Integral Riemann
BAB IV INTEGRAL RIEMANN Untuk mempelajari lebih lanjut tentang konsep integral Riemann, akan lebih baik jika pembaca memahami beberapa hal berikut. A. Partisi Definisi 4.1 Diberikan interval tertutup [𝑎, 𝑏], himpunan terurut dan berhingga 𝑃 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏; 1 , 2 , … , 𝑛 }
pada interval [𝑎, 𝑏] sehingga 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥𝑛 = 𝑏 dan 𝑖 ∈ 𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 , 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛
disebut partisi Riemann pada interval [𝑎, 𝑏]. Partisi Riemann ini sering dinyatakan secara singkat sebagai partisi. Titik 𝑥𝑖 , 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 disebut titik partisi (partition point) dan 𝑖 ∈ 𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 disebut titik tag (tag point). Titik-titik pada partisi P dapat digunakan untuk membagi interval [𝑎, 𝑏] ke dalam interval-interval bagian yang tidak saling tumpang tindih (non overlapping sub intervals). Perhatikan bahwa jika diberikan sembarang interval [𝑎, 𝑏] dan 𝑃 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏; 1 , 2 , … , 𝑛 } partisi pada [𝑎, 𝑏] maka interval bagian-interval bagian yang tidak saling tumpang tindih tersebut adalah 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛 . Interval bagian-interval bagian ini mempunyai panjang berturut-turut ∆𝑥1 = 𝑥1 − 𝑥0 , ∆𝑥2 = 𝑥2 − 𝑥1 , … , ∆𝑥𝑛 = 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 . Untuk setiap partisi 𝑃 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏; 1 , 2 , … , 𝑛 } pada [𝑎, 𝑏] norm partisi P dinotasikan 𝑃 didefinisikan sebagai panjang interval bagian terpanjang yang terbentuk dari partisi P. Jadi 𝑃 = sup {∆𝑥𝑖 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛}. Definisi 4.2 (refinement partition) Diberikan interval tertutup [𝑎, 𝑏], partisi Q disebut penghalus (refinement) partisi P pada [𝑎, 𝑏] jika 𝑃 𝑄. Untuk suatu interval [𝑎, 𝑏] tak berhingga banyak partisi yang dapat dibuat. Koleksi semua partisi pada interval [𝑎, 𝑏] dinotasikan dengan P [𝑎, 𝑏]. Contoh 4.3 Diberikan interval I = [0, 1]. Berikut ini adalah beberapa partisi pada I. 1 , 1}, 2 3 4 5 6 7 𝑃5 = 0, , , , , ,1 8 8 8 8 8 3 Dapat dihitung bahwa 𝑃1 = 4 ,
𝑃1 = {0,
1 , 1}, 4 1 2 , , 8 8
1 3
𝑃2 = {0, ,
1 2 3 1 , , 1}, 𝑃4 = {0, , 4 4 4 6 1 1 3 2 5 3 7 = 0, 8 , 4 , 8 , 4 , 8 , 4 , 8 , 1 1 1 𝑃2 = 2 , 𝑃3 = 4 .
𝑃3 = {0, ,
2 , 6
3 , 6
4 5 , , 1} 6 6
,
𝑃5 merupakan penghalus dari 𝑃3 sebab 𝑃3 𝑃5 , tetapi 𝑃5 bukan penghalus dari 𝑃2 maupun 𝑃4 sebab 𝑃2 𝑃5 dan 𝑃4 𝑃5 . Partisi 𝑃3 , 𝑃4 , dan 𝑃5 disebut partisi seragam. Lemma 4.4 Jika 𝑃1 , 𝑃2 P [𝑎, 𝑏] dengan 𝑃1 𝑃2 maka berlaku 𝑃2 ≤ 𝑃1 . 21
Herawan - Thobirin - Analisis Real II
Integral Riemann Bukti: Diberikan 𝑃1 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏; 1 , 2 , … , 𝑛 } partisi pada [𝑎, 𝑏]. 𝑃1 = sup ∆𝑥𝑖 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 = sup 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 . Diketahui 𝑃1 𝑃2 atau 𝑃2 penghalus dari 𝑃1 , maka 𝑃2 dapat dinyatakan sebagai 𝑃2 = {𝑎 = 𝒙𝟎 = 𝑥10 , 𝑥11 , 𝑥12 , … , 𝑥1𝑘 1 , 𝒙𝟏 = 𝑥20 , 𝑥21 , 𝑥22 , … , 𝑥2𝑘 2 , … , 𝒙𝒏−𝟏 = 𝑥𝑛0 , 𝑥𝑛1 , 𝑥𝑛2 , … , 𝑥𝑛𝑘 𝑛 , 𝒙𝒏 = 𝑏;
11 , 12 , … , 1𝑘 1 , 21 , 22 , … , 2𝑘 2 , … , 𝑛1 , 𝑛2 , … , 𝑛𝑘 𝑛 }
maka 𝑃2
= sup 𝑥𝑖𝑗 − 𝑥𝑖(𝑗 −1) 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛; 𝑗 = 1, 2, … , 𝑘𝑖 ∪ 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖𝑘 𝑖 ) 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛
.
