BAB IV PERSAMAAN INTEGRAL FREDHOLM BENTUK KEDUA
Pada bab III, kita telah memandang permasalahan aliran fluida pada celah pintu air dan memodelkan persamaan integralnya. Dari situ kita memperoleh sebuah persamaan integral dengan satu buah variabel yang tidak diketahui. Persamaan integral yang kita peroleh merupakan representasi dari aliran fluida pada batas bebas atau dengan kata lain pada aliran fluida setelah melewati celah pintu air. Pada bab ini, kita akan mengenali bentuk dari persamaan integral tersebut dengan melihat pada pengklasifikasian integral berdasarkan variabel limit integrasinya. Setelah diketahui bentuk integralnya, kita akan melihat beberapa kasus khusus pada bentuk persamaan integral tersebut terutama menyangkut kepada kernel integralnya.
4.1 Klasifikasi Persamaan Integral Persamaan integral pada umumnya dapat dituliskan sebagai
atau dalam notasi operasional, sama dengan kita menuliskannya sebagai
dimana
mendefinisikan operasi integrasi di atas pada fungsi
dalam (4.1).
Persamaan integral (4.1) dinamakan persamaan integral Volterra saat
.
Sehingga persamaan integral (4.1) menjadi
Saat
, persamaan integral Volterra tersebut dinamakan persamaan integral
Volterra bentuk pertama.
29
Sedangkan dinamakan persamaan integral Volterra bentuk kedua yaitu pada saat nilai dari
Selain mengenal
.
persamaan integral
Volterra, berdasarkan limit variabel
integrasinya, kita juga mengenal persamaan integral Fredholm. Pada persamaan integral Fredholm, nilai
. Atau dengan kata lain nilainya adalah sebuah
konstanta dan tidak bergantung pada sebuah variabel. Hal itu lah yang membedakan antara persamaan integral Volterra dengan persamaan integral Fredholm. Sehingga untuk persamaan integral Fredholm, persamaan (4.1) kita tuliskan menjadi
Sama halnya seperti persamaan integral Volterra, persamaan integral Fredholm dinamakan bentuk pertama saat
,
serta dinamakan persamaan integral Fredholm bentuk kedua saat
.
Pada kasus tertentu, persamaan integral Volterra (4.3) dan persamaan integral Fredholm (4.6) mempunyai bentuk persamaan homogen yaitu pada saat seperti yang terlihat pada persamaan (4.9) dan (4.10)
30
Pada bab sebelumnya kita telah memodelkan dan memperoleh sebuah persamaan integral yaitu
dengan
dan
Bila kita masukkan (3.51) dan (3.52) pada (3.50) maka kita dapat tuliskan (3.50) menjadi
dengan
ditentukan dan diambil dari selang
. Nilai
dipilih mendekati ke
tapi nilainya tidak . Persamaan integral di atas merupakan persamaan integral Fredholm bentuk kedua karena selang integrasinya merupakan konstanta yaitu
yang tidak
dipengaruhi oleh variabel. 4.2 Kernel Persamaan Integral Pada integral di kalkulus, kita mengenal istilah kernel yaitu sebuah fungsi dengan dua buah variabel yang mendefinisikan sebuah transformasi integral.
31
Fungsi
merupakan
mentransformasikan fungsi
kernel
dari
persamaan
ke dalam fungsi
integral
(4.11)
yang
. Beberapa kernel memiliki
invers yang disebut sebagai invers kernel yang mana menghasilkan sebuah transformasi invers
Suatu persamaan integral dikatakan singular jika rentang dari integrasinya tak terhingga atau kernelnya menjadi tak terhingga di dalam selang integrasinya. Untuk persamaan integral dengan kernel
,
, dan
terbatas,
maka persamaan integral tersebut dikatakan sebagai weakly singular equation dan kernel
mempunyai singularitas lemah. Sementara untuk persamaan integral
dengan kernel
, dan
terbatas, maka kernel
mempunyai
singularitas kuat dan persamaan integral tersebut dikatakan sebagai strong singular equation. Kernel memegang peranan penting dalam sebuah persamaan integral dan kernel
ada yang dikenal sebagai symmetric kernel, maupun nonsymmetric
kernel. Kernel yang simetris berarti
.
