BAB III LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN
3.1 Pendahuluan Sebelum mambahas limit fungsi di suatu titik terlebih dahulu kita akan mengamati perilaku suatu fungsi f bila peubahnya mendekati suatu bilangan ril c tertentu. Misal terdapat suatu fungsi f(x) = x + 4. Untuk menentukan harga f bila x mendekati bilangan ril tertentu, misal 2, kita dapat mengamatinya dengan bantuan tabel dan Gambar 3.1 berikut. x
f(x)
x
f(x)
1,9
5,9
2,1
6,1
1,99
5,99
2,01
6,01
1,999
5,999
2,001
6,001
1,9999
5,9999
2,0001
6,0001
y
0,0001 6,0001 6 5,9999 0,0001
x
0 0,0001
0,0001
2 1,9999
0,0001
Gambar 3.1
Dari Tabel atau Gambar 3.1 dapat dilihat bahawa untuk x mendekati 2 (baik dari arah kiri mulai dari 1,9 maupun dari arah kanan mulai dari 2,1) didapat harga f yang
69
mendekati 6. Sedangkan untuk x = 2 harga f adalah 6. Selanjutnya coba perhatikan fungsi x lainnya, yaitu f(x) =
x3 + 3x2 + x + 3 x+3
Jika fungsi pembilang kita faktorkan didapat : f(x) =
(x2 + 1)(x + 3) atau x+3
f(x) = x2 + 1 untuk x ¹ -3. Artinya f(x) = x2 + 1 tak terdefinisi untuk x = -3. Untuk mengamati perilaku fungsi disekitar titik x = -3 berikut perhatikan buat Tabel dan Grafik fungsi f(x) = x2 + 1 untuk x ¹ -3 (Gambar 3.2). x
f(x)
x
f(x)
-3,1
10,61
-2,9
9,41
-3,01
10,0601
-2,99
9,9401
-3,001
10,006001
-2,999
9,994001
-3,0001
10,00060001
-2,9999
9,99940001
y
10,00060001
o
9,99940001
0,0001
-3
0,0001
x
0
-3,0001 -2,9999 Gambar 3.2
Jika kita perhatikan Tabel dan Gambar diatas maka kita dapat melihat bahwa untuk harga x mendekati -3 maka harga f(x) mendekati 10. Dari uraian diatas dapat disimpulkan bahwa : 1. Jika sebuah fungsi terdefinisi pada suatu selang terbuka yang memuat bilangan ril c tertentu, kecuali mungkin di titik c itu sendiri, dan 70
2. bila f(x) mendekati bilangan ril L tertentu pada saat x mendekati c, maka dapat ditulis : ( 3.1 ) lim f(x) = L x ®c
dibaca “ limit f(x) adalah L bila x mendekati c” atau “f(x) mendekati L bila x mendekati c” 3.2 Definisi limit Perhatikan Gambar 3.3 berikut ! y
L+e
e
e
f(x) f(x) - L L f(x) - L f(x) L-e
0
c-d
x
c c-x
x
c+d
x
x-c
d
d
Gambar 3.3
Untuk x < c , maka : 0 < c – x < d atau 0 > x – c > -d Untuk x > c , maka : 0 < c – x < d Dari kedua persamaan diatas didapat : 0 < x - c < d
( 3.2 )
Untuk f(x) < L, maka L – f(x) < e atau f(x) – L > -e Untuk f(x) > L, maka f(x) – L < e. Sehingga didapat :
f(x) - L < e
( 3.3 )
Dari Gambar 3.3 dan persamaan 3.1 s/d 3.3 maka didapat definisi sebagai berikut :
71
