BAB V PERHITUNGAN INTEGRAL (ANTI DIFERENSIAL) Perhatikan Gambar V.1. Selang [a , b] dipartisi atas n bagian yang sama, dan dibangun dua macam persegi–persegi panjang. Persegi−persegi panjang yang pertama seluruhnya berada di bawah grafik y = f(x). Sedangkan yang kedua meliput grafik y = .(x). Jika disajikan :
Y
mi : luas persegi panjang yang seluruhnya
y = f(x)
berada di bawah grafik, Mi : luas persegi panjang yang memuat grafik, maka X0=a
x1
x2
...
xn-1 b=xn
mi = f(xi)
X
Mi = f(xi+1)
Gambar V.1. Konsepsi integral
Selanjutnya, tulis m(n) =
n −1 i =1
b−a , i = 1, 2, . . . , n−1, n b−a , i = 1, 2, . . . n
, n−1,
Dalam hal ini, f(x0)=f(a) dan f(xn) = f(b).
m i , M(n) =
n −1 i =1
M i . Jika nilai Lim m(n) dan Lim M n ada dan n→∞
n →∞
b
berhingga, maka Lim m n = Lim M n = f ( x )dx . n →∞
n →∞
a
b
f ( x )dx dinamakan integral tentu dari fungsi y = f(x) dengan batas bawah
Formulasi a
x = a dan batas atas x = b. formulasinya menjadi
Jika nilai-nilai batas integral tidak disajikan, sehingga
f ( x )dx , maka bentuk integral ini dinamakan integral tak tentu dari
fungsi y = f(x). Perbedaan antara integral tentu dengan tak tentu adalah, Integral tentu
143
hasilnya sebuah bilangan (konstanta), sedangkan integral tak tentu, sebuah fungsi. Fungsi f(x) pada bentuk integral (baik tentu maupun tak tentu) dinamakan integrand.
V.1.
Fungsi Primitif
Menghitung integral sebuah fungsi, baik integral tentu maupun tak tentu, dengan menggunakan konsepsi limit, tidak semudah pada perhitungan difrensial.
Sebab untuk
keperluan perhitungan integral perlu didefinisikan sebuah fungsi yang dinamakan fungsi
primitif atau biasa dinamakan antidiferensial. Hal ini karena pada formulasi integral terlibat operator diferensial, dx.
Definisi Fungsi y = F(x) dinamakan fungsi primitif (antidiferensial) dari y = f(x), jika berlaku hubungan dF( x ) = f(x) d(x ) untuk setiap x pada domain y = f(x). Sebagai contoh, fungsi primitif dari y = Cos x adalah y = Sin x, sebab
dSin ( x ) = Cos x d(x )
Selanjutnya untuk dapat melakukan proses perhitungan integral perlu dipahami dalil berikut ini.
Dalil Jika y = f(x) fungsi kontinu pada domain S = [a , b], dan y = F(x) fungsi primitif dari y = f(x), maka b
a
b
f ( x )dx = F( x ) a = F(b) – F(a)
Bukti Perhatikan Gambar V.1. Berdasarkan gambar, maka dapat disajikan barisan nilai a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn-1 < xn = b, 144
sehingga dengan cara menambahkan suku baru dan mengurangkan kembali, diperoleh formulasi F(b) – F(a) = F(xn) – F(xn-1) + F(xn-1) − . . . − F(x1) + F(x1) − F(x0) =
n i =1
{F( x i ) − F( x i −1 )}
Karena y = F(x) fungsi primitif dari y = f(x), yang berarti F′(x) = f(x), maka y = F(x) merupakan fungsi diferensiabel dengan turunannya kontinu di S, sehingga berdasarkan dalil nilai tengah, ada x i , xi-1 < x i < xi, sedemikian rupa sehingga F(xi) – F(xi-1) = f( x i )(xi – xi-1), atau F(b) – F(a) =
n
f ( x i )( x i − x i −1 ) ,
i =1
sehingga jika kedua ruas dihitung nilai limitnya untuk n → ∞, maka Lim{F(b) − F(a )} = Lim n →∞
n →∞
n i =1
f ( x i )( x i − x i −1 ) .
Karena F(b) – F(a) sebuah konstanta, maka Lim{F(b) − F(a )} = F(b) – F(a), ada dan n →∞
n
merupakan nilai berhingga. Sehingga Lim n →∞
Berdasarkan konsepsi integral, maka Lim n →∞
i =1 n
i =1
f ( x i )( x i − x i −1 ) juga ada dan berhingga. b
f ( x i )( x i − x i −1 ) = f ( x )dx = F(b) – F(a). a
Contoh 1 2
xdx = 1
Tunjukan bahwa 1
1 2
Jawab : Fungsi primitif f(x) = x adalah F(x) =
1 2 d 1 2 x , sebab x 2 dx 2
1 2 1 (1) = 1 2 2 2 , sehingga Karena F(x) = x , maka 1 2 2 F(2) = (2) = 2 2 F(1) =
145
2
1
=
1 .2.x2-1 = x. 2
xdx = 2 −
1 1 =1 . 2 2
Contoh 2 Hitunglan
1 π 4
Cos( x )dx !
0
Jawab : Sudah ditunjukan bahwa fungsi primitif dari f(x) = Cos x, adalah F(x) = Sin x, sehingga F(
1 1 1 π) = Sin( π) = 2 4 4 2
f(0) = Sin(0) = 0 1 π 4
1 1 1 Cos( x )dx = Sin( π) − Sin(0) = 2 −0= 2 4 2 2 0 Dari paparan dalil, dapat disajikan pernyataan sebagai berikut. Jika batas integral a b
f ( x )dx dihilangkan, sehingga diperoleh bentuk
dengan b pada integral tentu
f ( x )dx ,
a
maka f ( x )dx = F(x) +k, dengan k konstanta, yang nilainya dapat dihitung, jika ada tambahan ketentuan. b
f ( x )dx adalah sebuah konstanta, sedangkan
Sebelumnya sudah dikemukan,
f ( x )dx
a b
f ( x )dx = F(b) – F(a), yang merupakan
sebuah fungsi. Hal ini tersurat pada sajian bahwa a
sebuah konstanta, dan f ( x )dx = F(x) + k, sebuah bentuk fungsi.
146
Contoh 3 Hitunglah
2
(x + 1)2
dx , jika untuk x = 0 nilainya sama dengan 1 !
Jawab : 2
,x
−1 adalah F(x) =
Subtitusikan x = 0 pada hasil integrasi
0 −1 +k=1 0 +1
Fungsi primitif dari f(x) = 2
(x + 1)
2
Sehingga
dx =
(x + 1)
2
x −1 , sehingga x +1
x −1 +k x +1
2
(x + 1)
2
dx =
k=2
x −1 3x + 1 +2= x +1 x +1
Fungsi yang memiliki nilai integral pada domain S, dinamakan integrabel, pada domain
S. Jika menelaah paparan yang telah disampaikan, syarat perlu dan cukup agar sebuah fungsi integrabel pada domain S adalah kontinu di mana-mana pada S. Sedangkan agar diferensiabel, kekontinuan fungsi hanya merupakan syarat perlu tetapi tidak cukup. Hal ini menyatakan bahwa, sebuah fungsi integrabel tidak perlu diferensiabel, sedangkan jika
fungsi diferensiabel, maka integrabel.
Sebagai contoh fungsi y = x.
Fungsi ini
integrabel pada domain bilangan riel, tetapi tidak diferensiabel di titik (0 , 0). Hal ini dapat ditelaah pada fakta,
Lim h → 0− Lim h→0
x dx =
1 2 x +K , x>0 2 . Yang berarti integralnya ada, tetapi 1 − x2 + K , x < 0 2
f ( 0 + h ) − f ( 0) f ( 0 + h ) − f ( 0) = −1, sedangkan Lim = 1. h h h → 0+
f ( 0 + h ) − f ( 0) tidak ada. h 147
Yang berarti
V.2.
Dalil dasar tentang integral
Untuk lebih memudahkan perhitungan integral perlu dipahami dalil dasar tentang integral. 1.
kdx = kx + c , k, c : konstanta
Bukti d (kx + c) = kx1-1 + 0 = k dx
2.
x n dx =
1 n+1 x +k;n n +1
−1 , k : konstanta
Bukti 1 d 1 (n+1)x(n+1)-1 + 0 = xn x n +1 + K = n +1 dx n + 1 3.
1 dx = ln x + k ; k : konstanta x
Bukti 1 1 d (lnx + k) = + 0 = dx x x 4.
e x dx = ex + k ; k : konstanta
Bukti
(
)
d x x x e +k = e + 0 = e dx
5.
Sin ( x )dx = −Cos(x) + k, dan Cos( x )dx = Sin(x) + k ; k ; konstanta
Bukti Sudah disampaikan sebagai contoh pada definisi fungsi primitif
148
(f (x ) + g(x ) )dx
6.
= f ( x )dx + g ( x )dx
Bukti n −1
(f (x ) + g(x ))(x i
1=1
Lim n →∞
i
n −1
(f (x ) + g(x ))(x i
1=1
= Lim n →∞
i +1 − x i ) =
n −1
i
(f (x ))(x i
1=1
i +1
n −1
(f (x ))(x i
1=1
i +1 − x i ) +
n −1
(g(x )(x i
1=1
i +1
− xi )
− xi )
i +1 − x i ) + Lim n →∞
n −1
(g(x ))(x i
1=1
i +1
− xi )
Berdasarkan konsepsi integral, jika masing-masing limit nilainya ada dan berhingga, maka
7.
(f (x ) + g(x ) )dx
= f ( x )dx + g ( x )dx
kf ( x )dx = k f ( x )dx
Bukti Gunakan analogi pembuktian dalil 6, dengan menyatakan kf(x) sebagai perjumlahan atas k buah fungsi f(x)
V.3.
Cara menghitung sebuah integral
Menghitung integral sebuah fungsi dengan menggunakan konsepsi seperti yang telah dipaparkan cukup sulit, dan proses perhitungannya relatif tidak sesederhana perhitungan diferensial. Ada beberapa metode untuk menghitung integral sebuah fungsi.
1. Integral sebagai sebuah antidiferensial Berdasarkan dalil pada fungsi primitif, tersurat bahwa
d dx
( f (x)dx )
= f(x).
Dari
pernyataan ini dapat disimpulkan, sebuah integral dapat diselesaikan jika diketahui fungsi primitifnya, sehingga untuk menyelesaikan sebuah integral dengan cara ini, diperlukan 149
sebuah direktori fungsi primitif yang lengkap. Metode ini dapat digunakan jika bentuk integrandnya cukup sederhana.
