BAB V. INTEGRAL
5.1. Anti Turunan (Integral Tak-tentu)
Definisi: F suatu anti-turunan f pada selang I jika dan hanya jika Dx F(x) = f(x) pada I, yakni F’(x) = f(x) untuk semua x dalam I. (Jika x suatu titik ujung I, F’(x) hanya perlu turunan sepihak)
Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah ∫ ....dx , sehingga berdasarkan definisi dapat ditulis ∫ f ( x).dx = F ( x) + C Contoh 1: Tentukanlah anti turunan dari f(x) = 4x 3 Jawab: F(x) = 4(
1 4 x ) = x4 yang memenuhi F’(x) = f(x) = 4x3 , sehingga 4
Anti turunan dari f(x) = 4x 3 adalah x4 + C Dengan Derive: Cara 1: Tulislah: int(4x3, x, c) enter, lalu klik tanda sama dengan. Cara 2: 1. Tulislah: 4x3 enter 2. Klik icon Klik icon 3. Klik icon
∫
, ganti konstan 0 dengan c, dan OK
=
Menggambar f(x) dan anti turunannya: Klik 4x3, lalu klik tanda gambar Tulislah: Vector(x4 + c, c, -2, 2) enter, lalu klik tanda gambar
2
Tugas Kelompok: 1. Gunakan definisi untuk menentukan : 1
a.
∫3x
b.
∫ x dx pada (-∞,∞)
c.
∫x
2
dx pada (-∞,∞)
3
4/3
dx pada (-∞,∞)
2. Cocokkan jawaban anda pada 1 dengan menggunakan derive.
Aturan Pangkat Tentukanlah integral tak-tentu berikut dengan menggunakan Derive: a.
∫x
b.
∫ x dx = ............
c.
∫x
2
dx = ............
d.
∫x
3
dx = ............
0
dx = ............
3
e.
∫x
−1
f.
∫x
n
dx = ............
dx = ............
Dapatkah anda menyimpulkan
∫x
n
dx = ............
Berikan alasan dari kesimpulan anda, ...............................................................................
Teorema A (Aturan Pangkat): Jika r adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka 1
∫ x dx = r + 1 x r
r +1
+ c ; r≠1 dan r∈ Bilangan rasional
Tugas kelompok: 1. Untuk membuktikan Teorema A, harus ditunjukkan bahwa
∫ f ( x)
dx = F ( x) + C ⇒ D x ( F ( x) + C ) = f(x). Buktikan Teorema A!
2. Dif(y, x) adalah untuk mencari diferensial y = f(x) terhadap x. Konstruksilah langkah-langkah untuk membuktikan teorema aturan pangkat dengan menggunakan derive. 3. Selesaikan berdasarkan aturan pangkat dan derive 1
a.
∫3x
b.
∫ x dx
c.
∫x
2
dx
3
4/3
dx
4
4.
Tentukanlah integral tak-tentu
∫ sin(x)
dx
dan
∫ cos(x)
dx
dengan
menggunakan Derive, juga gambar grafik masing-masing fungsi dan anti turunannya.
Teorema B:
∫ sin( x)dx = − cos( x) + c dan ∫ cos( x)dx = sin( x) + c Buktikan teorema B tersebut dengan Derive!
Teorema C: Integral tak tentu adalah operator linear 1.
∫ kf ( x)
dx = k ∫ f ( x) dx
2.
∫ [ f ( x) + g ( x )
dx = ∫ f ( x) dx + ∫ g ( x) dx
3.