Pernyataan : lim f(x) = L , berarti untuk setiap e > 0 terdapat d > 0 x ®c
( 3.4 )
sedemikian rupa sehingga jika 0< x - c < d maka f(x) - L <e
3.3 Limit fungsi Untuk menyederhanakan permasalahan, berikut diberikan rumus-rumus penyelesaian limit yang didapat dengan bantuan definisi limit. Pada rumus-rumus ini b, c, k dan L adalah bilangan-bilangan ril, a bilangan ril positif, sedangkan m dan n adalah bilangan ril positif. Teorema-teorema 1. lim x = c
( 3.5 )
x ®c
Bukti : Untuk setiap e > 0 maka terdapat d > 0 sedemikian rupa sehingga : jika 0 < x - c < d maka terdapat x - c < e. Jadi untuk e = d didapat : x - c < d (terbukti)
Contoh 3.1 a) lim x = 5 x ®5
b)
lim x = -7
x ® -7
2. lim k = k
( 3.6 )
x ®c
Bukti : Untuk setiap e > 0 maka terdapat d > 0 sedemikian rupa sehingga : jika 0 < x - c < d maka terdapat k - k < e. Karena k - k = 0 dan 0 < e, maka definisi terpenuhi. Contoh 3.2 a) lim 4 = 4 x ® -3
b)
lim 9 = 9
x ®2
3. lim [f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x) x ®c
x ®c
( 3.7 )
x ®c
Bukti : Misal lim f(x) = L1 dan lim g(x) = L2 x ®c
x ®c
Dari definisi, untuk setiap e > 0 terdapat d > 0 sedemikian rupa sehingga : jika 0< x - c < d maka (f(x) + g(x)) - (L1 + L2 ) < e atau (f(x) - L1) + (g(x) - L2 )) < e Dari ketaksamaan segitiga didapat : (f(x) - L1) + (g(x) - L2 )) £ f(x) - L1 + g(x) - L2 atau 72
(f(x) + g(x)) - (L1 + L2 ) £ f(x) - L1 + g(x) - L2
Karena lim f(x) = L1 , maka : x ®c
1 e > 0 terdapat d1 > 0 sedemikian rupa sehingga : 2 1 jika 0 < x - c < d1 maka f(x) - L1 < e 2
Untuk setiap
(*)
Selanjutnya karena lim g(x) = L2 , maka : x ®c
1 untuk setiap e > 0 terdapat d2 > 0 sedemikian rupa sehingga : 2 1 jika 0 < x - c < d2 maka f(x) - L2 < e 2
( ** )
Dari ketaksamaan segitiga didapat : (f(x) - L1) + (g(x) - L2 ) £ f(x) - L1 + g(x) - L2 atau (f(x) + g(x)) - (L1 + L2 ) £ f(x) - L1 + g(x) - L2
Dari (*), (**) dan (***) didapat : (f(x) + g(x)) - (L1 + L2 ) <
1 1 e + e atau 2 2
(f(x) + g(x)) - (L1 + L2 ) < e
( terbutki )
Contoh 3.3 lim (x + 6) = lim x + lim 6 = 5 + 6 = 11
x ®5
x ®5
x ®5
4. lim [f(x) - g(x)] = lim f(x) - lim g(x) x ®c
x ®c
( 3.8 )
x ®c
Bukti : ikuti pembuktian teorema 3 Contoh 3.4
lim (7 - x) = lim 7 - lim x = 7 - 5 = 2
x ®5
x ®5
x ®5
5. lim [f(x).g(x)] = lim f(x). lim g(x) x ®c
x ®c
( 3.9 )
x ®c
Bukti : Misal lim f(x) = L1 dan lim g(x) = L2 x ®c
x ®c
Dari ketaksamaan segitiga didapat : f(x).g(x) - L1L2 = f(x).g(x) - L2f(x) + L2f(x) - L1L2 £ f(x) g(x) - L2 + L2 f(x) - L1 £ f(x) g(x) - L2 + (1 + L2 ) f(x) - L1
(i)
