BAB III PEMODELAN PERSAMAAN INTEGRAL PADA ALIRAN FLUIDA
3.1 Deskripsi Masalah Permasalahan yang dibahas di dalam Tugas Akhir ini adalah mengenai aliran fluida yang mengalir keluar melalui sebuah celah dinding vertikal. Fluida tersebut diasumsikan sebagai fluida ideal yaitu fluida yang tak kental dan tak termampatkan. Aliran fluida dimodelkan ke dalam model 2-D, seperti yang terlihat pada gambar 3.1, karena fluida tersebut memiliki aliran irrotational dan dalam keadaan steady.
Gambar 3.1 Penampang aliran fluida 2-dimensi
Bagian kiri dari gambar adalah fluida dengan ketinggian yang relatif jauh dari dasar. Sementara di bagian kanan dari gambar merupakan sebuah dinding vertikal dengan ketinggian tertentu dari dasar. Dengan beberapa batasan masalah seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, Tugas akhir ini akan mengamati bagaimana pola aliran permukaan bebas fluida pada daerah sekitar celah dinding vertikal. 3.2 Persamaan Laplace dan Nilai Batas
15
Pada permasalahan aliran fluida tersebut, fluida memiliki aliran irrotational. Oleh sebab itu pada domain fluida berlaku persamaan Laplace
Persamaan Laplace hanya dapat diselesaikan jika ada nilai batas. Batas yang ada disini memenuhi 2 kondisi batas yaitu batas kaku dan batas bebas. Batas kaku memenuhi kondisi batas kinematik. Sedangkan batas bebas memenuhi kondisi batas kinematik dan dinamik. Batas kinematik sendiri terkait dengan permukaan atau dasar. Pada batas kinematik, partikel di batas akan tetap berada di batas. Sementara batas dinamik terkait dengan pertemuan antara suatu fluida dengan fluida lainnya. Pada kasus ini, tekanan udara diambil sebagai tekanan referensi
.
Gambar 3.2 Penampang aliran fluida pada bidang
Kita gambarkan aliran fluida 2-D dalam bidang
seperti yang terlihat pada gambar
3.2. Kita mengasumsikan dinding dasar sebagai sumbu axis dan dinding vertikal sebagai sumbu ordinat. Ujung paling bawah celah dinding vertikal memiliki koordinat sebesar
atau dengan kata lain dinding vertikal memiliki celah dengan tinggi dari dasar. Aliran fluida memiliki fluks sebesar
bersifat uniform saat jauh dari celah dinding vertikal.
16
dan aliran tersebut akan
Berdasarkan gambaran aliran fluida tersebut, maka akan kita tentukan batas kinematik dan batas dinamiknya. Batas kinematik didapat dari permukaan dasar , dinding vertikal
, dan pada permukaan fluida setelah melewati
celah dinding vertikal
. Sedangkan untuk batas dinamik didapat hanya
dari permukaan fluida setelah melewati celah dinding vertikal
.
Batas Kinematik
Pada
, untuk
.
Dalam fungsi posisi, persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi
.
Turunan total dari S adalah
Dengan asumsi awal bahwa aliran fluida adalah steady maka waktu tidak berpengaruh terhadap aliran fluida. Hal tersebut menyebabkan turunan terhadap waktu akan sam dengan nol. Dan dengan mengaitkan kondisi batas ini dengan fungsi potensial maka diperoleh
Pada
, untuk
.
Dalam fungsi posisi, persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi
.
Dengan melihat turunan total dari S, aliran fluida fluida steady, serta mengaitkan kondisi batas dengan fungsi potensial maka diperoleh
Pada
, untuk
.
Dalam fungsi posisi, persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi . Sama seperti sebelumnya, maka diperoleh
Batas Dinamik Pada
, untuk
.
Persamaan Bernoulli (2.20) pada batas dinamik ini menjadi
17
karena
. Dan karena fluida dalam keadaan steady, maka persamaan (3.6) dapat
dituliskan menjadi
disebabkan waktu tidak berpengaruh pada aliran fluida. Setelah diperoleh kondisi batas baik itu kinematik maupun dinamik, lalu dilakukan pengskalaan dengan tujuan untuk mengurangi parameter. Dengan D adalah unit satuan panjang dan Q adalah unit satuan fluks, maka kita dapatkan hubungan
sehingga diperoleh
Substitusikan (3.9), (3.10), (3.11), dan (3.12) pada kondisi batas kinematik dan dinamik sehingga didapatkan batas kinematik dan dinamik yang telah diskalakan yaitu Batas Kinematik
Pada dinding dasar, kita peroleh
18
Pada dinding vertikal, kita peroleh
Pada permukaan bebas fluida, kita peroleh
Batas Dinamik Pada permukaan bebas fluida, kita dapatkan persamaan Bernoulli (3.7) menjadi
Lalu dengan membagi kedua ruas dengan
dengan
, maka diperoleh persamaan
.