2. Metode subtitusi Ada beberapa cara subtitusi yang dapat digunakan, diantaranya
a) Subtitusi aljabar Contoh 4 Hitunglah (2 x − 3)e (x
2
− 3 x +1
)dx
Jawab : Subtitusikan y = x2 – 3x + 1 (2 x − 3)e (x
2
− 3 x +1
dy = (2x – 3)dx
)dx = (2x − 3)e y
dx =
dy 2x − 3
dy = e y dy = ey + k = e(x² - 3x + 1) + k 2x − 3
Contoh 5 Hitunglah ( x + 1)Tg ( x 2 + 2 x − 1)dx
Jawab : Subtitusikan y = (x2 + 2x – 1)
dy = (2x + 2)dx
dx =
dy 1 dy = 2x + 2 2 x +1
Dengan menggunakan dalil 7, ( x + 1)Tg ( x 2 + 2 x − 1)dx = ( x + 1)Tg ( y) Subtitusikan z = Cos(y)
1 dy 1 1 Sin ( y) (Tg ( y)dy = }dy = 2 x +1 2 2 Cos( y)
dz = −Sin(y)dy
1 Sin ( y) 1 − dz }dy = = −ln(z) + k = −ln{Cos(y)} + k = −ln{Cos(x2 + 2x – 1) + k 2 Cos( y) 2 z
150
Contoh 6 Hitunglah Sec( x )dx !
Jawab : Sec(x) =
Cos( x ) Cos( x ) 1 = = 2 Cos( x ) Cos ( x ) 1 − Sin 2 ( x )
Subtitusikan y = Sin(x) Sehingga Sec( x )dx =
dy = Cos(x)dx dy Cos( x ) dx = 2 1− y2 1 − Sin ( x )
1 1 1 2 2 , dengan menggunakan dalil 6, 7, dan 3, = = + (1 − y)(1 + y) (1 − y) (1 + y)
Karena
1 1− y2
maka
1 dy 1 dy dy + . = 2 2 1− y 2 1+ y 1− y
Menghitung
dy 1− y
Subtitusikan z = 1 – y dy = 1− y
− dz = −ln(z) + K1 = −ln(1−y) + k1 = −ln{1−Sin(x)} + k1 z
Menghitung
dy 1+ y
Subtitusikan z = 1 + y dy = 1+ y
dz = −dy,
dz = dy
dz = ln(z) + k2 = ln(1+y) + k2 = ln{1+Sin(x)} + k2 z
151
Sehingga Sec( x )dx =
=−
1 1 [−ln{1−Sin(x)} + k1] + [ln{1+Sin(x)} + k2] 2 2
1 1 + Sin ( x ) 1 1 ln{1−Sin(x)} + ln{1+Sin(x)} + k = ln + k, 2 1 − Sin ( x ) 2 2
dengan k =
1 1 k1 + k2 . 2 2
b) Subtitusi goniometri Metode ini dilakukan jika integrand memiliki bentuk a2 – x2, a2 + x2, atau x2 – a2; a
a2 − x2 ,
0.
Bentuk subtitusinya, 1) untuk bentuk
a 2 − x 2 atau a2 – x2 x , atau a
x = aSin(y)
dx = aCos(y)dy , y = arc Sin
x = aCos(y)
dx = −aSin(y)dy , y = arc Cos
Contoh 7 Hitunglah
x +1 4 − x2
dx
Jawab : Subtitusikan x = 2Sin(y)
dx = 2Cos(y)dy y = arc Sin
sehingga
152
x 2
x a
a2 + x2 ,
x2 − a2 ,
x +1 4 − x2
=
2Sin ( y) + 1
dx =
4 − 4Sin 2 ( y)
(2Sin ( y) + 1)dy = x 2
= −2Cos arcSin
2) untuk bentuk
2Cos( y)dy =
2Sin ( y) + 1 2Cos( y)dy 2Cos( y)
2 Sin ( y)dy + dy = −2Cos(y) + y + k x 2
+ arc Sin
+k
a 2 + x 2 atau a2 + x2 dx = aSec2(y)dy
x = aTg(y)
y = arc Tg
x a
Contoh 8 Hitunglah
1 x 9 + x2
dx
Jawab : dx = 3Sec2(y)dy
Subtitusikan x = 3Tg(y)
y = arc Tg 1 x 9 + x2 =
dx =
1 3Tg ( y) 9 + 9Tg 2 ( y)
x 3
3Sec 2 ( y)dy =
1 3Sec 2 ( y)dy 3Tg ( y)3Sec( y)
1 Sec( y) 1 1 1 Sin ( y) 1 Sin ( y) dy = dy = dy = dy 2 3 Tg ( y) 3 Sin ( y) 3 Sin ( y) 3 1 − Cos 2 ( y)
Subtitusikan z = Cos(y)
dz = −Sin(y)dy
Sehingga
153
1 1 Sin ( y) 1 2 dz + 2 dz = − 1 ln(1−z)+ 1 ln(1+z)+k dy = dz = 2 2 1− z 1+ z 2 2 1 − Cos ( y) 1− z =
1 1+ z ln 2 1− z
1 x 9+x
2
+k=
dx =
1 + Cos( y) 1 +k ln 1 − Cos( y) 2
1 1 { 3 2
ln
1 + Cos( y) 1 ln + k} = 1 − Cos( y) 6
1 + Cos arcTg
x 1 − Cos arcTg 3
x 2 − a 2 atau x2 – a2
3) untuk bentuk x = aSec(y)
dx = aSec(y)Tg(y)dy y = arc Sec
x a
Contoh 9 Hitunglah
x2 − 4 dx x3
Jawab : Subtitusikan x = 2Sec(y)
dx = 2Sec(y)Tg(y)dy y = arc Sec
x2 − 4 dx = x3
4Sec 2 ( y) − 4 8Sec 3 ( y)
(
x 2
2Sec( y)Tg ( y)dy =
)
1 Sin 3 ( y) 1 Sin ( y) 1 − Cos 2 ( y) = dy = dy 2 Cos( y) 2 Cos( y) Subtitusikan z = Cos(y)
dz = −Sin(y)dy
Sehingga
154
x 3
2Tg 2 ( y) Tg ( y)dy 4Sec 2 ( y)
+k
(
)
Sin ( y) 1 − Cos 2 ( y) dy = − Cos( y) = −ln(Cos(y)) +
(1 − z ) dz = − 2
1 1 2 dz + zdz = −ln(z) + z +k z 2
z
1 Cos2(y) + k 2
x2 − 4 1 1 {−ln(Cos(y)) + Cos2(y) + k} dx = 3 2 2 x =−
1 1 ln(Cos(y)) + Cos2(y) + k 2 4
=−
x 1 ln Cos arcSec 2 2
+
x 1 Cos2 arcSec 2 4
+k
c) Subtitusi jika integrand memiliki bentuk kuadratik ax2 + bx + c. Dalam hal seperti ini, proses yang harus dilakukan 1) Merubah bentuk kuadratik ax2+bx+c menjadi perjumlahan dua suku kuadrat (Ax)2+B2 , sebagai berikut b c b 2 c b2 b 2 ) + − 2 } = a{(x+ )+ ax +bx+c = a(x + x+ ) = a{(x+ a a 2a a 4a 2a 2
2
2) Subtitusikan y = x +
b 2a
dy = dx x=y−
b 2a
Contoh 10 Hitunglah
x+2 dx ! 2x − x + 1 2
Jawab : Berdasarkan paparan yang telah dikemukakan,
155
4ac − b 2 2a
2
}
4(2)(1) − (−1) 2 2( 2)
(−1) 2 2x – x + 1 = 2{(x + ) + 2( 2) 2
Subtitusikan : y = x −
1 4
y−
x+2 dx = 2x − x + 1
3 2
y2 +
1 = ln 2
2
2
+
Menghitung integral
2
}
y 3 y2 + 2
2
1 4
1 2
y 3 y + 2
2
dy +
2
7 8
1 3 y + 2
2
dy
2
dy
1 dz 2 9 z+ 4
=
1 2
1 z+
9 4
dz =
1 1 9 9 ln z + +k1 = ln y 2 + +k1 2 2 4 4
9 1 1 37 + k1 = ln x 2 − x + 4 2 16 2 1 3 y + 2
2
dy
2
Subtitusikan y =
1 2 3 ) + 4 2
dz = 2ydy
dy =
1 x− 4
dy =
2
3 2 y + 2
Subtitusikan z = y2 y
1 +2 4
2
Menghitung integral
= 2{(x −
dy = dx x=y−
2
2
3 Tg(z) 2
dy =
3 Sec2(z)dz 2
z = arc Tg Sehingga 156
2y 3
+ k1
1 y2 +
=
3 2
2
1
3 Sec 2 (z)dz = 9 2 9 2 Tg (z) + 4 4
dy =
2 2 2y z + k2 = arc Tg 3 3 3
+ k2 =
2 x−
2 arc Tg 3
3
x+2 1 1 1 37 dx = ln x 2 − x + 2 2 2 16 2x − x + 1
+
2
=
1 1 37 ln x 2 − x + 4 2 16
+
1 4
1 9 Sec 2 (z) 4
+ k2 =
3 2 Sec 2 (z)dz = dz 2 3
2 4x − 1 arc Tg + k2 3 6
7 2 4x − 1 +k arc Tg 8 3 6
7 4x − 1 arc Tg +k 12 6
d) Subtitusi rasionalisasi Metode ini dilakukan jika integrand memiliki bentuk akar, Prosesnya, subtitusikan y =
n
n
ax + b , n > 2.
ax + b , sehingga
yn = ax + b
x=
yn − b a
dx =
n (n−1) y dy a
Contoh 11 Hitunglah
x 3 x + 4dx !
Jawab : Berdasarkan paparan, y = x 3 x + 4dx =
(y
3
3
x = y3 − 4
x+4
)
dx = 3y2dy
(
)
− 4 ( y)(3y 2 dy) = 3 y 6 dy = 3 y 6 − 4 y 3 dy = 3 y 6 dy − 12 y 3 dy
(x+ 4) ) − 3 (3 (x + 4) ) + k
=
3 7 12 4 3 y − y +k= 4 7 7
=
3 (x + 4)2 3 x + 4 − 3(x + 4) 7
(
3
7
3
4
x+4+k 157
3. Integral Parsial Konsepsinya f ( x )dg ( x ) = f(x)g(x) − g ( x )df ( x ) . Dalam hal ini bentuk integral g ( x )df ( x ) harus lebih sederhana dari f ( x )dg ( x ) .
