BAB III INTEGRAL LEBESGUE Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh fungsi-fungsi terukur dan memenuhi sifat yang berkaitan dengan integral Lebesgue. Kajian mengenai keterukuran suatu fungsi telah dibahas pada bab II. Selanjutnya, pada bab ini akan dikaji teori dari integral Lebesgue yang meliputi definisi dan sifat-sifatnya. Pada subbab 3.1 akan dibahas terlebih dahulu integral Lebesgue dari fungsi-fungsi khusus, yaitu fungsi karakteristik dan fungsi sederhana, kemudian pada subbab 3.2 akan dibahas teori integral Lebesgue dari fungsi tak negatif. Terdapat fakta bahwa sebarang fungsi terukur tak negatif dapat didekati oleh suatu fungsi sederhana. Hal ini mengakibatkan Integral Lebesgue untuk fungsi terukur yang lebih umum juga dapat dikonstruksi melalui pendekatan integral Lebesgue untuk fungsi sederhana.
3.1 Integral Lebesgue dari Fungsi Khusus yang Terukur dan Sifat-sifatnya Pada subbab ini akan dibahas integral Lebesgue untuk fungsi-fungsi khusus yang terukur, yaitu fungsi karakteristik dan fungsi sederhana. Teori ini selanjutnya akan digunakan untuk mendefinisikan integral Lebesgue untuk fungsi terukur yang lebih umum.
51
52
Definissi 3.1.1 (Fungsi Karakteristik)
Misalkan E adalah sebuah himpunan terukur dan ⊆ . Fungsi karakteristik
untuk himpunan A yaitu : → {0,1} yang didefinisikan dengan, 1 ∈ = 0 ∉
Fungsi Dirichlet adalah salah satu contoh dari fungsi karakteristik untuk
bilangan rasional ℚ. Fungsi ini merupakan salah satu fungsi yang terintegralkan Lebesgue sebagaimana pada pembahasan selanjutnya.
Teorema 3.1.2
Misalkan E adalah sebuah himpunan terukur. Fungsi karakteristik dari himpunan ⊆ , adalah terukur jika dan hanya jika adalah himpunan terukur.
Integral Lebesgue untuk fungsi karakteristik dari himpunan yang terukur
didefinisikan sebagai ukuran Lebesgue dari irisan domain fungsi tersebut dengan himpunan , sebagaimana dinyatakan dalam definisi berikut ini. Definisi 3.1.3
Misalkan : → {0,1} adalah fungsi karakteristik yang terukur dan A adalah subset terukur dari E. Integral Lebesgue untuk fungsi karakteristik didefinisikan sebagai = ∩ =
53
Definisi 3.1.4 (Fungsi Sederhana)
Misalkan adalah sebuah himpunan terukur, dengan = 1,2,3, … , $ adalah
subset-subset dari E yang saling lepas dengan ⋃$ =1 = dan misalkan &
adalah bilangan real berbeda yang berhingga banyaknya. Sebuah fungsi sederhana ': → −∞, ∞ didefinisikan sebagai /
' ≔ + &, -. . ,01
Jika nilai & dibatasi menjadi 0 ≤ &, < ∞ maka fungsi sederhana yang telah didefinisikan sebelumnya disebut fungsi sederhana tak negatif. Berdasarkan Definisi 3.1.4, setiap fungsi sederhana adalah sebuah kombinasi linear berhingga dari fungsi karakteristik. Perhatikan bahwa sebarang fungsi yang didefinisikan pada himpunan terukur, misalkan , yang hanya mempunyai berhingga banyak
nilai yang berbeda &1 , &2 , … , &5 dapat selalu dituliskan sebagai fungsi sederhana 6 = ∑:801 &8 -9 di mana = { ∈ : 6 = & } dan ⋃5=1 = .