Untuk setiap e1>0 terdapat d1>0 sedemikian rupa, sehingga : jika 0 < x - c < d1, maka f(x) - L1 < e1
( ii )
Dari ketaksamaan segitiga didapat : f(x) - L1 ³ f(x) - L1
( iii )
Dari ( ii ) dan ( iii ) didapat f(x) - L1 < e1 atau f(x) < L1 + e1
( iv )
73
Dengan mengambil e1 = 1, maka
(v)
f(x) < L1 + 1
Untuk setiap e2>0 terdapat d2>0 sedemikian rupa, sehingga : jika 0 < x - c < d2, maka g(x) - L2 < e2 ( vi ) Dengan mengambil e2 =
1/2 e , maka dari (vi) didapat : 1 + L1
1/2 e 1 + L1
g(x) - L2 <
( vii )
Untuk setiap e1>0 terdapat d1>0 sedemikian rupa, sehingga : jika 0 < x - c < d3, maka didapat didapat f(x) - L1 < e3 Dengan mengambil e3 = f (x) - L1 <
( viii )
1/2 e , maka dari (viii) didapat : 1 + L2
1/2 e 1/2 e , maka dari ( viii ) didapat : f(x) - L1 < 1 + L2 1 + L2
( ix )
Selanjutnya dari persamaan (i), (v), (vii) dan (ix) didapat : 1/2 e 1/2 e + (1 + L2 ) =e 1 + L1 1+ L
f(x) - L1L2 < (1 + L1 )
Dengan memilih d = min (d1, d2, d3 ) akan didapat pernyataan : Jika 0 < x - c < d, maka f(x) - L1 < e ( terbukti ) Contoh 3.5
lim {(7 - x)(x + 1)} = lim (7 - x) . lim (x + 1) = (2)(6)=12
x ®5
x ®5
x ®5
lim f(x)
é f(x) ù
x ®c 6. lim ê ú= lim g(x) x ® c ë g(x) û
( 3.10 )
x ®c
Bukti : é f(x) ù é 1 ù 1 lim ê ú = lim êf(x). ú = lim f(x). lim g(x) û x ® c x ®c ë x ® c g(x) 1 1 Misal lim = L1 dan lim = L2 x ® c g(x) x ®c x ® c ë g(x) û
1 1 g(x) L2
=
g(x) - L2 g(x) L2
, g(x) ¹0
(i)
Untuk e1>0 terdapat d1>0 sedemikian rupa sehingga : jika 0 < x - c < d1, maka g(x) - L2 < e1 Dari ketaksamaan segitiga : g(x) - L2 = L2 - g(x) ³ L2 - g(x)
( ii )
Jadi L2 - g(x) <e1 ® g(x) > L2 - e1
( iv )
Dengan mengambil e1 = Sehingga
L2 2
, maka
g(x) > L 2 -
L2 2
=
( iii )
L2 2
1 2 < g(x) L2
(v)
Selanjutnya dari (i) dan (v) didapat :
1 1 2 £ g(x) - L 2 ( vi ) 2 g(x) L 2 L2
Untuk e2>0 terdapat d2 sedemikian rupa sehingga : 74
jika 0 < x - c < d2 , maka g(x) - L2 < e2 Dengan mengambil e2 = g(x) - L2 <
e L2
e L2 2
( vii )
2
, maka persamaan (vii) menjadi :
2
( viii )
2
Dari pers. (i), (v) dan (viii) didapat :
L2 1 1 2 . £ 2 g(x) L2 2 L2
2
= 1 ( ix )
Dengan mengambil d = min ( d1,d2 ) akan didapat pernyataan : 1 1 < e . Hal ini membuktikan bahwa : g(x) L2
jika 0 < x - c < d maka lim
x ®c
1 1 1 = = g(x) L2 lim g(x) x ®c
é f(x) ù
é
1 ù
lim f(x)
L
1 = x ®c Jadi : lim ê ú = lim êf(x). ú= lim g(x) g(x) û L 2 x ® c ë g(x) û x ® c ë
( terbukti )
x ®c
Contoh 3.6 lim x
x = x ® -4 3 - x
x ® -4
lim
=
lim 3 - x
x ® -4
-4 4 =7 7
7. lim [a f(x)] = a lim f(x) x ®c
( 3.11 )
x ®c