Contoh 12 Hitunglah
x ln(x )dx !
Jawab : f(x) = ln(x) dg(x) =
df(x) =
x dx
1 dx x
g(x) =
x dx =
1
1 1 +1 2
x2
+1
3
=
2 2 x 3
(konstanta k tidak dituliskan sebab dapat dikumulatifkan pada perhitungan terakhir) 3
3
2 x ln(x )dx = {ln(x)}( x 2 ) − 3 3
=
3
3
3
2 2 2 −1 2 2 1 x dx x dx = x 2 ln(x) − 3 3 3 x 3
2 2 2 2 2 2 2 x ln(x) − x + k = x 2 (ln(x) − ) + k 3 3 3 3 3
Contoh 13 Hitunglah Sin (ln(x ) )dx !
Jawab : Subtitusikan : ln(x) = y
x = ey , dy =
1 dx x
Sehingga Sin (ln(x ) )dx = Sin ( y)e y dy = e y Sin ( y)dy f(y) = Sin(y)
df(y) = Cos(y)dy
dg(y) = eydy
g(y) = e y dy = ey
158
dx = xdy = eydy
e y Sin ( y)dy = {Sin(y)}{ey} − {e y }Cos( y)dy = eySin(y) − e y Cos( y)dy Menghitung integral e y Cos( y)dy f(y) = Cos(y)
df(x) = −Sin(y)dy
dg(y) = eydy
g(y) = e y dy = ey
e y Cos( y)dy = {Cos(y)}{ey} − {e y }{−Sin ( y}}dy = eyCos(y) + e y Sin ( y}dy Sehingga e y Sin ( y)dy = eySin(y)−{ eyCos(y)+ e y Sin ( y}dy } = eySin(y)−eyCos(y)− e y Sin ( y}dy 2 e y Sin ( y)dy = eySin(y) − eyCos(y) Sin (ln(x ) )dx = e y Sin ( y)dy =
1 y { e Sin(y) − eyCos(y)} + k 2
4. Integral partisi Metode ini digunakan jika integrandnya merupakan fungsi pecahan aljabar (fungsi rasional). Proses yang harus dilakukan, 1) Jika derajat pembilang lebih besar dari derajat penyebut, maka lakukan proses pembagian, sehingga diperoleh suku sisa. 2) Pada suku sisa, jika penyebut dapat difaktorkan, maka partisi suku sisa, selanjutnya lakukan proses kesamaan pada pembilang. 3) Lakukan perhitungan integral berdasarkan hasil partisi.
Contoh 14. Hitunglah
x 3 − 2x 2 + x − 1 dx ! x 2 − 3x + 2
Jawab : Karena derajat pembilang lebih besar dari penyebut, maka proses perhitungannya 1) Melakukan pembagian sehingga diperoleh suku sisa x 3 − 2x 2 + x + 1 2x − 1 = (x + 1) + 2 2 x − 3x + 2 x − 3x + 2 159
2) Mempartisi suku sisa 2x − 1 2x − 1 A B A ( x − 2) + B( x − 1) = = + = x −1 x − 2 ( x − 1)( x − 2) x − 3x + 2 ( x − 1)( x − 2) 2
=
(A + B) x − (2A + B) ( x − 1)( x − 2)
Pada kesamaan ini, A + B = 2 dan 2A + B = 1. Jika diselesaikan, akan diperoleh A = −1, B = 3, sehingga
2x − 1 −1 3 = + x −1 x − 2 x − 3x + 2 2
3) Proses integral partisi x 3 − 2x 2 + x − 1 dx = ( x + 1)dx + x 2 − 3x + 2 = xdx + dx +
−1 dx + x −1
−1 dx + x −1
3 dx x−2
3 1 dx = x2 + x – ln(x−1) + 3ln(x−2) + k x−2 2
Contoh 15 Hitunglah
x 3 − 2x 2 + x − 1 dx ! 2 x 2 − 3x + 2
Jawab : Karena derajat pembilang lebih besar dari penyebut, dengan penyebutnya tidak dapat difaktorkan, sebab diskriminannya, D < 0, maka proses perhitungannya 1) Melakukan pembagian untuk mendapatkan suku sisa 3 3 x− x − 2x + x − 1 1 1 4 2 = 1x−1 − 3 = + x− 2 2 2 4 2 4 4 2 x − 3x + 2 2 x − 3x + 2 3
2
−
160
x+2 2 x − 3x + 2 2
2) Mempartisi bentuk integral x 3 − 2x 2 + x − 1 dx = 2 x 2 − 3x + 2
1 1 x − dx − 2 4
=
1 1 3 xdx − dx − 2 4 4
x+2 dx 2 x − 3x + 2
=
1 1 3 x 3 2 xdx − dx − dx − dx 2 2 2 4 4 2 x − 3x + 2 4 2 x − 3x + 2
=
1 2 1 3 x 3 x − x− dx − 2 4 4 4 2 x − 3x + 2 2
x+2 dx 2 x − 3x + 2
3 4
2
2
1 dx 2 x − 3x + 2 2
1 dx 2 x − 3x + 2
Menghitung integral
2
(1) Sajikan bentuk kuadrat (2x2–3x+2) menjadi perjumlahan dua suku kuadrat 3 3 9 3 7 2x2–3x+2 = 2(x2− x+1) = 2{(x− )2− +1} = 2{(x− )2+ } 2 4 16 4 16 3 = 2{(x− )2+ 4
7 4
(2) Subtitusikan, x−
2
}
3 =y 4
dy = dx x=y+
1 dx = 2 x − 3x + 2
(3)
1
2
=
2 y2 +
7 4
2
3 4
dy =
4x − 3 1 arc Tg + k1 2 7
161
1 2
1 y2 +
7 4
2
dy =
4y 1 +k1 arc Tg 2 7
x dx 2 x − 3x + 2
Menghitung integral
2
(1) Sajikan bentuk kuadrat (2x2–3x+2) menjadi perjumlahan dua suku kuadrat 3 3 9 3 7 2x2–3x+2 = 2(x2− x+1) = 2{(x− )2− +1} = 2{(x− )2+ } 2 4 16 4 16 3 = 2{(x− )2+ 4
7 4
(2) Subtitusikan, x−
2
}
3 =y 4
dy = dx x=y+
x dx = 2 x − 3x + 2
(3)
y+
2
=
1 2
y y2 +
2
7 4
3 8
1
y y2 +
Subtitusikan y +
y y2 +
7 4
2
7 4
y2 +
Menghitung integral
2
dy
2
7 4
2 y2 +
dy +
3 4
7 4
2
= y2 +
1 1 dy = 2 dz = 2 z 2 7 4
2
3 4
dy
dy
7 =z 16
dz = 2ydy
{ln(z )} + k2 =
1 7 ln y 2 + + k2 2 16
162
1
Menghitung integral
7 4
y2 +
Subtitusikan y = 1 y2 +
7 4
2
7 Sec 2 (z) 16
dy
7 Tg(z) 4
dy =
1
=
2
dy = 1
7 7 Tg 2 (z) + 16 16
7 Sec2(z)z 4
7 Sec 2 (z)dz 4
4y 7 Sec 2 (z)dz = dz = z = arc Tg 4 7
Sehingga x 1 4y 7 3 dx = ln y 2 + + arc Tg 2 16 4 2 x − 3x + 2 7 2
3 4
1 ln 2
=
1 4x − 3 9 2 3 ln x 2 − x − + arc Tg + k3 2 16 16 4 7
+
7 3 + arc Tg 16 4
4 x−
=
x−
3 4
2
7
+ k3
+ k3
Sehingga x 3 − 2x 2 + x − 1 1 1 1 4x − 3 3 9 2 3 { ln x 2 − x − + arc Tg dx = x2 − x − } 2 4 4 2 4 16 16 4 2 x − 3x + 2 7 − =
4x − 3 3 {arc Tg }+k 2 7 1 2 1 3 15 4x − 3 9 2 x − x − ln x 2 − x − − arc Tg +k 4 4 8 4 16 16 7
163
Contoh 16 Hitunglah
5x + 3 dx ! x − 2 x 2 − 3x 3
Jawab : Derajat pembilang lebih kecil dari penyebut, dan penyebut dapat difaktorkan atas tiga faktor, sehingga proses perhitungannya 1) Mempartisi integrand 5x + 3 5x + 3 A B C 5x + 3 = = = + + 2 2 x ( x − 3)( x + 1) x x −3 x +1 x − 2 x − 3x x ( x − 2 x − 3) 3
=
A( x − 3)( x + 1) + Bx ( x + 1) + Cx ( x − 3) Ax 2 − 2Ax − 3A + Bx 2 + Bx + Cx 2 − 3Cx = x ( x − 3)( x + 1) x ( x − 3)( x + 1)
=
(A + B + C) x 2 + (−2A + B − 3C) x + (−3A) x ( x − 3)( x + 1)
Dari kesamaan diperoleh, A + B + C = 0, −2A + B – 3C = 5, −3A = 3. Jika dihitung, maka : A = −1 , B = −
1 3 ,C= 2 2
2) Integral partisinya 5x + 3 dx = x − 2 x 2 − 3x 3
= −ln(x) −
−1 dx + x
1 2 dx + x −3 −
1 3 ln(x–3) + ln(x+1) + k 2 2
164
3 2 dx x +1
Contoh 17 Hitunglah
5 x 2 + 3x − 1 dx ! x 3 + 3x 2 − 4
Jawab : Karena derajat pembilang lebih kecil dari penyebut, maka proses perhitunganya 1) Mempartisi bentuk integrand 5 x 2 + 3x − 1 5 x 2 + 3x − 1 A B C = = + + 3 2 2 x −1 x + 2 x + 3x − 4 ( x − 1)( x + 2) ( x + 2) 2 =
A( x + 2) 2 + B( x − 1)( x + 2) + C( x − 1) A( x 2 + 4 x + 4) + B( x 2 + x − 2) + C( x − 1) = ( x − 1)( x + 2) 2 ( x − 1)( x + 2) 2
=
(A + B) x 2 + (4A + B + C) x + (4A − 2B − C) ( x − 1)( x + 2) 2
Dari kesamaan disimpulkan, A + B = 5 , 4A + B + C = 3 , 4A – 2B – C = −1. Jika dihitung, diperoleh A =
29 46 39 ,B= ,C= 93 93 31
2) Integral partisinya 5 x 2 + 3x − 1 dx = x 3 + 3x 2 − 4
29 93 dx + x −1
46 93 dx + x+2
39 31 dx ( x + 2) 2
=
29 1 46 1 39 1 dx + dx + dx 93 x − 1 93 x + 2 31 ( x + 2) 2
=
29 46 39 ln(x – 1) + ln(x + 2) + .(−2 + 1)(x + 2)−2+1 + k 93 93 31
=
29 46 39 1 ln(x – 1) + ln(x + 2) − +k 93 93 31 x + 2
=
29( x + 2) ln(x − 1) + 46( x + 2) ln(x + 2) − 117 +k 93( x + 2)
165
5. Integral fungsi goniometri Mengintegralkan fungsi-fungsi goniometri pada umumnya tidak sesederhana seperti pada fungsi-fungsi aljabar, karena adanya pengulangan bentuk fungsi. Sehingga untuk menghitung beberapa bentuk integral fungsi goniometri, perlu telaahan secara khusus. Bentuk-bentuk tesebut diantaranya : 1)
Sin n ( x )dx atau Cos n ( x )dx
Metode penyelesaiannya dengan memperhatikan apakah n bilangan genap atau ganjil. a) Jika n bilangan ganjil, maka (1) Ubah bentuk Sinn(x) menjadi Sinn-1(x)Sin(x), dan Cosn(x) menjadi Cosn-1(x)Cos(x) (2) Gunakan hubungan Sin2(x) + Cos2(x) = 1 Sehingga diperoleh bangun Sink(x)Cos(x) atau Cosk(x)Sin(x)
Contoh 18 Hitunglah Sin 7 ( x )dx
Jawab Sin 7 ( x )dx = Sin 6 ( x )Sin ( x )dx = =
(Sin
2
)
3
( x ) Sin ( x )dx =
(1 − Cos
2
)
3
( x ) Sin ( x )dx
(1 − 3Cos (x) + 3(Cos (x)) − (Cos (x)) )Sin(x)dx 2
2
Subtitudikan Cos(x) = y Sin 7 ( x )dx =
(1 − 3y
= Cos(x) – Cos3(x) +
2
2
2
3
dy = dCos(x) = Sin(x)dx + 3y 4 − y 6 )dy = y – y3 +
3 5 1 7 y – y +k 5 7
3 1 Cos5(x) – Cos7(x) + k 5 7
b) Jika n genap maka (1) Ubah bentuk Sinn(x) menjadi (Sin2(x))n/2, dan Cosn(x) menjadi (Cos2(x))n/2 (2) Gunakan hubungan Sin2(x) =
1 1 (1 – Cos(2x)), Cos2(x) = (1 + Cos(2x)) 2 2
Sehingga diperoleh bangun Sink(x)Cos(x) atau Cosk(x)Sin(x) 166
Contoh 19 Hitunglah
1 π 4
Cos 6 ( x )dx !