Contoh 3.1.5
Misalkan diberikan interval tertutup dan terbatas [, <] ⊂ ℝ . Untuk =
1,2,3, … , 5 , misalkan @ = [−1 , sedemikian sehingga ⋃5=1 @ = [, <] dan
misalkan juga A adalah suatu bilangan real tak negatif. Jika @ adalah fungsi
karakteristik untuk masing-masing interval @ maka hasil jumlah :
' = + AB CD B01
54
adalah sebuah fungsi tangga yang juga merupakan fungsi sederhana karena masing-masing subinterval @ adalah terukur. Selanjutnya ambil dua buah interval [0,1] dan (1,2], jika
' = 2ℚ∩[E,1] + 3ℚ∩1,G]
Maka ' adalah sebuah fungsi sederhana sebab interval [0,1] dan (1,2] terukur dan ' hanya memiliki berhingga buah nilai yang berbeda, namun ' bukan merupakan fungsi tangga.
Teorema 3.1.6 Misalkan s adalah sebuah fungsi sederhana yang didefinisikan pada himpunan terukur E, dalam bentuk ' ≔ ∑/ ,01 &, -. . Fungsi sederhana s adalah terukur jika
dan hanya jika masing-masing himpunan dengan = 1,2,3, … , $ adalah himpunan terukur. Teorema berikut ini menjelaskan bahwa untuk sebarang fungsi terukur,
dapat ditemukan suatu barisan fungsi sederhana yang konvergen ke fungsi terukur tersebut. Hal ini menunjukkan bahwa sebarang fungsi terukur dapat didekati oleh fungsi sederhana.
Teorema 3.1.7
Misalkan 6: → [0, ∞] adalah sebuah fungsi terukur. Terdapat barisan fungsi sederhana ': yang terukur pada sedemikian sehingga a) 0 ≤ '1 ≤ 'G ≤ ⋯ ≤ 6.
b) ': → 6 ketika 5 → ∞, untuk setiap ∈ .
55
Bukti
Misalkan diberikan sebuah fungsi terukur 6: → [0, ∞], akan ditunjukkan bahwa terdapat barisan dari fungsi-fungsi sederhana yang memenuhi kondisi di atas. Untuk 5 ∈ ℕ dan 1 ≤ ≤ 52: , partisikan [0, ∞] ke dalam subinterval-subinterval
yang tidak saling tumpang tindih @5, oleh
Kemudian definisikan juga
−1 @5, = J 5 , 5 K 2 2
5, = 6−1 LM 25 , 25NN dan O5 = 6−1 P[5, ∞Q. −1
Definisikan fungsi sederhana '5 pada dengan 525
−1 5 5, + 5O5 2 =1
'5 = +
Sehingga '5 adalah fungsi sederhana yang terukur untuk setiap 5 ∈ ℕ, karena 5,
dan O5 masing-masing adalah himpunan terukur. Sekarang ambil sebarang
5, $ ∈ ℕ dengan 5 ≤ $, perhatikan bahwa, 525
$2$
−1 −1 '5 = + 5 5, + 5O5 ≤ + $ $, + $O$ = '$ 2 2 =1 =1
dengan demikian ': monoton naik. Selanjutnya akan dibuktikan bagian b). Jika
6 < ∞ (dengan kata lain f terbatas), yaitu misalkan 6 ≤ R di mana R adalah konstanta real positif. Karena 6 ≤ R, terdapat bilangan asli terkecil 50 di mana R < 5E sedemikian sehingga untuk setiap ∈ berlaku :T GUT
∈ S :T ,8 801
56
Maka untuk setiap ∈ dan 5 ∈ ℕ di mana 5 ≥ 5E , terdapat ∈ ℕ sedemikian sehingga
−1 −1 1 < 5. 5 ≤ 6 < 5 ⟺ 0 ≤ 6 − 2 2 25 2
Misalkan diberikan sebarang X > 0 , terdapat 51 ∈ ℕ sedemikian sehingga
|6 − '5 | <
1 25
< X untuk setiap 5 ≥ 51 ≥ 5E dan untuk setiap ∈ . Jika
6 = ∞, maka definisikan '5 = 5, sehingga lim5→∞ P'5 Q = ∞.
Selanjutnya akan didefinisikan integral Lebesgue untuk fungsi sederhana yang terukur, kemudian akan dibahas juga sifat-sifatnya . Definisi 3.1.8 Misalkan s adalah sebuah fungsi sederhana yang terukur pada E dengan bentuk :
' = + &8 -9 , 801
Dimana &1 , &2 , … , &5 adalah nilai yang berbeda dari s dan ⋃5=1 = , dan misalkan A adalah subset terukur dari E. Integral Lebesgue untuk fungsi sederhana s atas himpunan A didefinisikan sebagai 5
' = + & ∩ .
