalah titik balik minimum, karena grafik sebelah kiri titik ini turun dan sebelah kanan titik itu naik. Nilai f(-1) = -2 disebut nilai balik minimum.
12
13
Titik (1,2) adalah titik balik maksimum, karena grafik sebelah kiri titik ini naik dan sebelah kanan titik itu turun. Nilai f(1) = 2 disebut nilai balik maksimim.. Titik (0,0) bukan titik balik minimum maupun minimum, karena grafik sebelah kiri titik ini naik dan sebelah kanan titik itu naik pula. Titik (0,0) pada kurva ini disebut titik belok.
10
y
8 6 4
(1,2)
2 -2
-1 (-1,-2)
-2
x (0,0)
1
2
-4 -6 -8 -10
Gambar 5. 12. Dari contoh di atas, secara umum, misalnya x = a memenuhi f ’(a) = 0, maka titik (a, f(a)) adalah titik balik maksimum atau titik balik maksimum atau titik belok. Jika f ’(x) ada untuk setiap titik disekitar x = a (yaitu interval kecil pada sumbu x yang memuat a) maka di sekitar x = a terdapat 4 kemungkinan untuk grafik f. Titik (a,f(a)) merupakan titik balik maksimum dari f, bila x f ’(x)
Sedikit sebelah kiri a (a – ) Positif ( + )
a
Sedikit sebelah kanan a (a +)
0
Negatif (-)
Titik (a,f(a)) merupakan titik balik minimum dari f, bila x f ’(x)
Sedikit sebelah kiri a (a – ) Negatif ( - )
a 0
Sedikit sebelah kanan a (a +) Positif (+)
Titik (a,f(a)) merupakan titik belok dari f, bila x f ’(x)
Sedikit sebelah kiri a (a – ) Positif ( + )
a
Sedikit sebelah kanan a (a +)
0
Positif (+)
a
Sedikit sebelah kanan a (a +)
atau x f ’(x)
Sedikit sebelah kiri a (a – ) Negatif ( - )
0
Negatif (-)
13
14
Tugas 7. Tentukanlah nilai-nilai stasioner fungsi yang didefinisikan berikut ini dan tentukanlah jenis masing-masing nilai stasioner itu 1. f(x) = x2 2. f(x) = x2 – 2x 3. f(x) = 4 – x2 4. f(x) = x + 1/x 5. f(x) = x3 – 3x
3. Menggambar Kurva Sebelumnya telah kita belajar menggambar berbagai grafik fungsi tertentu seperti, fungsi linear, kuadrat, dan lain sebagainya. Sekarang akan belajar menggambar berbagai grafik fungsi dengan memperhatikan titik-titik stasioner, titik-titik balik maksimum, minimum, kecekungan, dan lain-lain. Kemampuan menggambar kurva merupakan hal yang sangat penting dalam pengertian dan penggunaan Kalkulus. Dalam menggambar grafik fungsi yang dapat didefinisikan, beberapa atau semua hal berikut ini sangat membantu: (i). Titik-titik potong kurva dengan sumbu x dan sumbu y (jika mudah diterapkan). (ii). Titik-titik stasioner dan jenisnya (iii) Nilai-nilai f(x) untuk x atau x - . Contoh 17 Gambarlah grafik kurva f(x) = x(x – 3)2 Jawab: (i). Titik-titik potong dengan sumbu-sumbu: Titik potong dengan sumbu y diperoleh jika x = 0 maka f(0) = 0(0-3)2 = 0 Titik potong dengan sumbu y adalah (0,0). Titik potong dengan sumbu x diperoleh jika f(x) = 0, maka x(x -3)2= 0 diperoleh Titik potong dengan sumbu x adalah (0,0) dan (3,0). (ii). Titik-titik