BAB: PENERAPAN INTEGRAL Topik: Volume Benda Putar (Khusus Kalkulus 1) Kompetensi yang diukur adalah kemampuan mahasiswa menghitung volume benda putar dengan metode cincin, metode cakram, atau metode kulit tabung. 1. UAS Kalkulus 1, Semester Pendek 2004 no. sulit)
10 (kriteria:
Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah R, seperti terlihat pada gambar di bawah ini, diputar mengelilingi (a) sumbu x, (b) sumbu y.
Jawab: Titik potong kedua kurva dapat ditentukan dari jx + 2j
4=
x2
4x
6:
Karena jx + 2j =
x + 2; jika x (x + 2) ; jika x <
2 2
maka terdapat dua kasus dalam mencari titik potong:
Kasus 1: untuk x <
2
(x + 2) 4 = x2 4x 6 =) x 2 4 = x2 4x 6 x2 + 3x = 0 =) x (x + 3) = 0 =) x = 0 atau x = 3 Karena x <
2; maka titik potong kedua kurva adalah di x =
Kasus 2: untuk x
3:
2
x+2 4 = x2 4x 6 =) x2 + 5x + 4 = 0 (x + 4) (x + 1) = 0 =) x = 4 atau x = 1: Karena x
2; maka titik potongnya adalah x =
1:
Dari persamaan fungsi nilai mutlaknya, diketahui bahwa titik "puncak" nilai mutlak adalah titik ( 2; 4) : Fungsi kuadrat y = =
x2
4x
6=
(x + 2)2 + 2 =
x2 + 4x + 6 (x + 2)2
2:
Jadi "puncak" fungsi kuadratnya adalah titik ( 2; 2) : (a) Volume benda putar yang diperoleh jika daerah R diputar mengelilingi sumbu-x adalah Z 1h i 2 2 2 V = (jx + 2j 4) x 4x 6 dx (metode cincin) 3 Z 2n o 2 = ( (x + 2) 4)2 x2 4x 6 dx 3 Z 1n o 2 2 2 + ((x + 2) 4) x 4x 6 dx 2
atau jika diselesaikan dengan metode kulit tabung, maka terlebih dahulu harus ditentukan persamaan kurva kuadrat dalam y sebagai berikut y = (x + 2)2 = Bila x
2; maka x + 2 p x+2= y
sedangkan jika x < x+2=
(x + 2)2 y 2
2
0; sehingga 2 =) x =
2+
p
y
2;
2; maka x + 2 < 0; sehingga p p y 2 =) x = 2 y
2:
Persamaan nilai mutlaknya juga harus dituliskan sebagai x = y + 2; untuk x 2 (karena y = x + 2 4) x = y 6; untuk x < 2 (karena y = x 2 4) Jadi volume benda putarnya adalah Z 3 V = 2 ( y) [(y + 2) ( y 6)]dy 4 Z 2 h p +2 ( y) 2+ y 2
p
2
3
Catatan:
y
2
i
dy
Pada metode cincin, dikalikan dengan "jari-jari luar"2 2 "jari-jari dalam" Penggunaan metode kulit tabung pada kasus ini, i. y harus dikalikan ( 1) karena y berada di kuadran ke-3 sehingga y < 0; padahal jari-jari harus bernilai positif ii. panjang/tinggi tabung tetap diambil yang positif, yaitu "kanan kiri". (b) Volume benda putar yang gelilingi sumbu-y (dengan adalah Z 1 V = 2 ( x) 3 Z 2 = 2 ( x) 3 Z 1 +2 ( x) 2
terjadi jika daerah R diputar menmenggunakan metode kulit tabung)
x2
4x
6
(jx + 2j
4) dx
x2
4x
6
( x
2
4) dx
(x + 2
4) dx
x2
4x
6