Bukti : Lihat persamaan (3.6) dan (3.9) Contoh 3.7 a) lim 9x = 9 lim x = 9e x ®e
b)
x ®e
lim 3(4 - x) = 3 lim (4 - x) = 3(4 - p)
x®p
x®p
é
ù
ë
û
8. lim [ f(x)]n = ê lim f(x)ú x ®c x ®c
n
( 3.12 )
Bukti : [f(x)]n = [f(x)].[f(x)]. … .[f(x)] dengan jumlah faktor f(x) adalah n. Jadi lim [ f(x)]n = lim [f(x).f(x). ... .f(x)] x ®c
x ®c
Dari persamaan (3.9) didapat : lim [ f(x)]n = lim f(x). lim f(x). … . lim f(x) = n lim [ f(x)] ( terbukti )
x ®c
x ®c
x ®c
x ®c
Contoh 3.8 ù é lim (x - 3)7 = ê lim (x - 3)ú x ®2 û ë x ®2
7
= (-1)7 = -1
75
x ®c
9. Teorema Sandwich ( teorema apit ) Misal terdapat f(x) £ h(x) £ g(x) untuk setiap harga x pada suatu selang terbuka yang mengandung c, kecuali mungkin di titik c itu sendiri. Jika lim f(x) = L = lim g(x) , maka : lim h(x) = L ( 3.13 ) x ®c
x ®c
x ®c
Bukti : Untuk setiap e > 0 terdapat d1>0 dan d2>0 sedemikian rupa sehingga : ìï jika : 0 < x - c < d1 maka f(x) - L < e í ïî jika : 0 < x - c < d2 maka g(x) - L < e
(*)
Untuk d = min(d1,d2) dan 0< x - c
1 x
Penyelesaian : 1 £ 1, x ¹ 0 x 1 2 - x2 £ x2 cos £ x2 (kalikan semua suku dengan x ) x - 1 £ cos
lim - x2 = 0
x ®0
lim x2 = 0
x ®0
Karena : lim - x2 = lim x2 = 0 , maka lim x2 cos x ®0
x ®0
x ®0
1 =0 x
10. Limit sepihak lim [ f(x)] = L Û
x ®c
lim [ f(x)] =
x ® c-
lim [ f(x)] = L
x ® c+
x ® c- artinya x mendekati c dari arah kiri x ® c+ artinya x mendekati c dari arah kanan Contoh 3.10 ì1 - 2x jika x < -2 îx + 7 jika x > -2
Jika f(x) = í Tentukan
lim f(x), jika ada.
x ® -2
Penyelesaian : lim (1 - 2x) = 5 (limit kiri)
x ® -2-
lim (x + 7) = 5 (limit kanan)
x ® -2+
Karena limit kiri = limit kanan = 5, maka lim f(x) = 5 x ® -2
76
( 3.14 )
Soal-soal 1. lim 7
6. lim (x - 1)(x2 + 5x + 6)
2.
7. lim
x ®2
lim 5
x® 3
x ®1
x x x®4 - 2
3. lim 3x
8. lim (5x - 9)3
4. lim (3 - 5x)
9. lim x2 sin
x ® -5
x ®e
5. lim (x2 - 4x - 12) x ®5
x®p
x ®0
1 x2 ì2x - 5 jika x £ 4 î7 - x jika x > 4
10. Tentukan lim f(x) jika f(x) = í x®4
3.4 Limit fungsi trigonometri 1.
sin x =1 x ®0 x
( 3.15 )
lim
Bukti : Perhatikan Gambar 3.4 berikut !
y T Q r q 0
P
x
0
p 2
Gambar 3.4
Luas DOPQ < Sektor OPQ < DOPT
(*)
1 1 Luas DOPQ = r. r sin q = r2 sin q 2 2 1 2 Luas sektor OPQ = qr 2 1 1 Luas DOPT = r. r tan q = r2 tan q 2 2
(**) (***) (****)
Substitusi persamaan (**) s/d (****) ke persamaan (*) didapat : 1 2 1 1 r sin q < qr2 < r2 tan q 2 2 2
(#)
77
Jika pers. (#) dibagi
1 2 1 q r sin q didapat : 1 < < 2 sin q cos q
atau 1 >
sin q > cos q q
Gunakan teorema apit ! lim 1 = 1 dan
q ®0
2. 3. 4.