0
Jawab 1 1 Cos6(x) = (Cos2(x))3 = ( (1 + Cos(2x)))3 = (1 + 3Cos(2x) + 3Cos2(2x) + Cos3(2x)) 2 8 =
1 3 3 1 1 + Cos(2x) + ( (1 + Cos(2x))) + Cos2(2x)Cos(2x) 8 8 8 2 8
=
1 3 3 1 1 + Cos(2x) + ( (1 + Cos(2x))) + ( 1 − Sin2(2x))Cos(2x) 8 8 8 2 8
Subtitusikan 2x = y
dy = 2dx
x=0
dx =
y=0 ,
x=
1 dy 2
1 π 4
y=
1 π 2
Sehingga 1 π 4
1 π 2
0
0
Cos 6 ( x )dx =
+
1 π 2 0
=
1 1 dy + 8 2
1 1 Cos( y) dy − 8 2
1 y 16
1 π 2 0
+
3 Sin ( y) 16
1 π 2 0
3 1 Cos( y) dy + 8 2
1 π 2 0
3 1 dy + 16 2
1 π 2
3 1 Cos( y) dy 16 2
0
1 π 2
1 Sin 2 ( y)Cos( y) dy 2 0
1 π 2 0
+
3 y 32
1 π 2 0
+
3 Sin ( y) 32
1 π 2 0
+
1 Sin ( y) 16
1 π 2 0
−
1 2
1 π 2
Sin 2 ( y)d (Sin ( y) )
0
=
1 1 3 1 3 1 3 1 ( π − 0) + (Sin( π) – Sin(0)) + ( π − 0) + (Sin( π) – Sin(0)) 16 2 16 2 32 2 32 2
+
1 1 1 1 1 (Sin( π) – Sin(0)) − (Sin3( π) − Sin3(0)) 16 2 2 3 2
=
1 3 3 3 1 1 113 + + + + − = 32 16 64 32 16 6 192 167
2)
Sin m ( x )Cos n ( x )dx
Menyelesaikan bentuk integral seperti ini, identik dengan bentuk 1), yaitu a) Sajikan Sinm(x) = Sinm-1(x)Sin(x), jika n ganjil, dan Sinm(x) = (Sin2(x))m/2, jika m genap analog Cos(x)n = Cos(x)n-1Cos(x), jika n ganjil, dan Cosn(x) = (Cos2(x))n/2, jika n genap b) Gunakan hubungan Sin2(x) + Cos2(x) = 1, jika m, atau n, atau keduanya ganjil, atau Sin2(x) =
1 1 (1 – Cos(2x)), Cos2(x) = (1 + Cos(2x)), jika m dan n genap. 2 2
Sehingga diperoleh bangun Sink(x)Cos(x) atau Cosk(x)Sin(x)
Contoh 20 Hitunglah Sin 3 ( x )Cos 4 ( x )dx !
Jawab : Sin3(x)Cos4(x) = Sin2(x)Sin(x)Cos4(x) = (1 – Cos2(x))Sin(x)Cos4(x) = (Cos4(x) – Cos6(x))Sin(x) sehingga Sin 3 ( x )Cos 4 ( x )dx = (Cos 4 ( x ) − Cos 6 ( x ))Sin ( x )dx = Cos 4 ( x )Sin ( x )dx − Cos 6 ( x )Sin ( x )dx subtitusikan Cos(x) = y Sin 3 ( x )Cos 4 ( x )dx =
dy = dCos(x) = Sin(x)dx y 4 dy −
y 6 dy =
1 5 1 7 1 1 y − y + K = Cos5(x) − Cos7(x) + k 5 7 5 7
Contoh 21 Hitunglah Sin 4 ( x )Cos 6 ( x )dx !
Jawab : Sin4(x)Cos6(x) = {Sin2(x)}2Cos6 = {1−Cos2(x)}2Cos6(x) = {1−2Cos2(x)+Cos4(x)}Cos6(x) = Cos6(x)−2Cos8(x)+Cos10(x) = {Cos2(x)}3 − 2{Cos2(x)}4 + {Cos2(x)}5 =[
1 1 1 {1 + Cos(2x)}]3 − 2[ {1 + Cos(2x)}]4 + [ {1 + Cos(2x)}]5 2 2 2 168
=
1 1 {1+3Cos(2x)+3Cos2(2x)+Cos3(2x) − {1+4Cos(2x)+6Cos2(2x)+4Cos3(2x)+Cos4(2x)} 8 8 +
=
1 {1+5Cos(2x)+10Cos2(2x)+10Cos3(2x)+5Cos4(2x)+Cos5(2x)} 32
1 3 1 1 1 1 Cos(2x) − Cos2(2x) − Cos3(2x) + Cos4(2x) + Cos5(2x) − 32 32 16 16 32 32
sehingga Sin 4 ( x )Cos 6 ( x )dx = +
1 Cos 5 (2 x )dx 32
subtitusikan 2x = y Sin 4 ( x )Cos 6 ( x )dx = + =
dx =
1 dy 2
1 1 1 1 x− Sin(y) − Cos 2 ( y)Cos( y)dy + {Cos 2 ( y)}2 dy 32 64 32 64
1 {Cos 2 ( y)}2 Cos( y)dy 64
1 {1 − Sin 2 ( y)}2 Cos( y)dy 64
1 1 1 1 1 x− Sin(2x) − {Sin(y)− Sin3(y)} + {1 + 2Cos(2 y) + Cos 2 (2 y)dy 32 64 32 3 256 +
=
dy = 2dx
1 1 1 1 1 x− Sin(2x) − {1 − Sin 2 ( y)}Cos( y)dy + [ {1 + Cos(2 y)}] 2 dy 32 64 32 64 2 +
=
1 1 1 1 dx − Cos(2 x )dx − Cos 3 (2 x )dx + Cos 4 (2 x )dx 32 32 16 32
1 {1 − 2Sin 2 ( y) + Sin 4 ( y)}Cos( y)dy + k 64
1 1 1 1 1 1 x− Sin(2x) − Sin(2x) − Sin3(2x) + {y+Sin(2y)+ {1 + Cos(4 y)}dy } 32 64 32 96 256 2 +
1 2 1 {Sin(y)− Sin3(y)+ Sin5(y)} + k 64 3 5
169
1 1 1 1 1 1 1 x− Sin(2x) − Sin(2x) − Sin3(2x) + {2x+Sin(4x)+ y+ Sin(4y)} 32 64 32 96 256 2 8
=
+
1 1 1 Sin(2x) − Sin3(2x) + Sin5(2x) + k 64 96 320
1 1 1 1 1 1 1 x− Sin(2x) − Sin(2x) − Sin3(2x) + x+ Sin(4x) + x 32 64 32 96 128 256 256
=
+
1 1 1 1 Sin(8x) + Sin(2x) − Sin3(2x) + Sin5(2x) + k 2048 64 96 320
11 1 1 1 1 1 x− Sin(2x) + Sin(4x) + Sin(8x) − Sin3(2x) + Sin5(2x) + k 256 32 256 2048 48 320
=
3)
Tg n ( x )dx atau Ctg n ( x )dx
Cara menyelesaikan integral seperti ini adalah dengan menuliskan (1) Tgn(x) = Tg2(x)Tgn-2(x) , Ctgn(x) = Ctg2(x)Ctgn-2(x), (2) Menggunakan hubungan Tg2(x) = Sec2(x) – 1, Ctg2(x) = Cosec2(x) – 1. Sehingga diperoleh bangun Tgk(x)Sec2(x).
Contoh 22 Hitunglah Tg 6 ( x )dx !
