BAB III FUNGSI UJI DAN DISTRIBUSI

BAB III FUNGSI UJI DAN DISTRIBUSI

Bab ini membahas tentang fungsi uji dan distribusi di mana ruang yang memuat keduanya secara berturut-turut dinamakan ruang fungsi uji dan ruang distribusi. Ruang fungsi uji pada penelitian ini dibahas secara analisis fungsional dengan memandangnya sebagai ruang vektor bertopologi. Pembahasan ruang fungsi uji ini lebih banyak mengacu kepada Rudin (1991). Adapun pembahasan ruang distribusi sebagian besar merujuk kepada Friedlander (1998). Pemahaman terhadap ruang fungsi uji (selanjutnya dinotasikan dengan ) diperlukan untuk memahami definisi

distribusi Schwartz yang akan

dijelaskan pada subbab 3.3. Ruang fungsi uji ini akan menjadi domain dari bentuk-bentuk linear yang disebut distribusi (distribusi Schwartz). Pendefinisian ruang fungsi uji dibangun oleh ruang

, yaitu ruang yang memuat semua fungsi

bernilai kompleks yang memiliki turunan tak hingga kali dan kontinu di

, serta

memenuhi kondisi bahwa support dari fungsi-fungsi tersebut merupakan himpunan bagian dari himpunan kompak

di

. Adapun support dari fungsi

adalah closure (penutup) dari himpunan bagian dari domain

sedemikian

sehingga nilai fungsi di titik-titik tersebut tidak nol.

3.1

Konsep Membangun Ruang Fungsi Uji Pembahasan ruang fungsi uji dan distribusi Schwartz diawali dengan penjelasan tentang istilah multi-indeks, yaitu n-tuple dengan mana setiap multi-indeks

bilangan bulat tak negatif, di dihubungkan dengan operator diferensial

dengan

. Panjang atau order dari

didefinisikan dengan | |

.

Ruang semua fungsi bernilai kompleks yang turunannya ada dan kontinu untuk setiap multi-indeks Selanjutnya keanggotaan

dinotasikan dengan

didefinisikan sebagai berikut.

Meri Andini, 2015 Sifat-Sifat Distribusi Dalam Teori Distribusi Schwartz Dan Keterkaitannya Dengan Ruang Lebesgue Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

.

24

Definisi 3.1.1 Misal diberikan himpunan buka tak kosong kompleks

yang didefinisikan di

. Fungsi bernilai

dikatakan anggota dari

jika

ada dan kontinu untuk setiap multi-indeks .

Sebagai catatan bahwa dalam tulisan ini himpunan buka tak kosong di

, sehingga jika notasi

selalu menotasikan muncul kembali

dalam pembahasan tanpa adanya keterangan maka yang dimaksud adalah sebagaimana yang telah dijelaskan. Selanjutnya akan didefinisikan istilah support fungsi.

Definisi 3.1.2 Misalkan fungsi kontinu }. Support dari (penutup) dari

dan himpunan

{

yang dinotasikan dengan supp

adalah closure

di .

Perhatikan bahwa definisi tersebut mengatakan supp

adalah himpunan

bagian tutup dari . Sebelumnya telah dijelaskan bahwa definisi di mana

dibangun oleh

didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 3.1.3 Misalkan

himpunan kompak di

} dinamakan dengan ruang

. Himpunan {

.

Sebagai catatan, definisi di atas mengatakan bahwa fungsi-fungsi di bernilai nol di luar suatu himpunan yang tutup dan terbatas.

Di awal pembahasan telah disebutkan bahwa di mana

berkaitan dengan fungsi-fungsi di

dibangun oleh , yaitu

. Oleh karena itu, dipandang perlu untuk mengetahui sifat dari kedua ruang tersebut (

dan

). Berikut ini akan dijelaskan sifat


25

dari ruang

dan

. Diperlukan pemahaman mengenai ruang

Frechet dan sifat Heine-Borel sebagaimana telah dijelaskan pada bab sebelumnya untuk mempelajari sifat berikut ini.

Proposisi 3.1.4 (Rudin, 1991, hlm. 35) merupakan ruang Fr ́ chet dengan sifat Heine-Borel.