sin q sin x = 1 atau lim =1 q q ®0 x ®0 x
lim cos q = 1 , maka : lim
q ®0
lim cos x = 1
( 3.16 )
lim sin x = 0
( 3.17 )
lim tan x = 0
( 3.18 )
x ®0
x ®0
x ®0
sin x
Bukti : lim tan x = lim x ®0
lim sin x .
x ®0
5.
lim
x ®0
x ® 0 cos x
lim 1
x ®0
lim cos x
x ®0
= lim sin x . lim
1
x ® 0 cos x
x ®0
=
ì1 ü = (0) í ý = 0 (terbukti) î1 þ
tan x =1 x
( 3.19 )
Bukti : lim
x ®0
6.
tan x sin x 1 sin x 1 . lim = lim . = lim = 1 . 1 = 1 (terbukti) x x cos x x ®0 x ®0 x x ® 0 cos x
x =1 tan x x®0
( 3.20 )
lim
Bukti : 1 1 x . = 1 . 1 = 1 (terbukti) = lim sin x cos x x ®0 x ® 0 tan x x
lim
7.
cos x - 1 =0 x x ®0
( 3.21 )
lim
Bukti : cos x - 1 lim = lim x x ®0 x ®0
lim
cos2
1 1 x - sin2 x - 1 2 2 = x
1 1 1 x - 2 sin x . sin x 2 2 2 = lim 1 x x ®0 2( x) 2
- 2 sin2
x ®0
1 ù é sin x ú ê 1 2 ú = 0(1) = 0 (terbukti) = lim ê- sin x 1 2 x ® 0ê x ú êë úû 2
3.5 Limit fungs trigonometri invers 1.
lim
x ®0
arcsin x =1 x
( 3.22 )
Bukti : y = arcsin x Û x = sin y untuk -1 £ x £ 1 dan -p/2 £ y £ p/2
78
1 y arcsin x = 1 ( terbukti ) = lim = lim sin y sin y x y ®0 y ®0 x ®0 y
Jadi : lim
2.
arctan x =1 x
lim
x ®0
( 3.23 )
Bukti : y = arctan x Û x = tan y untuk setiap nilai x dan -p/2 < y < p/2 lim cos y y cos y arctan x y ®0 =1 = lim = = lim sin y x y ® 0 tan y y ® 0 sin y x ®0 lim y y ®0 y
Jadi : lim
3.
( 3.24 )
lim arcsin x = 0
x ®0
Bukti : y = arcsin x Û x = sin y untuk -1 £ x £ 1 dan -p/2 £ y £ p/2 Jadi lim arcsin x = lim y = 0 (terbukti) x ®0
4.
lim arccos x =
x ®0
y ®0
p 2
( 3.25 )
Bukti : y = arccos x Û x = cos y untuk -1 £ x £ 1 dan 0 £ y £ p Jadi lim arccos x = lim y = x ®0
5.
p y® 2
p (terbukti) 2
( 3.26 )
lim arctan x = 0
x ®0
Bukti : y = arctan x Û x = tan y untuk setiap x dan -p/2 £ y £ p/2 Jadi lim arctan x = lim y = 0 (terbukti) x ®0
6.
y ®0
( 3.27 )
lim arccot x = 0
x ®0
Bukti : y = arc cot x Û x = cot y untuk setiap x dan 0 < y < p Jadi lim arccot x = lim y = x ®0
p y® 2
p (terbukti) 2
Soal-soal Hitung limit berikut, jika ada ! 1.