Dapat dipahami bahwa 𝑥𝑖𝑗 − 𝑥𝑖(𝑗 −1) ≤ 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 untuk setiap 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛; 𝑗 = 1, 2, … , 𝑘𝑖 dan 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖𝑘 𝑖 ≤ 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 untuk setiap 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 Oleh karena itu sup 𝑥𝑖𝑗 − 𝑥𝑖(𝑗 −1) 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛; 𝑗 = 1, 2, … , 𝑘𝑖 ∪ 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖𝑘 𝑖 ) 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 sup 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 Jadi 𝑃2 ≤ 𝑃1 . Lemma 4.5 Jika 𝑃1 , 𝑃2 P [𝑎, 𝑏] maka 𝑃1 ∪ 𝑃2 merupakan penghalus dari 𝑃1 dan 𝑃2 . Bukti diserahkan kepada pembaca. Diberikan interval tertutup [𝑎, 𝑏]. Karena 𝑎 < 𝑏, maka berdasarkan sifat urutan bilangan real diperoleh 𝑏 − 𝑎 > 0, oleh karenanya untuk sembarang 𝛿 > 0 dan berdasarkan sifat Archimides, terdapat dilangan asli n sehingga 𝑏−𝑎 < 𝛿. 𝑛 Jadi pada interval [𝑎, 𝑏] dapat dibuat partisi 𝑃 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏; 1 , 2 , … , 𝑛 } demikian sehingga 𝑃 < 𝛿. Penjelasan tersebut merupakan ilustrasi bukti teorema berikut. Teorema 4.6 Untuk setiap bilangan real 𝛿 > 0 terdapat partisi P pada [𝑎, 𝑏] sehingga 𝑃 < 𝛿. Dengan adanya jaminan eksistensi suatu partisi pada interval 𝑎, 𝑏 dan dari beberapa sifat di atas, selanjutnya dapat dikonstruksikan integral Riemann sebagai berikut.
B. Integral Riemann Diberikan interval tertutup [𝑎, 𝑏] dan f : [𝑎, 𝑏] R fungsi bernilai real yang terbatas pada [𝑎, 𝑏]. Jika 𝑃 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏; 1 , 2 , … , 𝑛 } partisi pada [𝑎, 𝑏] jumlahan 𝑛
𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1
𝑆 𝑃; 𝑓 = 𝑃 𝑖=1
Disebut jumahan Riemann fungsi f pada [𝑎, 𝑏] terkait partisi P.
22
Herawan - Thobirin - Analisis Real II
Integral Riemann Defnisi 4.7 Diberikan interval tertutup [𝑎, 𝑏], fungsi bernilai real f : [𝑎, 𝑏] R dikatakan terintegral Riemann jika terdapat bilangan real A sehingga untuk setiap bilangan real 𝜀 > 0 terdapat bilangan 𝛿 > 0 dengan sifat untuk setiap 𝑃 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏; 1 , 2 , … , 𝑛 } partisi pada [𝑎, 𝑏] dengan 𝑃 < 𝛿 berlaku 𝑛
𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − 𝐴 < 𝜀
𝑃 𝑖=1
atau 𝑆(𝑃; 𝑓) − 𝐴 < 𝜀 Bilangan real A pada Definisi 4.7 disebut nilai integral Riemann fungsi f pada interval [𝑎, 𝑏] dan ditulis A = (R)
𝑏 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Selanjutnya untuk memudahkan penulisan, koleksi semua fungsi yang terintegral Riemann pada [𝑎, 𝑏] dinotasikan dengan R[𝑎, 𝑏]. Jadi jika f : [𝑎, 𝑏] R dikatakan terintegral Riemann cukup ditulis dengan f R[𝑎, 𝑏]. Defnisi 4.8 Definisi integral Riemann di atas (Definisi 4.7) dapat pula dinyatakan sebagai limit dengan lim 𝑆 𝑃; 𝑓 = 𝐴 𝑃 →0