=1
Penetapan 0. ∞ = 0 digunakan di sini, sebab mungkin terjadi & = 0 untuk
suatu i sedangkan 8 ∩ = ∞. Teorema 3.1.9
57
Misalkan u dan v adalah dua buah fungsi sederhana yang terukur dan terdefinisi pada E. Jika ⊆ dimana A terukur, maka a) ^_ + ` = ^ _ + ^ ` . b) ^ A_ = A ^ _ .
c) _ ≤ ` . a. $ ^- _ ≤ ^- ` .
d) _ = ` . a. $ ^- _ = ^- ` .
e) _ ≥ 0 . a. 5 ^- _ = 0, $ _ = 0 . a. .
f) b^ _ b ≤ ^|_| .
Teorema 3.1.10 Misalkan u adalah sebuah fungsi sederhana yang didefinisikan pada E dan
, c ⊆ dengan A dan B adalah himpunan terukur.
a) Jika ∩ c = ∅ maka ^∪c _ = ^ _ + ^c _ .
b) Jika ⊆ c dan _ ≥ 0 maka ^ _ ≤ ^c _ .
3.2 Integral Lebesgue untuk Fungsi Tak Negatif yang Terukur Lebesgue dan Sifat-sifatnya Sebelum pembahasan mengenai integral Lebesgue untuk fungsi tak negatif yang terukur, akan didefinisikan terlebih dahulu bagian positif dan bagian negatif dari sebuah fungsi. Bagian positif dan bagian negatif ini diperlukan dalam mendefinisikan integral Lebesgue untuk fungsi umum yang terukur.
58
Definisi 3.2.1
Misalkan adalah sebuah himpunan terukur dan misalkan diberikan sebarang fungsi 6: → [0, ∞]. Bagian positif 6+ dari fungsi 6 didefinisikan sebagai, 6+ =
6, 0,
6 ≥ 0 6 < 0
Dan bagian negatif 6− dari fungsi 6 didefinisikan sebagai, 6− =
−6, 0,
6 < 0 6 ≥ 0.
Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa bagian positif dan bagian negatif dari sebuah fungsi terukur adalah terukur, Sebagaimana teorema berikut ini.
Teorema 3.2.2
Misalkan adalah sebuah himpunan terukur. Jika 6: → [0, ∞] adalah sebuah
fungsi terukur, maka 6+ dan 6− adalah fungsi teurukur. Bukti
Misalkan 6 adalah sebarang fungsi terukur yang didefinisikan pada , akan ditunjukkan bahwa 6+ dan 6− adalah fungsi terukur. Berdasarkan definisi dari 6+
dan 6− , bagian positif dan bagian negatif dari fungsi 6 dapat dituliskan secara berturut-turut sebagai,
Dan
6+ = max{6, 0} 6− = − min{6, 0}.
59
Karena fungsi 6 terukur, maka berdasarkan Teorema 2.9.12 fungsi 6+ dan 6− adalah terukur.
Dapat dilihat bahwa baik 6+ maupun 6− bernilai tak negatif dan dapat
dituliskan,
6 = 6i − 6j
|6| = 6+ − 6− .
Selanjutnya akan didefinisikan integral Lebesgue untuk fungsi terukur tak negatif dan beberapa sifat dari integral tersebut.
Definisi 3.2.3
Misalkan E adalah himpunan terukur dan 6 ∶ → [0, ∞] adalah sebuah fungsi terukur yang bernilai tak negatif. Integral Lebesgue untuk f didefinisikan oleh 6 ≔ sup o ' : ' 6_5p' qar__r 'a arℎ5 5 0 ≤ ' ≤ 6t .
Ketika f diintegralkan atas sebuah himpunan terukur ⊆ , diperoleh
6 ≔ sup o ' : ' 6_5p' qar__r 'a arℎ5 5 0 ≤ ' ≤ 6t .
Berikut ini akan dibahas mengenai sifat kemonotonan dan kelinearan dari integral Lebesgue untuk fungsi bernilai tak negatif yang terukur Lebesgue.
Teorema 3.2.4
Misalkan f dan g adalah fungsi terukur non negative dan ⊆ .