sin 2 x x ®0 5x
lim
2x sin 3x x ®0 sin 4x 3. lim x ® 0 sin 3x
2. lim
4. lim
x ®0
5. lim
sin3 x 2
x
x2
x ® 0 sin2 7x
6. lim
x ®0
1 - cos 2x 5x
tan3x x ® 4 4x 1 - cos2x 8. lim x ® 0 sin(2x - p)
7. lim
9. lim
x ®0
10. lim
arcsin 3x 7x
x ®0
arctan x 1 - 7x
79
3.6 Limit tak hingga Jika kita lakukan pengamatan terhadap lim
x ® c-
f(x) dan lim
x ® c+
f(x) mungkin akan
didapat bahwa f(x) membesar atau mengecil tanpa batas. Sebagai ilustrasi dapat dilihat pada Gambar 3.5 berikut. y
f(x) =
1 x -2
x
0
Gambar 3.5 x 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 2,000001
f(x) 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000
x 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999 1,999999
f(x) -10 -100 -1000 -10000 -100000 -1000000
Dari tabel diatas dapat dilihat bahwa pada saat x mendekati titik 2 dari arah kanan maka f(x) membesar tanpa batas (menuju ¥). Sedangkan pada saat x mendekati 2 dari arah kiri maka f(x) mengecil tanpa batas (menuju -¥). Selanjutnya dikatakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati 2 dari arah kanan adalah ¥ atau lim f(x) = ¥ , sedangkan limit f(x) untuk x mendekati 2 dari arah x ® 2+
kiri adalah -¥ atau
1 x -2 x ®2
lim f(x) = -¥ . Karena limit kiri ¹ limit kanan maka lim
x ® 2-
tidak ada (lihat persamaan 3.14). Untuk memecahkan limit tak hingga perhatikan teorema berikut ! Misal f(x) =
amxm + am-1xm -1 + ... + a1x + a0 bnxn + bn-1xn -1 + ... + b1x + b0
Jika m < n, maka : 80
amxm + am-1xm -1 + ... + a1x + a0 =0 x ® ¥ bnxn + bn-1xn -1 + ... + b1x + b0
( 3.28 )
lim
Jika m = n, maka : amxm + am-1xm -1 + ... + a1x + a0 a = m bn x ® ¥ bnxn + bn-1xn -1 + ... + b1x + b0
( 3.29 )
lim
Jika m > n, maka : amxm + am-1xm -1 + ... + a1x + a0 =¥ x ® ¥ bnxn + bn-1xn -1 + ... + b1x + b0
( 3.30 )
lim
Bukti : f(x) =
amxm + am-1xm -1 + ... + a1x + a0 bnxn + bn-1xn -1 + ... + b1x + b0
Jika semua suku dibagi dengan xm maka : f(x) =
am + am-1x -1 + ... + a1x1 - m + a0x -m bnxn - m + bn-1xn -1 - m + ... + b1x1 - m + b0x - m
am + am-1x -1 + ... + a1x1 - m + a0x -m x ® ¥ bnxn - m + bn-1xn -1 - m + ... + b1x1 - m + b0x - m
Jadi lim
Jika m < n, maka : lim
am + am-1x -1 + ... + a1x1 - m + a0x -m
x ® ¥ bnxn - m + bn-1xn -1 - m + ... + b1x1 - m + b0x - m
lim
x®¥
=
am = 0 (terbukti) ¥
Jika m = n, maka : am + am-1x -1 + ... + a1x1 - m + a0x -m = x ® ¥ bnxn - m + bn-1xn -1 - m + ... + b1x1 - m + b0x - m
lim
am + 0 am = bn x ® ¥ bn + 0
lim
(terbukti)
Jika m > n, maka : am + am-1x -1 + ... + a1x1 - m + a0x -m = n x ® ¥ bnx - m + bn-1xn -1 - m + ... + b1x1 - m + b0x - m
lim lim
x®¥
am + 0 = ¥ (terbukti) 0
Contoh 3.11 Tentukan lim
x®¥
2x 4 + 3x3 + x - 7 5x 4 + x - 4
Penyelesaian :
81
am = 2
;
bn = 5
;
m=4
Karena m = n , maka lim
x®¥
;
4
n=4
3
2x + 3x + x - 7 4
5x + x - 4
=
am bn
=
2 5
3.7 Asimtot Dalam menganalisa suatu fungsi kita sering memerlukan nilai atau harga fungsi tersebut pada jarak tak hingga dari titik nol. Jika kurva suatu fungsi mendekati perilaku garis lurus, maka garis lurus tersebut adalah asimtot dari kurva. 3.7.1 Asimtot tegak Jika jarak suatu kurva terhadap suatu garis vertikal mendekati nol, maka garis tegak lurus tersebut adalah asimtot tegak dari kurva. Contoh asimtot tegak dapat dilihat pada Gambar 3.6 berikut. y
0
x
Gambar 3.6
Asimtot tegak suatu kurva dapat ditentukan sebagai berikut : Jika lim f(x) = ¥ atau - ¥ dan jika lim f(x) = ¥ atau - ¥ atau jika x ®a-
x ® a+
lim f(x) = ¥ atau - ¥ maka garis x = a adalah asimtot tegak kurva f(x)
x ®a
3.7.2 Asimtot datar Jika jarak suatu kurva terhadap suatu garis datar mendekati nol, maka garis tersebut adalah asimtot datar dari kurva. Contoh dari asimtot datar dapat silihat pada Gambar 3.7 berikut.