Jawab : Tg6(x) = Tg2(x)Tg4(x) = {Sec2(x) – 1}Tg4(x) = Sec2(x)Tg4(x) – Tg4(x) = Sec2(x)Tg4(x) – Tg2(x)Tg2(x) = Sec2(x)Tg4(x) – {Sec2(x) – 1}Tg2(x) = Sec2(x)Tg4(x) – Sec2(x)Tg2(x) + Tg2(x) = Sec2(x)Tg4(x) – Sec2(x)Tg2(x) + Sec2(x) – 1 subtitusikan y = Tg(x) Tg 6 ( x )dx =
y 4 dy −
dy = Sec2(x)dx , sehingga y 2 dy + dy − dx =
170
1 5 1 Tg (x) − Tg3(x) + Tg(x) – x + k. 5 3
Soal 23 Hitunglah Ctg 7 ( x )dx
Jawab : Ctg7(x) = Ctg2(x)Ctg5(x) = {Cosec2(x) – 1}Ctg3(x) = Cosec2(x)Ctg3(x) – Ctg3(x) = Cosec2(x)Ctg3(x) – Cosec2Ctg(x) + Ctg(x) dy = −Cosec2(x)dx, sehingga
subtitusikan y = Ctg(x)
Ctg 7 ( x )dx = − y 3 dy − − ydy + Ctg ( x )dx = −
1 1 Ctg4(x) + Ctg2(x) + ln{Sin(x)} + k 4 2
Catatan : Ctg ( x )dx =
4)
Cos( x ) dx = Sin ( x )
1 dSin ( x ) x = ln{Sin(x)} + k Sin ( x )
Tg m ( x )Sec n ( x )dx atau Ctg m ( x )Co sec n ( x )dx
Untuk menyelesaikan bentuk integral seperti ini perlu diperhatikan ciri dari m atau. a) Jika n genap dan m sembarang, maka tulis Secn(x) = Sec2(x)Secn-2(x) = {1 + Tg2(x)}Secn-2(x), Cosecn(x) = Cosec2(x)Cosecn-2(x) = {1 + Ctg2(x)}Cosecn-2(x) sehingga diperoleh bangun Tgk(x)Sec2(x)
Contoh 24 Hitunglah Tg 5 ( x )Sec 6 ( x )dx !
Jawab : Tg5(x)Sec6(x) = Tg5(x){1 + Tg2(x)}Sec4(x) = Tg5(x)Sec4(x) + Tg7(x)Sec4(x) = Tg5(x){1 + Tg2(x)}Sec2(x) + Tg7(x){1 + Tg2(x)}Sec2(x) = Tg5(x)Sec2(x) + Tg7(x)Sec2(x) + Tg7(x)Sec2(x) + Tg9(x)Sec2(x) = Tg5(x)Sec2(x) +2Tg7(x)Sec2(x) + Tg9(x)Sec2(x) Subtitusikan y = Tg(x) Tg 5 ( x )Sec 6 ( x )dx =
dy = Sec2(x)dx , sehingga y 5 dy + 2 y 7 dy +
y 9 dy = 171
1 6 1 1 Tg (x) + Tg8(x) + Tg10(x) + k 6 4 10
b) Jika m ganjil dan n sembarang, maka tulis Tgm(x) = Tg2(x)Tgm-2(x) = {Sec2(x) – 1}Tgm-2(x) Ctgm(x) = Ctg2(x)Ctgm-2(x) = {Cosec2(x) – 1}Ctgm-2(x) sehingga diperoleh bangun Coseck(x){Ctg(x)Cosec(x)}
Contoh 25 Hitunglah Ctg 7 ( x )Co sec 3 ( x )dx !
Jawab : Ctg7(x)Cosec3(x) = {Cosec2 – 1}Ctg5(x)Cosec5(x) = {Cosec2(x) – 1}Ctg4(x)Cosec4(x){Ctg(x)Cosec(x)} = {Cosec6(x) – Cosec4(x)}{Cosec2(x) – 1}2{Ctg(x)Cosec(x)} = {Cosec6(x) – Cosec4(x)}{Cosec4(x) – 2Cosec2(x) + 1}{Ctg(x)Cosec(x)} = {Cosec10(x) – 3Cosec8(x) + 3Cosec6(x) – Cosec4(x)}{Ctg(x)Cosec(x)} = Cosec10(x){Ctg(x)Cosec(x)} – 3Cosec8(x){Ctg(x)Cosec(x)} + 3Cosec6(x){Ctg(x)Cosec(x)} – Cosec4(x){Ctg(x)Cosec(x)} subtitusikan y = Cosec(x)
dy = Ctg(x)Cosec(x)dx
sehingga Ctg 7 ( x )Co sec 3 ( x )dx = =
5)
y10 dy − 3 y 8 dy + 3 y 6 dy −
y 4 dy
1 1 3 1 Cosec11(x) − Cosec9(x) + Cosec7(x) − Cosec5(x) + k 11 3 7 5
Sin (mx )Sin (nx )dx atau Sin (mx )Cos(nx )dx atau Cos(mx )Cos(nx )dx .
Untuk menyelesaikan integral seperti ini gunakan hubungan Sin(mx)Cos(nx) =
1 [Sin{(m+n)x} + Sin{(m−n)x}] 2
1 Sin(mx)Sin(nx) = − [Cos{(m+n)x} – Cos{(m−n)x}] 2 Cos(mx)Cos(nx) =
1 [Cos{(m+n)x} + Cos{(m−n)x}] 2 172
Sehingga diperoleh bentuk Sin(kx) atau Cos(kx)
Contoh 26 Hitunglah Sin (5x )Sin (6 x )dx !
Jawab : 1 1 1 Sin(5x)Sin(6x) = − Cos(11x) – Cos(−x)} = − Cos(11x) + Cos(x) 2 2 2 sehingga Sin (5x )Sin (6 x )dx = −
1 1 1 1 Sin(11x) + Sin(x) + k Cos(11x )dx + Cos( x )dx = − 2 2 22 2
6. Integral fungsi rasional dengan variabelnya berpangkat rasional Untuk menyelesaikan integral seperti ini subtitusikan x = yn, dengan n merupakan kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut pangkat.
Contoh 27 Hitunglah
1− x 3
x2 − 4 x
dx !
Jawab :
1− x 3
x2 − 4 x
1
=
1− x 2 2 3
x −x
1 4
Subtitusikan x = y12
dx = 12y11dy , y =
12
x
Sehingga
1− x 3
x2 − 4 x
= 12
dx =
1 − y6 y11 − y17 y 8 − y14 11 12 y dy = 12 dy = 12 dy y8 − y3 y8 − y3 y5 − 1
− y9 − y 4 + y3 + y +
y4 + y3 dy y5 −1
= −12 y 9 dy − 12 y 4 dy + 12 y 3 dy + 12 ydy + 12
173
y4 y3 dy + 12 dy y5 −1 y5 −1
=−
6 10 12 5 12 y3 y − y + 3y4 + 6y2 + ln(y5−1) + 12 5 dy 5 5 5 y −1
6 =− 5 =−
6 5
10
12 12 5 12 12 5 y3 12 4 12 2 − x +3 x +6 x + ln( x -1) + 12 5 dy 5 5 y −1
12
x
6
x5 −
12 12 5 12 12 5 y3 x + 33 x + 66 x + ln( x -1) + 12 5 dy 5 5 y −1
Menghitung integral
y3 dy : y5 −1
1 1 3 2 1 − y3 + y2 + y + y3 y3 5 5 5 = = 5 + 54 5 4 3 2 3 2 y −1 y − 1 ( y − 1)( y + y + y + y + 1) y + y + y + y +1 =
1 4 y 3 + 3y 2 + 2 y + 1 1 1 y3 + − 5 y −1 5 y 4 + y3 + y 2 + y + 1 y4 + y3 + y2 + y + 1
Sehingga y3 dy = y5 −1
1 1 dy + 5 y −1 =
1 4 y 3 + 3y 2 + 2 y + 1 dy − 5 y4 + y3 + y2 + y + 1
1 1 ln(y−1) + ln(y4+y3+y2+y+1) − 5 5
y3 dy y 4 + y3 + y 2 + y + 1
y3 dy y 4 + y3 + y 2 + y + 1
y3 1 12 1 12 4 12 3 12 2 12 = ln( x −1)+ ln( x + x + x + x +1) − 4 dy 5 5 y + y3 + y 2 + y + 1 = Karena integral
1 12 1 y3 ln( x −1)+ ln( 3 x + 4 x + 6 x + 12 x +1) − 4 dy 5 5 y + y3 + y 2 + y + 1 y3 dy jika dihitung secara “manual”, tidak sederhana, y 4 + y3 + y 2 + y + 1
maka diselesaikan dengan menggunakan program Mathcad.
174
Hasilnya : y3 dy = y 4 + y3 + y 2 + y + 1 1 5 1 ln{2y2+(1− 5 )y+2}− ln{2y2+(1− 5 )y+2}− Arctg 4 20 5 10 + 2 5
−
+
=
−
+
+
=
−
+
+
1 10 + 2 5
Arctg
1 5 10 − 2 5
Arctg
4 y + (1 − 5 10 + 2 5 5
+
5
4 y + (1 − 5 10 + 2 5
1 5 ln{2y2+(1+ 5 )y+2}+ ln{2y2+(1+ 5 )y+2} 4 20
4 y + (1 + 5 10 − 2 5
−
1 10 − 2 5
Arctg
4 y + (1 + 5 10 − 2 5
1 5 ln{2 12 x 2 +(1− 5 ) 12 x +2} − ln{2 12 x 2 +(1− 5 ) 12 x +2} 4 20 1 5 10 + 2 5
Arctg
5
412 x + (1 − 5 10 + 2 5
1
−
10 + 2 5
412 x + (1 − 5
Arctg
10 + 2 5
1 5 ln{2 12 x 2 +(1+ 5 ) 12 x +2} + ln{2 12 x 2 +(1+ 5 ) 12 x +2} 4 20 1 5 10 − 2 5
Arctg
5
412 x + (1 + 5 10 − 2 5
−
1 10 − 2 5
Arctg
412 x + (1 + 5 10 − 2 5
1 5 ln{2 6 x +(1− 5 ) 12 x +2} − ln{2 6 x +(1− 5 ) 12 x +2} 4 20 1 5 10 + 2 5
Arctg
5
412 x + (1 − 5 10 + 2 5
1
−
10 + 2 5
Arctg
412 x + (1 − 5 10 + 2 5
1 5 ln{2 6 x +(1+ 5 ) 12 x +2} + ln{2 6 x +(1+ 5 ) 12 x +2} 4 20 1 5 10 − 2 5
Arctg
5
412 x + (1 + 5 10 − 2 5
−
1 10 − 2 5
175
Arctg
412 x + (1 + 5 10 − 2 5
Sehingga
1− x 3
x2 − 4 x
dx = −
6 5
6
x5 −
12 12 5 12 12 5 x + 33 x + 66 x + ln( x -1) 5 5
1 1 + 12[ ln( 12 x −1) + ln( 3 x + 4 x + 6 x + 12 x +1) 5 5
−{ −
−
+
+
−
1 5 ln{2 6 x +(1− 5 ) 12 x +2} − ln{2 6 x +(1− 5 ) 12 x +2} 4 20 1
5 10 + 2 5 1 10 + 2 5
Arctg
Arctg
5
412 x + (1 − 5 10 + 2 5
412 x + (1 − 5 10 + 2 5
+
1 ln{2 6 x +(1+ 5 ) 12 x +2} 4
5 ln{2 6 x +(1+ 5 ) 12 x +2} 20 1 5 10 − 2 5 1 10 − 2 5
Arctg
Arctg
5
412 x + (1 + 5 10 − 2 5
412 x + (1 + 5 10 − 2 5
}]
Metode mengintegralkan fungsi seperti yang sudah disajikan merupakan metode yang menghasilkan nilai eksak, dan pada umumnya dapat dilakukan secara “manual”
Ada
metode lain yang dapat dilakukan secara “manual”, tetapi hasilnya biasanya nilai pendekatan, yaitu dengan mengubah fungsi yang diintegralkan dalam bentuk deret.