stasioner dan jenisnya; f(x) = x(x – 3)2 = x(x2 – 6x + 9) = x3 – 6x2 + 9x f ’(x) = 3x2 – 12x + 9 Titik -titik stasioner pada kurva diperoleh dari f ’(x) = 0 3x2 – 12x + 9 = 0 x2 – 4x + 3 = 0 (x-1)(x-3) = 0 (x-1) = 0 atau (x-3) = 0 x = 1 atau x = 3 Untuk x = 1, maka f(1) = 1(1-3)2 = 4, untuk x = 3 maka f(3) = 3 (3-3)2 = 0 Jadi titik-titik stasioner adalah (1, 4), dan (3, 0) Untuk menentukan jenis stasioner, gambarlah garis bilangan +++
---
+++
1 3 Subsitusikan nilai x sebarang sebelah kiri 1, misal x = 0 ke dalam f ’(x), sehingga diproleh f ’(0) = 3 (0)2 -12.0 + 9 = 9 (bilangan positif), artinya daerah garis bilangan sebelah kiri 1 adalah daerah positif. Subsitusikan nilai x sebarang sebelah kiri antara 1 dan 3, misal x = 2 ke dalam f ’(x), sehingga diproleh f ’(2) = 3 (2)2 -12.2 + 9 = 12 -24 + 9 = -3 (bilangan negatif), artinya daerah garis bilangan antara 1 dan 3 adalah daerah negatif. Subsitusikan nilai x sebarang sebelah kanan 3, misal x = 4 ke dalam f ’(x), sehingga diproleh f ’(40) = 3 (4)2 -12.4 + 9 = 48 - 48 + 9 = 9 (bilangan positif), artinya daerah garis bilangan sebelah kanan 3 adalah daerah positif.
14
15
Tanda positif sebelah kiri 1 artinya grafik naik dan sebelah kanan 1 artinya grafik turun, jadi titik (1, 4) merupakan titik balik maksimum. Tanda negatif sebelah kiri 3 artinya grafik turun dan sebelah kanqn 3 artinya grafik naik, jadi titik (3,0) merupakan titik balik minimum. (iii) f(x) = x(x – 3)2. Untuk nilai x
maka f(x)
dan untuk nilai x
-
maka f(x)
-
Semua keterangan di atas memungkinkan kita menggambar kurva, seperti tampak pada Gambar 5.13.
6
y (1,4) f
4 2
x -2
-1
1
2
(3,0)
4
5
-2 -4 -6
Gambar 5.13.
Tugas 8. Gambarlah kurva-kurva berikut ini: 1. y = x2 – 4 2. y = 8x – x2 3. y = 3x – x3 4. y = (5 – x)2 5. y = 3x2 – x3 . C. Penerapan Turunan 1. Pemecahan masalah sehari - hari Contoh 18 Sebidang tanah terletak sepanjang suatu tembok. Tanah itu kan dipagari untuk peternakan ayam. Pagar kawat yang tersedia panjangnya 400 m. Peternakan itu dibuat berbentuk persegi panjang . Tentukanlah ukurannya agar terdapat derah peternakan yang seluas-luasnya. Jawab: Pertama-tama dibuat model matematika dari soal itu, kemudian dianalisa. Jika lebar kandang x meter maka panjangnya (400 – 2x) meter. Jelaslah bahwa x ≥ 0 dan (400 – 2x) ≥ 0. Jadi 0 ≤ x ≤ 200. Luas kandang dalam m2 adalah L(x) = x(400 – 2x) = 400x – 2x2 L ’(x) = 400 – 4x = 4(100 – x) dan L”(x) = -4 L ’(x) = 0 x =100, karena L ” (100) = -4 < 0, maka L(100) nilai balik maksimum. Jadi untuk x = 100 terdapat nilai balik maksimum L(100) = 20.000. Pada ujung-ujung interval 0 ≤ x ≤ 200 terdapat L(0) = 0 dan L(200) = 0
15
16
Jadi luas maksimum yang ditanyakan adalah 20.000 m 2 yang terjadi jika lebarnya 100 m dan panjangnya 200 m.