82
y
x
0
Gambar 3.7 Asimtot datar suatu kurva dapat ditentukan sebagai berikut : Jika lim f(x) = b atau jika lim f(x) = b maka garis y = b adalah asimtot datar x ®¥
x ® -¥
kurva f(x). 3.7.3 Asimtot miring Jika jarak suatu kurva terhadap suatu garis miring mendekati nol, maka garis tersebut adalah asimtot miring dari kurva. Contoh dari asimtot miring dapat silihat pada Gambar 3.8 berikut. y
x
0
Gambar 3.8
Jika lim
x ®¥
f(x) = a dan x
lim [f(x) - ax] = b maka garis y = ax + b adalah asimtot
x ®¥
miring kurva f(x). Jika a = 0 maka tidak terdapat asimtot miring. 83
Contoh 3.12 Tentukan asimtot grafik fungsi f(x) =
3 x+4
Penyelesaian : lim
3
= ¥ , maka garis x = -4 adalah asimtot tegak.
x ® -4 x + 4
lim
3
x®¥ x + 4
= 0 , maka garis y = 0 adalah asimtot datar.
f(x) 3 = lim = 0 . Karena a = 0 maka grafik tidak mempunyai x x ( x + 4) x®¥ x®¥ lim
asimtot miring. y
0
Gambar 3.9
Contoh 3.13 Tentukan asimtot dari grafik fungsi f(x) =
x2 - x - 2 x2 + x - 6
Penyelesaian : f(x) =
x2 - x - 2 2
=
(x - 2)(x + 1) x +1 = , x ¹2 (x - 2)(x + 3) x+3
x +x-6 x +1 = ¥ , maka garis x = -3 adalah asimtot tegak. lim x ® -3 x + 3
x +1 = 1 , maka garis y = 1 adalah asimtot datar. x x ®¥ + 3 f(x) x +1 lim = lim = 0 . Karena a = 0 maka grafik tidak mempunyai x ®¥ x x ® ¥ x(x + 3) lim
asimtot miring. 84
x
Contoh 3.14 Tentukan asimtot dari grafik fungsi f(x) =
x2 + 2x - 1 x
Penyelesaian : x2 + 2x - 1 = -¥ , maka garis x = 0 adalah asimtot tegak. x x ®0 lim
x2 + 2x - 1 = ¥ , maka f(x) tidak mempunyai asimtot datar. x x®¥ lim
Asimtot miring : y = ax + b f(x) x2 + 2x - 1 = lim =1. x®¥ x x®¥ x2
a = lim b=
2x - 1 x2 + 2x - 1 = 2. - x = lim x x x®¥ x®¥
lim f(x) - ax = lim
x®¥
Jadi asimtot miring f(x) adalah y = x + 2 Soal-soal Tentukan semua asimtot dari fungsi-fungsi berikut, jika ada ! x2 - 2x - 3
1. f(x) =
1 x +1
3. f(x) =
2. f(x) =
x +1 x -1
4. f(x) = 64 - x3
x2 + 6 x + 5
5. f(x) =
3x2 - x + 5 x -1
6. f(x) =
x2e-x x +1
3.8 Kekontinuan Suatu fungsi dikatakan kontinu disuatu titik a jika tiga syarat berikut terpenuhi. i) lim f(x) ada x ®a
ii) f(a) terdefinisi iii) lim f(x) = f(a) x ®a
Contoh 3.15 Jelaskan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu di titik a 1. f(x) =
3 x+2
a = -2
ì x2 - 9 ï
jika x ¹ 3
ï6 î
jika x = 3
2. f(x) = í x - 3
a=3
