Bab. Pola Bilangan, Barisan, dan Deret. A. Pola Bilangan B. Barisan Bilangan C. Deret Bilangan

Bab

Sum

6

b er : w

ww.medec

te.fr fcom inepharmacie.univ-

Pola Bilangan, Barisan, dan Deret Pola bilangan, barisan, dan deret merupakan materi baru yang akan kamu pelajari pada bab ini. Terdapat beberapa masalah yang penyelesaiannya memerlukan materi ini, contohnya sebagai berikut. Jumlah bakteri dalam suatu kondisi tertentu bertambah dari 10.000 menjadi 25.000 dalam 4 hari. Jika jumlah bakteri tersebut terus bertambah menurut deret geometri, berapa banyak pertumbuhan bakteri tersebut per hari? Untuk menjawabnya, pelajari bab ini dengan baik.

A. B. C.

Pola Bilangan Barisan Bilangan Deret Bilangan

99

Uji Kompetensi Awal Sebelum mempelajari materi pada bab ini, kerjakan soal-soal berikut.

1. 2. 3.

Tuliskan himpunan bilangan ganjil antara 1 dan 10. Tuliskan himpunan genap antara 10 dan 20. Tuliskan bilangan kelipatan tiga antara 50 dan 70.

4. 5.

Tuliskan bilangan kelipatan 5 antara 80 dan 95. Hitunglah: c. 10(1,5)3 a. 54 7 (15 + 25 ) b. (1,5)3 d. 2

A. Pola Bilangan

Sumber: Dokumentasi Penulis

Gambar 6.1 : Dadu

Pernahkah kamu memperhatikan dadu? Pada umumnya, dadu memiliki bilangan-bilangan yang digambarkan dalam bentuk bulatan. Coba kamu perhatikan Gambar 6.1 . Gambar tersebut menunjukkan bahwa dadu memiliki bulatan-bulatan kecil (disebut noktah atau titik) di setiap sisinya. Noktahnoktah tersebut mewakili bilangan-bilangan yang ditentukan. Satu noktah mewakili bilangan 1, dua noktah mewakili bilangan 2, dan begitu seterusnya hingga enam noktah yang mewakili bilangan 6. Penggunaan noktah untuk mewakili suatu bilangan tertentu sebenarnya telah digunakan manusia pada zaman dahulu. Uniknya, penulisan noktah-noktah tersebut ternyata mengikuti pola yang didasarkan pada bentuk bangun datar atau bangun ruang.

1. Pola Garis Lurus

Penulisan bilangan yang mengikuti pola garis lurus merupakan pola bilangan yang paling sederhana. Suatu bilangan hanya digambarkan dengan noktah yang mengikuti pola garis lurus. Misalnya, a. mewakili bilangan 2. b. mewakili bilangan 3. c. mewakili bilangan 4. d. mewakili bilangan 5.

Plus+ Semua bilangan asli dapat digambarkan dengan noktah-noktah yang mengikuti pola garis lurus.

Contoh Soal

6.1

Gambarkan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk noktah yang berpola garis lurus. a. 8 b. 11 c. 15 Jawab: a. b. c.

100

Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX

2. Pola Persegipanjang

Pada umumnya, penulisan bilangan yang didasarkan pada pola persegipanjang hanya digunakan oleh bilangan bukan prima. Pada pola ini, noktah-noktah disusun menyerupai bentuk persegipanjang. Misalnya, a.

mewakili bilangan 6, yaitu 2 x 3 = 6.

b.


c.


Untuk lebih jelasnya, coba perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal

6.2

Dari bilangan-bilangan berikut, manakah yang dapat mengikuti pola persegipanjang? Jelaskan dengan gambar. a. 15 b. 16 c. 17 Jawab: a. Bilangan 15 merupakan hasil perkalian 3 dan 5. Jadi, mengikuti pola persegipanjang. b. Bilangan 16 merupakan hasil perkalian 2 dan 8. Jadi, mengikuti pola persegipanjang. c.

Bilangan 17 merupakan hasil perkalian dari 1 dan 17. Jadi, mengikuti pola garis lurus.

3. Pola Persegi

Persegi merupakan bangun datar yang semua sisinya memiliki ukuran yang sama panjang. Begitu pula dengan penulisan pola bilangan yang mengikuti pola persegi. Semua noktah digambarkan dengan jumlah yang sama. Perhatikan uraian berikut. a.


b.

mewakili bilangan 4, yaitu 2 × 2 = 4.

Pola Bilangan, Barisan, dan Deret

101

c.


d.


Jika dilanjutkan, bilangan-bilangan yang digambarkan mengikuti pola persegi adalah : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ... Bilangan-bilangan tersebut merupakan bilangan kuadrat (pangkat dua). Jika kamu perhatikan, bilangan kuadrat memiliki pola sebagai berikut.

+2

Contoh Soal 1.

2.

+2

+2

+2

+2

+2

+2

100 +19

+17

+15

+13

+11

+9

+7

+5

+3

81

64

49

36

25

16

9

4

1

+2

6.3

Dengan menggunakan ciri-ciri penulisan bilangan yang memiliki pola persegi, tentukan bilangan manakah yang mengikuti pola persegi? a. 60 b. 196 c. 225 Seorang anak menyusun persegi dari batang lidi yang mengikuti pola sebagai berikut.

Pola 1

Pola 2

Pola 3

Berapa banyak lidi yang dibutuhkan untuk membuat persegi pada pola ke-5? Jawab: 1. a. Bilangan 60 bukan merupakan bilangan kuadrat. Jadi, bilangan 60 tidak dapat digambarkan mengikuti pola persegi. b. Bilangan 196 merupakan bilangan kuadrat dari 14. Jadi, bilangan 196 dapat digambarkan mengikuti pola persegi. c. Bilangan 225 merupakan bilangan kuadrat dari 15. Jadi, bilangan 225 dapat digambarkan mengikuti pola persegi.

102


2.

Persegi yang dibentuk pada pola ke-5 dapat digambarkan sebagai berikut.

Dari gambar di samping, banyak lidi yang dibutuhkan untuk membuat persegi pada pola ke-5 adalah 60 lidi.

Situs Matematika www.free.vism www.sgi.com

4. Pola Segitiga

Selain mengikuti pola persegipanjang dan persegi, bilangan pun dapat digambarkan melalui noktah yang mengikuti pola segitiga. Untuk lebih jelasnya, coba kamu perhatikan lima bilangan yang mengikuti pola segitiga berikut ini. a. mewakili bilangan 1. b.

mewakili bilangan 3.

c.


d.


Jadi, bilangan yang mengikuti pola segitiga dapat dituliskan sebagai berikut. 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ... Coba kamu perhatikan bilangan yang memiliki pola segitiga. Ternyata, bilangan-bilangan tersebut dibentuk mengikuti pola sebagai berikut.

+1

+1

+1

+1

+1

36 +8

+7

+6

+5

+4

+3

+2

28

21

15

10

6

3

1

+1


103

atau 1 = 1 3 = 1+2 6 = 1+2+3 10 = 1 + 2 + 3 + 4 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 dan seterusnya. Apa yang dapat kamu simpulkan dari uraian tersebut?

Contoh Soal

6.4

1. Tentukan lima bilangan segitiga setelah bilangan 36. 2. Seorang anak membuat kerangka segitiga dari batang lidi dengan mengikuti pola sebagai berikut.

pola 1

pola 2

Berapa banyak lidi yang diperlukan untuk membuat pola ke-4? Jawab: 1. Lima bilangan segitiga setelah bilangan 36 dapat ditentukan dengan pola: 36

+ 9 = 45 +

10 = 55 + 11 = 66 +

12

=

78

+

13

=

91

Jadi, bilangan segitiga tersebut adalah 45, 55, 66, 78 dan 91 2. Segitiga yang dibentuk pada pola keempat dapat digambarkan sebagai berikut. Dari gambar di samping, banyaknya batang lidi yang dibutuhkan untuk membuat kerangka segitiga yang sesuai dengan pola ke-4 adalah 30 batang lidi

5. Pola Bilangan Ganjil dan Genap

Bilangan yang memiliki pola bilangan ganjil atau genap biasanya memiliki selisih dua angka antara bilangan yang satu dengan bilangan sebelumnya. Untuk lebih jelasnya, perhatikan uraian berikut.

a. Pola Bilangan Ganjil Pola bilangan ganjil memiliki aturan sebagai berikut. (1) Bilangan 1 sebagai bilangan awal. (2) Bilangan selanjutnya memiliki selisih 2 dengan bilangan sebelumnya. Perhatikan pola bilangan ganjil berikut ini. 1

3 +2

104


5 +2

7 +2

9 +2

11 +2

13 +2

15 +2

b. Pola Bilangan Genap

Tugas 6.1

Pola bilangan genap memiliki aturan sebagai berikut. (1) Bilangan 2 sebagai bilangan awal. (2) Bilangan selanjutnya memiliki selisih 2 dengan bilangan sebelumnya. Perhatikan pola bilangan genap berikut ini. 2 4 6 8 10 12

14

Carilah contoh lain pola bilangan ganjil dan genap selain contoh yang sudah ada. Bandingkan hasilnya dengan teman sebangkumu

16

+2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 Agar kamu lebih memahami pola bilangan ganjil dan genap, coba kamu perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh Soal

6.5

1.

Isilah titik-titik berikut sehingga membentuk pola bilangan genap. ... ... ... ... 28 ... ... ... ... 38 ... 2. Isilah titik-titik berikut sehingga membentuk pola bilangan ganjil. ... 51 ... ... ... ... ... ... ... ... ... 69 Jawab: 1. Pola bilangan genap yang dimaksud adalah 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 2. Pola bilangan ganjil yang dimaksud adalah 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69

6. Pola Segitiga Pascal

Bilangan-bilangan yang disusun menggunakan pola segitiga Pascal memiliki pola yang unik. Hal ini disebabkan karena bilangan yang berpola segitiga Pascal selalu diawali dan diakhiri oleh angka 1. Selain itu, di dalam susunannya selalu ada angka yang diulang. Adapun aturan-aturan untuk membuat pola segitiga Pascal adalah sebagai berikut. a. Angka 1 merupakan angka awal yang terdapat di puncak. b. Simpan dua bilangan di bawahnya. Oleh karena angka awal dan akhir selalu angka 1, kedua bilangan tersebut adalah 1. c. Selanjutnya, jumlahkan bilangan yang berdampingan. Kemudian, simpan hasilnya di bagian tengah bawah kedua bilangan tersebut. d. Proses ini dilakukan terus sampai batas susunan bilangan yang diminta. Untuk lebih jelasnya, perhatikan pola segitiga Pascal berikut. 1 1 1 1 1 1

2 3

4 5

1

6

Pola bilangan segitiga Pascal ini dapat digunakan dalam perhitungan matematika lainnya. Salah satunya adalah

1 3

1 4

10 10 dan seterusnya.

Plus+

variabel bilangan berpangkat

1 5

1


105

Uji Kompetensi 6.1 Kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Perhatikan pola noktah berikut.

2.

a. Salinlah kembali pola noktah tersebut dan lanjutnya tiga pola noktah berikutnya. b. Tulislah pola noktah tersebut dalam bentuk angka. c. Jelaskan pola bilangan tersebut. Isilah tabel berikut. Pola Bilangan

Bilangan Pada Dadu

Bilangan Pada Kartu Domino

Garis lurus

... ...

... ...

...

...

Persegi Persegi panjang 3.

4.

5.

6.