176
V.4.
Beberapa penggunaan integral
1. Luas bidang datar Jika
Y
menelaah
konsepsi
dari
integral, maka pada integral tentu dari sebuah fungsi adalah luas y = f(x)
bidang yang dibatasi oleh grafik fungsi, sumbu-X, dan garis-garis batas integral.
X
Sehingga luas bidang yang dibatasi oleh grfik fungsi y = f(x), sumbu-
X=a
X, garis X = a, dengan X = b,
X=b
Gambar V.1 Bidang di bawah grafik
seperti di samping kiri ini, sama b
dengan L = f ( x )dx . a
Sedangkan luas bidang yang dibatasi oleh Y
dua grafik fungsi y = f(x) dengan y = g(x) seperti pada gambar di samping kanan ini, sama dengan x1
L=
{f ( x ) − g( x )}dx .
(x0,y0)
y = f(x)
x0
X
Karena nilai ini bisa negatif, sedang L>0, maka formulasi disajikan oleh x1
L=
y = g(x)
{f (x ) − g (x )}dx .
(x1,y1)
Gambar V.2 Bidang diantara dua grafik
x0
177
Contoh 28 Hitunglah luas bidang yang dibatasi oleh grafik fungsi y = x5 – x3 + x – 3, sumbu-X, garis X = −3 dengan X = 5 !
Jawab : Grafik fungsi jika digambarkan dengan
4.83
Mathcad adalah seperti di samping kiri ini. Karena bidang terbagi oleh sumbu-X, maka
10 f(x)
5
0
5
10
luas bidang harus dihitung berdasarkan
4.83
bidang yang ada di atas sumbu-X dengan di
9.66
Jika dihitung dengan menggunakan Mathcad,
bawah sumbu-X. absis titik potong grafik dengan sumbu-X yang
14.5
merupakan
bilangan
real,
adalah
x = 1,317
Luas bidang di bawah sumbu-X, 1, 317
(x
L1 =
5
)
− x 3 + x − 3 dx = (
−3
={
1,317 1 6 1 4 1 2 x − x + x −3x) −3 6 4 2
1 1 1 1 1 1 (1,317)6− (1,317)4+ (1,317)2−3(1,317)} − { (-3)6− (-3)4+ (-3)2−3(-3)} 6 4 2 6 4 2
= −2,966 − (114,75) = −117,716 Karena luas bidang harus merupakan bilangan posistif, jadi yang digunakan : L1 = 117,716 Luas bidang di atas sumbu-X 5
L2 =
(x
1, 317
={
5
)
− x 3 + x − 3 dx = (
1 6
5 1 1 x6− x4+ x2−3x) 1,317 4 2
1 6 1 4 1 2 1 1 1 (5) − (5) + (5) −3(5)} – { (1,317)6− (1,317)4+ (1,317)2−3(1,317) 6 4 2 6 4 2
= 2445,417 – (-2,966) = 2448,383 Sehingga luas bidang yang dicari, L = L1 + L2 = 117,716 + 2448,383 = 2566,099 (satuan luas) 178
Contoh 29 Hitung luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = 2x2 – 3x + 1, dengan y = ex !
Jawab : Jika digambarkan dengan mengunakan program Mathcad, maka sajian grafik kedua fungsi adalah
8.05
seperti di samping kanan. Absis
titik
potong
kedua
grafik,
dihitung
4.03 gx ()
berdasarkan persamaan 2x2 – 3x + 1 = ex 2
h(x)
10
x
2x – 3x + 1 – e = 0
5
0
5
10
4.03
Jika dihtung dengan Mathcad, diperoleh nilai x=
8.05
3 1 3 1 − 1 + 8e e dan x = + 1 + 8e e 4 4 4 4
x
Dari gambar, seluruh bidang berada di atas sumbu-X, sehingga luas bidang yang dicari, L=
3 1 + 1+ 8 e e 4 4 x
(e − (2x
))
− 3x + 1 dx
2
3 1 − 1+8 e e 4 4
3 1 + 1 + 8e e 2 3 3 2 e 4 4 = (e − x + x − x) 3 1 3 2 − 1 + 8e e 4 4 3 1 + 1+ 8 e e 4
= e4
−
2 3 1 + 1 + 8e e 3 4 4
3 1 − 1+ 8 e e 4
− e4
−
3
+
2 3 1 − 1 + 8e e 3 4 4
3 3 1 + 1 + 8e e 2 4 4 3
+
2
3 3 1 − 1 + 8e e 2 4 4
= 256,232 (satuan luas)
179
3 1 + 1 + 8e e 4 4
− 2
−
3 1 − 1 + 8e e 4 4
2. Persamaan gerak benda Dalam ilmu fisika, jika a(t) percepatan benda pada saat t, maka persamaan kecepatan pada saat t, v(t) = a ( t )dt , dan persamaan lintasan gerak benda, s(t) =
v( t )dt .
Contoh 30. Sebuah benda bergerak dengan percepatan awal konstan 20 m/detik2.
Hitunglah jarak
tempuh setelah 0,5 jam dari titik awal, jika pada saat akan bergerak berjarak 1 km dari titik awal, dan kecepatan setelah 0,5 jam tersebut sama dengan 120 m/detik ?
Jawab : Persamaan gerak benda, v(t) = 20dt = 20t + K, t = 0,5(jam) = 30(menit) = 1800(detik)
v(t) :
v(1800) = 120(m/detik) = 20(1800) + K (m/detik) Persamaan gerak lintasan, s(t) = v( t )dt = t = 0 (detik)
20 t +
K=
s(1800) = 10(1800)2 +
v(t) = 20t +
1 (0) + k (m) 300
s(t) :
1 (1800) + 1000 (m) = 32.401.006 (m) = 32.401 (km) 300
Jarak tempuh setelah bergerak 0,5 jam, adalah 32.401 km.
180
1 300
1 1 t + k, dt = 10t2 + 300 300
s(t) : s(0) = 1(km) = 1000(m) = 10(0)2 +
t = 0,5(jam) = 1800(detik)
1 300
k = 1000
3. Benda putar
y = f(x)
Y y=d y=c
2
Q P
1
X
x=a
x=b Gambar V.3 Benda putar y = f(x) (1) sumbu putar, X; (2) sumbu putar, Y
Perhatikan Gambar V.3. Bangun-1 adalah benda putar yang diperoleh, jika bidang yang dibatasi oleh grafik y = f(x), garis x = a, x = b, dan sumbu-X, diputar, dengan sumbu putar sumbu-X.
Sedangkan bangun-2, adalah benda putar yang diperoleh, jika bidang yang
dibatasi oleh grafik y = f(x), garis x = a, dan y = d, diputar, dengan sumbu putar sumbu-Y. Pada benda putar ini ada dua hal yang dapat dipelajari, yaitu luas selimut (L) dan volume benda (V). Yang dimaksud dengan selimut benda putar, adalah bidang putar yang diperoleh sebagai hasil pemutaran bagian grafik PQ.
Tidak termasuk bidang-bidang lingkaran
penutupnya. Jika LX dan VX, masing-masing luas selimut dan volume benda putar bangun-1 (benda putar dengan sumbu putar sumbu-X), maka b
LX = 2π f ( x ) 1 + (f ′( x ) ) dx 2
a
dan b
VX = 2π xf ( x )dx a
181
Untuk menghitung luas selimut dan volume benda putar bangun-2 (benda putar dengan sumbu putar sumbu-Y), dapat digunakan analoginya, dengan proses sebagai berikut 1. Ubah bentuk fungsi y = f(x) menjadi x = g(y). 2. Jika LY dan VY, masing-masing luas selimut dan volume benda putar bangun-2, maka d
LY = 2π g ( y) 1 + (g ′( y) ) dy 2
c
dan d
VY = 2π yg ( y)dy c
Contoh 31 Hitung luas selimut dan volume benda putar, yang dibangun dengan memutar bagian grafik fungsi y = x3, antara titik (0,0) dengan (2,4) !
Jawab : 9.66
Jika diputar dengan sumbu putar sumbu-X.