Jika diselesaikan dengan menggunakan metode cincin, maka rumus integralnya adalah Z 3 V = ( y 6)2 (y + 2)2 dy 4 Z 2 2 2 p p + 2 y 2 2+ y 2 dy 3
2. UAS Kalkulus 1, tahun 2004 no. 10 (kriteria: susah) Diketahui daerah R dibatasi oleh kurva y = x + 1, y = x + 1 dan garis y = a, 0 a 1: Tentukan konstanta a, sedemikian sehingga volume benda putar yang terjadi jika daerah R diputar terhadap sumbu x sama 2 dengan satuan volume. 3 Jawab: Dengan menggunakan metode kulit tabung diperoleh volume benda
putarnya adalah V
= 2
Z1
y [(1
y)
(y
1)] dy
a
= 2
Z1
y (2
2y) dy = 2
a
= 2
1 1 3
= 2
2y
2y 2 dy
a
y2
= 2
Z1
2 3 y 3 2 3
1 a
a2
2 a2 + a3 3
Karena diketahui volumenya adalah
2 3 a 3 2 = 1 3
3a2 + 2a3 :
2 ; maka 3
2 2 = 1 3a2 + 2a3 3 3 1 = 1 3a2 + 2a3 0 = 3a2 + 2a3 = a2 ( 3 + 2a) 3 : Karena 2 a < 1; maka a = 0: Jadi sumbu putarnya adalah garis y = 0 (sumbu-x). Dari persamaan terakhir diperoleh bahwa a = 0 atau a =
3. UAS Kalkulus 1 tahun 2003 no. 10 (kriteria: sulit) Diketahui daerah R dibatasi oleh kurva f dan g dengan f (x) = x2 4x + 3 dan g (x) = x2 + 4x 5; garis x = 1; dan garis x = 3; seperti pada gambar berikut: Rumuskan volume benda putar yang terjadi (dalam bentuk integral tentu) jika daerah R tersebut diputar dengan sumbu putar (a) sumbu-x; (b) sumbu-y: Jawab: (a) Dengan menggunakan metode cincin diperoleh Z 3n o 2 2 V = x2 + 4x 5 x2 4x + 3 dx 1
(b) Dengan menggunakan metode kulit tabung (silindris) diperoleh Z 3 V =2 x x2 4x + 3 x2 + 4x 5 dx: 1
4. UAS Kalkulus (1) tahun 2002 no. 3b (kriteria mudah) Diketahui R adalah bidang datar yang dibatasi kurva y = x dan y = x2 : Tentukan volume benda pejal yang diperoleh dari pemutaran daerah R terhadap sumbu-x: Jawab: Dengan menggunakan metode cincin, diperoleh volume benda pejal jika daerah R diputar terhadap sumbu-x; yaitu V
=
Z1
x2
=
Z1
2
x2
2
dx
0
x
x
4
dx =
0
=
1 3
1 5
0
=
2 : 15
1 3 x 3
1 5 x 5
1 0
5. UAS Kalkulus (1) tahun 2002 no. 6 (kriteria: sedang) Diketahui daerah A seperti pada gambar berikut: Rumuskan volume benda putar yang terjadi (dalam bentuk integral tentu) jika daerah A tersebut diputar dengan sumbu putar (a) sumbu-y (b) garis y = 5: Jawab: Volume benda putar yang diperoleh jika daerah A diputar mengelilingi: (a) sumbu-y adalah Z 5 V = f 2 (y)
g 2 (y) dy (dengan metode cincin)
1
(b) garis y = 5 adalah: Z 5 (5 y) (f (y) V =2
g (y)) dy (dengan metode kulit tabung)
1
6. UAS Kalkulus 1 tahun 2001 no. 9 Diberikan daerah R yang dibatasi oleh kurva fungsi f (x) = 4 g (x) = jxj 2 (lihat gambar).