7. Berikut ini adalah pola yang dibuat dari batang lidi.

Buatlah pola noktah dari bilangan-bilangan berikut. Kemudian, tentukan jenis pola yang digunakan. a. 9 d. 12 b. 10 e. 13 c. 11 Istilah titik-titik berikut dengan memperhatikan pola yang digunakan. a. 1, 2, 4, 8, 32, 256, ... b. 1, 5, 9, ..., 17, 21, 25 c. 5, 10, 15, 20, 25, ... , 35 d. 1, 4, 10, 19, 31, ... , ... e. 1, 4, 9, 16, ... , ..., 49 Berikut ini adalah pola yang dibuat dari batang lidi.

a. Salinlah pola tersebut dan lanjutkan tiga pola berikutnya. b. Berapa banyak batang lidi yang diperlukan untuk membuat pola kesepuluh? Tentukan pola bilangan berikut dan isilah titik-titik yang telah disediakan. a. 1, 8, 27, 64, ..., ..., ... b. 13, 23, ..., ..., ..., 63, 73 c. 1 + 2, 2 + 3, 3 + 4, ..., ..., 6 + 7 d. ..., ..., 75, 100, 125, ..., 175 e. 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, ..., ..., ..., ...,

106


(a)

(b)

(c)

(d)

a. Salinlah pola tersebut dan tentukan tiga pola berikutnya. b. Berapa banyak batang lidi yang diperlukan untuk membuat pola 1, 2, 3, dan 4? 8. Berdasarkan pola yang telah dibuat pada soal nomor 7, isilah titik-titik pada tabel berikut. 9. Tentukan nilai m dan n sehingga pola bilangan berikut mempunyai pola tertentu. Banyaknya Persegi

Banyaknya Batang Lidi yang Digunakan

Banyaknya Batang Lidi pada Kelilingnya

1 2 3 ... ... ... ...

4 7 ... ... ... ... ...

4 6 ... ... ... ... ...

a. 7, 10, m, 16, 19, 22, n, ... b. 1, 2, 5, 6, 9, 10, m, n, c. 1, 6, 16, m, 51, n, ... d. 1, 6, m, 7, 3, n, 4 e. m, 12, 19, 26, n, 40, ... 10. Di sebuah bioskop, susunan tempat duduknya digambarkan sebagai berikut. baris 1 baris 2 baris 3

a. Berdasarkanpolatersebut,berapakahbanyaknya kursi pada baris ke-6? b. Jika di bioskop tersebut hanya terdapat enam baris kursi, berapa jumlah kursi di bioskop tersebut?

B. Barisan Bilangan Perhatikan pola bilangan-bilangan berikut. a. 2, 4, 6, 8 b. 1, 3, 5, 7, ... c. 3, 6, 9, 12, 15, ... Jika kamu perhatikan, bilangan-bilangan pada (a), (b), dan (c) disusun mengikuti pola tertentu. Bilangan-bilangan tersebut disebut barisan bilangan . Adapun setiap bilangan dalam barisan bilangan disebut suku barisan . Suku ke-n suatu barisan bilangan dilambangkan dengan Un. Pada barisan bilangan 2, 4, 6, 8, diperoleh U1 = suku ke-1 = 2 U2 = suku ke-2 = 4 U3 = suku ke-3 = 6 U4 = suku ke-4 = 8 Jadi, barisan bilangan 2, 4, 6, 8 memiliki 4 buah suku.

Contoh Soal

Plus+ Tanda “ ... “ pada akhir barisan bilangan menunjukkan bahwa barisan tersebut memiliki banyak sekali suku

6.6

1.

Diketahui barisan bilangan 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. a. Tentukan banyaknya suku barisan dalam barisan bilangan tersebut. b. Sebutkan satu per satu suku yang dimaksud. 2. Diketahui barisan bilangan 5, 10, 20, 40, 80. Tentukan U2, U4, dan U5. Jawab: 1. a. Terdapat 8 suku barisan dalam barisan bilangan tersebut. U5 = 9 b. U1 = 1 U2 = 3 U6 = 11 U3 = 5 U7 = 13 U4 = 7 U8 = 15 2. U2 = suku kedua = 10 U4 = suku keempat = 40 U5 = suku kelima = 80

Berdasarkan polanya, barisan bilangan dibagi menjadi dua bagian, yaitu barisan arimetika (barisan hitung) dan barisan geometri (barisan ukur). Agar kamu lebih memahaminya, perhatikan uraian berikut ini.

1. Barisan Aritmetika (Barisan Hitung)

Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang mempunyai beda atau selisih yang tetap antara dua suku barisan yang berurutan. Perhatikan uraian berikut. • Diketahui barisan bilangan: 1

4

7

10

13

16

19

22

+3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 Barisan bilangan tersebut memiliki beda atau selisih 3 antara dua suku barisan yang berurutan. Berarti, barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmetika.


107

Sekilas Matematika Fibonacci (1180 –1250)

Sumber: www.lahabra.seniorhigh.net

Fibonacci, yang nama lengkapnya adalah Leonardo of Pisa, adalah putra seorang saudagar Italia. Dalam perjalanannya ke Eropa dan Afrika Utara, ia mengembangkan kegemarannya akan bilangan. Dalam karya terbesarnya, Liber Abaci, ia menjelaskan sebuah teka-teki yang sekarang kita kenal dengan barisan Fibonacci. Barisan tersebut adalah 1, 1, 2, 3, 5, 8, .... Setiap bilangan atau angka dalam barisan ini merupakan jumlah dari dua bilangan sebelumnya. (1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, ...).

•

Diketahui barisan bilangan: 8

4

0

−4

−8

−12

−16

−20

–4 –4 –4 –4 –4 –4 –4 Barisan bilangan tersebut memiliki beda atau selisih yang tetap antara dua suku barisan yang berurutan, yaitu –4. Berarti, barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmetika. Dari kedua uraian tersebut, dapat disimpulkan bahwa barisan aritmetika memiliki beda (sering dilambangkan dengan b) yang tetap. Jika b bernilai positif maka barisan aritmetika itu dikatakan barisan aritmetika naik. Sebaliknya, Jika b bernilai negatif maka barisan aritmetika itu disebut barisan arimetika turun. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal

6.7

Tentukan jenis barisan aritmetika berikut berdasarkan nilai bedanya. a. 30, 32, 34, 36, 38, ... b. 18, 15, 12, 9, 6, 3, ... c. −10, −14, –18, −22, −26, ... Jawab a. 30 32 34 36 38 +2 +2 +2 +2 merupakan barisan aritmetika naik karena bedanya 2. b. 18

Sumber: Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia, 2002

15

12

9

6

3

−3 −3 −3 −3 −3 merupakan barisan aritmetika turun karena bedanya −3. c.

−10

−14 −4

−18 −4

−22 −4

−26 −4

merupakan barisan aritmetika turun karena bedanya −4.

Kamu telah memahami barisan aritmetika naik dan turun. Sekarang, bagaimana mencari salah satu suku barisan jika yang diketahui hanya suku pertama dan bedanya saja? Bagaimana mencari beda jika yang diketahui hanya suku pertama dan satu suku barisan yang lain? Untuk menjawabnya, pelajarilah uraian berikut. Diketahui barisan bilangan aritmetika sebagai berikut. U1, U2, U3, U4, U5, U6, ..., Un – 1 , Un Dari barisan tersebut diperoleh U1 = a (suku pertama dilambangkan dengan a) U2 = U1 + b = a + b U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b

108


U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b U6 = U5 + b = (a + 4b) + b = a + 5b . . . Un = Un − 1 + b = (a + (n − 2) b ) + b = a + (n − 1) b Jadi, rumus ke-n barisan aritmetika dapat ditulis sebagai berikut.

Problematika

Un = a + (n − 1) b Untuk mencari beda dalam suatu barisan aritmetika, coba kamu perhatikan uraian berikut. U2 = U1 + b maka b = U2 − U1 U3 = U2 + b maka b = U3 − U2 U4 = U3 + b maka b = U4 − U3 U5 = U4 + b maka b = U5 − U4 . . . Un = Un − 1 + b maka b = Un − Un − 1 Jadi, beda suatu barisan aritmetika dinyatakan sebagai berikut.

Isilah dengan barisan bilangan yang tepat. 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 3 1 2 2 1 1 1 3 1 1 2 2 2 1

b = Un − U n − 1 Agar kamu lebih memahami materi ini, perhatikan contoh-contoh soal berikut.

Contoh Soal

6.8

Diketahui barisan aritmetika sebagai berikut. 10, 13, 16, 19, 22, 25, .... Tentukan: a. jenis barisan aritmetikanya, b. suku kedua belas barisan tersebut. Jawab: a. Untuk menentukan jenis barisan aritmetika, tentukan nilai beda pada barisan tersebut. b = U2 − U1 = 13 − 10 = 3 Oleh karena b > 0, barisan aritmetika tersebut merupakan barisan aritmetika naik. b. Untuk mencari suku kedua belas (U12), dilakukan cara sebagai berikut. Un = a + (n − 1)b maka U12 = 10 + (12 − 1) 3 = 10 + 11 · 3 = 10 + 33 = 43 Jadi, suku kedua belas barisan tersebut adalah 43.

Contoh Soal

6.9

Sebuah barisan aritmetika memiliki suku pertama 6 dan suku ketujuh 24. a. Tentukan beda pada barisan tersebut. b. Tuliskan sepuluh suku pertama dari barisan tersebut.

Solusi Matematika

127, 119, 111, 103, 95, ... Rumus suku ke-n dari barisan bilangan di atas adalah .... a. 8n + 119 c. 135 – 8n b. 119 – 8n d. 8n + 135

Jawab: Diketahui: U1 = a = 127 U2 = 119 b = –8 Rumus umum suku ke-n adalah Un = a + (n – 1) b = 127 + (n – 1) (–8) = 127 – 8n + 8 = 135 – 8n Jawaban: c Soal UAN, 2002


109

Solusi Matematika Di dalam suatu gedung pertunjukan, disusun kursi dengan baris paling depan terdiri atas 12 kursi, baris kedua 14 kursi, baris ketiga 16 kursi, dan seterusnya selalu bertambah dua. Banyak kursi pada baris ke20 adalah .... a. 28 buah b. 50 buah c. 58 buah d. 60 buah Jawab: Misalkan, Un = banyak kursi pada baris ke-n Diketahui: U1 = 12, U2 = 14, dan U3 = 16 Ditanyakan: U20 Penyelesaian: Banyak kursi pada setiap baris membentuk barisan aritmetika dengan a = 12 dan b = 2. Jadi, Un = a + (n –1)b U20 = 12 + (20 – 1)2 = 12 + (19)2 = 12 + 38 = 50 Jawaban: b Soal UN, 2006

Cerdas Berpikir Buatlah tiga rumus suku ke-n barisan aritmetika selain contoh yang sudah ada

110

Jawab: Diketahui : suku pertama = a = 6 suku ketujuh = U7 = 36 a. Untuk menentukan beda: Un = a + (n − 1) b maka U7 = 6 + (7 − 1) b 36 = 6 + 6 b 36 − 6 = 6 b 30 = 6 b b =5 Jadi, beda pada barisan itu adalah 5. b. Dengan suku pertama 6 dan beda 5 diperoleh barisan aritmetika sebagai berikut. 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51

Contoh Soal

6.10

Diketahui suatu barisan aritmetika :−8, −3, 2, 7, 12, 17, ... Tentukan rumus suku ke-n yang berlaku pada barisan tersebut. Jawab: Diketahui: a = U1 = −8 b = U2 − U1 = −3 − (−8) = −3 + 8 =5 Jadi, rumus umum yang berlaku pada barisan tersebut adalah Un = a + (n − 1) b = −8 + (n − 1) 5 = −8 + 5n − 5 = 5n − 13

Contoh Soal

6.11

Setiap bulan, Ucok selalu menabung di bank. Pada bulan pertama, ia menabung sebesar Rp10.000,00, bulan kedua ia menabung sebesar Rp11.000,00, bulan ketiga ia menabung sebesar Rp12.000, 00. Demikian seterusnya, ia selalu menabung lebih Rp1.000,00 setiap bulannya. a. Nyatakanlah uang yang ditabung Ucok (dalam ribuan rupiah) untuk 8 bulan pertama. b. Tentukan jumlah uang yang ditabung Ucok pada bulan ke-12. Jawab : a. Dalam ribuan rupiah, uang yang ditabung Ucok untuk 8 bulan pertama adalah sebagai berikut. 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 b. Diketahui : U1 = 10 b=1 U12 = a + (n – 1) b = 10 + (12 – 1) 1 = 10 + 11 = 21 Jadi, uang yang ditabung Ucok pada bulan ke-12 adalah Rp21.000,00.