60
a) Jika 6 ≤ p . a pada A maka ^ 6 ≤ ^ p .
b) Untuk > 0, 6 + p dan &6 adalah fungsi terukur non negative maka 6 + p = 6 + p
Dan &6 = & 6 .
Bukti. Pertama akan dibuktikan bagian a). Misalkan diberikan dua buah fungsi
terukur sederhana 6, p: → [0, ∞] dengan6 ≤ p . a.. Misalkan _ dan ` adalah
sebarang fungsi terukur sederhana pada yang memenuhi sifat 0 ≤ _ ≤ 6 dn
0 ≤ ` ≤ p secara berturut-turut. Karena _ ≤ ` akibatnya diperoleh _ ≤ p pada , sehingga
_ ≤ sup o ` : 0 ≤ ` ≤ pt = p .
Jika diambil supremum atas seluruh fungsi sederhana _ maka akan diperoleh, 6 = sup o _ : 0 ≤ _ ≤ 6t ≤ p .
Untuk membuktikan bagian b), pertama akan diperlihatkan untuk & > 0 berlaku
^ &6 = & ^ 6 . . Misaklan _ adalah sebarang fungsi sederhana pada
dengan 0 ≤ _ ≤ 6 dan misalkan ` juga merupakan fungsi sederhana sedemikian
sehingga 0 ≤ ` ≤ &6 . Dengan mengambil supremum atas seluruh _ dan ` diperoleh,
61
sup o ` : 0 ≤ ` ≤ A6t = sup o &_ : 0 ≤ &_ ≤ &6t
= & sup o _ : 0 ≤ _ ≤ 6t. -
Dengan demikian, &6 = & 6 .
Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa, 6 + p = 6 + p ,
Yaitu menunjukkan kedua peryataan berikut berlaku: i) ^6 + p ≥ ^ 6 + ^ p
ii) ^6 + p ≤ ^ 6 + ^ p .
Pertama akan diperlihatkan pernyataan i) berlaku. Misalkan _ dan ` adalah dua
buah fungsi sederhana terukur dengan 0 ≤ _ ≤ 6 dan 0 ≤ ` ≤ p pada . Karena 0 ≤ _ ≤ 6 dan 0 ≤ ` ≤ p akibatnya
diperoleh _ + ` ≤ 6 + p ,
dengan
menggunakan definisi integral Lebesgue untuk fungsi 6 + p atas dan berdasarkan sifat kelinearan integral untuk fungsi sederhana, diperoleh 6 + p = sup o _ + ` : 0 ≤ _ + ` ≤ 6 + pt
≥ _ + ` -
= _ + ` . -
-
Dengan mengambil supremum atas seluruh _ dan ` diperoleh,
62
6 + p ≥ 6 + p .
Untuk ketaksamaan sebaliknya, misalkan u adalah sebuah fungsi terukur
sederhana pada , misalkan _ = min{u, 6} dan ` = u − _ , di mana _ dan `
adalah fungsi terukur sederhana dan lebih lanjut diperoleh 0 ≤ _ ≤ 6 dan
0 ≤ ` ≤ p pada . Dengan demikian,
u = _ + 〱 ≤ 6 + p .
Dengan mengambil supremum atas seluruh u diperoleh
6 + p ≤ 6 + p .
Karena pernyataan i) dan ii) berlaku, maka dapat disimpulkan bahwa 6 + p = 6 + p .
3.3 Integral Lebesgue untuk Fungsi Umum yang Terukur Lebesgue dan Sifat-sifatnya Sebelumnya telah didefinisikan integral Lebesgue untuk fungsi-fungsi khusus, dimulai dari fungsi karakteristik sampai dengan fungsi tak negatif yang terukur. Selanjutnya, akan didefinisikan integral Lebesgue untuk sebarang fungsi yang terukur dan akan dikaji juga sifat-sifatnya. Definisi 3.3.1
Misalkan 6: → [0, ∞] adalah fungsi terukur. Integral Lebesgue untuk fungsi f
atas himpunan terukur ⊆ didefinisikan sebagai,
63
6 = 6+ − 6− .
Fungsi f dikatakan terintegralkan Lebesgue jika masing-masing ^ 6+ dan ^ 6− bernilai hingga.