Penyelesaian : 3 = ¥ . Karena syarat i) tidak terpenuhi maka f(x) tak kontinu di titik a = -2 x ® -2 x + 2
1. lim
x2 - 9 = 6 dan f(3) = 6. Karena lim f(x) = f(3) maka f(x) kontinu di titik a=3. x ®3 x ®3 x - 3
2. lim
85
Soal-soal Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu di titik a ìx2 - 1 jika x < 3 ïï 1. f(x) = í8 jika x = 3 ïx + 5 jika x > 3 ïî
ìx2 jika x < 1 ïï 2. f(x) = í3 jika x = 1 ï2 - x jika x > 1 ïî
a=3
ìï 2 3. f(x) = íx - 1
a=1
ì 4 ï 2 ïï x 4. f(x) = í1 ï ï îïx + 3
ïîcos 2x
jika x < 0 jika x ³ 0
a=0
jika x < -2 jika x = -2
a = -2
jika x > - 2
3.9 Kekontinuan yang dapat dihapus dan yang tak dapat dihapus Telah disebutkan diatas bahwa bila ketiga syarat kekontinuan terpenuhi maka suatu fungsi dikatakan kontinu di suatu titik a. Akan tetapi bila salah satu syarat tidak terpenuhi maka fungsi tersebut tak kontinu di titik a. Jika syarat kekontinuan tidak terpenuhi, tetapi lim f(x) ada, maka dikatakan bahwa ketakkontinuan f(x) di titik a x ®a
dapat dihapuskan dengan jalan mendefinisikan f(a) =
lim f(x) maka f(x) menjadi
x ®a
kontinu di titik a. Jika syarat kekontinuan tidak terpenuhi dan lim f(x) tidak ada maka x ®a
ketakkontinuan f(x) di titik a tidak dapat dihapuskan. Contoh 3.16 Diketahui f(x) =
x2 - 4 . Tentukan ketakkontinuan fungsi tersebut. x+2
Penyelesaian : x2 - 4 = lim (x - 2) = -4 x ® -2 x ® -2 x + 2 lim
f(-2) tak terdefinisi
Jadi f(x) tak kontinu di titik a = -2. Akan tetapi ketakkontinuan tersebut dapat dihapuskan karena lim f(x) ada. x ® -2
Selanjutnya lakukan definisi ulang
lim (x - 2) = f(-2) = -4 . Sehingga f(x) dapat ditulis
x ® -2
menjadi : ì x2 - 4 ï f(x) = í x + 2 ï- 4 î
jika x ¹ -2 jika x = - 2
Contoh 3.17 Diketahui f(x) =
1 . Tentukan ketakkontinuan fungsi tersebut. x-9
Penyelesaian :
lim x ®9
1 = ¥, maka f(x) tak kontinu di titik a = 9 dan ketakkontinuan tersebut tidak x -9
dapat dihapuskan.
86
Soal-soal Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut kontinu atau tak kontinu di titik a. Jika tak kontinu tentukan apakah ketak kontinuan tersebut dapat dihapuskan atau tidak. 1. f(x) = 2. f(x) = 3. f(x) =
x -3 ;a=9 x-9
1 ; a = 4 dan a = -4 x-4 x2 - 9 x4 - 81
;a=3
4. f(x) = 5. f(x) = 6. f(x) =
87
x2 + x - 6 ; a = 4 dan a = -4 x+4 (x + 1)(x2 - x - 12) x2 - 5 x + 4
x+3 x2 - x - 12
; a = -1
; a = -3