2. Barisan Geometri (Barisan Ukur)

Barisan geometriadalah barisan bilangan yang mempunyai rasio tetap antara dua suku barisan yang berurutan. Berbeda dengan barisan aritmetika, selisih antarsuku barisan disebut rasio (dilambangkan dengan r). Artinya, suku barisan ditentukan oleh perkalian atau pembagian oleh suatu bilangan tetap dari suku barisan sebelumnya. Pelajari uraian berikut. • Diketahui barisan bilangan sebagai berikut. 3 6 12 24 48 96 192

•

×2 ×2 ×2 ×2 ×2 ×2 Barisan bilangan tersebut memiliki rasio yang tetap, yaitu 2 atau r = 2. Berarti, barisan tersebut merupakan barisan geometri. Diketahui barisan bilangan sebagai berikut. 1 1 81 27 9 3 1 3 9 ×

1 3

×

1 3

×

1 3

×

1 3

×

1 3

×

1 3

1 Barisan bilangan tersebut memiliki rasio yang tetap, yaitu . Berarti, 3 bilangan tersebut merupakan barisan geometri. Uraian tersebut memperjelas bahwa barisan geometri memiliki rasio tetap. Jika r bernilai lebih besar dari 1, barisan geometri tersebut merupakan barisan geometri naik. Adapun jika r lebih kecil dari 1, barisan geometri tersebut merupakan barisan geometri turun.

Contoh Soal

6.12

Tentukan apakah barisan bilangan geometri berikut merupakan barisan geometri naik atau turun. 5 5 5 , , , ... a. 100, 20, 5, 4 16 64 b. 1, 5, 25, 125, 625, ... c. 2, 4, 8, 16, 32, ... Jawab : a. 100

20

×

1 4

b. 1

c.

1 4

× 5

×5 2

1 4

×

25 ×5

4 ×2

5 4

5

1 4

×

125 ×5

8 ×2

5 16

625 ×5

16 ×2

32 ×2

×

5 64 1 4

merupakan barisan geometri 1 turun karena rasionya . 4

merupakan barisan geometri naik karena rasionya 5.

merupakan barisan geometri naik karena rasionya 2.


111

Sekarang, coba kamu perhatikan barisan bilangan geometri berikut. U1, U2, U3, U5, U6, ..., Un – 1, Un Dari barisan tersebut diperoleh U1 = a U2 = U1 × = a × r = ar U3 = U2 × r = (a × r) × r = ar2 U4 = U3 × r = (a × r2) × r = ar3 U5 = U4 × r = (a × r3) × r = ar4 U6 = U5 × r = (a × r4) × r = ar5 . . . Un = Un–1 × r = (a × rn – 2) × r = arn – 1 Jadi, untuk mencari suku ke-n barisan geometri digunakan rumus sebagai berikut. Un = arn – 1 Untuk mencari rasio dalam suatu barisan geometri, perhatikan uraian berikut. U U2 = U1 × r maka r = 2 U1 U U3 = U2 × r maka r = 3 U2 U U4 = U3 × r maka r = 4 U3 . . . Un Un = Un – 1 × r maka r = U n− 1 Jadi, rasio pada barisan geometri dapat dinyatakan sebagai berikut.

r=

Cerdas Berpikir Buatlah tiga rumus suku ke-n barisan geometri selain contoh yang sudah ada

Contoh Soal

Un U n−1

6.13

Diketahui barisan bilangan sebagai berikut. 2 18, 6, 2, , 2 , 2 , ... 3 9 27 Tentukan suku kesepuluh dari barisan tersebut. Jawab: U U 6 1 r = n maka r = 2 = = U n− 1 U1 8 3 1 , suku kesepuluh barisan tersebut adalah 3 10 − 1 9 1 1 1 18 2 Un = arn–1 maka U10 = 18× = 18 × = 18 × = = 3 3 19 683 19 683 2.187 2 Jadi, suku kesepuluh barisan tersebut adalah 2.187

Dengan rasio

(


(

112

(

(

(

(

Contoh Soal

6.14

Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-7 adalah 32. Tentukan: a. suku pertama dan rasio barisan geomeri tersebut, b. suku kesembilan barisan geometri tersebut. Jawab: a. Diketahui U4 = 4 dan U7 = 32 .... (1) Un = arn – 1 maka U4 = ar3 = 4 U7 = ar6 = 32 .... (2) Dari persamaan (1) diperoleh 4 ar3 = 4 maka a = 3 .... (3) r Subtitusikan persamaan (3) ke persamaan (2). 4 ar6 = 32 maka 3 r 6 = 32 r

(

(

4r3 = 32 r3 = 8 r=2 Subtitusikan r = 2 ke persamaan (1), diperoleh ar3 = 4 maka a · (2)3 = 4 a·8 =4 1 a= 2 1 Jadi, suku pertamanya adalah dan rasionya adalah 2. 2 1 · (2)9 – 1 2 1 = · (2)8 2 1 = · 256 = 128 2

b. Un = arn – 1 maka U9 =

Jadi, suku kesembilan dari barisan geometri tersebut adalah 128

Uji Kompetensi 6.2 Kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Diketahui barisan bilangan sebagai berikut. –8, –3, 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37 a. Tentukanlah banyaknya suku barisan dalam barisan bilangan tersebut. b. Tentkan nilai U3, U5, U6, U8, dan U10. 2. Tentukanlah apakah barisan aritmetika berikut ini merupakan barisan aritmetika naik atau turun. a. 12, 36, 108, 324, ... b. –40, –28, –16, –4, ... c. 7, 4, 1, –2, –5, –8, ... d. 10, 8, 6, 4, 2, ... e. 1, –5, –11, –17, –23, ...

3.

4.

Tentukan beda untuk setiap barisan aritmetika berikut ini. a. 17, 27, 37, 47, 57, ... b. –6, –1, 4, 9, 14, 19, ... c. 48, 32, 16, 0, –16, ... d. 3, –1, –5, –9, –13, ... e. 0, –2, –4, –6, –8, ... Tulislah lima suku pertama dari barisan aritmetika yang mempunyai rumus umum sebagai berikut. 1 a. Un = 2n + 1 d. Un = n + 2 2 b. Un = n + 5 e. Un = 3n + 7 c. Un = 4n + 3


113

5.

6.

7.

Diketahui suatu barisan aritmetika dengan suku ke-5 adalah 14 dan suku ke-8 adalah 29. a. Tentukan suku pertama dan beda barisan tersebut. b. Tentukan suku ke-12 dari barisan tersebut. c. Tuliskan sepuluh suku pertama barisan tersebut. Diketahui suatu barisan aritmetika dengan suku pertamanya –15 dan suku kelimanya 1. a. Tentukan beda barisan aritmetika tersebut. b. Tentukan suku kesepuluh barisan aritmetika tersebut. c. Tuliskan 10 suku pertama barisan aritmetika tersebut. Tentukan rasio setiap barisan geometri berikut ini. a. 5, 15, 45, 135, ... 1 1 9 , , , , ... b. 12 4 4 c.

20, 10, 5, ... 7 7 7 d. 7, , , 2 4 8 e.

1, 2, 4, 8, ...

8. Tentukan suku yang diminta dari barisan geometri berikut ini. a. 2, 10, 50, 250, ..., U7 b. 16, 8, 4, 2, ..., U8 4 c. 100, 20, 4, , ..., U6 5 d. 1, 5, 25, 125, ..., U8 e. 6, 18, 54, 162, ..., U7 9. Tentukan rasio dan suku keempat suatu barisan geometri jika diketahui a. a = 2 dan U5 = 162 b. a = 4 dan U3 = 64 7 dan U7 = 224 c. a = 2 1 81 dan U6 = d. a = 15 15 10 e. a = 90 dan U5 = 9 10. Diketahui suatu barisan geometri dengan suku keempat 10 10 dan suku keenam . Tentukan: 81 9 a. suku pertama dan rasio pada barisan geometri tersebut, b. suku kesepuluh barisan geometri tersebut.

C. Deret Bilangan Pada materi sebelumnya, kamu telah mempelajari barisan bilangan, baik itu barisan aritmetika maupun barisan geometri. Sekarang, bagaimana jika suku-suku dalam barisan bilangan tersebut dijumlahkan? Dapatkah kamu menghitungnya? Misalnya, diketahui barisan bilangan sebagai berikut. 2, 5, 8, 11, 14, 17, ..., Un Barisan bilangan tersebut jika dijumlahkan akan menjadi 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + ... + Un Bentuk seperti ini disebut deret bilangan . Jadi, deret bilangan adalah jumlah suku-suku suatu barisan bilangan. Sebagaimana halnya barisan bilangan, deret bilangan pun dibagi menjadi dua bagian, yaitu deret aritmetika dan deret geometri.

1. Deret Aritmetika (Deret Hitung)

Coba kamu perhatikan barisan aritmetika berikut. 3, 6, 9, 12, 15, 18, ... , Un Jika kamu jumlahkan barisan tersebut, terbentuklah deret aritmetika sebagai berikut. 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + ... + Un Jadi, deret aritmetika adalah jumlah suku-suku barisan dari barisan aritmetika.

114


Contoh Soal

6.15

Suatu barisan aritmetika memiliki suku pertama 5 dan beda 3. Tuliskan deret aritmetika dari barisan tersebut. Jawab: • Barisan aritmetikanya adalah 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, ..., Un • Deret aritmetikanya adalah 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + ... + Un

Sekarang, bagaimana cara menjumlahkan deret aritmetika tersebut? Untuk deret aritmetika yang memiliki suku-suku deret yang sedikit mungkin masih mudah untuk menghitungnya. Sebaliknya, jika suku-suku deret tersebut sangat banyak, tentu kamu akan memerlukan waktu yang cukup lama untuk menghitungnya. Berikut ini akan diuraikan cara menentukan jumlah n suku pertama deret aritmetika. Misalkan, Sn adalah jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika maka Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + ... +Un = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) + ... + Un Kemudian, • Sn = a + ( a + b ) + ( a + 2b ) + ( a + 3b ) + ( a + 4 b ) + ...+ U n Sn = U n + (U n − b ) + (U n − 2b ) + (U n − 3b ) + (U n − 4 b ) + ...+ a 2 Sn = ( a + U ) + ( a + U ) + ( a + U ) + ( a + U ) + ...+ ( a + U )

+

Sebany yak n kali

•

2 Sn = n (a + Un)

•

Sn =

n 1 n(a + Un) = (a + U n ) 2 2

Jadi, rumus untuk menghitung jumlah suku-suku deret aritmetika adalah sebagai berikut. Sn =

n (a + Un) 2

Oleh karena Un = a + (n – 1) b, rumus tersebut juga dapat ditulis sebagai berikut. Sn =

n (2a + (n – 1) b) 2

Agar kamu lebih memahami deret aritmetika, perhatikan contoh-contoh soal berikut.