Tugas 9. 1. Jumlah dua bilangan x dan y adalah 40, dan hasil kalinya p. Tulislah persamaan yang menyatakan hubungan antara x dan y. Kemudian nyatakan p dalam x. Tentukanlah hasil kali yang terbesar. 2. Keliling suatu persegipanjang 100 m a. Jika panjangnya x meter dan lebarnya y meter tulislah persamaan paling sederhana yang menyatakan hubungan antara x dan y b. Tulislah rumus luas L m2 untuk persegipanjang itu. Nyatakan L dalam x. Tentukanlah ukuran persegipanjang tersebut agar luasnya maksimum. 3. Sehelai karton berbentuk persegi panjang dengan lebar 5 cm dan panjang 8 cm. Pada tempat sudut karton itu dipotong bujursangkar yang sisinya x cm. Dari bangun yang didapat dibuat kotak tanpa tutup yang tingginya x cm. Tentukanlah ukuran kotak agar isinya sebanyak-banyaknya. 4. Suatu kotak alasnya berbentuk bujursangkar dengan sisi x cm dan tinggi kotak h cm, atasnya terbuka. Isi kotak 32 cm3 a. Tulislah persamaan yang menyatakan hubungan x dengan h.Tulislah juga rumus untuk luas permukaan kotak L cm2 dinyatakan dengan x dan h b. Tunjukkan bahwa L(x) = x2 + 128/x dan kemudian tentukanlah ukuran kotak agar bahan untuk membuat kotak itu sesedikit mungkin.
2. Pemecahan Masalah Ekonomi Pada perusahaan yang memproduksi suatu jenis barang, laba, pendapatan, dan biaya produksi tergantung dari banyaknya barang yang diproduksi. Jika banyak barang yang diproduksi itu x unit, maka lab, pendapatan dan biaya produksi merupakan fungsi dari x. Laba total biasa dilambangkan dengan P(x), pendapatan total dilambangkan dengan R(x), dan biaya total dilambangkan dengan C(x). Laba merupakan selisih pendapatan dengan biaya, sehingga dapat ditulis P(x) = R(x) – C(x). Jika harga tiap unit barang itu p(x), maka pendapatan total R(x) = x p(x), sehingga diperoleh persamaan P(x) = xp(x) – C(x) atau C(x) = xp(x) – P(x). Selanjutnya biaya rata-rata merupakan biaya total dibagi banyaknya barang, C( x ) C( x ) sehingga biaya rata-rata adalah C (x) = atau . Untuk x 0, maka x x C dC lim = ini mendefinisikan biaya marjinal. Dengan cara yang serupa dapat x 0 x dx dR dR didefinisikan pendapat marjinal adalah dan keuntungan marjinal . dx dx Contoh 10 Total biaya memproduksi dan menjual x satuan barang tertentu tiap bulan x2 adalah C(x) = 1100 + . Carilah biaya rata-rata tiap satuan dan biaya marjinal pada 1200 tingkat produksi 900 satuan tiap bulan. Jawab: Biaya rata-rata tiap satuan adalah C (x) =
C( x ) = x
x2 1200
1100 x
16
17
9002 1200 900
1100
Jika x = 900, maka biaya rata-rata tiap satuan adalah C (900) =
1100 1200 810.000 2.130.000 = = 1,97 900 1200 1.080.000 Biaya rata-rata tiap satuan barang bila diproduksi sebanyak 900 satuan adalah Rp. 1, 97 =
Biaya marjinal tiap bulan adalah biaya marjinalnya adalah
dC dx
2x . Pada tingkat produksi 900 unit per bulan 1200
2 900 = 1,5 atau Rp. 1,50. 1200
Contoh 11. Total biaya untuk memproduksi dan menjual x satuan komoditas adalah 80 .000 x 400 x 2 x 3 C(x) = 40 .000 Untuk nilai x berapa biaya rata-rata menjadi minimum? Jawab: C( x ) 80 .000 400 x x 2 Biaya rata-rata adalah C ( x) = x 40 .000 Biaya rata-rata akan mencapai minimum bila
dC dx
0
dC 400 2 x 0 atau 2x = 400 atau x = 200. dx 40.000 Agar biaya rata-rata menjadi minimum maka harus diproduksi 200 satuan Latihan 10. 1. Dalam memproduksi dan menjual x komoditas, fungsi harga p dan fungsi biaya (dalam jutaan rupiah) adalah p(x) = 5 – 0,002 x dan C(x) = 3 + 1,1x. Tuliskan fungsi dari pendapatan marjinal, biaya marjinal, dan keuntungan marjinal. 2. Total biaya untuk memproduksi dan menjual 100x satuan barang tertentu tiap minggu adalah C(x) = 1000 + 33x -9x2 + x3. Cari (a) tingkat produksi yang membuat biaya marjinal minimum, dan (b) biaya marjinal minimum.