Dengan pengskalaan tersebut, bidang aliran fluida mengalami perubahan secara geometris. Bidang aliran fluida dapat digambarkan pada bidang
seperti
yang terlihat pada gambar 3.3.
y
E
D
1
C
f A
0
Gambar 3.3 Penampang aliran fluida pada bidang-f
19
B
Semua variabel memiliki satuan yang sama. Fluks fluida yang awalnya sebesar
,
kini menjadi 1 satuan. Dari gambar 3.3 terlihat bahwa garis AB merupakan dinding dasar. Garis DE merupakan dinding vertikal dan garis DC merupakan permukaan bebas aliran fluida setelah melewati celah dinding vertikal. Titik-titik A, B, C, dan E menuju tak hingga.
3.3 Transformasi Pada Domain Fluida Setelah di subbab sebelumnya kita merubah bidang aliran fluida dari bidang-z ke bidang-f seperti yang terlihat pada gambar 3.2 dan gambar 3.3, maka di bab ini kita akan melakukan perubahan dari bidang-f ke bidang- . Untuk itu diperlukan transformasi Schwarz-Christoffel. Transformasi Schwarz-Christoffel akan diterapkan pada domain fluida yang berbentuk poligon. Transformasi Schwarz-Christoffel akan menyatukan B dan C pada satu titik. Lalu garis AB akan ditarik dan dibuka secara berlawanan arah jarum jam. Kita juga akan melihat titik (R,0) dan (R,1) pada bidang-f dengan nilai R yang cukup besar. Daerah hasil transformasi tersebut adalah bidang
.
y
E
D
1
(R,1)
C
g
f
b
A
0
Gambar 3.4 Penampang aliran fluida
Transformasi Schwarz-Christoffel diberikan dalam bentuk
20
(R,0)
B
dengan
dan
adalah sudut interior yang dibentuk seperti yang terlihat pada gambar
3.4. Titik (R,0) dan (R,1) akan digunakan untuk menentukan nilai konstanta K melalui hasil pemetaannya pada bidang- .
E
D
(-e , 0)
(e , 0)
BC
Gambar 3.5 Penampang aliran fluida pada bidang-
Dari gambar 3.5 terlihat bahwa titik (R,0) dan (R,1) pada bidang-f dipetakan secara berturut-turut ke
dan
pada bidang- . Pada transformasi Schwarz-
Christoffel ini kita dapat memilih sebuah titik pada daerah asal dan memetakannya ke sebarang titik pada daerah hasil. Untuk itu dapat dipilih titik D (0,1) pada daerah asal (bidang-f) yang dipetakan ke titik D (-1,0) pada daerah hasil (bidang- ). Sedangkan titik B dan C pada bidang-f, keduanya dipetakan ke titik nol pada bidang. Sudut interior
dan
yaitu , sehingga kita dapat tuliskan transformasi Schwarz-
Christoffel yaitu
Kita integralkan persamaan (3.20) terhadap
sehingga kita dapatkan
dengan K adalah konstanta dan L adalah konstanta integrasi. Untuk mendapatkan nilai K, kita perhatikan titik (R,0) dan (R,1) pada bidang-f yang dipetakan secara 21
A
berturut-turut ke
dan
pada bidang- . Sehingga fungsi
pemetaannya dapat kita tuliskan sebagai berikut
dan
Kita substitusi (3.22) pada (3.23) sehingga kita peroleh nilai K yaitu
untuk R
menuju tak hingga. Maka persamaan (3.21) menjadi
Sedangkan untuk mendapatkan nilai L, kita perhatikan titik D (0,1) pada bidang-f yang dipetakan ke titik D
pada bidang- . Kita masukkan pada
persamaan (3.24) sehingga menjadi
dan diperoleh
. Diperoleh nilai
dan
yang kita masukkan ke
dalam persamaan (3.21) sehingga menjadi
yang merupakan pemetaan dari bidang-f ke bidang- .
3.4 Variabel Hodograf Kita perhatikan sebuah titik pada streamline. Vektor singgung pada titik tersebut mempunyai besar
dengan arah
. Kecepatan partikel
dinyatakan sebagai
22
pada titik tersebut
u
q
et
v
Gambar 3.6 Vektor singgung suatu titik pada streamline
Vektor kecepatan partikel yang terkait dengan kompleks potensial adalah
Maka berdasarkan (3.27) dan (3.28), persamaan (3.29) dapat dituliskan menjadi
dengan
yang dikenal sebagai variabel hodograf. Kondisi batas kinematik
dan dinamik yang telah diperoleh pada subbab sebelumnya, dapat dinyatakan ke dalam variabel hodograf tersebut. Batas Kinematik
Pada dinding dasar, diperoleh
. Setelah dinyatakan ke dalam
dan , didapatkan
Nilai dari
tidak mungkin 0, maka haruslah
yang memenuhi adalah
yang bernilai 0. Nilai
.