Contoh Soal

6.16

Diketahui deret aritmetika : 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ... + U10. Tentukan: a. suku kesepuluh (U10) deret tersebut, b. jumlah sepuluh suku pertama (S10).


115

Solusi Matematika Setiap hari, Anisa menyimpan uang sebesar Rp1.000,00 di kotak uang. Uang di kotak itu pada hari ini ada Rp15.000,00. Berapa rupiah uang di kotak tersebut 2 minggu yang akan datang? a. Rp14.000,00 b. Rp28.000,00 c. Rp29.000,00 d. Rp30.000,00 Jawab: Setiap hari Anisa menabung sebesar Rp1.000,00 Oleh karena hari ini uang Anisa Rp15.000,00, hari ke-1 menjadi Rp16.000,00, hari ke-2 menjadi Rp17.000,00 dan seterusnya (mengikuti deret aritmetika). 16.000, 17.000, 18.000, .... a = 16.000 b = 1.000 U14 = a + (n –1)b = 16.000 + (14 – 1)1.000 = 16.000 + 13 × 1.000 = 29.000 Jadi, uang Anisa setelah dua minggu adalah Rp29.000,00. Jawaban: c Soal UN, 2005

Jawab : Diketahui : a = 3 dan b = 4 a. Un = a + (n – 1) b maka U10 = 3 + (10 – 1) 4 =3+9·4 = 3 + 36 = 39 Jadi, suku kesepuluh deret tersebut adalah 39. 10 n b. Sn = (a + Un) maka S10 = (3 + U10) 2 2 =

10 (3 + 39) 2

= 210 Jadi, jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah 210

Contoh Soal

6.17

Diketahui suatu deret aritmetika dengan suku pertama 10 dan suku keenam 20. a. Tentukan beda deret aritmetika tersebut. b. Tuliskan deret aritmetika tersebut. c. Tentukan jumlah enam suku pertama deret aritmetika tersebut. Jawab : Diketahui: U1 = a = 10 U6 = 20 a. Un = a + (n – 1) b maka U6 = 10 + (6 – 1)b 20 = 10 + 5b 20 – 10 = 5b 10 = 5b b =2 Jadi, bedanya adalah 2. b. Deret aritmetika tersebut adalah: 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 + ... 1 6 c. Sn = (a + Un) maka S6 = (10 + U6) 2 2 6 (10 + 20) = 90 2 Jadi, jumlah enam suku pertama deret tersebut adalah 90 =

Contoh Soal

6.18

Sebuah perusahaan permen memproduksi 2.000 permen pada tahun pertama. Oleh karena permintaan konsumen setiap tahunnya, perusahaan tersebut memutuskan untuk meningkatkan produksi permen sebanyak 5% dari produksi awal setiap tahunnya. a. Nyatakan jumlah permen yang diproduksi perusahaan tersebut pada 5 tahun pertama dalam barisan bilangan. b. Tentukan jumlah permen yang diproduksi pada tahun ke-7 (U7). c. Tentukan jumlah permen yang telah diproduksi sampai tahun ke-7 (S7). Jawab: Diketahui: a = 2.000 5 b= x 2.000 = 100 100

116


a.

Barisan bilangannya adalah sebagai berikut. 2.000, 2.100, 2.200, 2.300, 2.400 b. Un = a + (n – 1) b maka U7 = 2.000 + (7 – 1) 100 = 2.000 + 6 · 100 = 2.000 + 600 = 2.600 Jadi, jumlah permen yang diproduksi pada tahun ke-7 adalah 2.600 permen. 7 n c. Sn = (a + U n ) maka S7 = (2.000 + 2.600) 2 2 = 3,5 × 4.600 = 16.100 Jadi, jumlah permen yang telah diproduksi sampai tahun ke-7 adalah 16.100 permen

Sekarang, kamu akan mempelajari sifat-sifat deret arimetika. Suatu deret aritmetika memiliki sifat-sifat sebagai berikut. (1) Jika diketahui deret aritmetika U1 + U2 + U3 + ... + Un maka U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = ... = Un – Un – 1 (2) Jika U1, U2, dan U3 merupakan suku-suku deret aritmetika maka 2U2 = U1 + U3 (3) Jika Um dan Un adalah suku-suku deret aritmetika maka Um = Un + (m – n)b Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh soal berikut.

Contoh Soal

6.19

Tentukan nilai x jika suku-suku barisan x – 1, 2x – 8, 5 – x merupakan suku-suku deret geometri. 2. Dari suatu deret aritmetika diketahui bahwa suku keempatnya adalah 38 dan suku kesepuluhnya adalah 92. Tentukan: a. beda deret aritmatika tersebut, b. suku ketujuh deret aritmetika tersebut. Jawab: 1. Diketahui : U1 = x – 1 U2 = 2x – 8 U3 = 5 – x 2U2 = U1 + U3 maka 2 (2x – 8) = (x – 1) + (5 – x) 4x – 16 = x – 1 + 5 – x 4x – 16 = 4 4x = 20 x =5 Jadi, nilai x sama dengan 5. 2. Diketahui U4 = 38 dan U10 = 92 a. Untuk mencari beda: U − Un Um = Un + (m – n)b maka b = m m− n U − U 4 92 − 38 54 = 10 = = = 9 10 − 4 6 6 1.

Jadi, beda deret aritmetika tersebut adalah 9.


117

b. Um = Un + (m – n)b maka U7 = U4 + (7 – 4)b = 38 + (3) 9 = 38 + 27 = 65 Jadi, suku ketujuh deret aritmetika tersebut adalah 65

2. Deret Geometri (Deret Ukur)

Sama seperti deret aritmetika, deret geometri pun merupakan jumlah sukusuku dari suatu barisan geometri. Coba kamu perhatikan barisan geometri berikut ini. 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, ..., Un Jika kamu menjumlahkan suku-suku barisan geometri tersebut, diperoleh 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + ... +Un Bentuk seperti ini disebut sebagai deret geometri.

Contoh Soal

6.20

Diketahui suatu barisan geometri memiliki suku pertama 5 dan rasio 2. Tuliskan barisan dan deret geometrinya. Jawab: Barisan geometrinya adalah 5, 10, 20, 40, 80, 160, ..., Un Deret geometrinya adalah 5 + 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + .... + Un

Selanjutnya, kamu akan mempelajari cara menentukan jumlah n suku pertama dari deret geometri. Misalkan, Sn adalah jumlah n suku pertama deret geometri maka Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + ... +Un = a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + ... +arn – 1 Kemudian, 2 3 4 n− 1 • Sn = a + ar + ar + ar + ar + ... + ar rSn = ar+ ar 2 + ar 3 + ar 4 + ar 5 + ...+ ar n Sn − rSn = a − ar n

•

Sn − rSn = a (1 − r n ) Sn (1 − r) = a (1− r n ) Sn =

a (1 − r n )

(1 − r)

Jadi, rumus jumlah suku-suku deret geometri dapat dinyatakan sebagai berikut. Sn =

a (1 − r n ) 1− r

atau S n =

a ( r n − 1) r− 1

Agar kamu lebih memahami deret geometri, coba kamu pelajari contohcontoh soal berikut.

118


Contoh Soal

6.21

Diketahui barisan geometri : 3, 6, 12, 24, 48, ..., Un. Tentukan suku ketujuh (U7) dan jumlah tujuh suku pertamanya (S7). Jawab: • Menentukan suku ketujuh. Un = arn – 1 maka U7 = ar 6 = 3(2)6 = 3 · 64 = 192 Jadi, suku ketujuhnya adalah 192. • Menentukan jumlah tujuh suku pertamanya. a (1 − r n ) 3(1 − 2 7 ) maka S7 = Sn = 1− r 1− 2 3(1 − 128) = −1 3(− 127) = −1 = 381 Jadi, jumlah tujuh suku pertamanya adalah 381

Contoh Soal

6.22

Suatu deret geometri memiliki suku ketujuh 64 dan suku kesepuluh 512. Tentukan rasio (r), suku kelima (U5), dan jumlah delapan suku pertamanya (S8). Jawab: Diketahui U7 = 64 dan U10 = 512. • Un = arn – 1 maka U7 = ar6 64 = ar6 64 a= 6 ... (1) r U10 = ar9 maka 512 = ar9

... (2)

Subtitusikan persamaan (1) ke persamaan (2), diperoleh ar9 = 512 maka 64 r 9 = 512 r6 64 r3 = 512 512 r3 = 64

()

•

r3 = 8 r =2 Jadi, rasio deret geometri tersebut adalah 2. 64 Dari persamaan (1) diperoleh : a = 6 r 64 = 6 ( 2) =

64 =1 64


119

Diperoleh a = 1, sehingga Un = arn–1 maka U5 = 1(2)5–1 = 1(2)4 = 1 · 16 = 16 Jadi, suku kelimanya adalah 16. •

Sn =

a (1 − r n ) 1− r

maka S8 = =

1(1 − 2 8 ) 1− 2 1(1 − 256)

−1 − 255 = −1 = 255 Jadi, jumlah delapan suku pertamanya adalah 255

Contoh Soal

6.23

Di suatu desa, jumlah penduduk pada tanggal 1 Januari 2007 adalah 10.000 jiwa. Jika tingkat pertumbuhan penduduk di desa tersebut 5% per tahun, tentukan jumlah penduduk di desa tersebut pada tanggal 1 Januari 2011. Jawab: Misalkan, jumlah penduduk pada tanggal 1 Januari 2007 (U1) adalah 10.000 dan tingkat pertumbuhan penduduk (r) adalah 5 % = 0,05. • Jumlah penduduk pada tanggal 1 Januari 2008 adalah U2 = 10.000 + (10.000 × 0,05) = 10.500 jiwa • Jumlah penduduk pada tanggal 1 Januari 2009 adalah U3 = 10.500 + (10.500 × 0,05) = 11.025 jiwa dan seterusnya hingga diperoleh barisan sebagai berikut: 10.000, 10.500, 11.025, ... sehingga a = 10.000 r = 10.500 = 1, 05 10.000 Jadi, jumlah penduduk pada tanggal 1 Januari 2011 adalah U5 = ar5 – 1 = 10.000 (1,05)4 = 12.155,0625 = 12.155 jiwa.

Untuk mempermudah perhitungan deret geometri, kamu dapat menggunakan sifat-sifat dasar deret geometri, sebagai berikut (1) Jika diketahui deret geometri : U1 + U2 + U3 + ... +Un maka U2 U3 U4 Un = = = ...= U1 U 2 U 3 U n−1 (2) Jika U1, U2, dan U3 merupakan suku-suku deret geometri maka U22 = U1 × U3 (3) Jika Um dan Un merupakan suku dari deret geometri maka Um = Un · r m – n Agar kamu lebih memahami materi ini, pelajarilah contoh-contoh soal berikut.