x2 ; dan
y 6
y=4 c c
x2 - x
c
c c
y = jxj
2
Tanpa menghitung nilai integralnya, tentukan rumus volume benda putar yang diperoleh jika daerah R diputar terhadap garis berikut : (a) y = 5; dengan metode cincin, (b) x = 3; dengan metode kulit tabung, (c) y =
3; dengan metode kulit tabung:
Jawab: Rumus volume benda putar (a) jika R diputar terhadap garis y = 5 dan dengan menggunakan metode cincin: Z 2 V = (5 (jxj 2))2 5 4 x2 dx; 2
(b) jika R diputar terhadap garis x = 3 dan dengan menggunakan metode kulit tabung: Z 2 V = 2 (3 x) 4 x2 (jxj 2) dx: 2
(c) jika R diputar terhadap garis y = 3 dan dengan menggunakan metode kulit tabung: Z 0 V = 2 (y + 3) [(y + 2) (y 2)] dy 2 Z 4 p p 2 (y + 3) + 4 y 4 y dy 0
7. UAS Kalkulus tahun 2001 no. 9 Diketahui gelas minuman setinggi h, jari-jari atas 3 cm, jari-jari als 2 cm (lihat Gambar 1). Volume gelas tersebut dapat ditentukan dengan konsep volume benda putar dengan langkah sebagai berikut: (a) Rumuskan y = f (x) pada gambar 2. (b) Gunakan metode cakram untuk menentukan volume gelas di atas dengan memutar daerah A: Jawab:
(a) Gra…k fungsi y = f (x) melalui titik (0; 2) dan (h; 3) ; sehingga persamaan garisnya adalah y 3 y
2 x = 2 h x 2 = h
0 0
y = f (x) =
1 x+2 h
(b) Dengan menggunakan metode cakram diperoleh volumenya adalah sebagai berikut V
=
Z
h
0
=
Z
h
0
= = = =
1 x+2 h
2
dx
1 2 4 x + x + 4 dx h2 h h
1 1 3 4 1 2 x + x + 4x 2 h 3 h 2 0 1 1 3 4 h2 h + + 4h 0 h2 3 h 2 h + 2h + 4h 3
19 h 3
8. UAS Kalkulus 1 tahun 2000 no. 10. Bidang R dibatasi oleh kurva x2 + y 2 = a2 . Jika R diputar terhadap garis x = b (dengan b > a > 0), maka rumuskan volume benda putar tersebut dalam bentuk integral tentu. Jawab: Untuk menggunakan metode kulit tabung (silinder) ubah persamaan
fungsi menjadi y 2 = a2
p
x2 =) y =
a2
x2 ;
sehingga volume benda putarnya adalah V
= 2
Za
(b
x)
= 2
Za
(b
p x) 2 a2
= 4
Za
(b
p x) a2
a
hp
a2
p
x2
a2
i
x2
dx
x2 dx
a
x2 dx:
a
Untuk menggunakan metode cincin ubah persamaan fungsi menjadi p x2 = a2 y 2 =) x = a2 y 2 ; sehingga volume benda putarnya adalah V =
Za a
b+
p
a2
y2
2
9. UAS Kalkulus1 tahun 1999 no. 7.
b
p
a2
y2
2
dy:
Rumuskan sebuah integral tentu untuk volume benda yang terbentuk apabila daerah yang diarsir pada gambar berikut ini diputar mengelilingi: (a) sumbu y (b) sumbu x (c) garis y = 1: y c 6
" "" "" " "" "
-
x = f (y)
" "
b
1 ! !
a
x = g(y)
1 -
x
Jawab: Jika daerah arsir yang diberikan diputar terhadap: (a) sumbu-y; maka dengan menggunakan metode cincin diperoleh volume benda putarnya adalah Zb
V =
2
g (y)
2
f (y) dy +
a
Zc
f 2 (y)
g 2 (y) dy:
b
(b) sumbu-x; maka dengan menggunakan metode kulit tabung diperoleh volume benda putarnya adalah V =2
Zb
y [g (y)
f (y)] dy + 2
a
Zc
y [f (y)
g (y)] dy:
b
(c) garis y = 1; maka dengan menggunakan metode kulit tabung diperoleh volume benda putarnya adalah V =2
Zb a
(y
1) [g (y)
f (y)] dy+2
Zc b
(y
1) [f (y)
g (y)] dy:
10. UAS Kalkulus 1 tahun 1998 no. 8 Diketahui daerah A yang dibatasi oleh fungsi f dengan f (x) = x + 1; garis y = 2; dan garis tegak x = 4: (a) Gambarlah daerah A: (b) Dengan metode kulit tabung, tentukan volume benda putar yang terbentuk jika A diputar dengan sumbu putar x = 1: (c) Dengan metode cincin, tentukan volume benda putar yang terbetuk jika A diputar dengan sumbu putar y = 5. Jawab:
(a) Gambar daerah A
(b) Dengan menggunakan metode kulit tabung, maka Z 4 V = 2 (x + 1) [(x + 1) 2] dx 1 Z 4 4 1 3 2 = 2 x 1 dx = 2 x x 3 1 1 64 1 = 2 4 1 = 2 (18) = 36 satuan volume. 3 3
(c) Dengan menggunakan metode cincin, maka : Z 4 V = (5 2)2 (5 (x + 1))2 dx Z1 4 Z 4 2 = 9 (4 x) dx = 7 + 8x 1
x2 dx
1
1 3 x 3
7x + 4x2
=
4
= 18 satuan volume 1
11. UAS tahun 1997 no. 8. Jawab: x2 + y 2 = 4; dan x
0)x=
p
y2:
4
(a) Dengan metode cincin diperoleh volume benda putar yang terjadi, yaitu Z 2 p 2 V = 1 + 4 y2 12 dy 2
(b)
V
= = = = =
=
Z Z
Z
2
1+ 2 2 2 2
4
p 1+2 4 4
2
p
y2
2
12 dy
y2 + 4
p y 2 + 2 22
y2
1 dy
y 2 dy
1 3 yp 4 y 4 y 2 + sin 1 y +2 3 2 2 2 8 8 + 2 (0) + 2 sin 1 (1) 3 8 8+ ( 2) (0) + 2 sin 1 ( 1) 3 16 16 +2 + 2 3 2 3 2
2
(lihat soal 10 a)
4y
32 + 4 2: 3 12. UAS tahun 1996 no. 10.
2
=
Diketahui daerah D dibatasi oleh kurva y = x = 1; sumbu-x; dan garis y = x 2:
p
x untuk x > 1; garis
(a) Berikan sketsa daerah D: Kemudian susunlah suatu integral tentu (nilainya tidak perlu ditentukan dan ekspresinya tidak perlu disederhanakan) yang menyatakan volume benda putar yang terjadi jika:
(b) Daerah D diputar mengelilingi garis y = 3; dengan menggunakan metode cakram atau cincin. (c) Daerah D diputar mengelilingi garis y = nakan metode kulit tabung.
1, dengan menggu-
(d) Daerah D diputar mengelilingi garis x = 5; dengan menggunakan metode cakram atau cincin. (e) Daerah D diputar mengelilingi garis x = 5; dengan menggunakan metode kulit tabung. Jawab: (a) Sketsa daerah D;
(b) V =
Z
2
1
h
2
3
3
p
x
2
i
dx+
Z
2
4
h
(5
2
x)
3
p
x
2
i
dx:
(c) V =2
Z
0
1
(y + 1) (y + 2
1) dy + 2
Z
1
2
(y + 1) y + 2
y 2 dy:
(d) V =
Z
1 2
4
(3
2
y) dy +
0
Z
2
1
(e) V =2
Z
2
(5
x)
p
x
0 dx+2
Z
h
5
y2
(5
x)
4
2
p
(3
x
i y)2 dy (x
2) dx
2
1
13. UAS tahun 1995 no. 8. Perhatikan daerah R berikut: Susunlah sebuah integral untuk volume benda yang terbentuk apabila daerah R diputar mengelilingi garis-garis berikut: (a) sumbu-x; (b) garis x = c:
Daerah R Jawab: Volume benda putar yang terbentuk apabila daerah R diputar mengelilingi: (a) sumbu-x adalah: V =
Z
a
(dengan metode cincin)
b
(f (x))2
(g (x))2 dx:
(b) garis x = c adalah: V =2
Z
b
(c
x) [f (x)
g (x)] dx:
a
(dengan metode kulit tabung) 14. UAS tahun 1995 no. 9 Perhatikan daerah R berikut:
Susunlah sebuah integral untuk volume benda yang terbentuk apabila daerah R diputar mengelilingi garis-garis berikut: (a) sumbu-x; (b) garis x =
1:
Jawab: Volume benda putar yang terbentuk apabila daerah R diputar mengelilingi: (a) sumbu-x adalah V =2
Z
b
y [f (y)
a
(dengan metode kulit tabung)
g (y)] dy
(b) garis x =
1 adalah: V =
Z
b
(f (y) + 1)2
a
(dengan metode cincin)
(g (y) + 1)2 dy