Koleksi semua fungsi yang terintegralkan Lebesgue akan dinotasikan dengan 1 . Selanjutnya, akan dibahas beberapa sifat-sifat dasar dari integral Lebesgue untuk sebarang fungsi terukur yang umum.
Teorema 3.3.2
Misalkan 6: → [0, ∞] adalah sebuah fungsi terukur dan A adalah subset
terukur dari E. Fungsi f terintegralkan Lebesgue atas A jika dan hanya jika |6| terintegralkan atas A. Bukti
Misalkan f adalah sebuah fungsi terukur dan ⊆ himpunan terukur. Pertama
asumsikan bahwa 6 ∈ 1 , akan diperlihatkan bahwa |6| ∈ 1 . Karena 6 ∈ 1 , diperoleh 6 < ∞,
dengan demikian haruslah 6+ < ∞ dan 6− < ∞.
Sehingga, karena 6+ dan 6− adalah fungsi terukur yang bernilai tak negatif akibatnya diperoleh,
64
|6| = P6+ + 6− Q = 6+ + 6− < ∞.
Jadi dapat disimpulkan bahwa |6| ∈ 1 .
Selanjutnya asumsikan bahwa |6| ∈ 1 , akan ditunjukkan bahwa 6 ∈ 1 .
Karena |6| ∈ 1 , akibatnya
|6| = 6+ + 6− < ∞
dengan demkian, 6+ < ∞ dan 6− < ∞.
Sehingga diperoleh, 6 = 6+ − 6− < ∞.
Dengan kata lain, dapat disimpulkan bahwa 6 ∈ 1 .∎ Teorema 3.3.3
Misalkan 6 adalah sebuah fungsi terukur dan A adalah himpunan terukur dengan
⊆ . Jika terdapat sebuah fungsi p ∈ 1 sedemikian sehingga |6| ≤ p, maka 6 ∈ 1 . Bukti
Misalkan diberikan sebarang fungsi terukur 6 dan subset yang terukur, dan asumsikan bahwa terdapat p ∈ 1 sedemikian sehingga |6| ≤ p. Akan ditunjukkan
bahwa 6 ∈ 1 . Karena 6+ + 6− = |6| ≤ p akibatnya diperoleh 6+ ≤ p dan
65
6− ≤ p. Karena ketiga fungsi 6+ , 6− , dan p terukur dan tak negatif, berdasarkan Teorema 3.2.4 diperoleh, 6+ ≤ p dan 6− ≤ p .
Karena p ∈ 1 maka,
6+ < ∞ dan 6− < ∞
Dengan demikian, 6+ = 6+ − 6− < ∞.
Jadi, dapat disimpulkan bahwa 6 ∈ 1 .
Berikut ini akan disajikan beberapa Teorema mengenai sifat-sifat dasar Integral Lebesgue. Teorema ini adalah perumuman dari beberapa sifat-sifat dasar Integral Lebesgue yang telah disajikan pada subbab sebelumnya.
Teorema 3.3.4
Jika 6, p ∈ 1 dengan 6, p: → [0, ∞] maka:
a) Fungsi A6 ∈ 1 di mana c adalah sebarang konstanta, dan
b) Fungsi 6 + p ∈ 1 , dan
A6 = A 6 .
6 + p = 6 + p .
c) Jika 6 ≤ p . a, maka
66
6 ≤ p .
d) Jika 1 dan 2 adalah himpunan terukur yang saling lepas di E, maka 6 + p = 6 + p .
1 ∪2
1
2
e) Jika ≤ 6 ≤ < di mana dan < adalah sebarang konstanta, maka . ≤ 6 ≤ <. x
Bukti
Misalkan diberikan sebarang 6, p ∈ 1 dan sebarang konstanta A , akan diperlihatkan bahwa pernyataan a), b), c) dan d) berlaku.
Pertama akan dibuktikan bagian a), asumsikan bahwa A ≥ 0, akibatnya A6+ =
A6+ dan A6− = A6− . Sehingga, berdasarkan Definisi 3.3.1 diperoleh A6 = A6+ − A6−
= A 6i − A 6j x
x
= A y 6i − 6j z x
= A 6 . x
x
Selanjutnya, jika A < 0 maka A6+ = −A6− dan A6− = −A6+ , sehingga diperoleh
67
A6 = −A6− − −A6+
= −A 6j + A 6i x
x
= A 6 . x
Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa A6 = A 6 .