∫ [ f ( x) − g ( x )
dx = ∫ f ( x) dx − ∫ g ( x) dx
Buktikan teorema tersebut secara teoritis (manual)! Contoh 2: Dengan menggunakan kelinearan integral, hitunglah ∫ (3 x 2 + 4 x) dx Jawab:
∫ (3x
2
+ 4 x) dx = ∫ 3 x 2 dx + ∫ 4 x dx = x3 + C1 + 2x2 + C2 = x3 + 2x2 + C
Dengan Derive: Tulis: int(3x^2, x, c) + int(4x, x, d) enter, lalu klik tanda sama dengan. Klik F4, lalu ganti c+d dengan K enter Klik icon Calculus, pilih Vektor, ubah variabel x ke k , isi starting value dengan -2 dan ending value dengan 2, OK, lalu klik tanda gambar
5
Aturan Pangkat yang Digeneralisir
Teorema D (Aturan Pangkat): Andaikan g suatu fungsi yang terdiferensialkan dan r suatu bilangan rasional yang bukan -1, maka [ g ( x)]r +11 ∫ [ g ( x) g ' ( x) dx = r + 1 + c r
Contoh 3: Tentukanlah ∫ ( x 3 + 6 x) 2 (3 x 2 + 6)dx Jawab: Misalkan u = x 3 + 6 x maka du = 3 x 2 + 6 dx
∫ (x
3
1 1 + 6 x) 2 (3 x 2 + 6)dx = ∫ u 2 du = u 3 + C = ( x 3 + 6 x) 3 + C 3 3
6
Dengan Derive: Misalkan u = x3 + 6x 1. Deklasilakan: u : = x3 + 6x enter dan du:=dif(u,x) 2. Klik
=
3. Tulis u2 , enter 4. Klik icon 5. Klik =
∫
, ganti variabel x dengan u, OK
, lalu Simplify >> Expand
Hasilnya adalah seperti gambar berikut.
Sehingga, ∫ ( x 3 + 6 x) 2 (6 x 2 + 12)dx =
x9 + 6 x 7 + 36 x 5 + 72 x 3 + c 3
Tugas Kelompok: Tunjukkan bahwa 1 3 x9 3 ( x + 6 x) = + 6 x 7 + 36 x 5 + 72 x 3 3 3
7
Soal-Soal Latihan: Carilah anti-turunan untuk masing-masing fungsi berikut. 1.
f ( x) = x 2 + π
2.
f ( x) = x 5 / 4
3.
f ( x) =
4.
f ( x) = x 2 + x
5.
f ( x) = 4 x 5 − 3x 3
6.
f ( x) = 27 x 7 + 3 x 5 − 45 x 3 + 2 x
7.
f ( x) =
3 2 − 3 2 x x
8.
f ( x) =
4 x 6 + 3x 4 x3
1 3
x2
Tentukanlah hasil integral-integral berikut dengan menggunakan operator linear. 9.
∫ (x
2
+ x) dx
10. ∫ ( x + 1) 2 dx
11.
∫
( z 2 + 1) 2 z
dz
12. ∫ (sin θ − cos θ ) dθ Gunakan aturan pangkat yang digeneralisir untuk menghitung integral berikut. 13. ∫ ( x 2 + 1) 3 2 dx 14. ∫ (5 x 2 + 1)(5 x 3 + 3 x − 8) 6 dx
8
15. ∫ (5 x 2 + 1) (5 x 3 + 3x − 2 dx 16. ∫ 3t
3
2t 2 − 11 dx
17. ∫ 6 sin(3 x − 6) dx x 18. ∫ sin 3 ( ) dx 6 19. ∫ ( x 2 cos(2 x) + x sin(2 x)) dx Carilah f(x) dengan mengintegralkannya dua kali. 20. f " ( x) = 3 x + 1 21. f " ( x) = x x4 +1 22. f " ( x) = x3 23. Andaikan F0(x) = x sin(x) dan Fn+1(x) =
∫ F ( x) n
dx , Tentukanlah:
a. F1(x), F2(x), F3(x), dan F4(x) b. Berdasarkan bagian a, perkirakanlah Fn(x) untuk n genap dan n ganjil.
5.2. Pendahuluan Persamaan Diferensial Contoh 4: Carilah persamaan-xy dari kurva yang melalui (-1,2) dan kemiringannya pada setiap titik pada kurva itu adalah 4x3 (dy/dx = 4x3). Jawab: dy = 4 x 3 ⇒ dy = 4 x 3 dx dx
9
∫ dy = ∫ 4 x
3
dx ,
kedua ruas diintegralkan
y + C1 = x 4 + C2 y = x4 + C Karena kurva melalui (-1, 2) maka (-1, 2) disubstitusi pada y = x4 + C, diperoleh 2 = (-1)4 + C atau C = 1 Sehingga, y = x4 + 1 merupakan persamaan-xy dari kurva yang melalui (-1,2) Dengan Derive: 1. Tulislah y = int(4x3, x, c), lalu enter 2. Klik icon SUB, masukkan nilai x = -1, Klik OK 3. Klik icon SUB, masukkan nilai y = 2, Klik OK 4. Klik 5.