120


Contoh Soal

6.24

Diketahui suatu barisan : x + 2, 9, x + 26. Tentukanlah nilai x agar barisan tersebut dapat disusun menjadi sebuah deret geometri. Jawab: Diketahui bahwa : U1 = x + 2 U2 = 9 U3 = x + 26 Dengan menggunakan sifat dasar deret geometri maka U22 = U1 × U3 maka (9)2 = (x + 2) (x + 26) 81 = (x + 2) (x + 26) 2 81 = x + 28 x – 52 0 = x 2 + 28x – 29 0 = (x – 1) (x + 29) x = 1 atau x = –29 Jadi, nilai x = 1 atau x = –29

Contoh Soal

6.25

Dari suatu geometri, diketahui suku keenamnya 32 dan suku kesembilannya 256. Tentukan: a. rasio dari deret tersebut, b. suku ketiga (U3) dari deret tersebut. Jawab: Diketahui: U6 = 32 dan U9 = 256 a. Um = Un· rm–n maka U9 = U6 · r9–6 U 9 = U6 · r 3 U r3 = 9 U6 =

256 =8 32

r =2 Jadi, rasio deret tersebut adalah 2. b.

Um = Un· rm–n maka U6 = U3 · r6–3 U 6 = U3 · r3 U U3 = 36 r = =

32

( 2)

3

32 8

=4 Jadi, suku ketiga deret tersebut adalah 4


121

Uji Kompetensi 6.3 Kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Tuliskan deret aritmetika dari barisan aritmetika berikut ini. a. 80, 120, 160, 200, ..., Un b. 13, 18, 23, 28, ..., Un c. –16, –9, –2, 5, ..., Un d. 10, 12, 14, 16,..., Un e. 17, 24, 31, 38, ..., Un 2. Tentukan jumlah setiap deret aritmetika berikut. a. 1 + 5 + 9 + 13 + ... + U10 b. 8 + 11 + 14 + 17 + ... + U15 c. 2 + 9 + +16 + 23 + ... + U7 d. 3 + 8 + 13 + 18 + ... + U20 e. 14 + 18 + 22 + 26 + ... + Un 3. Suatu deret aritmetika memiliki suku pertama 3 dan suku kedelapan 24. a. Tentukan beda deret tersebut. b. Tuliskan deret aritmetika tersebut. c. Tentukan jumlah sepuluh suku pertama dari deret tersebut. 4. Jika diketahui dalam suatu deret aritmetika dengan suku kelima 13 dan suku kesembilan 21, tentukan: a. beda dari deret tersebut, b. suku kesepuluh deret tersebut, c. jumlah sebelas suku pertama dari deret tersebut. 5. Tentukan nilai x jika suku-suku barisan x – 4, 2x + 1, 10 + x, merupakan suku-suku yang membentuk dari aritmetika.

6.

Suatu barisan geometri memiliki suku pertama 3 dan rasio 4. a. Tuliskan barisan geometri tersebut. b. Tuliskan deret geometri tersebut. 7. Tentukan jumlah setiap deret geometri berikut. a. 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + ... + U7 b. 3 + 15 + 75 + ... + U6 c. 1 + 4 + 16 + 64 + ... + U7 d. 5 + 10 + 20 + 40 + 80 + ... + U8 1 1 e. + + 1 + 2 +... + U10 4 2 8. Diketahui suatu deret geometri memiliki suku ketiga 18 dan suku kelima 162. Tentukan: a. rasio deret geometri tersebut, b. suku kedelapan deret geometri tersebut, c. jumlah delapan suku pertama deret geometri tersebut. 9. Diketahui suatu barisan 1 + x, 10, x +16. Tentukan nilai x agar suku barisan tersebut menjadi deret geometri. 10. Tentukan n jika a. 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... + n = 510 b. 3 + 9 + 27 + ... + n = 120 c. 1 + 2 + 4 + 8 + ... + n = 1.023 d. 3 + 6 + 12 + ... + n = 765 e. 2 + 6 + 18 + ... + n = 242

Rangkuman •

•

Pola bilangan terdiri atas: - pola garis lurus - pola persegipanjang - pola persegi - pola segitiga - pola bilangan ganjil dan genap - pola segitiga Pascal Barisan bilangan terdiri atas barisan aritmetika dan barisan geometri.

122


•

Rumus suku ke - n sebagai berikut.

barisan aritmetika

Un = a + (n – 1)b •

Rumus suku ke - n barisan sebagai berikut.

geometri

Un = arn – 1 •

Deret bilangan terdiri atas deret aritmetika dan deret geometri.

•

Jumlah suku ke-n deret aritmetika dinyatakan oleh rumus Sn =

• • •

•

Jumlah suku ke-n deret geometri dinyatakan oleh rumus

n (a + U n ) 2

Sn =

a(1 − r n ) dengan r π 1 1− r

Pada bab Pola Bilangan, Barisan, dan Deret ini, menurutmu bagian mana yang paling menarik untuk dipelajari? Mengapa? Setelah mempelajari bab ini, apakah kamu merasa kesulitan memahami materi tertentu? Materi apakah itu? Kesan apakah yang kamu dapatkan setelah mempelajari materi pada bab ini?

Peta Konsep Pola Bilangan, Barisan, dan Deret mempelajari tentang

Pola Bilangan

•

Pola garis lurus Pola persegipanjang Pola persegi Pola segitiga Pola bilangan ganjil dan genap pola segitiga Pascal

Deret terdiri atas

terdiri atas

terdiri atas

• • • • •

jika dijumlahkan menjadi

Barisan

Aritmetika rumus

Suku ke-n Un = a + ( n – 1)b

Geometri rumus

Suku ke-n Un = a rn – 1

Aritmetika

Geometri

rumus

Jumlah suku ke-n n Sn = ( a + Un) 2

rumus

Jumlah suku ke-n a(1− r n ) Sn = ,r π1 1− r


123

Uji Kompetensi Bab 6 A. Pilihlah satu jawaban yang benar. 1. Perhatikan pola berikut.

(1)

(2)

(3)

(4)

Pola kelima dari gambar tersebut adalah .... a. c.

b.

d.

2. Pola noktah-noktah berikut yang menunjukkan pola bilangan persegipanjang adalah ... a. c.

b.

d.

3. Diketahui barisan bilangan sebagai berikut. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20. Banyaknya suku barisan dari barisan bilangan tersebut adalah .... a. 10 c. 8 b. 9 d. 7 4. Diketahui barisan bilangan sebagai berikut. 28, 34, 40, 46, 52, 58, 64, 70 Nilai U3, U6, dan U8 berturut-turut adalah .... a. 40, 46, 64 b. 40, 52, 70 c. 40, 58, 70 d. 40, 64, 70 5. Berikut ini adalah barisan aritmetika, kecuali .... a. 70, 82, 94, 106, 118 b. 36, 40, 44, 48, 52 c. –10, –4, 2, 8, 14 d. 1, 2, 4, 8, 16

124


6. Diketahui barisan bilangan aritmetika sebagai berikut. –8, –4, 0, 4, 8, 12, n, 20, 24 Nilai n yang memenuhi adalah .... a. 10 c. 16 b. 14 d. 18 7. Berikut ini yang merupakan barisan aritmetika turun adalah .... a. 30, 32, 34, 36, ... b. 12, 8, 4, ... c. 16, 21, 26, ... d. 50, 60, 70, ... 8. Diketahui barisan bilangan aritmetika sebagai berikut. 36, 44, 52, 60, 68, .... Beda pada barisan tersebut adalah .... a. 6 c. 8 b. 7 d. 9 9. Diketahui barisan bilangan aritmetika sebagai berikut. 42, 45, 48, 51, 54, .... Suku ke-12 barisan tersebut adalah .... a. 75 b. 55 c. 85 d. 65 10. Beda pada barisan aritmetika yang memiliki suku pertama 15 dan suku ketujuh 39 adalah .... a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 11. Suatu barisan aritmetika memiliki suku keempat 46 dan suku ketujuh 61. Suku kesepuluh barisan tersebut adalah .... a. 66 c. 76 b. 71 d. 81 12. Barisan aritmetika yang memenuhi rumus umum: 3n – 1 adalah .... a. 1, 4, 7, 10, 13, ... b. 1, 5, 9, 13, 17, ... c. 2, 8, 14, 20, ... d. 2, 5, 8, 11, 14, ...

13. Perhatikan barisan bilangan berikut. 1, 3, 9, 27, 81, m, 729, ... Agar barisan tersebut menjadi barisan geometri maka nilai m yang memenuhi adalah .... a. 324 b. 234 c. 243 d. 342 14. Diketahui barisan bilangan geometri sebagai berikut. 15 15 60, 30, 15, , 2 4 Rasio pada barisan tersebut adalah .... a. 30 b. 15 c. 3 d. 2 15. Perhatikan barisan bilangan geometri sebagai berikut. 3, 6, 12, 24, ... Nilai suku kesepuluh dari barisan tersebut adalah .... a. 1.356 b. 1.536 c. 1.635 d. 1.653 16. Dalam suatu barisan geometri, diketahui suku pertamanya adalah 128 dan suku kelimanya adalah 8. Rasio dari barisan tersebut adalah .... a. 4 b. 2 6 c. 2 1 d. 4 17. Diketahui deret bilangan aritmetika sebagai berikut. 12 + 15 + 18 + ... Jumlah delapan suku pertama deret tersebut adalah .... a. 160 b. 180 c. 360 d. 450

18. Suatu deret aritmetika memiliki suku ketiga 9 dan suku keenam adalah 243. Jumlah lima suku pertama deret aritmetika tersebut adalah .... a. 242 b. 121 c. 81 d. 72 19. Dalam sebuah deret geometri, diketahui nilai S10 = 1.023. Jika rasio pada deret tersebut adalah 2, suku pertama deret tersebut adalah .... a. 1 c. 3 b. 2 d. 4 20. Diketahui suatu barisan sebagai berikut. x + 3, 16, 27 + x Nilai x yang memenuhi agar suku barisan tersebut menjadi deret geometri adalah .... a. 4 c. 6 b. 5 d. 7 B. Kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Tentukan tiga suku berikutnya dari barisan-barisan bilangan berikut. a. 4, 5, 9, 14, 23, ... b. 90, 78, 66, 54, ... c. 2, 6, 18, 54, 162, ... 2. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan-barisan bilangan berikut. a. 3, 4, 6, 9, ... b. 1, 2, 4, 8, ... c. 10, 8, 6, 4, ... 3. Tuliskan lima suku pertama barisan aritmetika yang memenuhi rumus umum sebagai berikut. a. n(n + 1) b. 2n + 5 c. n2 (n + 1) 4. Tentukan nilai suku keseratus barisan bilangan segitiga. 5. Diketahui barisan geometri 2, 4, 8, 16, 32, .... Tentukan: a. rasionya, b. rumus suku ke-n, c. jumlah sepuluh suku pertamanya.


