FT UNIVERSITAS SURABAYA
VARIABEL KOMPLEKS
SUGATA PIKATAN
Bab IV Penderetan Fungsi Kompleks Sebagaimana pada fungsi real, fungsi kompleks juga dapat dideretkan pada daerah konvergensinya. Semua watak kajian konvergensi pada fungsi real berlaku pula pada fungsi kompleks. Secara umum deret fungsi kompleks berupa polinomial : ∞
f(z) =
∑ cn z n = c0 + c1z + c2 z 2 + ...... + cn z n + ......
(4.1)
n= 0
Deret Taylor Untuk fungsi f(z) yang analitik di daerah ℜ, f(z) dapat dideretkan secara konvergen di sekitar titik mana pun di dalam ℜ, misalnya z = a, menjadi deret Taylor : f(z) =
∞
∑ cn(z − a)n
(4.2)
n =0
Persamaan (4.1) identik dengan deret Taylor kecuali pengaturan penulisannya. Koefisien polinomial dalam deret Taylor di atas, cn, dapat dicari dengan integral Cauchy, persamaan (3.10) : cn = f(n)(a)/n! =
1 2πi
f(z)
∫ (z − a)n +1 dz
(4.3)
C
Seperti pada deret fungsi real, untuk a = 0 deret Taylor menjelma menjadi deret Mac Laurin. Kajian nisbah (ratio test) Kajian ini adalah salah satu cara untuk menentukan konvergensi sebuah deret fungsi. Sebuah deret dapat dikatakan konvergen bila dipenuhi : cn +1 <1 n→∞ cn lim
(4.4)
Nisbah koefisien deret yang satu dengan yang berada di depannya harus senantiasa lebih kecil 1 di manapun dalam deret itu. Jika nisbah tersebut lebih besar 1, deretnya pasti divergen. Kajian ini tidak dapat menyimpulkan konvergensi sebuah deret, jika nisbah (4.4)
26
FT UNIVERSITAS SURABAYA
VARIABEL KOMPLEKS
SUGATA PIKATAN
di atas bernilai 1, deretnya masih mungkin konvergen dan mungkin pula divergen. Untuk itu diperlukan kajian konvergensi yang lain, lihat kuliah Kalkulus II. Jenis deret yang sering dipakai dalam penderetan fungsi kompleks adalah deret binomium yang berbentuk : 1 = 1 + h( z ) + [h( z )]2 + [h( z )]3 +...... 1 − h( z )
(4.5)
Menurut kajian nisbah konvergensi deret ini akan tercapai jika dipenuhi : |h(z)| < 1
(4.6)
Persamaan ini menghasilkan ruji konvergensi | z-a | = ρ, yakni sebuah lingkaran dengan ruji ρ. Deret hanya konvergen jika | z-a | berada di dalam lingkaran, dan divergen bila berada di luarnya. Deret Laurent Bagaimana penderetannya bila f(z) fungsi meromorfik yang gagal analitik di sebuah kutub z = a di dalam daerah konvergensinya? Di dalam sebuah anulus berpusatkan di z = a fungsi f(z) menjadi analitik, karena z = a sudah berada di luar kontur. Daerah kovergensinya menjadi : r < | z-a| < ρ. Di dalam daerah penderetan yang berupa anulus ini, deret fungsi yang dihasilkan tidak hanya berupa deret Taylor (4.2) di atas, tetapi menjadi lebih umum dengan bentuk : ∞
f(z) =
∑ cn (z − a)
n
∞
+
d
∑ (z − na)n
(4.7)
n =1
n =0
Suku pertama di ruas kanan tidak lain z=a
z=a
yang berupa polinomial berpangkat negatif
ρ • •z Daerah konvergensi Deret Taylor
adalah deret Taylor, dan suku keduanya
r
•
ρ
disebut sebagai bagian utama dari deret
•z
Laurent. Jadi secara umum deret Laurent (4.7) terdiri dari dua bagian : deret Taylor
Daerah konvergensi Deret Laurent
dan bagian utamanya.
Koefisien bagian utamanya juga dapat dicari dengan integral Cauchy dengan kontur K lingkaran bagian dalam anulus. 27
FT UNIVERSITAS SURABAYA
dn =
VARIABEL KOMPLEKS
f ( z)
∫ (z − a)−n+1 dz
1 2πi
SUGATA PIKATAN
(4.8)
K
Anulus itu kemudian menjadi daerah konvergensi deret Laurent. Bila semua dn = 0, titik z = a di dalam daerah konvergensinya dikatakan bersifat regular. Jika kutub z = a berorde k dipakai sebagai pusat anulus : f(z) =
g( z) (z − a) k
Substitusi f(z) ini ke dalam persamaan (4.8) dan aplikasi integral Cauchy menghasilkan persamaan : dn =
1 2π
g ( z)
∫ (z − a)
dz = −n + k +1
C
g ( − n+ k ) ( a ) ( − n + k )!