C. Sifat-sifat Dasar Integral Riemann Bagian ini membahas sifat-sifat dasar integral Riemann, di antaranya ketunggalan nilai integral, kelinearan koleksi semua fungsi terintegral Riemann. Teorema 4.9 Jika f R[𝑎, 𝑏] maka nilai integralnya tunggal Bukti Misalkan 𝐴1 dan 𝐴2 keduanya nilai integral Riemann fungsi f, maka cukup dibuktikan bahwa 𝐴1 = 𝐴2 . Diketahui f R[𝑎, 𝑏]. Diberikan sembarang bilangan 𝜀 > 0. 𝐴1 nilai integral fungsi f pada [𝑎, 𝑏], maka terdapat bilangan 𝛿1 > 0 sehingga untuk setiap partisi 𝑃1 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏; 1 , 2 , … , 𝑛 } pada [𝑎, 𝑏] dengan sifat 𝑃1 < 𝛿1 berlaku 𝜀 𝑆(𝑃1 ; 𝑓) − 𝐴1 < 2 𝐴2 nilai integral fungsi f pada [𝑎, 𝑏], maka terdapat bilangan 𝛿2 > 0 sehingga untuk setiap partisi 𝑃2 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑚 = 𝑏; 1 , 2 , … , 𝑚 } pada [𝑎, 𝑏] dengan sifat 𝑃2 < 𝛿2 berlaku 𝜀 𝑆(𝑃2 ; 𝑓) − 𝐴2 < 2 Dipilih 𝛿 = min {𝛿1 , 𝛿2 }, akibatnya jika P sembarang partisi pada [𝑎, 𝑏] dengan sifat 𝑃 < 𝛿 berlaku 𝑃 < 𝛿1 dan 𝑃 < 𝛿2 . Akibatnya 𝜀 𝑆(𝑃; 𝑓) − 𝐴1 < 2 dan 23
Herawan - Thobirin - Analisis Real II
Integral Riemann 𝑆(𝑃; 𝑓) − 𝐴2 <
𝜀 2
Lebih lanjut 𝐴1 − 𝐴2 = 𝐴1 − 𝑆 𝑃; 𝑓 + 𝑆 𝑃; 𝑓 − 𝐴2 ≤ 𝐴1 − 𝑆 𝑃; 𝑓 + 𝑆 𝑃; 𝑓 − 𝐴2 ≤ 𝑆 𝑃; 𝑓 − 𝐴1 + 𝑆 𝑃; 𝑓 − 𝐴2 𝜀 𝜀 < + =𝜀 2 2 Karena 𝜀 sembarang bilangan positif maka dapat disimpulkan 𝐴1 = 𝐴2 . Teorema berikut menyatakan bahwa koleksi semua fungsi yang terintegral Riemann, yaitu R[𝑎, 𝑏] adalah ruang linear. Teorema 4.10 Jika f, g R[𝑎, 𝑏] dan 𝛼 sembarang bilangan real, maka a. (f + g) R[𝑎, 𝑏] dan (R)
𝑏 (𝑓 𝑎
+ 𝑔) 𝑥 𝑑𝑥 = (R)
b. 𝛼f R[𝑎, 𝑏] dan (R)
𝑏 𝑎
𝑏 (𝛼𝑓) 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + (R)
𝑥 𝑑𝑥 = 𝛼(R)
𝑏 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑎
Bukti a. Diketahui f , g R[𝑎, 𝑏]. Diberikan sembarang bilangan 𝜀 > 0. Karena f R[𝑎, 𝑏] maka terdapat 𝐴1 = (R)
𝑏 𝑓 𝑎
𝑥 𝑑𝑥 dan 𝛿1 > 0 sehingga untuk setiap partisi
𝑃1 pada [𝑎, 𝑏] dengan sifat 𝑃1 < 𝛿1 berlaku
𝜀 2 𝑏 Karena g R[𝑎, 𝑏] maka terdapat 𝐴2 = (R) 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 dan 𝛿2 > 0 sehingga untuk setiap partisi 𝑆(𝑃1 ; 𝑓) − 𝐴1 <
𝑃2 pada [𝑎, 𝑏] dengan sifat 𝑃2 < 𝛿2 berlaku
𝜀 2 Dipilih 𝛿 = min {𝛿1 , 𝛿2 }, akibatnya jika P sembarang partisi pada [𝑎, 𝑏] dengan sifat 𝑃 < 𝛿 berlaku 𝑃 < 𝛿1 dan 𝑃 < 𝛿2 . Akibatnya 𝑆(𝑃2 ; 𝑓) − 𝐴2 <
𝑛
𝑆 𝑃; 𝑓 + 𝑔 − (𝐴1 +𝐴2 ) = 𝑛
=
(𝑓 + 𝑔) 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − (𝐴1 +𝐴2 )
𝑃 𝑖=1
𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 + 𝑔 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1
𝑃 𝑖=1 𝑛
=
𝑛
𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 + 𝑃
𝑃 𝑖=1 𝑛
≤
𝑔 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − (𝐴1 +𝐴2 ) 𝑖=1
𝑛
𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − 𝐴1 + 𝑃
𝑃
− (𝐴1 +𝐴2 )
𝑖=1
𝜀 𝜀 + = 𝜀. 2 2 Terbukti (f + g) R[𝑎, 𝑏] dan (R)