125

Uji Kompetensi Semester 2 Pilihlah satu jawaban yang benar. 1. Nilai dari (–4)3 adalah .... a. 64 c. 12 b. –64 d. –12 –4 2 2. Bentuk a b jika diubah ke dalam bentuk pangkat bulat positif menjadi .... 2 a. b 4a

2 c. b a4

b. –4ab

d. ab

2

–2

  3.  1  = ...  4 

c. 8 d. 16

1 4. Jika 74 = p , nilai p sama dengan .... 7 a. 7 c. –4 b. 4 d. –7 5. Diketahui sebuah persegipanjang memiliki ukuran

1 × 2–4 ) cm. Luas persegipanjang tersebut adalah 2

... cm2.

a. 1 16

c. 8

b. 1 8

4

d. 3 3

5

10

b. 27 3

10. Diketahui panjang rusuk sebuah kubus adalah 2 5 cm. Volume kubus tersebut adalah .... c. 8 3 5 cm3

−2

 1  1 6. Hasil dari   +    5   2 

adalah ....

c. 134 d. 135

x−5 7. Bentuk sederhana dari −6 adalah .... x a. 1 c. x–1 x

b. x–11 d. x 5 –8 8. (p + 1) (p + 1) = ... a. (p + 1)3 c. p5 + 1 b. (p + 1)–3 d. p13 + 1


d. 8 5 cm3

11. Bentuk sederhana dari 4 5 ⋅ 4 5 adalah .... a.

b.

4

5

c. 2 5

5

d. 4 5

12. Diketahui 15 = 3, 873 . Nilai dari adalah .... a. 2,873 c. 11,127 b. 8,619 d. 11,732

15

(

)

15 − 1

5

 1    = 2 a . Nilai a sama dengan ....  4 

13. Diketahui a. 10 b. 5

c. –10 d. –12

49

14. Bentuk

d. 16 −3

126

c. 33

b. 40 3 5 cm3

a. –8 b. –16

a. 125 b. 129

1

a. 27 3

a. 40 5 cm3

−2

(

9. Bentuk pangkat pecahan dari 27 3 3 adalah ....

7

sama dengan ....

a. 7 7

c. 21 7

b. 14 7

d. 49 7

12 15. Bentuk sederhana dan rasional dari adalah 6+ 2 ....

(

)

6 b. 6 − 2 17

(

)

(

)

a.

c.

6 6− 2 34

12 6+ 2 17

(

d. 6 + 2

)

16. Himpunan bilangan yang diurutkan dengan pola (2n – 1) dengan n bilangan asli, akan membentuk suatu barisan bilangan .... a. ganjil c. persegi b. genap d. segitiga 17. Gambar di bawah ini menggambarkan pola suatu barisan yang disusun dari batang-batang korek api.

Banyak korek api pada pola berikutnya adalah .... a. 13 c. 15 b. 14 d. 16 18. Dari himpunan bilangan berikut ini yang merupakan barisan bilangan adalah .... a. 2, 4, 5, 6, ... b. 1, 2, 4, 12, ... c. –5, –2, 1, 4, ... d. 3, –3, 0, 3, ... 19. Diketahui barisan bilangan 1, 1, 2, 3, 5, 8, .... Jika barisan tersebut dilanjutkan dengan suku berikutnya maka akan menjadi .... a. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 8 b. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 9 c. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 16 d. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 20. Tiga suku berikutnya dari barisan bilangan prima 13, 17, 19, ... adalah .... a. 23, 27, 29 c. 21, 23, 27 b. 23, 29, 31 d. 21, 23, 29 21. Diketahui barisan 1, 2, 0, 1, p, 0, .... Nilai p yang memenuhi adalah .... a. –2 c. 0 b. –1 d. 1 22. Suku kelima dan keenam barisan bilangan 2, 5, 9, 14, ... adalah .... a. 17 dan 20 c. 19 dan 23 b. 18 dan 22 d. 20 dan 27 23. Diketahui barisan bilangan 1, 4, 16, 64. Suku kedelapan barisan tersebut adalah .... a. 4.096 c. 19.373 b. 16.384 d. 24.576

24. Rumus suku ke-n barisan bilangan 10, 7, 4, ... adalah .... a. Un = 13 + 3n b. Un = 13 – 3n c. Un= 3n + 7 d. Un = 3n – 7 25. Jumlah 20 suku pertama barisan bilangan 5, 3, 1, –1, –3 ... adalah .... a. –280 c. 380 b. 180 d. 480 26. Rumus jumlah n suku pertama deret bilangan 2 + 4 + 6 + 8 + ...+ Un adalah .... a. Sn = n2 + n c. Sn = 2n + n2 b. Sn = n + 1 d. Sn = n(n + 1) 27. Diketahui rumus jumlah n suku pertama sebuah n deret adalah S n = (3n + 1) . Deret yang dimaksud 2 adalah ....

a. 1 + 1 + 2 + 2 + ... + Un b. 5 + 7 + 9 + 11 + ... + Un c. 4 + 7 + 10 + 13 + ... + Un d. 2 + 6 + 10 + 14 + ... + Un 28. Jumlah delapan suku pertama barisan bilangan 1, 3, 9, 27, ... adalah .... a. 3.180 c. 3.080 b. 3.280 d. 3.380 29. Sebuah bambu dibagi menjadi 4 bagian dan panjang setiap bagian membentuk suatu barisan geometri. Jika panjang potongan bambu terpendek adalah 25 cm dan potongan bambu terpanjang adalah 200 cm, panjang bambu mula-mula adalah .... a. 225 c. 400 b. 375 d. 425 30. Pak Joyo membeli sebuah TV berwarna seharga Rp 5.000.000,00. Pada setiap akhir 1 tahun, TV berwarna tersebut mengalami penurunan harga sebesar 10%. Harga TV berwarna tersebut pada akhir tahun ketiga adalah .... a. Rp3.645.000,00 b. Rp3.280.500,00 c. Rp2.952.450,00 d. Rp2.657.205,00

Uji Kompetensi Semester 2

127

Uji Kompetensi Akhir Tahun A. Pilihlah satu jawaban yang benar. 1. Perhatikan gambar berikut. C

P

Jika panjang PC = 3 cm, AC = 9 cm, dan AB = 15 cm, panjang PQ sama dengan ....

Q

B

A

a. 4,0 cm c. 7,5 cm b. 5,0 cm d. 10,0 cm 2. Seorang anak yang tingginya 150 cm mempunyai panjang bayangan 2 m. Jika pada saat yang sama panjang bayangan tiang bendera 3,5 m, tinggi tiang bendera tersebut adalah .... a. 2,625 m c. 4,66 m b. 3,625 m d. 5,66 m 3. Perhatikan gambar berikut. R S 4

P

T

12

x

U

Nilai x adalah .... Q

a. 2 c. 16 b. 16 d. 22 4. Penulisan yang benar mengenai kongruensi dua segitiga berikut adalah .... S

R

a. b. c. d.

T P

Q

5. Perhatikan gambar berikut. C

∆TPQ @ ∆RST ∆PQT @ ∆SRT ∆STR @ ∆QTP ∆RTS @ ∆PQT

F

6. Luas permukaan tabung yang memiliki diameter 10 cm dan tinggi 4 cm adalah .... a. 125,6 cm2 c. 244,92 cm2 b. 138,7 cm2 d. 251,2 cm2 7. Suatu kaleng berbentuk tabung dapat menampung air sampai penuh sebanyak 7.959,9 cm3. Jika jarijari kaleng tersebut 13 cm, tinggi kaleng tersebut sama dengan .... a. 13 cm c. 15 cm b. 14 cm d. 16 cm 8. Diketahui jari-jari alas suatu kerucut 5 cm dan tingginya 12 cm. Luas seluruh permukaan kerucut tersebut adalah .... a. 62,8 cm2 c. 204,1 cm2 b. 78,5 cm2 d. 282,6 cm2 9. Volume kerucut yang diameter alasnya 20 cm dan tingginya 24 cm adalah .... a. 7.536 cm3 c. 2.512 cm3 b. 5.024 cm3 d. 1.105 cm3 10. Luas permukaan bola yang memiliki diameter 21 cm adalah .... a. 19.404 cm2 c. 12.005 cm2 b. 15.783 cm2 d. 9.702 cm2 11. Luas dua buah bola berturut-turut adalah L1 dan L2 dan volumenya V1 dan V2. Jika panjang jarijarinya berturut turut 1 dm dan 2 dm, perbandingan volumenya adalah .... a. 2 : 5 c. 1 : 4 b. 1 : 5 d. 1 : 8 12. Dari 720 siswa di SMP Nusa Bangsa, diperoleh data tentang pelajaran yang disukai siswa. Data tersebut disajikan pada diagram berikut ini. IPA

9 cm A

B. Inggris 10 cm

70°

B

D

10 cm

45°

128


60° 45° 45° 75° IPS Matematika

E

Pada gambar tersebut, ∆ABC @ ∆DEF. Pernyataan yang benar adalah .... a. EF = 9 cm dan –F = 70° b. EF = 9 cm dan –C = 45° c. –C = 65° dan EF = 70 cm d. –F = 65° dan EF = 9 cm

B. Indonesia

Banyak siswa yang menyukai matematika adalah ... orang. a. 90 c. 270 b. 120 d. 280

13.

Diketahui data sebagai berikut. 25, 26, 22, 24, 26, 28, 21, 24, 26, 27, 21 28, 28, 30, 25, 29, 22, 21, 23, 25, 26, 23 Mean dari data tersebut adalah .... a. 24 c. 26 b. 25 d. 27 14. Nilai rata-rata ujian PKn 10 siswa adalah 55. Jika nilai tersebut digabung dengan 5 siswa lainnya, nilai rata-ratanya menjadi 53. Nilai rata-rata kelima siswa tersebut adalah .... a. 47 c. 49 b. 48 d. 50 15. Tabel frekuensi nilai ulangan matematika 40 siswa adalah sebagai berikut. Nilai

Frekuensi

10 9 8 7 6 5 4 3

2 2 5 6 10 7 6 2

Median dari data tersebut adalah .... a. 6 c. 7 b. 6,5 d. 7,5 16. Diberikan sekumpulan data sebagai berikut. 153, 160, 275, 273, 154, 153, 160, 211, 160, 150, 150, 154, 154, 273, 160 Modus dari data tersebut adalah .... a. 160 c. 153 b. 154 d. 150 17. Pada pelemparan dua keping uang logam secara bersamaan, peluang tidak muncul sisi gambar adalah .... 1 a. 0 c. 2 1 b. d. 1 4 18. Dua buah dadu dilempar bersamaan. Peluang munculnya muka dadu berjumlah kurang dari 10 adalah .... 1 a. 6

c.

5 6

d.

b.

1 4

19. Sebuah koin dilemparkan 200 kali. Hasilnya, muncul sisi angka sebanyak 120 kali. Frekuensi relatif muncul sisi angka adalah .... a. 0

2 5

c.

1 3 d. 5 5 20. Di suatu desa, diketahui peluang seorang balita terjangkit penyakit asma adalah 0,38. Jika di desa tersebut terdapat 100 balita, jumlah balita yang diperkirakan akan terjangkit penyakit asma adalah .... a. 23 orang c. 38 anak b. 27 orang d. 53 anak b.

21. Jika 1 = 5 p maka nilai p adalah .... 5 -5 a. –5 c. 1 b. 5 d. 0 22. Luas sebuah persegipanjang adalah 1 dm2. Jika lebarnya 4–2 dm, panjang persegipanjang tersebut adalah .... a. 2 dm c. 8 dm b. 4 dm d. 16 dm b

23. Bentuk akar dari a c adalah .... a.

ab

c.

c

ab

b.

a bc

d.

b

ac

1 3

24. Jika x = 3 maka nilai x adalah .... a. 27 c. 3 1 b. 9 d. 3 25. Bentuk rasional dari a. b.

1 12 2

c. d.

1 2 2

1 adalah .... 5+ 7

1 2

1 2

(

(

5- 7 5- 7

)

)

1 3

Uji Kompetensi Akhir Tahun

129

26. Perhatikan gambar berikut.

B. Kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Perhatikan gambar berikut. C

27.