Bukti : merupakan ruang Fr ́ chet

Ide-ide utama untuk menunjukkan sebagai berikut:

1. Menunjukkan terdapat basis lokal konveks untuk 2. Menunjukkan

metrizable lengkap

Ide pertama ditunjukkan melalui proses berikut ini. Bentuk barisan monoton kuat dari himpunan kompak yang konvergen ke , yakni pilih himpunan kompak terletak di interior

sedemikian sehingga

(dinotasikan Int

Definisikan seminorm

untuk |

| |

}

membangun topologi

untuk

perhatikan bahwa keluarga tersebut separating di konstruksi keluarga

dan

. Selanjutnya,

dengan {

untuk

.

, dengan aturan

{| Keluarga dari seminorm

⋃

) dan

}

. Perhatikan bahwa

keluarga dari seminorm

separating di

berdasarkan Teorema 2.7.24, keluarga konveks untuk topologi di

monoton turun. Karena dan dari definisi

,

adalah basis lokal seimbang

.

Ide yang kedua akan ditunjukkan melalui proses berikut. Langkah pertama adalah menunjukkan keluarga

metrizable. Karena

terhitung maka Teorema 2.7.24 mengisyaratkan bahwa


26

keluarga

melahirkan topologi

dengan basis lokal yang terhitung.

Menurut Teorema 2.7.22, metrizable. Definisikan metrik

sebagai berikut ∑

compatible terhadap dan metrik tersebut invarian (catatan 2.7.25 ). Selanjutnya, menunjukkan

metrik lengkap. Menurut Definisi 2.7.23,

dapat dibuktikan metrik ini lengkap dengan menunjukkan setiap barisan Cauchy di

konvergen di

barisan Cauchy di

. Sebelumnya, ditunjukkan setiap

konvergen.

Ambil sembarang barisan Cauchy jika

di

. Menurut Definisi 2.7.23,

barisan Cauchy, maka untuk setiap

sehingga

(

)

sehingga

untuk semua

terdapat . Akibatnya

sedemikian (

)

, yakni

|

|

jika | |

pada

Karenanya, diperoleh setiap

. konvergen (seragam pada himpunan

bagian kompak di ) ke fungsi

.

Selanjutnya akan ditunjukkan setiap barisan Cauchy

konvergen di

. Telah ditunjukkan dan

. Secara khusus, jika diambil suatu

,

. Karenanya, , dan

, artinya

pada topologi di

(menurut Definisi

2.7.23). adalah ruang Fr ́ chet.

Jadi,

Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa Jika diketahui 2.7.2

memenuhi sifat Heine-Borel.

kompak, maka dengan menggunakan Lemma

tutup dan terbatas.

Misalkan

tutup dan terbatas. Akan ditunjukkan

Menurut Teorema 2.7.24, karena terdapat dan untuk semua

terbatas maka

sedemikian sehingga . Definisi

kompak.

terbatas di , artinya untuk

menunjukkan bahwa |


|

27

ketika | |

pada

.

Akibatnya,

ketika | |

equicontinuous pada

{

himpunan

}

. Menurut teorema Ascoli

dan proses diagonal Cantor (Rudin, 1991, hlm.394), setiap barisan di memuat subbarisan

yang mana barisan

konvergen (seragam

pada himpunan kompak di ) untuk setiap multi-indeks . Karenanya, konvergen pada topologi di Terbukti bahwa

.

kompak. Jadi,

memenuhi sifat Heine-

Borel.

Selanjutnya, proposisi berikut ini menyatakan sifat dari

.

Proposisi 3.1.5 (Rudin, 1991, hlm. 35) merupakan subruang tutup dari

untuk setiap

.

Bukti: Akan ditunjukkan Untuk setiap

subruang tutup dari , fungsional

dilahirkan oleh keluarga

kontinu pada topologi yang

untuk

sebagaimana

telah

didefinisikan pada pembuktian Proposisi 3.1.4. Perhatikan bahwa ⋂ Menurut Teorema 2.7.21, karena demikian,

kontinu maka

merupakan subruang tutup dari

tutup. Dengan untuk sembarang

himpunan bagian kompak K dari .

3.2

Ruang Fungsi Uji dan Sifat-sifatnya Setelah pembahasan konsep membangun ruang fungsi uji, selanjutnya ruang fungsi uji dapat didefinisikan seperti dijelaskan berikut. Definisi ini diadaptasi dari definisi ruang fungsi uji pada Ta Ngoc Tri (2005, hlm.6).