Berikutnya akan dibuktikan bagian b). Diketahui bahwa 6, p ∈ 1 ,
akibatnya berdasarkan Teorema 3.3.2 |6|, |p| ∈ 1 . Karena |6| dan |p| adalah
fungsi terukur yang bernilai tak negatif, maka berdasarkan Teorema 3.2.4
|6| + |p| terintegralkan atas dan berdasarkan ketaksamaan segitiga, diperoleh |6 + p| ≤ |6| + |p| < ∞.
Dengan demikian |6 + p| ∈ 1 , dan 6 + p ∈ 1 . Lebih jauh, diperoleh 6 + p = P6+ − 6− + p+ − p− Q
= P6i + pi − 6j + pj Q x
= 6i + pi + 6j + pj x
x
= y 6i − 6j z + y pi − pj z x
x
= 6 + p . x
x
x
x
68
Selanjutnya akan dibuktikan bagian c). Diketahui bahwa 6 ≤ p . a.. Hal
ini mengakibatkan p − 6 ≥ 0. Oleh karena itu, diperoeh p − 6 ≥ 0
Dengan menggunakan hasil dari pernyataan b) didapatkan, p = p − 6 + 6 ≥ 6 .
Dengan demikian terbukti bahwa ^ 6 ≤ ^p . Untuk membuktikan bagian d) perhatikan bahwa, 6 = 6
1 ∪2
1 ∪2
= 6 x{ + 6 x| = 6 + 6 . x{
x|
Terakhir, bagian e) jelas berlaku, karena ^ 1 = .∎
Teorema 3.3.5
Jika 6 ∈ 1 dengan 6: → [0, ∞], maka b^ 6 b ≤ ^|6| . Bukti
Misalkan diberikan sebarang fungsi 6 ∈ 1 , karena 6 = 6i − 6j dan |6| = 6+ +
6− , dengan menggunakan ketaksamaan segitiga diperoleh } 6 } = } P6+ − 6− Q }
69
= } 6i − 6j } x
x
≤ } 6i } + } 6j } x
x
≤ 6i + 6j x
= |6| .
x
x
Jadi terbukti bahwa b^ 6 b = ^|6| . ∎
Berikut ini akan disajikan Teorema-teorema yang menjadi konsep penting dari pembahasan ruang ~ , terutama pada pembahasan barisan fungsi di ~ dan fungsional linear terbatas.
Teorema 3.3.6 (Teorema Konvergensi Terbatas)
Misalkan 65 adalah sebuah barisan dari fungsi-fungsi terukur yang terdefinisi
pada himpunan terukur E dengan < ∞ dan misalkan |6| ≤ untuk
setiap x dan n dan untuk suatu bilangan real M. Jika 6 = lim:→ 6: untuk setiap ∈ , maka
6 = lim 65 .
5→∞
70
Teorema kekonvergenan monoton menjamin bahwa barisan fungsi pada 1
yang bernilai tak negatif dan konvergen akan memiliki limit fungsi di 1 jika barisan fungsi tersebut monoton naik.
Teorema 3.3.7 (Teorema Kekonvergenan Monoton)
Misalkan 6: adalah sebuah barisan dari fungsi-fungsi terukur pada . Jika
0 ≤ 61 ≤ 6G ≤ ⋯ ≤ 6: dan lim5→∞ 65 = 6, untuk setiap ∈ ,
maka 6 terukur dan,
lim y 65 z = L lim 65 N .
5→∞
Bukti
5→∞
Misalkan 6: adalah barisan fungsi terukur tak negatif pada , monoton
naik, dan konvergen titik demi titik ke fungsi 6 pada . Teorema 2.9.12 menjamin keterukuran
dari
lim5→∞ 65 .
Selanjutnya,
akan
ditunjukkan
bahwa
lim5→∞ ^ 65 = ^Plim5→∞ 65 Q .