28.

29.

30.

Barisan bilangan yang menunjukkan banyaknya persegipanjang pada setiap pola adalah .... a. 2, 3, 4, 6 b. 2, 3, 5, 7 c. 2, 3, 5, 6 d. 2, 3, 4, 8 Dua suku berikutnya dari barisan 6, 12, 20, 30 dan seterusnya adalah .... a. 36 dan 44 c. 40 dan 48 b. 38 dan 50 d. 42 dan 56 Jumlah 8 suku pertama dari barisan bilangan 1, 3, 9, 27, ... adalah .... a. 3.180 c. 3.080 b. 3.280 d. 3.380 Diketahui suku pertama barisan geometri adalah 4 dan rasionya 2. Rumus suku ke-n barisan tersebut adalah .... a. Un = 2n + 1 c. Un = 2n + 2 b. Un = 2n – 1 d. Un = 2n – 2 Dalam suatu pertandingan sepakbola, setiap pemain dari kedua kesebelasan yang masuk lapangan harus menjabat tangan pemain yang datang terlebih dahulu. Jumlah jabat tangan yang terjadi adalah .... a. 400 c. 200 b. 231 d. 40

130


D

Jika DE//AB, CD = 8 cm, AD = 2 cm, dan DE = 4 cm, tentukan: a. panjang AB, E b. perbandingan BE : BC. B

A

2. Diketahui volume sebuah tabung yang memiliki jari-jari alas r dan tinggi t adalah 480 cm3. Jika jari1 jatinya diperkecil menjadi r, tentukan volume 2 tabung yang baru.

3. Rata-rata nilai ulangan matematika dari 12 siswa adalah 7,2. Jika nilai Heri dimasukkan ke dalam perhitungan tersebut, rata-ratanya menjadi 7,3. Tentukan nilai ulangan Heri. 4. Diketahui 3 = p dan 2 = q . Nyatakan bentukbentuk berikut dalam p dan q. a.

b.

24 54

c. 150 5. Jumlah suku kedua dan ketiga suatu barisan aritmetika adalah 14. Adapun jumlah suku ketujuh dan kedelapan adalah 54. Tentukan: a. bedanya, b. suku pertamanya, c. rumus suku ke-n.

Kunci Jawaban Bab 1 Kesebangunan dan Kekongruenan Uji Kompetensi 1.1 halaman 7 1. c dan d 3. a. x = 5 b. y = 8 5. a. x = 160° b. y = 77° z = 103° 7. AC = 15 cm 9. Tinggi pohon = 40 cm

Uji Kompetensi 1.2 halaman 11 1. 3. 5.

∆ABC dan ∆DEF ∆GHI dan ∆MNO x = 40° PS = 33 cm

c 9. b 11. b 13. b 15. PQ = 15 cm x = 47, 5° y = 58° z = 47,5°

A. 1. 3. 5. 7. 9. B. 1. 3. 5.

d d c c

Jumlah Anak 0 1 2 3 4 5

533,8 cm2 a. 188,4 cm2 b. 301,44 cm2 188,4 cm2 282,6 cm2 462 cm2 a. 204,1 cm2 b. 282, 6 cm2 c. 314 cm3

1. 3. 5. 7. 9.

314 cm r = 8 cm 577,76 dm V = 113,04 dm3 t = 4r

Uji Kompetensi 2.2 halaman 27


Turus

Jumlah

Frekuensi 4 2 6 3 3 2

20

a. 20 keluarga b. 4 keluarga 7.

60 50

Jumlah Buku

1. 3. 5. 7. 9.

a d b d c

1. a. Populasi = seluruh balita di kelurahan tersebut Sampel = beberapa balita di kelurahan tersebut yang diperiksa kesehatannya b. Populasi = seluruh sayur sop yang dibuat ibu Sampel = sedikit/sebagian dari sayur sop yang dicicipi ibu. 3. Datum terkecil = 50 Datum terbesar = 88 5. Tabel frekuensinya:

Uji Kompetensi 2.1 halaman 22 a. 376,8 cm2 b. 401,92 cm2 c. 616 cm2 t = 10 cm 33 : 56 V = 49.280 dm3 r = 2,5

11. 13. 15. 17. 19.


Bab 2 Bangun Ruang Sisi Lengkung 1. 3. 5. 7. 9.

c b c d a a. r = 2,5 cm b. 157 cm2 c. 196,5 cm2 a. s = 25 cm b. 1.884 cm2 a. 154 cm2 b. 179,667 cm3

Bab 3 Statistika

Uji Kompetensi Bab 1 halaman 14 A. 1. 3. 5. 7. B. 3. 5.

Uji Kompetensi Bab 2 halaman 35

40 30 20 10 Senin Selasa Rabu Kamis Jumat Sabtu Minggu Hari

Kunci Jawaban

131

9.

Bis Jalan Kaki Jemputan

72° 36°

54° 90° 108°

Bis Jalan Kaki

15% Angkot 20% 25% 10% 30% Jemputan

Angkot

Sepeda


Nilai 5 6 7 8 9 10

1. Kejadian acak adalah kejadian yang hasilnya tidak dapat ditentukan sebelumnya. 3. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} 5. Dadu 1 2 3 4 5 6

Turus

Frekuensi 4 6 7 6 4 3

Jumlah b. Mean = 7,3 Median = 7 Modus = 7 1. a. b. c. d. 3. a. b. c. d. 5. a. b. c.

J=4 J = 49 J = 244 J = 21,6 Q1 = 3,5 Q2 = 5 Q1 = 23 Q2 = 37 Q1 = 119 Q2 = 201,5 Q1 = 35,8 Q2 = 40,1 Jangkauan = 10 Mean = 153,5 Modus = 150 dan 155 Median = 153,5 Q1 = 150 Q2 = 153,5

A. B.

a b d a c 360 56 dan 128

Uji Kompetensi Bab 3 halaman 52

132

Gambar (G, 1) (G, 2) (G, 3) (G, 4) (G, 5) (G, 6) (G)

S = {(A, 1), (A, 2), (A, 3), (A, 4), (A, 5), (A, 6), (G, 1), (G, 2), (G, 3), (G, 4), (G, 5), (G, 6)}


1. a. K = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} b. K = {3, 6, 9, 12, 15} c. K = { } 3. a. Warna

Putih (P) Hijau (H) Merah (M) Biru (B)

30


1. 3. 5. 7. 9. 1. 3.

Angka (A, 1) (A, 2) (A, 3) (A, 4) (A, 5) (A, 6) (A)

Uang logam

a. x = 3,57 b. x = 12,5 c. x = 28,25 d. x = 6,2 145 cm Modus = 27 a. Me = 15 b. Me = 29 c. Me = 800 d. Me = 7,05 a.

11. 13. 15. 17. 19.

Datum terkecil = 1 Datum terbesar = 10 J=9 Q1 = 3 Q2 = 5 Q3 = 7,5

Bab 4 Peluang

Sepeda

Uji Kompetensi 3.2 halaman 47 1. 3. 5. 7. 9.

5. a. b. c.

a d b d d


8 6 6 10 30

b. Frekuensi relatif warna

Q3 = 155

Frekuensi

Jumlah

Q3 = 7,5 Q3 = 38 Q3 = 413 Q3 = 50,3

Turus

c. 5. a.

b.

c.

7.

a. b. c. d.

8 4 = 30 15 6 1 hijau = = 30 5

putih =

6 1 = 30 5 10 1 = biru = 30 3

merah =

Jumlah frekuensi relatif = 1 1 5 1 3 7 12

pasti terjadi mungkin terjadi mustahil mungkin terjadi

d. e.

4 5 2 3

e.

mungkin terjadi


Uji Kompetensi Bab 4 halaman 67 1. 3. 5. 7. 9.

11. 13. 15. 17. 19.

b d a c d

d b c b c

1 13 1 b. 2 5 3. a. 36 5 b. 12

5. 425 anak

1. 3. 5. 7. 9.

c a b c c

Uji Kompetensi Semester 1 halaman 70 21. 23. 25. 27. 29.

d a c d c

Bab 5 Pangkat Tak Sebenarnya Uji Kompetensi 5.1 halaman 83

1. a. 1) 44 2) 105 3) (–7)3 4) c7 5) (–y)5 b. 1) 2 × 2 × 2 2) 5 × 5 × 5 × 5 × 5 3) (–6) × (–6) × (–6) × (–6) 4) 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 4 × 4 5) 8 × 8 × 8 × a × a × a × a × a 3. L = 352 a2 5. t = 6a 7. V = 735 p9p 9. a. 1)

2)

3)

1 73 1 42 1 (-5 )5

b. 1) 8–1

c.

2) (–4)–2 3) 9–6 1) 1

1. a.

4 2

d.

7 5

g.

b.

3 3

e.

h.

c.

5 3

f.

3 5 4 5

4)

1 1 ¥ 8 3 17 5

5) 2p

20

4) 11–14 5)

1 p -11

4) 60

c b d a c

e. f.

3 1

g.

2 3 5

c.

d. –1

h.

2 9 21

3 5 5

e.

10 (5 + 2 ) 23

f.

10 - 15

g.

5( 11 + 18 )

h.

4 (1 + 2 15 )

3 2

e.

10 2

b. 5

f.

15 3

c.

16 3

g.

23 5

d.

12 2

h.

40 3

7. a.

11. 13. 15. 17. 19.

5) 5

3. PQ = 5 13 cm 5. a. 10 b. 2 117

B. 1. a.

2) 1 3) 1


1. a. 75 kali b. 75 kali c. 75 kali 3. 500 orang A.

b.

c.

d.

9. a.

5 6 +6 2

15 7 7 3 9 160 (6 – 32 ) 31 1

5 1

11 21

2 2 5

1 2

1

2

Uji Kompetensi Bab 5 halaman 97 A. B.

1. 3. 5. 7. 9. 1.

d c a a c a. 87

b. (–2)2

3. a. x = –5 b. x = –6 5. (2( 3 – 1)) cm

11. 13. 15. 17. 19. c.

a d a a b p4 23 q2 d. p5

c. x = –3 d. x = –4

Bab 6 Pola Bilangan, Barisan, dan Deret Uji Kompetensi 6.1 halaman 106 1. 3. 5.

b. c. a. b. c. d. e. b.

1, 4, 7, 10, ... pola garis lurus pola persegi pola persegipanjang pola garis lurus pola persegipanjang pola garis lurus 30 batang lidi

Kunci Jawaban

133

7. 9.

b. a. b. c. d. e.

4, 7, 10, 12 buah m = 13 m = 13 m = 31 m = 2 m = 5

n = 25 n = 14 n = 76 n = 8 n = 33

Uji Kompetensi 6.2 halaman 113 1. a. b. 3. a. b. c. 5. a. b. c.

10 suku U3 = 2 U8 = 27 U5 = 12 U10 = 37 U6 = 17 b = 10 d. b = –4 b = 5 e. b = –2 b = –16 U1 = –6 dan b = 5 U12 = 49 –6, –1, 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39

7. a. r = 3

b. r = 3 c.

r=

1 2

9. a. r = 3 b. r = 4

c.

d. r = 3

e.

r = 2

r=

1 3

d. r = 1 e.