28

Definisi 3.2.1 Misalkan

koleksi semua ruang

fungsi uji

di mana

kompak. Ruang

didefinisikan dengan ⋃

Anggota dari ruang fungsi uji dinamakan fungsi uji. Gambaran lebih jelas tentang fungsi uji dapat dilihat melalui contoh berikut ini.

Contoh 3.2.1 Diberikan

untuk

dan

ditunjukkan bahwa ,

{

| | | |

| |

yaitu bola satuan tutup {| |

Perhatikan bahwa Pilih

. Dapat

. | |

Misalkan

untuk

sehingga

}.

kompak, dengan demikian

.

Definisi 3.2.1 menunjukkan bahwa

merupakan ruang vektor

dari fungsi-fungsi bernilai kompleks yang dilengkapi dengan definisi penjumlahan dan perkalian skalar biasa. Perhatikan pula bahwa jika dan hanya jika

dan

merupakan himpunan

bagian kompak dari . Sebuah topologi locally convex

(2.7.15) dapat dikonstruksi pada

sedemikian sehingga semua barisan Cauchy konvergen. Hal ini dapat diperoleh dengan mengambil himpunan-himpunan dengan bentuk . Adapun (2.7.14)

sebagai koleksi dari gabungan , di mana

dan

yaitu koleksi dari semua himpunan convex balanced di mana

, untuk setiap himpunan


29

kompak

dengan

telah didefinisikan pada

. Penjelasan lebih

rinci dapat merujuk kepada Functional Analysis (Rudin, 1991, hlm.152155) berikut pula pembuktiannya.

Berikut ini beberapa sifat-sifat penting dari topologi di

.

Proposisi 3.2.2 a.

merupakan topologi di

b.

membuat

dan

merupakan basis lokal untuk

menjadi locally convex topological vector space

c.

bertepatan dengan topologi subruang

d.

memiliki sifat Heine-Borel

e.

Jika

merupakan barisan di

yang inherits dari

, maka

untuk suatu

yang kompak, dan {|

| |

|

}

di mana f.

Jika (

)

ketika

di , maka terdapat himpunan kompak

yang memuat support dari setiap seragam ketika g.

,

dan

, untuk setiap multi-indeks .

Setiap barisan Cauchy di

konvergen.

Sifat berikutnya adalah bahwa

dan

merupakan ruang

Montel. Ruang Montel ini merupakan salah satu jenis khusus dari ruang vektor topologi. Sifat khusus yang dimiliki ruang Montel yaitu : Ruang Montel selalu refleksif

(Horvath, 1966, hlm.231). Berikut ini akan

dijelaskan definisi dari ruang Montel.

Definisi 3.2.3 (Ta Ngoc Tri, 2005, hlm.8) Ruang vektor topologi X disebut ruang Montel jika X merupakan ruang Hausdorff locally convex sedemikian sehingga setiap himpunan bagian dari X yang absorbing, balanced, dan tutup adalah persekitaran dari nol di X, serta X memiliki sifat Heine-Borel. Meri Andini, 2015 Sifat-Sifat Distribusi Dalam Teori Distribusi Schwartz Dan Keterkaitannya Dengan Ruang Lebesgue Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

30

Sebagai catatan, semua istilah pada Definisi 3.2.3 telah dijelaskan pada bab dua subbab 2.7.

Proposisi 3.2.4 dan

merupakan ruang Montel.

Bukti: Proposisi 3.1.4 menunjukkan bahwa

adalah ruang Frechet dengan

sifat Heine-Borel. Selanjutnya perhatikan bahwa dari Proposisi 3.1.5, Proposisi 3.2.2 (d), dan Definisi 3.2.1, disimpulkan bahwa sifat yang sama dengan

memiliki

(ruang Frechet dengan sifat Heine-Borel).

Akibatnya, berdasarkan definisi ruang Frechet (2.7.16), Teorema 2.7.17, serta Teorema 2.7.18 terbukti bahwa

dan

merupakan ruang

Montel. Dengan demikian,

dan

memiliki sifat refleksif. Karena

keterbatasan, pada penelitian ini tidak terdapat pembahasan khusus tentang refleksivitas (untuk pembaca yang tertarik boleh merujuk kepada Hovarth (1966) pada daftar pustaka).

3.3

Distribusi Schwartz Dalam teori distribusi, bentuk linear merupakan fungsi pada

.

Sebagaimana telah dibahas sebelumnya bahwa anggota-anggota dari adalah suatu fungsi uji.