(4.9)
Dari sini jelaslah bahwa untuk : • n>k:
dn = 0
karena faktorial bilangan bulat negatif tak hingga besarnya, menyebabkan hasil bagi nol di ruas kanan. Konsekuensinya bagian utama deret Laurent akan berhenti sampai nomor k. • n=1:
d1 =
1 f(z) dz 2πi ∫C
(4.10)
Koefisien d1 ini istimewa dan akan dibahas di bagian berikutnya. Jika semua dn ≠ 0 maka z = a disebut titik singular esensial, misalnya jika penderetan tersebut dilakukan dalam anulus yang pusatnya bukan di z = a. Teorema residu Perhatikan koefisien pertama d1 pada persamaan (4.10) di atas. Integrasi sembarang fungsi f(z) pada kontur C tertutup dengan demikian adalah :
∫ f(z) dz
= 2πi d1
(4.11)
C
Persamaan (4.11) ini memberikan alternatif lain dalam perhitungan integral kontur tertutup terhadap fungsi variabel kompleks, sehingga ia setara dengan persamaan (3.5) dan integral Cauchy (3.10).
28
FT UNIVERSITAS SURABAYA
VARIABEL KOMPLEKS
SUGATA PIKATAN
Menurut persamaan (4.11), integral dapat diketahui hasilnya jika koefisien d1 ditemukan. Tampak jelas bahwa peranan koefisien ini sangat penting dalam perhitungan integral kompleks, sehingga perlu diberi nama khusus. Dalam kasus anulus di atas, sebutannya adalah residu fungsi f(z) di kutub z = a dan biasa dituliskan : d1 ≡ Res[f(z),a]
(4.12)
Residu sebuah fungsi selain dapat diperoleh dari proses penderetan, secara umum dapat pula diperoleh dengan memanfaatkan integral Cauchy. Misalnya f(z) memiliki kutub berorde k di z = a dalam daerah konvergensinya ℜ sehingga fungsinya mengambil bentuk persamaan (3.9) : f ( z) =
g ( z) (z − a) k
dengan fungsi pembilang g(z) analitik dalam ℜ, maka : Res(f,a) =
1 f(z) dz 2πi ∫C
=
1 g(z) dz ∫ 2πi C (z − a)k
=
g ( k −1) (a ) ( k − 1)!
1 d k −1 k lim = k −1 (z-a) f(z) z → a (k − 1 )! dz
(4.13)
Persamaan inilah yang kemudian banyak digunakan untuk menghitung integral kompleks, walaupun masih juga terdapat kelemahan, yaitu orde kutub harus dapat ditentukan terlebih dulu. Padahal tidak semua fungsi secara gamblang memperlihatkan orde kutub yang dimilikinya. Dalam kasus yang seperti ini dianjurkan untuk mencari residu lewat penderetan. Dalam banyak kasus, fungsi f(z) memiliki lebih dari satu kutub. Teorema residu dapat diperluas pengertiannya untuk menanggulangi hal ini. Jika kutub-kutubnya berada di z = aj, maka :
∫ f(z) dz C
= 2πi
∑ Re s[ f(z),a
j
]
(4.14)
j
29
FT UNIVERSITAS SURABAYA
VARIABEL KOMPLEKS
SUGATA PIKATAN
Semua residu di kutub-kutubnya dijumlahkan dulu. Untuk jenis kutub sederhana, ia boleh dilintasi oleh kontur integrasi C, dan residunya menjadi separo dari residu (4.13).
30
FT UNIVERSITAS SURABAYA
VARIABEL KOMPLEKS
SUGATA PIKATAN
SOAL
1. Deretkan fungsi : 7z − 2 di daerah : z(z + 1)(z − 2 )
f(z) =
a. 0 < |z+1| < 1 b. 1 < |z+1| < 3 c. |z+1| > 3
2. Cari residu fungsi : f(z) =
5z + 2i di daerah : z(z + i)
a. 0 < |z-i| < 1 b. 1 < |z-i| < 2 c. |z-i| > 2
3. Hitunglah sekali lagi integral-integral pada soal bab III nomor 3 dengan teorema residu dan cocokkan hasilnya dengan apa yang sudah anda dapatkan !
4. Apabila u(z) dan v(z) analitik di titik z = a, sedangkan u(a) ≠ 0 dan z = a merupakan akar nol berorde satu dari g(z) = 0, tunjukkan bahwa : u( z ) u(a ) Re s , a = v ( z ) v ′(a )
dimana v′ adalah dv/dz
31