2

r=2

U4 = 54 U4 = 256 U4 = 28 9 5 10 U4 = 3

U4 =

Uji Kompetensi 6.3 halaman 122 1. a. 80 + 120 + 160 + 200 + ... + Un b. 13 + 18 + 23 + 28 + ... + Un c. –16 + (–9) + (–2) + 5 + ... + Un d. 10 + 12 + 14 + 16 + ... + Un e. 17 + 24 + 31 + 38 + ... + Un 3. a. b = 3 b. 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24 + ... + Un c. S10 = 165 5. x = 6 7. a. S7 = 2.186

134


b. S6 = 11.718 c. S7 = 5.461 d. S8 = 1.275 e.

S10 = –255 3 4

9. x = –21 atau x = 4

Uji Kompetensi Bab 6 halaman 124 A. 1. 3. 5. 7. 9. B. 1. 3. 5.

c 11. c a 13. c d 15. b b 17. b a 19. a a. 37, 60, 97 b. 42, 30, 28 c. 486, 1.458, 4.374 a. 2, 6, 14, 20, 30 b. 7, 9, 11, 13, 15 c. 2, 12, 36, 80, 150 a. r = 2 b. Un = 2n c. S10 = 1.024

Uji Kompetensi Semester 2 halaman 126 1. 3. 5. 7. 9.

b d a d d

11. 13. 15. 17. 19.

21. 23. 25. 27. 29.

a c b c d

b b a c b

Uji Kompetensi Akhir Tahun halaman 128 A.

1. 3. 5. 7. 9.

B. 1. 3. 5.

b c d c c a. b. 8,5 a. b. c.

11. 13. 15. 17. 19.

AB = 5 cm BE : BC = 1 : 5 b=4 a=1 Un = 4n – 3

d b a c d

21. 23. 25. 27. 29.

b c c d a

Daftar Simbol ? ~ ° ≅ r d π t L s % x xn fn J Qn

sudut sebangun derajat kongruen jari-jari diameter phi tinggi luas garis pelukis persen mean atau rata-rata data ke-n frekuensi ke-n jangkauan kuartil ke-n

himpunan ruang sampel jumlah anggota himpunan S peluang kejadian A himpunan bagian frekuensi harapan anggota akar kuadrat sama dengan tidak sama dengan lebih besar dari lebih besar sama dengan lebih kecil lebih kecil sama dengan suku ke-n jumlah suku ke-n dot

S n(S) P(A) ? Fh Œ = ≠ > ≥ < ≤ Un Sn ?

Glosarium B Barisan bilangan: bilangan-bilangan yang disusun mengikuti pola tertentu Barisan aritmetika: barisan bilangan yang mempunyai beda atau selisih yang tetap antara dua suku barisan yang berurutan Barisan geometri: barisan bilangan yang mempunyai rasio yang tetap antara dua suku barisan yang berurutan Beda: selisih dua suku barisan yang berurutan Bilangan irasional: bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan Bilangan real: bilangan yang mencakup bilangan rasional dan bilangan irasional atau semesta bilangan

D Data: kumpulan datum Data kualitatif: data yang bukan berupa bilangan, melainkan gambaran keadaan objek yang dimaksud Data kuantitatif: data yang berupa bilangan dan nilainya bisa berubah-ubah Datum: fakta tunggal

Deret bilangan: Jumlah suku-suku suatu barisan bilangan Deret aritmetika: jumlah suku-suku barisan aritmetika Deret geometri: jumlah suku-suku barisan geometri Diameter: garis tengah

F Frekuensi harapan: harapan banyaknya muncul suatu kejadian dari sejumlah percobaan yang dilakukan Frekuensi relatif: perbandingan banyaknya kejadian uang diamati dengan banyaknya percobaan

G Garis pelukis: garis yang ditarik dari titik puncak kerucut ke sisi alas kerucut

J Jangkauan: selisih datum terbesar dengan terkecil

K Kejadian: himpunan bagian dari ruang sampel Kejadian acak: kejadian yang hasilnya tidak dapat diprediksikan sebelumnya

Kunci Jawaban

135

Indeks B bangun datar 1, 2, 4, 8, 9, 10 bangun ruang sisi lengkung 17, 18, 23, 28, 34, 35 barisan bilangan 99, 107, 108, 109, 111, 112, 116, 122, 124, 125, 127, 130 barisan aritmetika 107, 108, 109, 110, 111, 113, 114, 115, 122, 124, 125, 130 barisan aritmetika naik 108, 109, 113 barisan aritmetika turun 108, 124 barisan geometri 107, 111, 112, 113, 114, 118, 119, 120, 125, 127 barisan geometri naik 111 barisan geometri turun 111 beda 107, 108, 109, 111, 114, 115, 117, 119, 122, 124, 130 belah ketupat 1, 2 bentuk akar 73, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 93, 94, 95, 96 bilangan berpangkat bulat 73, 74, 79, 81, 93, 95 bilangan berpangkat bulat negatif 74, 79, 80, 95 bilangan berpangkat bulat positif 74, 95 bilangan berpangkat nol 81 bilangan berpangkat pecahan 92, 93, 95 bilangan bulat positif 75, 77, 78, 79, 80, 93, 95, 96 bilangan irasional 82, 90 bilangan pokok 74, 75, 76, 77, 79, 83, 97 bilangan rasional 81, 82, 90 bilangan rasional berpangkat bulat 81, 82 bilangan real 74, 75, 77, 78, 79, 80, 81, 85, 86, 88, 89, 90, 95, 96 bilangan real positif 85, 86, 95 bola 17, 18, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 36, 70

C Christoff Rudolff 85

D data 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 71, 72 data kualitatif 39 data kuantitatif 38, 52, 53, 71 datum 38, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 54 deret bilangan 99, 114, 122, 127, 128 deret aritmetika 114, 115, 116, 117, 118, 122, 123, 125 deret geometri 99, 114, 117, 119, 120, 121, 122, 123, 125 diagram batang 41, 43, 51, 52, 53, 71 diagram batang horizontal 41 diagram batang vertikal 41

136


diagram gambar 40, 50, 51 diagram garis 41, 43, 48, 51, 52 diagram lingkaran 42, 43, 44, 51, 54 diagram pohon 57, 58, 59, 66 diameter 18, 23, 24, 29, 32, 33, 35

E eksponen 74, 97

F Fibonacci 108 frekuensi harapan 63, 64, 68, 69 frekuensi relatif 59, 60, 63, 65, 66, 68, 72

G garis 8, 18, 19, 23, 24, 25, 27, 28, 36 garis pelukis 23, 24, 25, 27, 28, 36

J jajargenjang 1, 4, 7, 70 jangkauan 48, 50, 51, 53, 72 jari-jari 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 36 jari-jari alas 21, 22, 24, 27, 28, 33, 35, 36 juring 42, 52

K kejadian 56, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 72 kejadian acak 56 kekongruenan 1, 8 kekongruenan bangun datar 1, 8, 13 kekongruenan segitiga 10 kesebangunan 1, 2, 4, 5, 12, 13 kesebangunan bangun datar 1, 2 kesebangunan segitiga 4 kerucut 17, 18, 23, 24, 25, 31, 26, 28, 33, 34, 35, 36, 71 komplemen 62, 65 kongruen 8, 9, 10, 11, 14, 15, 16, 70 kuartil 49, 50, 51, 53, 54 kuartil atas 49, 51, 54 kuartil bawah 49, 50, 53, 54 kuartil tengah 49, 50, 51, 54

L lingkaran 18, 20, 23, 25, 28, 30, 35, 36, luas 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 30, 33, 34, 35, 36, 71 luas alas 20, 24, 25 luas permukaan 18, 19, 20, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 30, 33, 35, 36, 71 luas permukaan kerucut 23, 24, 25, 28, 34, 35, 36 luas permukaan tabung 19, 20, 21, 22, 35, 34, 71 luas selimut 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 33, 34, 35, 36, 71 luas selimut kerucut 23, 24, 27, 28, 36, 34, 71 luas selimut tabung 19, 20, 21, 22, 34, 35

M mean 44, 45, 46, 47, 48, 50, 51, 52, 53, 54 median 46, 47, 48, 49, 50, 51, 53, 54 modus 45, 46, 47, 48, 50, 51, 53, 54, 72

N nilai peluang 62, 65, 66

P pangkat bulat negatif 96 pangkat bulat positif 96 pangkat nol 96 pangkat pecahan 73, 85, 92, 93, 94, 98 pangkat sebenarnya 96 pangkat tak sebenarnya 73, 95, 96 panjang 2, 4, 3, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 13, 15, 16, 18, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 29, 26, 30, 32, 33, 36, 70, 71 peluang 55, 56, 59, 60, 61, 62, 63, 65, 66, 67, 68, 69, 72 peluang kejadian 60, 61, 62, 63, 65 peluang suatu kejadian 56, 59, 60, 62 percobaan 56, 57, 58, 59, 60, 63, 65, 69 percobaan statistika 57 persegi 1, 2, 3, 7, 15 persegipanjang 1, 2, 3, 7, 14 piktogram 40, 43 pola bilangan ganjil 104, 105 pola bilangan genap 105

pola persegi 101, 102, 122, 123 pola persegipanjang 101, 103, 122, 123 pola segitiga 103, 105, 122, 123 pola segitiga Pascal 105, 122, 123 populasi 39, 43

R rasio 111, 112, 113, 114, 118, 119, 122, 125 ruang sampel 57, 58, 59, 60, 61, 65, 67

S sampel 39, 43, 52, 71 sebangun 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 15, 70 segitiga 1, 2, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 70 sektor 42, 52 selimut kerucut 23, 24, 25, 27, 28, 36, 34 selimut tabung 18, 19, 20, 21, 22, 34, 35 sisi 2, 3, 5, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 23, 28, 33, 35, 24, 34, 70 sudut 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 suku barisan 107, 108, 111, 113, 114, 117, 118, 122, 124, 125 suku ke-n 107, 109, 110, 112, 122, 123, 125, 127, 130

T tabung 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 33, 34, 35, 36, 71 Thales 4 titik sampel 57, 59, 60, 61, 65, 66, 67 trapesium 1, 2, 7, 9, 14

V volume 20, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 71 volume bola 31, 32, 33, 36, 71 volume kerucut 25, 26, 27, 28, 31, 35, 36, 71 volume tabung 20, 21, 22, 23, 33, 35, 71

Indeks

137

Daftar Pustaka Bigelow, Paul dan Graeme Stone. 1996. New Course Mathematics Year 9 Advanced. Victoria: Macmillan Education Australia PTY LTD. Bin, Oh Teik. 2003. The Essential Guide to Science and Mathematics in English. Selangor: Shinano Publishing House. BSNP. 2006. Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar 2006 Mata Pelajaran Matematika Sekolah Menengah Pertama/Madrasah Tsanawiyah. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional. Farlow, Stanley J. 1994. Finite Mathematics and Its Applications. Singapore: McGraw-Hill Book Co. Hong, Tay Choong, Mark Riddington and Martin Grier. 2001. New Mathematics Counts For Secondary Normal (Academic) 4. Singapore: Times Publishing Group. Negoro, ST dan B. Harahap. 1998. Ensiklopedia Matematika. Jakarta: Ghalia Indonesia. Nightingale, Paul. 2001. Vic Maths 6. Australia: Nightingale Press. O'Brien, Harry. 2001. Advanced Primary Maths 6. Australia: Horwitz Martin Education. O'Brien, Paul. 1995. Understanding Math Year 11. NSW: Turramurra.

138


Bab. Pola Bilangan, Barisan, dan Deret. A. Pola Bilangan B. Barisan Bilangan C. Deret Bilangan

Recommend Documents