6.44
f(x) = x3 2
3.22
f(x) 10
6
2 2 3.22
f′(x) = 3.x2
LX = 2π x 6
10
6.44 x
3
( ) dx
1 + 3x
2 2
2
= 2π x 3 1 + 9 x 4 dx
0
0
Jika disubtitusikan u = 1 + 9x4 x=0
u=1
x=2
u = 145
du = 36x3dx
sehingga luasnya : 145 2
LX = 2π x 0
=
3
1
145
+1 1 π 1 1 + 9 x dx = 2π u du = u2 36 18 1 1 +1 2 4
290π 145 (satuan luas) 27 182
1
1 2π = 145 2 27 1
dan volumenya : 2
2
2
1 4+1 VX = 2π x ( x )dx = 2π x dx = 2π x 4 +1 0 0 3
4
= 0
2π 5 64π 2 = (satuan volume) 5 5
Jika diputar dengan sumbu putar sumbu-Y. 1
y = x3
g′(y) =
x = y 3 = g(y)
2
1 −3 y 3
sehingga luas dan volumenya : 4
LY = 2π y
1 3
0
= 2π
4
0
2
2
1 − 1+ y 3 3
1 3y
1 3
dy = 2π y 0
1 3
4
4
1
4
9y 3 + 1 1 − 1 + y 3 dy = 2π y 3 dy 4 9 0 9y 3
4 3
9 y + 1 dy
Jika disubtitusikan u = y
2 3
1
2 − du = y 3 = 3
2 3y
1 3
dy
u=0
y=0
u= 4
y=4 LY = 2π
4
4
0
1 3y
1 3
2 3
= 3 16 3
4 3
9 y + 1 dy = π
16
9u 2 + 1 du
0
Jika disubtitusikan u =
1 tg(w) 3
du =
1 sec2(w)dw , w = arctg(3u) 3
u=0
w = arcTg(0) = 0 (radial)
u = 3 16
w = arcTg(3 3 16 ) = 1,439 (radial)
Sehingga
183
3
LY = π
16
1, 439
9u 2 + 1 du = π
0
0
π 3
1, 439
π = 3
1, 439
=
=
tg 2 ( w ) + 1
0
sin 2 ( w ) + cos 2 ( w ) π dw = 4 3 cos ( w )
π tg ( w )d{tg ( w )} + 3 0 2
π {3u}3 9
3
0
16
+
π 1 sec 2 ( w )dw = 3 3
1, 439
sec 4 ( w )dw 0
1, 439
tg 2 ( w ) sec 2 ( w )dw + 0
1, 439
π 1 3 d{tg ( w )} = tg ( w ) 3 3 0
3 π {3u} 0 16 = 48π + π3 16 = 2π(48 + 3
3
π 3
1, 439
1, 439
+ 0
sec 2 ( w )dw 0
π {tg( w )}10, 439 3
2 ) (satuan luas)
4 4
1 3
4
4 3
VY = 2π y( y )dy = 2π y dy = 2π 0
V.5.
0
1 4 +1 3
4
y3
+1
=
6π 3 7 96π 3 4 = 4 (satuan volume) 7 7
0
Menggunakan Mathcad untuk menghitung integral
Pada umumnya perhitungan integral tidak “lebih mudah” dari perhitungan diferensial. Dalam perhitungan diferensial, bagaimanapun kompleksnya persamaan fungsi yang akan didiferensialkan, masih dapat dilakukan secara “manual”. Hanya mungkin, memerlukan waktu yang cukup lama.
Biasanya makin kompleks bentuk fungsi yang akan
didiferensialkan, makin kompleks pula persamaan fungsi turunannya.
Perhatikan saja
contoh pada IV.9. Dalam perhitungan integral, jika semua metode integrasi seperti yang telah dipaparkan, tidak dapat digunakan, maka cara yang “mudah” adalah dengan menggunakan paket program Mathcad. Misalnya, menghitung
( 2 x 2 − 3x + 2) dx , yang proses perhitungan jika log(3x − 1) 3
menggunakan Mathcad, adalah
184
1. Jalankan program Mathcad
dan tutup RESOURCE CENTRE
185
2. Tulis persamaan fungsi integradnya.
3. Klik “pointer” integral tak tentu.
186
4. Pada “kotak hitam kecil” di depan huruf “d”, tulis “f(x)”, dan di belakangnya huruf “x”
5. Klik “pointer” → pada kotak Evaluate . . .
187
6. Klik di luar “kotak formulasi integrasi”
7. Hasil yang diperoleh ( 2 x 2 − 3x + 2) 3 ln (10 ) 1 ln (10 ) 49 ln(10 ) 1 ln (10 ) dx = − x+ − x2 + 3 2 2 2 ln (3x − 1) 3 ln (3x − 1) 18 ln (3x − 1) 2 ln(3x − 1) log(3x − 1) 3
−
3
3
3
3 ln(10 ) 1 ln(10 ) 49 ln(10 ) 1 ln (10 ) 11 3 x+ − x2 + − ln(10 ) Ei(1,− ln (3x − 1)) 2 2 2 ln (3x − 1) 3 ln (3x − 1) 18 ln (3x − 1) 2 ln (3x − 1) 54 3
3
3
3
11 ln (10 ) 14 ln (10 ) 10 ln (10 ) ln (10 ) 3 x2 + x2 + ln (10 ) Ei(1,−2 ln (3x − 1)) − x3 − 3 x3 2 2 6 ln (3x − 1) 3 ln (3x − 1) 27 ln (3x − 1) ln (3x − 1) 1 3 − ln (10 ) Ei(1,−3 ln (3x − 1)) + K 3 +
3
3
3
Catatan : Ei(a , b) = e a +ib , i = − 1
188
3
V.6.
Integral tak wajar
Yang dimaksud dengan integral tak wajar, adalah integral tentu dengan salah satu atau kedua batas integralnya adalah bilangan tak hingga, ∞. Sehingga bentuk-bentuk integral tak wajar adalah
b
∞
f ( x )dx ,
−∞
∞
f ( x )dx ,
f ( x )dx . Deskripsinya sama dengan nilai limit, jika
−∞
a
salah satu atau kedua batas integral limitnya ∞. b
b
∞
a →−∞ a
a
f ( x )dx = Lim f ( x )dx ,
−∞
b
∞
b →∞ a
−∞
f ( x )dx = Lim f ( x )dx ,
b
f ( x )dx = Lim Lim f ( x )dx a →−∞ b →∞ a
Contoh 32 Hitunglah
1 π 2
1 Sin − x
−∞
Cos x
1 x dx
Jawab : 1 π 2
−∞
Sin
1 − x
= Lim xSin a →∞
1 1 1 1 1 1 π π π Cos Cos 2 2 2 x dx = Lim Sin 1 − x dx = Lim Sin 1 dx − Lim x dx a → −∞ a → −∞ a → −∞ x x x x x a a a
Cos
1 x
1 π 2 a
−
1 π 2 a
−
1 1 1 π Cos 2 x dx − Lim x dx a →−∞ a x x
Cos
1
π
2 1 1 1 = Lim πSin − aSin + Lim a →−∞ 2 a →−∞ a 1 a π 2
1 1 1 π Cos 2 x dx − Lim x dx a →−∞ a x x
Cos
1 2 1 1 2 = πSin − Lim aSin = πSin − Lim 2 π a →−∞ a 2 π a →−∞ =
1 1 Sin 1 2 a = πSin − Lim a 1 1 1 2 π →0 a a a
Sin
1 2 πSin − 1 2 π 189
Integral tak wajar sering digunakan dalam teori Statistika, misalnya pada deskripsi fungsi distribusi peluang.
Definisi Fungsi y = f(x) disebut fungsi distribusi peluang, jika 1. 0 ≤ f(x) ≤ 1, untuk setiap nilai x, −∞ < x < ∞ 2.
∞
f ( x )dx = 1
−∞
Contoh 32 − 1 Telaah apakah fungsi f(x) = e a 2π
(x−b )2 2a2
, dengan a , b konstanta, dan a > 1; merupakan
fungsi distribusi peluang ?
Jawab :
1.
1 e a 2π
Karena
−
1 = a 2π2 ( x −b )
( x − b )2 2a 2
e
2a 2
1 < 1 , dan e a 2π
− 1 Lim e x →−∞ a 2 π
( x − b )2 2a
2
− 1 e 2. −∞ a 2π
( x − b )2 2a
2
2a2
( x − b )2 2a
− 1 = e a 2π
2
(∞ − b )2 2a 2
=
1 e −∞ = 0 a 2π
< 1 , untuk setiap nilai x
1 dx = a 2π
− 1 e Sehingga −∞ a 2π
2a 2
e
(x−b )2
Jika disubtitusikan, y = ∞
2a2
− 1 = Lim e x →∞ a 2 π
− 1 Sehingga 0 < e a 2π ∞
1 > 1, maka a 2π2 < 1. ( x −b )
(x−b )2
∞
e
−∞
x−b a 2
( x − b )2 2a 2
dx =
−
( x −b )2 2a
2
1 dx = a 2π 1
dy = 1 a 2π
a 2 ∞
2
dx
∞ −
e
190
a 2
−∞
2
dx
dx = a 2 dy.
e − y a 2dy =
−∞
x −b
1 π
∞
2
e − y dy
−∞
Jika dimisalkan,
∞
e
− y2
−∞
∞
2
dy = c, maka c =
e
−y2
−∞
2
dy
=
∞ ∞
e−( y
2
+z2 )
−∞ −∞
dydz . Sehingga jika
dihitung dalam koordinat polar, dengan mensubtitusikan y = r Cos θ dan z = r Sin θ, maka 2
c =
∞ ∞
−∞ −∞
2π
=
e
−( y 2 + z 2 )
−
0
dydz =
2π ∞
e
−r2
rdrdθ =
2π
∞
0
0
0 0
(
)
2 1 −∞2 e − e − 0 dθ = 2
− 1 e Sehingga, −∞ a 2π ∞
− 1 Jadi f(x) = e a 2π
2π 0
rdr dθ =
( )
1 1 2π dθ = θ 0 = π 2 2
( x − b )2 2a 2
e
−r2
1 π
dx =
∞
2
e − y dy =
−∞
c= 1 π
2π 0
∞
1 2 − e− r 2 2
−∞
π=1
merupakan fungsi distribusi peluang.
Contoh 33 Perhatikan fungsi yang didefinisikan seperti di bawah ini f(x) = cxe 0
1 − x 2
, jika 0 < x < ∞ ; c : konstanta , jika - ∞ < x < 0
Tentukan c agar f(x) merupakan fungsi distribusi peluang !
Jawab 1.
0 ≤ f(x) ≤ 1 karena 0 < x e
1 − x 2
1
< 1, maka 0 ≤ c ≤
xe
2.
∞
f ( x )dx =
−∞ a 0
cxe
1 − x 2
0
∞
0dx + cxe
−∞
0
a
dx = c xe 0
1 − x 2
1 − x 2
∞
dx = cxe
1 − x 2
0
dx = c x (−2e
1 − x 2
1 − x 2
dx = 1
a
a
) − − 2e 0
0
191
1 − x 2
dx
dθ 0
e − y dy = π
( x−b )2 2a2
∞
= c − 2(ae
1 − a 2
− 0e
1 − 0 2
a
)+2 e
1 − x 2
dx = c − 2ae
1 − a 2
+ 2( − 2e
1 a − x 2
0
= c − 2ae ∞
cxe
1 − x 2
1 − a 2
dx = Lim c − 2ae a →∞
0
− 4( e 1 − a 2
1 − a 2
−e
− 4e
1 − 0 2
1 − a 2
0
) = c − 2ae
1 − a 2
− 4e
+ 4) = − 2c Lim ae
1 − a 2
a →∞
= −2c(0) − 4c(0) + c(4) = 1
1 − a 2
+4
− 4c Lim e a →∞
1 − a 2
+ c Lim 4 a →∞
1 4
c=
SOAL-SOAL UNTUK LATIHAN 1. Hitunglah f ( x )dx , jika f(x) = a.