≈
, memperoleh c =1
Klik y = x4 + c, lalu Klik icon SUB, masukkan nilai c = 1, Klik OK.
Hasilnya adalah seperti gambar berikut.
y=x4+1
10
Jadi persamaan-xy dari kurva yang melalui (-1,2) dan kemiringannya pada setiap titik pada kurva itu adalah 4x3 adalah y = x4 + 1. Berdasarkan uraian tersebut, maka dy/dx = 4x3 atau dy = 4x3 dx disebut persamaan diferensial.
Definisi: Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang tidak diketahui berupa fungsi dan melibatkan turunan (diferensial) dari fungsi yang tidak diketahui tersebut. Contoh 5: Selesaikanlah
persamaan
diferensial
dy x + 3 x 2 = , dx y2
kemudian
carilah
penyelesaian yang memenuhi y = 6 bilamana x = 0. Penyelesaian dengan Derive: 1. Tulislah: int(y2, y, c) = int(x + 3x2, x, d) enter, lalu Klik icon 2. Persamaannya adalah
3.
Tulislah:
y3 x2 + c = x3 + + d atau 3 2
y=3
=
3x 2 + 3x 3 + C 2
3x 2 y= + 3x 3 + C 2 3
4. Klik icon SUB, masukkan x = 0, Klik OK dan ulangi untuk y = 6, Klik OK 5. Klik
≈
6. Klik y = 3
, memperoleh c = 216 3x 2 + 3 x 3 + C , Klik icon SUB, masukkan nilai c = 216, Klik OK. 2
Hasilnya adalah seperti gambar berikut.
11
Jadi penyelesaian umum persamaan diferensial adalah y = 3
3x 2 + 3x 3 + C . 2
Penyelesaian khusus yang memenuhi y = 6 bilamana x = 0 adalah y=3
3x 2 + 3 x 3 + 216 . 2
Contoh 6: Anggaplah percepatan benda jatuh karena grafitasi adalah 32 kaki per detik kuadrat dengan hambatan udara diabaikan. Jika suatu benda dilempar ke atas dari ketinggian 1000 kaki (Gambar 1) dengan kecepatan 50 kaki per detik, carilah kecepatan dan tingginya 4 detik kemudian.
1000
Gambar 1
12
Jawab: Mula-mula kecepatan v = ds/dt adalah positif (s meningkat) tetapi percepatan a = dv/dt adalah negatif (tarikan grafitasi cenderung memperkecil v). Sehingga titik awal persamaan diferensial adalah dv/dt = -32, dengan syarat v = 50 dan s = 1000 pada saat t = 0. dv/dt = -32 v = ∫ − 32 dt = -32t + C Karena v = 50 pada t = 0, diperoleh C = 50, sehingga v = -32t + 50 Selanjutnya, ds/dt = -32t + 50 s = ∫ − 32t + 50 dt = -16t2 + 50t + K Karena s = 1000 pada t = 0, diperoleh K = 1000, sehingga s = -16t2 + 50t + 1000
Akhirnya pada saat t = 4, diperoleh: v = -32(4) + 50 = -72 kaki per detik dan s = -16(4) + 50(4) + 1000 = 944 kaki.
Soal-oal Latihan: Dalam soal-soal 1-5, Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial yang diberikan, lalu carilah penyelesaian khususnya yang memenuhi syarat yang ditunjukkan. 1.
dy = x 2 + 1; y = 1 pada x = 1 dx
13
2.
dy x = ; y = 1 pada x = 1 dx y
3.
dz 1 = t2z2; z = pada t = 1 dt 3
4.
ds = 16t 2 + 4t − 1; s = 100 pada t = 0 dt
5.