𝑔 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − 𝐴2 𝑖=1
<
𝑏 (𝑓 𝑎
+ 𝑔) 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐴1 + 𝐴2 = (R)
24
𝑏 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + (R)
𝑏 𝑔 𝑎
𝑥 𝑑𝑥
Herawan - Thobirin - Analisis Real II
Integral Riemann b. Bukti untuk latihan Teorema berikut menyatakan suatu kriteria yang harus dipenuhi oleh fungsi f supaya terintegal Riemann pada interval [𝑎, 𝑏] tanpa harus mengetahui (menghitung) nilai integralnya. Teorema 4.11 (Kriteria Cauchy untuk Keterintegralan Riemann) f R[𝑎, 𝑏] jika dan hanya jika untuk setiap bilangan 𝜀 > 0 terdapat bilangan 𝛿 > 0 sehingga untuk setiap dua partisi pada [𝑎, 𝑏], 𝑃1 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏; 1 , 2 , … , 𝑛 } dan 𝑃2 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑚 = 𝑏; 1 , 2 , … , 𝑚 } dengan sifat 𝑃1 < 𝛿 dan 𝑃2 < 𝛿 berlaku 𝑛
𝑚
𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − 𝑃2
𝑃1 𝑖=1
𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1
< 𝜀.
𝑖=1
Bukti Syarat perlu: Diketahui f R[𝑎, 𝑏]. Diberikan sembarang bilangan 𝜀 > 0, maka terdapat 𝐴 = (R)
𝑏 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
dan terdapat 𝛿 > 0 sehingga untuk setiap 𝑃1 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏; 1 , 2 , … , 𝑛 } partisi pada [𝑎, 𝑏] dengan 𝑃1 < 𝛿 berlaku
𝑛
𝑃1 𝑖=1
𝜀 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − 𝐴 < . 2
Jika 𝑃2 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑚 = 𝑏; 1 , 2 , … , 𝑚 } juga sembarang partisi pada [𝑎, 𝑏] dengan 𝑃2 < 𝛿 berlaku
𝑛
𝑃2 𝑖=1
𝜀 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − 𝐴 < . 2
Diperoleh 𝑛
𝑚
𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − 𝑃2
𝑃1 𝑖=1
=
𝑖=1
𝑛
𝑚
𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − 𝑃2
𝑃1 𝑖=1 𝑛
≤
𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − 𝐴 + 𝐴 𝑖=1
𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − 𝐴 + 𝐴 − 𝑃2
𝑃1 𝑖=1 𝑛
=
𝑚
𝑚
𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − 𝐴 + 𝑃2
𝑃1 𝑖=1
𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 𝑖=1
𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − 𝐴 𝑖=1
𝜀 𝜀 < + = 𝜀. 2 2
Syarat cukup: Jika diketahui untuk setiap bilangan 𝜀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga untuk setiap dua partisi pada [𝑎, 𝑏], 𝑃1 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏; 1 , 2 , … , 𝑛 } dan 𝑃2 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , … , 𝑥𝑚 = 𝑏; 1 , 2 , … , 𝑚 } dengan sifat 𝑃1 < 𝛿 dan 𝑃2 < 𝛿 berlaku 𝑛
𝑚
𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − 𝑃2
𝑃1 𝑖=1
𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1
<𝜀
𝑖=1
25
Herawan - Thobirin - Analisis Real II