2x − 3 2x − 6x + 5 3x 2 − 2 x + 1
d.
g. j.
3x − 1 e (3x −1) 2 ln 3x − 2 x + 1
b.
2
x3 − x2 + x − 5
(
Cos(2 x − 3)
)
2x − 3
e.
3x 2 − 25
c.
(2x3 − 3x2)Sin(x4)
f.
3x 2 − 2 x + 5 6x 3 + x 2 − 2 x
x − 33 x + 2 x x −2
h.
(3x2 − 4x +1)Tg(x3 − 2x2 + x − 5)
i.
Cos x Cos3 (x − 3)
k.
(2x3 − 3x2 − x +5) Cos2 (2x + 3)
l.
4
x −a x2 − a2 e2xlog3x
2. Hitunglah nilai integral tentu di bawah ini a.
c.
1 π 4
(2 x − 3)Sin ( x − 3x + 1)dx 2
2
b.
1 − π 2
2 x 4 − 3x + 1 dx 2 − 5 2 x − 3x + 1 7
d.
1 π 2 1 − π 2
1 π 6
1 − π 3
x 2 − x +1 2x − 1 192
Cos( x 2 − 2 x + 1)dx
dx
e.
9 2
log(2 x 2 − 3x − 2)dx
f.
i.
1 π 6
e
Sin ( 2 x −3)
1 − π 3
Cos(2 x − 3)dx
g.
5 1 − Cos( π − 2 x ) 6 dx 1 1 − π Sin (2 x − π) 3 3 1 π 6
1 6
ln(3x 2 − 2 x − 1) dx 3x − 1 −2 1 π 6
j.
1 − π 3
3x 3 − 1 3x − 4 x + 1 2
dx
h.
k.
2x − 3 dx −3 2 x − 5x + 3 6
2
1 π 6
e ( 2 x −1) ln(x + 1)dx
1 − π 3
3. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi y = f(x) dengan y = g(x), jika a.
d.
4.
1 1 x +1 2 3 2 g ( x ) = 2 x − 3x + 1
f (x ) =
f (x ) = x 3 + 2 g(x ) = 2x 2
f ( x ) = log( x + 1) b.
e.
1 26 g(x ) = x 2 − x 3 9 f ( x ) = e ( 2 x −1) g ( x ) = ln(x + 2
c.
f.
f (x ) = − x 2 + 2x − 1 g ( x ) = 2 x 2 − 3x + 1 f (x ) = 4 − x 2 g(x ) = 2x − 1
Kecepatan aliran darah sepanjang pembuluhnya, memiliki persamaan v = K(R2 − r2) dengan K : konstanta, yang menyatakan kecepatan maksimum aliran darah R : konstanta, yang menyatakan jari-jari pembuluh darah r, konstanta, yang menyatakan jarak sel darah khusus ke pusat pembuluh darah. Laju kecepatan (rate) aliran darah, dapat dihitung dengan mengukur volume darah yang melewati titik ukur, dalam periode waktu tertentu.
Volume tersebut dapat
diformulasikan dalam persamaan R
V = 2πvr dr 0
π : bilangan irasional a.
Hitunglah V, jika R = 0,30 cm dan v = (0,30 − 3,33r2) cm/detik !
b.
Tentukan formulasi umum dari V !
193
5.
Laju produksi dari sebuah produk baru, mengikuti model
dx 400 = 200 1 + dt (1 + 40) 2
x : banyak item produk, dalam 100 unit t : waktu produksi, dalam satuan minggu a.
Hitunglah total produk dalam lima minggu pertama ! Berapakah totalnya dalam selang waktu 10 minggu ?
b.
Jika laju penurunan produksi, diformulasikan oleh persamaan D’(t) = 3000(20 − t) 0 ≤ t ≤ 20, selang waktu produkasi, dalam satuan tahun Maka hitunglah total penurunan produksi untuk 10 tahun pertama ! Berapakah totalnya untuk 10 tahun berikutnya ?
c.
Jika laju penjualan produk tersebut, memiliki model dengan persamaan S’(t) = −3t2 + 300t 0 ≤ t ≤ 30 : selang waktu penjualan setelah promosi selesai dilakukan, dalam satuan hari Maka hitunglah total penjualan untuk satu minggu pertama, setelah selesai promosi, dan satu minggu berikutnya. Jika total penjualan pada saat promosi selesai, adalah 500 unit.
6.
2
Total penjualan harian sebuah produk, memiliki model S = 100 xe − x + 100 , x : hari-hari penjualan, setelah promosi produk dimulai.
Hitunglah rata-rata penjualan harian,
selama 20 hari pertama promosi ! Jika tidak ada promosi baru, maka hitunglah rata-rata penjualan harian untuk 10 hari berikutnya ! 7.
Hitunglah integral tak wajar di bawah ini a.
x
∞ −∞
(x
2
)
+1
2
dx
b.
∞ −∞
x3 ex
4
dx
194
c.
−2 −∞
x x 2 −1
dx
d.
8.
−∞
(x
4
+3
)
2
dx
e.
x2
0
−∞
e
x
3
dx
∞
f.
5
x 4 e − x dx
−∞
Hitunglah c agar a.
c
∞ 0
9.
x3
∞
e
0,5 t
dt = 1
b.
∞ 10
(x
cx 3 2
)
+1
2
dx = 2
c.
∞
1
1
x x
dx = 5
Hitunglah luas daerah di bawah lengkungan y = f(x), dan di sebelah kanan sumbu x = 1, jika a.
f (x ) =
x e
x3
b.
f(x) = log x
f(x) = ex
c.
d.
f (x) =
x +1 x −1
10. Misalkan laju kemampuan reaktor nuklir untuk membuat produk beradioaktif, proporsional dengan lama beroperasinya reaktor tersebut. Jika laju tersebut memiliki model f(t) = 500 t, t : waktu dalam satuan tahun. Dan laju penurunan kemampuan, membangun model eksponensial dengan rata-rata 3% pertahun, maka perkiraan b
akumulasi produk selama b tahun, akan memiliki model 500 te −0,03( b − t ) dt . 0
a.
Hitunglah formulasi untuk perkiraan akumulasi tersebut !
b.
Berapakah akumulasi produk selama reaktor berfungsi ?
11. Untuk fungsi-fungsi di bawah ini, manakah yang merupakan distribusi peluang ? 1
a.
x f (x) = ,x≥0 x +1
c.
x2 f ( x ) = 18 , - 3 < x < 3 0 , untuk yang lainnya
b.
1 − x f ( x ) = e 2 , −∞ < x < ∞ 2 d.
195
f (x ) =
x+2 , -2<x <4 18 0 , untuk yang lainnya
12. Hitunglah luas selimut dan volume benda putar, yang diperoleh dari hasil memutar bidang yang dibatasi oleh a.
X = 2 , Y = X3 , X = 5 , jika diputar dengan sumbu putar, sumbu-X
b.
Y = 2X2 − 3X + 1 , Y = −3X2 + 2X + 1 , jika diputar dengan sumbu putar, sumbu-Y
13. Selesaikan formulasi integrasi di bawah ini x Sec 2 2x dx
a.
b.
3 π 4
Sin 3 x Cos x dx
c.
0
Sec 3 x dx 3 + Tg x
d.
g.
π π Sec x Tg x dx 4 4 0
1
e.
Cosec 2x Cotg 2x dx
3 π 4 1 π 3
f.
x 2 Tg x 3 dx 1 π 3
x Sec x Tg x dx
0
h.
1 π 2 0
(Cos 2x - Sin 2x) dx )
i.
Cos x ln (Sin x) dx
14. Hasil penjualan produk AC secara obralan, dari sebuah toko elektronik, memiliki model P( t ) = 200 Cos
π t + 100 6
t : bilangan bulan a.
Bangun tabel hasil penjualan untuk 0 ≤ t ≤ 12 !
b.
Berdasarkan nilai-nilai dari tabel tersebut, gambarkan grafik hasil penjualan !
c.
Tentukan periode waktu yang menyebabkan toko akan kehilangan hasil penjualan !
15. Laju produksi sebuah komoditi menurut waktu produksi, memiliki model
dx 400 = 200 1 + dt (t + 40)2 x : banyak item barang, t : waktu produksi (dalam mingguan) a.
Jika pda saat t = 0 , x = 0, maka sajikan persamaan yang menyatakan total produksi sepanjang wktu t !
b.
Hitunglah total produksi selama lima minggu ! 196
16. Bumi hanya memiliki sekitar 10 juta are, lahan yang baik untuk dijadikan daerah pertanian. Dan populasi penduduk bumi terbatas. Jika populasi penduduk terbatas pada 40 juta jiwa, dan laju pertumbuhannya proporsional dengan “kapan dunia berakhir”, yang merupakan batas atas waktu kehidupan dan penghidupan.
Sehingga laju
pertumbuhan penduduk dapat diformulasikan dengan persamaan dP = K (40 − P) dt K : konstanta positif. Formulasi tersebut identik dengan t =
1 1 dP K 40 − P
a. Sajikan formulasi persamaan t atas P ! b. Gunakan sifat hubungan fungsi logaritma dengan eksponensial, untuk membangun persamaan P atas t !
17. Sebuah partikel bergerak lurus dengan persamaan percepatannya, a ( t ) = te t
2
t : waktu, dalam detik Hitunglah kecepatan dan jarak tempuh, setelah partikel bergerak a. 0,5 menit
b.
50 detik
c.
0,5 jam
d.
1 menit 25 detik
18. Dalam ilmu statistika, salah satu konsepsi yang sering digunakan adalah ekspektasi matematis, E[f(x)]. Jika x variabel acak yang memiliki fungsi distribusi peluang p(x), ∞
dan f(x) fungsi atas x. Maka E[f ( x )] = f ( x ) p( x ) dx , jika nilainya ada dan berhingga. −∞
Jika x memiliki fungsi distribusi peluang p( x ) =
x+2 , -2< x <4 , maka 18 0 , untuk yang lainnya
hitungalah E[f(x)], jika f(x) = a. x
b.
(x + 2)3
c.
197
6x − 2(x + 2)2
d.
x − E[x]