17
18
Soal apersepsi 1. Tentukan gradien persamaan garis yang melalui titik (x 1,y1) dan (x2,y2). f( x h) f(x) 2. Diketahui f(x) = x2, tentukan lim h 0 h 2 3. Tentukan x dari f(x) = x + 4x + 5 agar f(x) bernilai minimum.
Perdalam Konsepmu 1. Manakah pernyataan yang benar di bawah ini. a. Jika h(x) =f(x) + g(x), maka h’(x) = f ’(x) + g’(x) b. Jika h(x) =f(x) g(x), maka h’(x) = f ’(x) g’(x) c. Jika h(x) = (fog)(x) maka h’(x) = (f ’og’)(x) 2. Operasi manakah yang terkait dengan aturan rantai? 3. Apa bedanya f naik pada interval a < x < b dan f tidak turun pada interval a < x < b? 4. Jelaskan jenis-jenis titik ekstrim! Rangkuman
f ( x h) f ( x ) . h 2. Turunan dari f(x) = axn adalah f ’(x) = an x n-1 untuk n bilangan rasional. 3. Sifat-sifat turunan fungsi Bila g(x) dan h(x) fungsi-fungsi yang memiliki turunan dan k konstanta, berlaku: (1) Jika f(x) = k g(x) maka f ’(x) = k g’(x) (2) Jika f(x) = u(x) + v(x) maka f ’ (x) = u’(x) + v’(x) (3) Jika f(x) = u(x) - v(x) maka f ’ (x) = u’(x) - v’(x) (4) Jika f(x) = u(x).v(x) maka f ’ (x) = u’(x)v(x) + u(x)v(x) u ' ( x )v ( x ) u ( x )v ' ( x ) u ( x) (5) Jika f(x) = maka f ’ (x) = v( x) [v( x)] 2 dy 4. Jika y = f(x) turunan dari f ditulis f ’(x) oleh Leibniz dilambangkan dengan dx 5. Aturan Rantai (1) Jika h(x) = (f(g(x)) maka h ’(x) = f ’(g(x)) g(x) atau dy dy du (2) Jika y = f(u) dan u = g(x), maka dx du dx 6.. Turunan dan grafik fungsi (1) Grafik f naik pada interval yang memenuhi f ’(x) >0 (2) Grafik f turun pada interval yang memenuhi f ’(x) <0 (3) Grafik f mencapai stasioner pada x yang memenuhi f ’(x) = 0 1. Turunan dari fungsi f ditulis f ’ dengan definisi f ’(x) = lim h
0
7. Jika fungsi pendapatan total R(x), biaya total C(x), dan laba total P(x), maka diperoleh P(x) = R(x) – C(x) = x p(x) – C(x) dengan p(x) harga penjualan untuk tiap satuan. dR dP dC Biaya marjinal adalah , pendapatan marjinal , keuntungan marjinal , dan dx dx dx dp harga marjinal . dx
18