Integral Riemann akan ditunjukkan f R[𝑎, 𝑏]. Dibentuk barisan 𝜀𝑛 dengan 𝜀𝑛 > 0 untuk setiap 𝑛 ∈ 𝑁 yang monoton turun dan konvergen ke 0. Jadi untuk setiap bilangan 𝜀 > 0 terdapat bilangan 𝑛1 ∈ 𝑁 sehingga untuk setiap bilangan asli 𝑛 ≥ 𝑛1 berlaku 𝜀 𝜀𝑛 − 0 < . 2 Berdasarkan yang diketahui, maka untuk setiap 𝜀𝑛 terdapat bilangan 𝛿𝑛′ > 0 shingga untuk setiap 𝑃𝑛1 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏; 1 , 2 , … , 𝑛 } dan 𝑃𝑛2 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , … , 𝑥𝑚 = 𝑏; 1 , 2 , … , 𝑚 } dua partisi pada [𝑎, 𝑏] dengan 𝑃𝑛1 < 𝛿𝑛′ dan 𝑃𝑛2 < 𝛿𝑛′ berlaku 𝑛
𝑚
𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − 𝑃𝑛2
𝑃𝑛1 𝑖=1
𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1
< 𝜀𝑛
𝑖=1
Selanjutnya didefinisikan 𝑛
𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1
𝑠𝑛 = 𝑃𝑛 𝑖=1
untuk setiap bilangan 𝑛 ∈ 𝑁. Dibentuk barisan bilangan real positif 𝛿𝑛 dengan 𝛿1 = 𝛿1∗ dan 𝛿2 = min 𝛿1 , 𝛿2∗ , 𝛿𝑛 = min 𝛿1 , 𝛿2 , … , 𝛿𝑛−1 , 𝛿𝑛∗ untuk n = 3, 4, 5, … (*) Selanjutnya diambil bilangan asli m dan n dengan 𝑚 ≥ 𝑛1 dan 𝑛 ≥ 𝑛1 . Tanpa mengurangi keumuman, diasumsikan 𝑚 ≥ 𝑛, maka berdasarkan (*) berlaku 𝛿𝑚 ≤ 𝛿𝑛 Ambil sembarang partisi 𝑃1 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏; 1 , 2 , … , 𝑛 } dan 𝑃2 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , … , 𝑥𝑚 = 𝑏; 1 , 2 , … , 𝑚 } pada interval [𝑎, 𝑏] dengan 𝑃1 < 𝛿𝑛 dan 𝑃2 < 𝛿𝑛 , sehingga diperoleh 𝑛
𝑠𝑛 − 𝑠𝑚 =
𝑚
𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − 𝑃2
𝑃1 𝑖=1
𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1
< 𝜀𝑛
𝑖=1
dan karena 𝜀𝑛 − 0 <
𝜀 2
maka diperoleh
𝜀 2 Jadi (𝑠𝑛 ) merupakan barisan Cauchy dalam R, oleh karenanya (𝑠𝑛 ) barisan yang konvergen. Misalkan ia konvergen ke 𝑠 ∈ 𝑅, berarti terdapat bilangan asli 𝑛2 dengan 𝑛 ≥ 𝑛2 sehingga berlaku 𝜀 𝑠𝑛 − 𝑠 < 2 Dipilih bilangan asli 𝑛0 = maks {𝑛1 , 𝑛2 }. Jika 𝑃 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏; 1 , 2 , … , 𝑛 } sembarang 𝑠𝑛 − 𝑠𝑚 <
partisi pada [𝑎, 𝑏] dengan 𝑃 < 𝛿𝑛 0 , diperoleh 𝑛
𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − 𝑠
𝑃 𝑖=1
=
𝑛
𝑚
𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − 𝑃𝑛 0
𝑃 𝑖=1 𝑛
≤
𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 + 𝑃𝑛 0 𝑖=1 𝑚
𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − 𝑃𝑛 0
𝑃 𝑖=1
𝑚
𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − 𝑠 𝑖=1 𝑚
𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 𝑖=1
+
𝑓 𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 − 𝑠
𝑃𝑛 0 𝑖=1
26
Herawan - Thobirin - Analisis Real II
Integral Riemann < 𝜀𝑛 0 + 𝑠𝑛 0 − 𝑠 𝜀 𝜀 < + =𝜀 2 2 Terbukti 𝑓 ∈ R[𝑎, 𝑏]. Teorema berikut menyatakan hubungan keterintegralan suatu fungsi dengan keterbatasan. Teorema 4.12 Jika f R[𝑎, 𝑏] maka f terbatas pada [𝑎, 𝑏]. Bukti untuk Latihan Konvers dari teorema 4.12 ini tidak berlaku, artinya ada fungsi yang terbatas tetapi tidak terintegral Riemann. Contoh fungsi demikian akan dibahas pada bab selanjutnya.
27
Herawan - Thobirin - Analisis Real II