dy = (2 x + 1) 4 ; y = 6 pada x = 0 dx
6. Carilah persamaan-xy dari kurva yang melalui (1,2) dan kemiringannya setiap titik pada kurva itu adalah tiga kali koordinat-x-nya. 7. Carilah persamaan-xy dari kurva yang melalui (-1,2) dan kemiringannya pada setiap titik pada kurva itu adalah tiga kali kuadrat koordinat-y-nya. 8. Sebuah bola dilemparkan ke atas dari permukaan bumi dengan kecepatan awal 96 kaki per detik. Berapakah tinggi maksimum yang dicapai bola tersebut? 9. Pada permukaan Bulan, percepatan gravitasi adalah -5,28 kaki per detik per detik. Jika sebuah benda dilemparkan ke atas dari ketinggian awal 1000 kaki dengan kecepatan 56 kaki per detik, carilah kecepatan dan tingginya 4,5 detik kemudian. 10. Laju perubahan volume V suatu bola salju yang mencair berbanding lurus dengan luas permukaan bola S; yakni dV/dt = -kS, dengan k konstanta positif. Jika pada saat t = 0, jari-jari bola r = 2, dan saat t = 10, jari-jari r = 0,5. Tunjukkan bahwa r = −
3 t +2. 20
14
5.3. Notasi Sigma Perhatikan jumlah: 12 + 22 + 32 + 42 + ... + 1002 =
100
∑i
2
i =1
Penyelesaian dengan Derive: 1. Tulislah: i2 2. Klik icon Σ, masukkan lower limitnya 1 dan upper limitnya 100, OK 3. Klik icon = Hasilnya adalah seperti berikut.
Jadi 12 + 22 + 32 + 42 + ... + 1002 =
100
∑i i =1
2
= 338350
15
Tugas Kelompok Gunakan derive untuk menemukan rumus jumlah khusus berikut: n
a.
∑ i = ............................... i =1
n
b.
∑i
2
= ...............................
3
= ...............................
4
= ...............................
i =1
n
c.
∑i i =1
n
d.
∑i i =1
Definisi: Misalkan a1, a2, a3, ... , an adalah n buah bilangan-bilangan. Jumlahan n
a1 + a2 + a3 + ... + an dinotasikan sebagai sigma dengan simbol
∑a i =1
Contoh 7: 10
Hitunglah: a.
10
10
∑i
b.
i =1
∑i2 i =1
c.
∑i
4
i=2
Jawab: 10
a.
∑i = i =1
10(10 + 1) = 55 2
10
b.
∑i i =1
c.
2
=
10(10 + 1)(20 + 1) = 385 6
10
10
i=2
i =1
∑ i 4 = ∑ i 4 − 14 =
10(11)(6000 + 900 + 10 − 1) − 1 = 25.332 30
i
16
Soal-Soal Latihan Dalam soal-soal 1-4, tentukanlah hasil jumlah berikut. 1. 1 + 2 + 3 + .... + 41 2. 1 +
1 1 1 + + ... + 2 3 100
7
3.
1
∑ k +1 k =1
8
4.
∑ (−1)
m
2 m− 2
m =1
6
5.
∑ n cos(nπ ) n =1
40
6.
1
1
∑ ( k − k + 1) k =1
100
7.
∑ 3i − 2 i =1
10
8.
∑k
3
−k2
k =1
n
9.
∑ (2i − 3)
2
i =1
10. Buktikan dengan induksi matematis rumus jumlah khusus yang telah anda temukan dalam tugas kelompok.
17
5.4. Luas Poligon Dalam Riemann Tinjaulah daerah R yang dibatasi oleh parabola y = f(x) = x2, sumbu-x, dan garis tegak x = 3. Kita menggunakan acuan R sebagai daerah dibawah kurva y = x2 diantara x = 0 dan x = 3. Sasaran kita menghitung luas daerah A(R) pada gambar 2.
Gambar 2 Buatlah selang [0,3] menjadi 3 selang bagian, buat poligon-poligon dengan tinggi f(x) = x2 dan lebar ∆x = 1 (lihat gambar 3), 2
Luas A(R1) =
∑ f ( x )∆x = f(x0) ∆x i
i =0
+ f(x1) ∆x + f(x2) ∆x = 0.1 + 1.1 + 4.1 = 5.