Definisi 3.3.1 Jika

ruang vektor atas lapangan kompleks , maka bentuk linear

adalah suatu homomorfisma dari

ke .


pada

31

Selanjutnya, koleksi dari semua bentuk linear dari

ke

dinotasikan

dengan

. Sifat yang dipenuhi oleh bentuk linear pada ruang

vektor

adalah sebagai berikut. ⟨ ⟨

dengan

⟩

⟨

⟩

,

⟨

⟩ ⟩

, dan

⟨

⟩

.

Setelah pembahasan tentang ruang fungsi uji

dan juga

bentuk linear, akhirnya dapat dijelaskan definisi distribusi atau distribusi Schwartz yang menurut Rudin (Functional Analysis, 1991, hlm.149) dikenal pula dengan istilah generalized function.

Definisi 3.3.2 (Friedlander, 1998, hlm. 7) Bentuk linear

disebut distribusi (atau distribusi Schwartz),

jika untuk setiap

kompak, terdapat bilangan real

bilangan bulat non-negatif |⟨

dan

sedemikian sehingga ⟩|

∑

|

|

| |

untuk semua

dengan supp

.

Ruang vektor dari distribusi di

dinotasikan dengan

Sebagai catatan, distribusi

memetakan setiap

bilangan kompleks. Nilai distribusi

.

ke suatu

dinotasikan dengan ⟨

di

Struktur ruang vektor di

⟩.

terbentuk dengan pendefinisian

penjumlahan vektor dan perkalian skalar sebagai berikut: 〈

〉 〈

〈

〉

〉 〈

dengan

〈

〉

〉

.

Contoh distribusi diantaranya : dengan ⟨

a) mana

⟩

∫

fungsi kontinu di .


, di

32

b)

Fungsi Dirac sedemikian sehingga 〈

〉

, untuk setiap

.

Contoh (a) di atas merupakan distribusi yang sederhana tapi memiliki peranan penting. Contoh tersebut dituliskan dalam teorema berikut ini.

Teorema 3.3.3 Misal

, maka f yang didefinisikan dengan ⟨

⟩

∫

merupakan distribusi.

Bukti : Perhatikan bahwa

dengan ⟨

⟩

∫

adalah bentuk linear. Ambil sembarang

kompak.

Untuk semua

dengan

artinya

bernilai nol di luar

sehingga dapat ditulis ∫

∫

Perhatikan bahwa |⟨

⟩|

|∫

| ∫ |

Karena

kompak, artinya ∫ |

|∫

|

|

tutup dan terbatas, sehingga |

∫ |

|

|

|


33

| Perhatikan ). Jadi,

|∫ |

terbatas (karena dengan ⟨

|

|

|

kontinu pada domain tutup dan terbatas

⟩

∫

merupakan

distribusi. ■ Contoh lainnya yang mendasar dalam teori distribusi yaitu distribusi Dirac (fungsi delta atau fungsi delta Dirac) yang merupakan anggota dari

.

Fungsi Dirac mendapatkan perhatian khusus dalam teori distribusi berkaitan dengan motivasi munculnya teori distribusi yang salah satunya dilatarbelakangi oleh eksistensi fungsi ini dalam fisika. Fungsi aneh ini muncul pada permulaan abad ke-20 yang diperkenalkan oleh fisikawan Inggris Paul A. M Dirac (1902-1982). Fungsi ini menggambarkan suatu keadaan fenomena fisika yang memiliki nilai di suatu titik (singular pada suatu titik), tetapi pada titik lainnya bernilai nol. Selain itu, nilai integral fungsi tersebut sepanjang domainnya adalah satu. Secara kalkulus biasa, eksistensi fungsi semacam ini adalah sebuah kemustahilan, akan tetapi jika dipandang sebagai distribusi maka eksistensi fungsi ini dapat diakui secara matematis sebagaimana dijelaskan pada teorema berikut.

Teorema 3.3.4 Fungsi Dirac yang didefinisikan dengan 〈

〉

, untuk semua

merupakan distribusi.

Bukti : Perhatikan |〈 untuk semua

〉|

|

|

|

|

|

sedemikian sehingga supp

himpunan bagian kompak di

| , dengan

.■

Sesuai dengan nama fungsinya, distribusi

disebut juga distribusi Dirac.


BAB III FUNGSI UJI DAN DISTRIBUSI

Recommend Documents