Pada dinding vertikal, diperoleh
. Setelah dinyatakan ke dalam
dan , didapatkan
Nilai dari
tidak mungkin 0, maka haruslah
yang memenuhi adalah
yang bernilai 0. Nilai
. Tanda negatif berarti arah aliran fluida yang
mempunyai arah aliran dari atas ke bawah. 23
Pada permukaan bebas fluida, diperoleh
. Setelah dinyatakan ke
dalam dan , didapatkan
yang merupakan kemiringan kurva diketahui tersebut yang memenuhi nilai
. Maka
yang tidak
pada permukaan bebas fluida.
Batas Dinamik Pada kondisi batas dinamik, dipenuhi oleh persamaan (3.17) yaitu . Setelah dinyatakan ke dalam dan , didapatkan
.
dengan
Merubah Variabel
dan
ke .
Pada kondisi batas dinamik (3.34) terdapat dua buah variabel yang tidak diketahui yaitu dan . Kedua variabel tersebut akan dinyatakan ke dalam . Pertama kita akan merubah variabel
ke dalam variabel
. Kita perhatikan
hubungan
dimana
adalah invers dari vektor kecepatan dan dan
. Kita ketahui bahwa
menjadi
24
dari persamaan (3.21) dengan , maka (3.35) dapat dituliskan
Untuk mencari hubungan antara
dan , maka kita perhatikan bagian imajiner dari
persamaan (3.36) yaitu
Persamaan (3.37) tersebut kita integralkan pada selang
karena kita
mengamati bagian permukaan bebas aliran fluida.
Nilai dari
, maka kita peroleh persamaan
Setelah itu, kita akan merubah
ke dalam . Untuk menyatakan
ke dalam , fungsi
diintegralkan mengikuti lintasan setengah lingkaran bawah dan garis lurus dari titik –M sampai titik M secara searah jarum jam. Titik M dan –M diambil menuju tak hingga.
-M
-1
0
M
x0
Gambar 3.7 Penampang arah aliran fluida
Titik
digeser ke titik
, sehingga persamaan integral Cauchy disini menjadi
25
Titik
disini merupakan titik singular. Untuk menghindari titik singular tersebut
maka dibuat lintasan integral berupa setengah lingkaran yang melompati titik seperti yang terlihat pada gambar 3.8.
-M
-1
x0
0
M
Gambar 3.8 Singularitas pada bidang-
Persamaan (3.40) dapat dihitung bagian per bagian dengan melihat lintasan C1 yaitu setengah lingkaran besar, C2 yaitu setengah lingkaran kecil, dan garis lurus dari titik –M sampai titik M.
Pada integral tersebut terdapat PV (Principal Value) yang memiliki arti pada selang integral tersebut terdapat titik yang menyebabkan nilai integral tidak terdefinisi di titik tersebut. Pada integral Cauchy, untuk kurva yang berbentuk setengah lingkaran, persamaan integralnya bernilai 0 untuk tersebut tidak dipenuhi karena
. Namun pada kasus ini, syarat .
Untuk itu dibutuhkan sebuah variabel baru yaitu untuk
Dengan
. Konstruksi dari
. Diharapkan variabel
dapat dituliskan sebagai
dan
, maka persamaan (3.42) menjadi
26
Kita cek persamaan (3.43) dengan menggunakan sebuah titik pada bidang- misalkan titik
. Argumen adalah
adalah –
dan
yang memenuhi kondisi batas titik
. Lalu dengan mensubstitusikan nilai
dan
imanjiner dari persamaan (3.43) maka kita dapatlan nilai untuk
, maka kemudian
ke bagian
menuju 0. Karena
diterapkan pada persamaan (3.41)
menjadi
Pada integral Cauchy, untuk kurva yang berbentuk setengah lingkaran, nilai integralnya akan bernilai 0. Maka (3.44) menjadi
Telah kita ketahui sebelumnya bahwa
, maka
persamaan (3.45) dapat dituliskan sebagai
Karena disini kita ingin mencari hubungan antara
dan
, maka kita perhatikan
bagian riil dari persamaan (3.46) yaitu
Untuk menghitung persamaan integral tersebut, akan dilakukan partisi terhadap selang integral menjadi 3 bagian yaitu
,
selang, kita akan melihat nilai dari
pada titik yang berada pada selang
dan
, dan
. Pada setiap
tersebut.
Selang
pada daerah asal merupakan dinding vertikal dimana nilai
yang memenuhi adalah
. Sedangkan untuk menentukan nilai
27
,
kita dapat memilih sebarang titik pada selang tersebut, misalkan titik sehingga kita peroleh nilai
Selang
.
pada daerah asal merupakan permukaan bebas fluida dimana
nilai
disini belum diketahui. Pada selang ini nilai
Selang
pada daerah asal merupakan dinding dasar dimana nilai nilai
yang memenuhi adalah . Dan untuk menentukan nilai , sehingga kita peroleh nilai Nilai-nilai
sama dengan
yaitu – .
selang
,
dan
, kita pilih titik
.
yang telah didapat, kita substitusikan ke dalam (3.47)
sehingga diperoleh
Nilai dari
. Maka persamaan (3.48) dapat
dituliskan menjadi
Kita telah mendapatkan sebuah persamaan dengan sebuah variabel yang tidak diketahui yaitu
dengan
28