18
Gambar 3
Buatlah selang [0,3] menjadi 6 selang bagian, buat poligon-poligon dengan tinggi f(x) = x2 dan lebar ∆x = 1/2 (lihat gambar 3), 5
Luas A(R2)
=
∑ f ( x ) ∆x i
i =0
= f(x0) ∆x + f(x1) ∆x + f(x2) ∆x + f(x3) ∆x + f(x4) ∆x + f(x5) ∆x = 0(1/2) + (1/4)(1/2) + 1(1/2) + (9/4)(1/2) + 4(1/2) + (25/4)(1/2) = 6,875.
19
dan seterusnya sampai n selang bagian diperoleh: n −1
A(Rn) =
n −1
i
i =0
=
3i
∑ f ( x ) ∆x = ∑ ( n ) i =0
2
27 (n − 1)n(2n − 1) 3 27 n −1 ] ( ) = 3 ∑i2 = 3 [ 6 n n i=0 n
27 2n 3 − 3n 2 + n 27 3 1 [ ]= [2 − + 2 ] 3 6 6 n n n
A(R) = lim n →∞
27 3 1 [2 − + 2 ] = 9. 6 n n
Rumus umum poligon dalam Riemann: n −1
A( R ) = lim ∑ f ( xi ) ∆x n→∞ i = 0
Dengan Derive:
Left_Riemann(f(x),x,a,b,n) adalah untuk menghitung luas daerah poligonpoligon dalam Riemann y = f(x), a ≤ x ≤ b, dan n selang bagian.
Tugas Kelompok Konstruksilah langkah-langkah pengerjaan dengan Derive sehingga anda menemukan bahwa A(R) = 9.
20
Soal-Soal Latihan Dalam soal-soal 1-3, carilah luas poligon dalam yang ditunjukkan 1. y=x+1
2. y=x+1 y=x+1
3.
21
Dalam soal-soal 4-5, Hitunglah luas daerah di bawah kurva y = f(x) , a ≤ x ≤ b pada selang bagian n yang diberikan. 4. f(x) = 3x -1, a = 1, b = 3, n = 4 5. f(x) = x2 – 1, a = 2, b = 3, dan n = 6 6. f(x) = x3 + x + 1, a = -1, b = 1, dan n = 10 Dalam soal-soal 6-10, Hitunglah luas daerah di bawah kurva y = f(x) , a ≤ x ≤ b. Untuk melakukan ini, bagilah a ≤ x ≤ b atas n selang bagian, hitung jumlah luas poligon dalam, dan tarik nilai limitn n → ∞ . 7.
y = x + 2, a = 0, b = 1
8.
y = 2 x + 2, a = −1, b = 1
9.
y = x 3 , a = 0, b = 1
10. y = x 3 + x, a = 0, b = 1
22
5.5. Integral Tentu
Definisi Grafik y = f(x) dalam interval [a,b], intervalnya dibagi atas n selang bagian dengan panjang setiap poligon
b−a dan tingginya f( x k ) untuk suatu x k n
adalah titik tengah alas poligon maka n
b−a b−a b−a disebut jumlahan f ( x k ); dengan a + (k − 1) ≤ xk ≤ a + k n n n k =1
∑
Riemann.
Contoh 8: Hitunglah jumlahan Riemann f(x) = x2 + 1, -1 ≤ x ≤ 2 1.
Deklarasikan: f(x):= x2 + 1
2.
Tulislah:
3.
Tarik sigma ke-k, k = 1 sampai k = n,
4.
Substitusi a = -1 dan b = 2
5.
Tarik limit ke-n untuk n → ∞
6.
Klik icon sama dengan.
b−a . f (a + k (b − a ) / n) n
23
Jadi hasil jumlahan Riemannnya adalah 6
Definisi Misalkan |P| (norma P) menyatakan selang bagian yang terpanjang, dan f n
terdefinisi pada selang tutup [a, b]. Jika
lim
ΙPΙ →0
∑ f ( x ) ∆x i
i
ada, maka f
i =1
b
terintegralkan pada
[a, b].
