BAB III LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI
Pembahasan pada bab ini dibagi dalam dua bagian. Pada bagian pertama dibahas limit fungsi yang meliputi pengertian, sifat, dan penghitungan nilai limit suatu fungsi. Pada bagian kedua dibahas pengertian kekontinuan fungsi dan sifat-sifatnya. TIK: Setelah mempelajari pokok bahasan ini mahasiswa diharapkan dapat 1. menghitung nilai limit fungsi yang diberikan. 2. menentukan kekontinuan suatu fungsi yang diberikan 3.1. Limit fungsi Pengertian limit fungsi dapat disajikan secara aljabar dan secara geometri/grafis. Secara Aljabar : Misalkan
f(x)
x2 1 , maka dengan mengambil beberapa nilai x untuk x x 1
mendekati 1, diperoleh tabel nilai berikut. x
0,9
0,99
0,999
0,9999
f(x)
1,9
1,99
1,999
1,999
1
1,0001
1,001
1,01
1,1
2,0002
2,001
2,01
2,1
Dari tabel terlihat bahwa jika x 1, maka f(x) 2 dan ditulis x2 1 2. x 1 x 1
lim
Secara Grafis : Jika nilai-nilai x dan f(x) pada tabel di atas digambarkan sebagai titik-titik yang kemudian dihubungkan, akan diperoleh gambar berikut
2
1
Secara Analisis Jika f suatu fungsi yang terdefinisi pada selang terbuka tertentu yang memuat bilangan a kecuali mungkin pada a itu sendiri, maka dikatakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati a adalah L , dan ditulis lim f ( x ) L xa
23
jika untuk setiap bilangan > 0 terdapat bilangan yang berpadanan yaitu > 0 sehingga f ( x ) L bilamana 0 < x a < .
Jadi jika diterapkan pada contoh di atas x2 1 2 jika untuk setiap > 0, terdapat > 0, sehingga untuk setiap x dengan x 1 x 1
lim
0 x 1 berlaku
x2 1 2 < . x 1
Limit Kiri dan Limit Kanan Jika nilai x mendekati a dari sebelah kiri menyebabkan f(x) mendekati L, dituliskan lim f ( x ) L . Jika nilai x mendekati a dari sebelah kanan menyebabkan f(x) mendekati L, xa
dituliskan lim f ( x ) L . xa
Sifat : Nilai lim f ( x ) ada dan sama dengan L jika dan hanya jika lim f ( x ) dan xa
xa
lim f ( x )
xa
keduanya ada dan sama dengan L. Soal Latihan I. Tentukan nilai limit fungsi di bawah ini secara aljabar dan secara grafis, kemudian jika diberikan = 0,01, tentukan nilai yang bersesuaian. 1.
lim
x2 1 2 x 1 x 1
3. lim
2.
x2 9 6 x 3 x 3
4. lim x 2 4
lim
x2 9 6 x 3 x 3 x2
II. Carilah nilai limit di bawah ini. 1.
x3 1 x 1 x 1 lim
2. lim
x 1
3.
x 1 x 1 x 2 2x 3 x 1
lim
x 1
3 x2 5 x2 4 x2
4. lim 5. 6.
lim
x 1
lim
1 x 1
x 1 (
1 x 1 )2
24
x 1
7. lim
x 1
8. lim
h0
2
x 32
xh x h
x2 1 x 1 x 1
9. lim
10. lim h 0
11. lim
x4
12. lim( x1
3h 3 h x4 x3 5 x
2 1 ) x 1 1 x 2
1 2 x 13. lim x1 1 1 3 x 1
14. lim( x0
x x
)2
15. lim x( x 1 ) x1
x2 9 x 3 x 2 5 x 6
16. lim
17. lim
x
x6 x 2x 2 x
18. lim ( 4 x 2 5 x 6 2 x 1 ) x
x 2 , jika x 0 III. 1. Misalkan f ( x ) x , jika 0 x 1 . Sketsalah grafik f dan tentukan 1 x 2 , jika x 1
a. lim f ( x )
c. lim f ( x )
x0
x1
b. f(1)
d. f(0)
x 1, jika x 1 2. Misalkan f ( x ) x 1, jika 1 x 2 . Sketsa grafik f dan tentukan 5 x 2 , jika x 2
a. lim f ( x )
c. lim f ( x )
b. lim f ( x )
d. f(1)
x 1
x 2
x 2
3.2. Limit Hasil e dan Limit Menuju Takhingga. 1 x
1
Rumus : lim ( 1 ) x e dan lim( 1 x ) x = e. x
x 0
25
Contoh Hitunglah 2 x
x
x
1. lim 1 , jika ada. 3x 2 3x 5 x 2 x 2 x 1
2. lim
Penyelesaian : 1 2 = . Untuk x , maka y sehingga y x
1. Misalkan x = 2y maka lim 1 x
x
1 2 = lim 1 y y x
2y
1
= lim 1 y y
y. 2
= e2 .
2
3x 3x 5 2 2 2 3x 2 3x 5 x 2. lim = lim x 2 x x 2 x x 2 x 2 x 1 x 1 2 2 2 x x x 3 x = lim x 1 2 x 3
5 x2 1 x2
300 3 = . x 2 0 0 2
= lim
Soal Latihan Hitunglah nilai limit fungsi di bawah ini 1. lim ( 1 x
1 3x ) 5x
x x x 1
x
2. lim
2x 3 x 2 x 1
x 1
3. lim
x 3 x x 1
x 3
4. lim
2.3. Kekontinuan Fungsi Limit sebuah fungsi ketika x mendekati a seringkali dapat ditemukan secara sederhana dengan menghitung nilai fungsi tersebut di x=a. Definisi matematika untuk kontinuitas sangat dekat dengan arti kata kontinuitas dalam kehidupan sehari-hari, yaitu istilah yang digunakan untuk menjelaskan suatu proses yang berjalan terus menerus tanpa terputus oleh gangguan. Fungsi f dikatakan kontinu pada x = a, jika : 1. f(a) ada 2. lim f ( x ) ada x a
3. lim f ( x ) = f(a). xa
26
Jika f tidak kontinu di x=a, dikatakan f diskontinu di x=a. Contoh Gambar di bawah ini memperlihatkan grafik suatu fungsi f. Di bilangan manakah f diskontinu dan mengapa?
Gambar 1 Penyelesaian: Akan diselidiki kekontinuan fungsi f di x = -1, x = 1, dan x = 2. Karena f(2) tidak ada, maka f diskontinu di x = 2. Grafik terputus di x = 1, tetapi alasan diskontinuitas untuk titik ini berbeda. Di sini f(1) ada, tetapi lim f ( x ) tidak ada (karena limit kiri dan limit kanannya berbeda). Oleh karena itu f x1
diskontinu di x=1. Bagaimana dengan x = 1? Walaupun f(-1)=1 (ada) dan lim f ( x ) = 3 x 1
(ada), akan tetapi lim f ( x ) f ( 1 ) , sehingga f diskontinu di x = -1. x1
Soal Latihan Tentukan apakah fungsi di bawah ini kontinu pada nilai x yang diberikan : 1.
x 2 , jika x 0 f ( x ) x , jika 0 x 1 pada x = 0 dan x =1 1 x 2 , jika x 1
2.
x 1, jika x 1 f ( x ) x 1, jika 1 x 2 pada x = 1 dan x = 2 5 x 2 , jika x 2
3.
x 1 x 2 1 , jika x 1 f(x) pada x = 1 5 x 2 , jika x 1
4.
x 1 x 2 1 , jika x 1 pada x = 1 f(x) 1, jika x 1
27