Karena 65 ≤ 65+1 untuk setiap 5 ∈ ℕ, maka berdasarkan Teorema 3.3.4
diperoleh ^ 65 ≤ ^ 65+1 untuk setiap 5 ∈ ℕ . Selanjutnya, karena barisan 6:
konvergen ke fungsi 6 maka 65 ≤ 6 untuk setiap 5 ∈ ℕ, berdasarkan Teorema 3.3.4
maka ^ 65 ≤ ^ 6 untuk setiap 5 ∈ ℕ . Perhatikan bahwa, barisan P^ 65 Q
monoton naik dan terbatas oleh ^ 6, oleh karena itu akan terdapat ∈ [0, ∞ sedemikian sehingga lim y 65 z = .
5→∞
71
Sekarang akan diperlihatkan bahwa = ^xlim:→ 6: = ^x 6 , yaitu dengan menunjukkan bahwa, i) ≤ ^x 6: dan
ii) ≥ ^x 6: .
Karena = sup{^ 6: : 5 ∈ ℕ} dan ^ 65 ≤ ^ 6 , ∀5 ∈ ℕ akibatnya diperoleh, ≤ 6 . x
Dengan demikian ketaksamaan (i) terbukti.
Untuk membuktikan ketaksamaan (ii), misalkan ' adalah sebarang fungsi
sederhana sedemikian sehingga 0 ≤ ' ≤ 6 , dan misalkan A adalah sebarang konstanta dengan 0 < A < 1 dan definisikan
5 = : 0 ≤ A' ≤ 65
, di mana 5 = 1,2,3, …
Karena 65 terukur untuk setiap 5 ∈ ℕ akibatnya himpunan 5 terukur untuk setiap
5 ∈ ℕ dan karena 6: monoton naik maka diperoleh, 1 ⊂ 2 ⊂ 3 ⊂ ⋯ .
Selanjutnya, akan diperlihatkan bahwa = ⋃ :01 : . Karena 5 ∈ untuk setiap 5 ∈ ℕ , maka diperoleh ⋃∞ 5=1 5 ⊂ . Selanjutnya, akan diperlihatkan bahwa
⊂ ⋃ :01 : . Ambil sebarang ∈ , jika 6 = 0 maka 65 = 0 untuk setiap 5 ∈ ℕ dan ' = 0, dengan demikian ∈ : untuk setiap 5 ∈ ℕ. Selanjutnya
jika 6 > 0, maka 6 > ' > A' dan 65 > A' untuk setiap 5 ∈ ℕ yang cukup besar. Hal ini juga menunjukkan bahwa, ∈ : untuk suatu 5 ∈ ℕ dan akibatnya diperoleh ⊂ ⋃ :01 : . Jadi = ⋃:01 : .
Sekarang perhatikan bahwa,
72
65 ≥ 65 ≥ A'
5
untuk 5 = 1,2,3, … Dengan demikian, diperoleh
5
lim y 65 z ≥ lim 65 ≥ lim A '
5→∞
5→∞
5→∞
5
5
atau dengan kata lain ≥ A ' xU
Karena ketaksamaan ini berlaku untuk setiap A ∈ 0,1, maka diperoleh ≥ ' x
Untuk setiap fungsi sederhana terukur ' dengan 0 ≤ ' ≤ 6 , sehingga dengan mengambil supremum atas seluruh ' diperoleh,
≥ 6 . x
Dengan demikian ketaksamaan (i) dan (ii) berlaku, sehingga dapat disimpulkan bahwa lim y 65 Ĺz = = L lim 65 N .
5→∞
5→∞
Teorema 3.3.8. (fatou’s lemma)
Jika 61 , 62 , … adalah fungsi terukur tak negatif, maka
L lim inf 6 N ≤ lim inf 6 . →∞
→∞
73
Bukti. Definisikan,
p = inf6 , 6+1 , 6+2 , …
dengan = 1,2,3, … .
Perhatikan bahwa p ≥ 0 , p ≤ 6 , dan p adalah barisan monoton naik.