Degenerate Kernel Dalam beberapa kasus, ada kernel yang mempunyai bentuk khusus. Kernel tersebut adalah penjumlahan berhingga dari perkalian
, sebuah fungsi dalam x, dengan
, sebuah fungsi dalam t. Kernel tersebut dapat dituliskan sebagai
Kernel dalam bentuk tersebut dinamakan dengan degenerate kernel. Sekarang kita akan melihat persamaan integral Fredholm bentuk kedua dengan degenerate kernel sehingga persamaan (4.8) dapat kita tuliskan menjadi
32
Kita definisikan
, maka persamaan (4.15) dapat kita tuliskan
menjadi
Jika kita mengalikan kedua sisi pada (4.16) dengan a ke b, maka kita menghasilkan
dan mengintegralkan dari
pada sisi kiri
Jika kita definisikan
dan
Maka persamaan (4.17) menjadi
Jika kita gunakan notasi matriks, maka persamaan tersebut dapat kita tuliskan sebagai berikut.
atau dapat juga ditulis sebagai
33
Bila kita pandang persamaan (4.22), kita dapat melihat bahwa persamaan (4.22) akan memiliki sebuah solusi yang unik jika determinan dari
. Dan persamaan
(4.22) akan memiliki solusi tak berhingga atau tak mempunyai solusi jika determinan . Contoh kasus persamaan integral Fredholm bentuk kedua dengan degenerate kernel adalah
. Persamaan integral Fredholm tersebut
memiliki
degenerate ,
kernel ,
, ,
, dan
dimana
.
Sehingga kita peroleh matriks kolom F yaitu 1 f 1 3 f 2 = 1 3
Untuk memperoleh matriks A, kita hitung elemen sesuai dengan yang sudah didapatkan sebelumnya.
Kita dapatkan bentuk
34
dengan
dan
1 1 c1 3 3 c 2 1 1 3 3
1 4 c1 1 c 2 4
Atau dalam bentuk
, dapat kita tuliskan menjadi
1 1 1 1 - 3 - 4 c1 3 - 1 1 - 1 c 2 1 4 3 3
Jadi kita dapatkan
.
Kernel Simetris Pada persamaan integral Fredholm bentuk kedua dengan kernel yang simetris , persamaan (4.8) kita tuliskan sebagai
Kita tuliskan
dengan
dimana
adalah koefisien fourier dari fungsi yang tak diketahui u(x), dan
adalah koefisien fourier dari fungsi yang diberikan f(x).
Kita substitusikan (4.23) pada (4.26) 35
Kita tahu bahwa
. Maka (4.28) menjadi
Kita substitusikan (4.29) pada (4.25), sehingga kita peroleh
Setelah itu kita substitusikan (4.30) pada (4.24). Kita dapatkan
dengan
maka persamaan (4.8) menjadi
Contoh kasus persamaan integral fredholm bentuk kedua dengan kernel simetris adalah
36
x(1 - t ), 0 x t dengan K ( x, t ) t (1 - x), t x 1 nilai eigen dari persamaan (4.36) adalah dari kernel K(x,t) adalah
serta fungsi eigen ortonormal . Maka berdasarkan (4.33), persamaan
(4.36) menjadi
dan resolvent kernel dari persamaan (4.36) berdasarkan (4.34) adalah
Pengkonstruksian solusi persamaan (4.35) di atas berdasar kepada fakta bahwa nilai pada (4.36) tidak sama dengan nilai
pada persamaan homogen
yang merupakan nilai eigen dari kernel simetris K(x,t). Seperti yang dapat kita lihat pada kasus persamaan (4.36) dengan
Persamaan tersebut tidak dapat dipecahkan karena nilai
sama dengan nilai
yang merupakan nilai eigen dari kernel simetris K(x,t) dan orthogonal pada fungsi eigen
yaitu
tidak
.
4.3 Metode Resolvent Kernel Salah satu metode untuk menyelesaikan persamaan integral Fredholm bentuk kedua adalah dengan metode evaluasi resolvent kernel
. Persamaan integral
fredholm bentuk kedua seperti pada (4.8) dapat kita tuliskan menjadi
37
dengan
dimana
dan
adalah fredholm resolvent kernel, fredholm
minor, dan fredholm determinant.
dimana
dan
dengan
dan
Contohnya dapat kita lihat pada persamaan integral fredholm bentuk kedua
Sesuai dengan (4.41), solusi dari persamaan (4.47) tersebut adalah
Untuk mengevaluasi resolvent kernel
, kita harus mencari
.
38
dan
. Sehingga kita dapat hitung
Sesuai dengan
, maka
dan
Untuk itu kita peroleh
Kita peroleh resolvent kernel
Sehingga solusi dari (4.47) dapat kita tuliskan sebagai
39