Lebih lanjut
∫ f ( x) dx a
(Integral Riemann) f dari a ke b, yakni: b
∫ a
n
f ( x) dx = lim
ΙPΙ →0
∑ f ( x ) ∆x i
i
i =1
3
Contoh 9: Hitunglah
∫ ( x + 3) dx −2
1. Tulislah: (-2+i(5/n))(5/n) enter 2. Tarik sigma ke-i, i =1 sampai i = n, OK 3. Tarik limit n → ∞, OK 4. klik icon sama dengan.
disebut integral tentu
24
3
Jadi
∫ ( x + 3) dx = 35/2 −2
Teorema A: Teorema Dasar kalkulus Anggaplah f kontinu (dan terintegrasikan) pada selang [a, b] , dan anggaplah F sebarang anti turunan f pada [a,b], jadi b
∫ f ( x) a
dx = F (b) − F (a)
25
Teorema B: Integral tentu adalah operator linear b
1.
∫ kf ( x)
b
dx = k ∫ f ( x) dx
a
a
b
2.
3.
∫ [ f ( x ) + g ( x)
b
dx =
∫ f ( x)
a
a
b
b
∫ [ f ( x) − g ( x) dx =
∫
a
a
b
dx + ∫ g ( x) dx a b
f ( x) dx − ∫ g ( x) dx a
3
∫ (2 x + 3) dx
Contoh 10: Hitunglah
−2
Jawab: 3
3
∫ ( x + 3) dx −2
=
3
∫ 2 x dx +
∫ 3 dx
−2
−2
3
3
−2
−2
= ( x 2 ) ] + (3x) ]
= (3 2 − (−2) 2 ) + (3.3 − 3(−2) = 5 + 15 = 20 Menyelesaikan contoh 2 dengan Derive:
Int(f(x), x, a, b) adalah untuk menghitung integral tentu y = f(x) dari x = a ke b. 1. Tulislah: Int ( x + 2, x, -2, 3) enter 2. Klik icon sama dengan.
26
Contoh 11: 2
Hitunglah - ∫ ( x 2 − 4) dx 0
1. Tulislah: -Int(x2 - 4), x, -2, 3) enter 2. Klik icon sama dengan.
27
2
Jadi - ∫ ( x 2 − 4) dx = 16/3 0
Jika daerah R sebagian terletak di atas sumbu-x dan sebagian berada di bawah sumbu-x maka luasannya dapat dihitung dengan memanfaatkan teorema berikut.
Teorema (sifat tambahan pada selang) Jika f terdiferensialkan pada sebuah selang yang mengandung titik a, b, dan c maka c
b
c
a
a
b
∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx Contoh 12: 3
Hitunglah
∫ (2 x −1
2
− 8) dx
28
1. Tulislah: -Int(2x2 - 8), x, -1, 2) + int(2x2 – 8, x, 2, 3) enter 2. Klik icon sama dengan.
3
Jadi
∫ (2 x
2
− 8) dx = 68/3
−1
Soal-Soal Latihan Dalam soal-soal 1-6, Hitunglah integral tentu dengan menggunakan definisi. 2
1.
2.
∫ ( x + 1) dx
2
4.
∫ (x
0
0
1
1
∫ (2 x + π ) dx −2
5.
2
∫ (3x −2
+ 1) dx
2
+ 2) dx
29
5
3.
10
∫ ( x + 1) dx
∫ (x
6.
0
2
+ x) dx
−10
b
Dalam soal-soal 7- 10, Hitunglah
∫ f ( x) dx dengan a dan b batas kiri dan kanan a
dimana f terdefinisi, dengan menggunakan sifat tambahan pada selang dan rumus luas yang cocok dari geometri bidang.
7.
2 x jika 0 ≤ x ≤ 1 f ( x) = 2 jika 1 < x ≤ 2 x x jika 2 < x ≤ 5
8.
jika 0 ≤ x ≤ 1 f ( x ) = 2 x 2( x − 1) + 2 jika 1 ≤ x ≤ 2
9.
1 − x 2 jika 0 ≤ x ≤ 1 f ( x) = x − 1 jika 1 < x ≤ 2
10.
2 f ( x) = − 4 − x jika − 2 ≤ x ≤ 0 − 2 x − 2 jika 1 < x ≤ 2
Dalam soal-soal 11-16, Hitunglah integral berikut. 2
11.
∫ (x
6
3
+ 1) dx
14.
0
0
1
12.
13.
∫ tan( x) dx
∫ sin( x) dx 2
15.
∫ (x
0
−1
4
1
∫ − 1+ | x | dx −2
16.
1
∫x 0
4
− 3 x 2 + 1) dx
dx