Berdasarkan Teorema 2.9.12, p, adalah fungsi terukur untuk = 1,2,3, … dan
lim→∞ p = lim→∞ inf 6 . Sehingga dengan menggunakan Teorema 3.3.7. diperoleh ^lim→∞ inf 6 = ^ Llim p N →∞
= lim p, ,→
= lim inf p, ,→
≤ lim inf 6, ,→
karena p, ≤ 6, . ∎
Selanjutnya akan disajikan Teorema mengenai kondisi yang diperlukan agar sebarang barisan di 1 yang konvergen mempunyai limit di 1 . Teorema 3.3.9 (Teorema Konvergensi Terdominasi)
Misalkan 65 : → [−∞, ∞] adalah fungsi terukur untuk setiap 5 ∈ ℕ dan asumsikan bahwa fungsi p ≥ 0 di mana p ∈ 1 . Jika lim 6 5→∞ 5
dan
_5q_ 'aq ∈
b65 b ≤ p _5q_ 'aq ∈ ,
74
maka lim 65 ∈ 1
5→∞
dan L lim 65 N = lim 65 .
5→∞
5→∞
Bukti
Diberikan sebarang barisan fungsi terukur 65 pada di mana barisan 65
konvergen titik demi titik pada dan asumsikan juga bahwa terdapat fungsi
p ≥ 0 di mana p ∈ 1 sedemikian sehingga b65 b ≤ p untuk setiap ∈ . Akan diperlihatkan bahwa pernyataan pada teorema di atas berlaku. Misalkan
6 = lim:→ 6:
untuk
∈ ,
setiap
akibatnya
berdasarkan Teorema 2.9.12 6 adalah sebuah fungsi terukur. Karena b65 b ≤ p untuk setiap 5 ∈ ℕ dan p ∈ 1 maka berdasarkan Teorema 3.3.3 65 ∈ 1 untuk setiap 5 ∈ ℕ, demikian juga karena 6 = lim:→ 6: haruslah |6| ≤ p, akibatnya
6 ∈ 1 .
Selanjutnya, perhatikan bahwa karena b65 b ≤ p dan |6| ≤ p akibatnya
fungsi p + 6: , p + 6, p − 6: , dan p − 6 adalah fungsi terukur yang bernilai non negative.
Dengan mengaplikasikan Lemma Fatou pada fungsi p + 6: dan p + 6
diperoleh, L lim infPp + 65 QN = p + 6 ≤ lim inf Pp + 65 Q .
Yaitu,
5→∞
5→∞
75
p + 6 ≤ p + lim inf 65 .
5→∞
Karena p ∈ 1 maka ^ p bernilai hingga, dengan demikian kedua ruas pada ketaksamaan di atas dapat dikurangi oleh ^ p , diperoleh 6 ≤ lim inf 65 . 5→∞
Dengan cara yang serupa, aplikasikan juga Lemma Fatou pada fungsi terukur tak negatif p − 噮: dan p − 6, diperoleh
−6 ≤ lim inf −65 = lim inf y− 65 z 5→∞
5→∞
dengan kata lain, − 6 ≤ − lim sup 6: . :→
Akhirnya diperoleh, lim sup 65 ≤ 6 ≤ lim inf 65 .
5→∞
5→∞
Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa lim5→∞ inf ^ 65 ada dan sama
dengan ^ Plim5→∞ 65 Q .
Selanjutnya akan didefinisikan integral tak tentu dari suatu fungsi terukur
yang terdefinisi pada suatu interval [, <].
76
Definisi 3.3.10
Misalkan fungsi f terintegralkan lebesgue pada [, <] dan pada setiap interval [, ] ⊂ [, <]. Didefinisikan fungsi F dengan
O = 6q q + A
Untuk suatu konstanta c. Selanjutnya F dikatakan integral tak tentu dari f.
Teorema 3.3.11
Jika fungsi F kontinu mutlak pada interval [, <], maka berlaku
O = 6q q + A
dengan 6 = O′ dan konstanta c. Dengan kata lain O′ terintegralkan pada interval
[, <] dan
O′q q = O − O.
Teorema berikut
ini
menyatakan
hubungan
antara fungsi
yang
terintegralkan Riemann dengan fungsi yang terintegralkan Lebesgue, yaitu jika
77
sebuah fungsi terintegralkan Riemann maka fungsi tersebut juga terintegralkan Lebesgue.
Teorema 3.3.12
Jika 6 ∈ ℜ[, <] maka 6 ∈ 1 [, <] dan
<
6 = ℜ 6.
[,<]
