26
BAB III FUNGSI KUASIKONVEKS
Bab ini akan membahas tentang fungsi kuasikonveks, di mana fungsi ini adalah salah satu generalisasi dari fungsi konveks. Fungsi kuasikonveks yang dibahas pada bab ini didefinisikan pada himpunan konveks
. Pembahasan fungsi kuasikonveks ini lebih
banyak mengacu kepada Cambini dan Martein (2009). Selain membahas definisi fungsi kuasikonveks di
, bab ini juga akan membahas
sifat-sifat yang berlaku dalam fungsi kuasikonveks. Sebagai generalisasi dari fungsi konveks, fungsi kuasikonveks tentunya memiliki sifat-sifat yang memiliki kemiripan dengan fungsi konveks. Dengan kata lain, terdapat sifat-sifat fungsi konveks yang dapat digeneralisasi menjadi sifat-sifat fungsi kuasikonveks. Kategori sifat-sifat yang akan dibahas pada bab ini mengacu kepada Greenberg dan Pierskalla (1970). 3.1
Hubungan Fungsi Konveks, Epigraph, dan Himpunan Level Bawah Sebelum membahas fungsi kuasikonveks, kita ingat kembali definisi dari fungsi
konveks yang telah dibahas pada bab sebelumnya. Yaitu fungsi konveks pada himpunan konveks ( untuk semua
,
jika
(
- dan
dikatakan
) )
( )
(
) ( )
.
Terkait dengan fungsi konveks, berikut ini akan disajikan definisi mengenai epigraph sebagai berikut. Definisi 3.1.1 (Boyd, Vandenberghe, 2002, hlm. 61) Epigraph dari fungsi
,
himpunan konveks, didefinisikan sebagai *(
dengan
dan
)| ( )
+
.
Vika Andina, 2015 Sifat-Sifat Fungsi Konveks Yang Tidak Dapat Digeneralisasi Menjadi Sifat-Sifat Fungsi Kuasikonveks Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
27
Dalam bahasa Yunani ‘Epi’ berarti ‘di atas’. Jadi, epigraph berarti ‘di atas grafik’. Dengan kata lain, epigraph dari fungsi
adalah himpunan dari semua titik yang berada di
atas .
Gambar 3.1 Epigraph dari ( ) Fungsi konveks dapat ditandai oleh epigraph yang konveks, seperti ditunjukkan oleh teorema berikut ini. Teorema 3.1.1 (Cambini, Martein, 2009, hlm. 12) Fungsi
dikatakan konveks pada himpunan konveks
jika dan hanya jika
himpunan konveks. Bukti: ( ) Diketahui Misal ( Karena
konveks.
)(
)
, maka ( )
dan ( )
.
konveks, maka
(
(
) )
( ) (
untuk setiap
,
(
) ( )
)
-.
Vika Andina, 2015 Sifat-Sifat Fungsi Konveks Yang Tidak Dapat Digeneralisasi Menjadi Sifat-Sifat Fungsi Kuasikonveks Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
28
Dari ketaksamaan di atas, dapat dilihat bahwa ( Jadi, terbukti
)(
)
himpunan konveks dan misalkan
( )), (
( ))
( )) (
( ,
.
, maka
(
untuk setiap
(
himpunan konveks.
( ) Diketahui Misal (
)
(
)
)( ( )
( )) (
) ( ))
-.
Karena (
(
)
( )
(
) ( ))
( )
(
,
maka ( untuk setiap Artinya,
,
(
) )
) ( )
-.
konveks.
Selain epigraph, terkait dengan fungsi konveks juga didefinisikan himpunan level bawah sebagai berikut. Definisi 3.1.2 (Giorgi, Guerraggio, dan Thierfelder, 2004, hlm. 118) Himpunan level bawah dari fungsi
,
himpunan konveks, didefinisikan
sebagai * | untuk sebarang
( )
+,
.
Vika Andina, 2015 Sifat-Sifat Fungsi Konveks Yang Tidak Dapat Digeneralisasi Menjadi Sifat-Sifat Fungsi Kuasikonveks Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
29
Gambar 3.2 Himpunan level bawah. Sehubungan dengan himpunan level bawah dari fungsi konveks, diberikan teorema berikut ini. Teorema 3.1.2 (Cambini, Martein, 2009, hlm. 12) Jika
adalah fungsi konveks pada himpunan konveks
untuk setiap
, maka
konveks
.
Bukti: Diketahui
, artinya ( )
konveks. Misalkan
Berdasarkan Definisi 2.6.2 jika
(
dan ( )
.
konveks, maka kita punya
(
) )
( ) (
(
) ( )
)
. Dari ketaksamaan di atas, didapat bahwa ( Jadi, terbukti
(
) )
.
konveks.
Vika Andina, 2015 Sifat-Sifat Fungsi Konveks Yang Tidak Dapat Digeneralisasi Menjadi Sifat-Sifat Fungsi Kuasikonveks Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
30
Teorema 3.1.2 tidak berlaku sebaliknya. Kondisi yang diperlukan agar fungsi menjadi konveks di Teorema 3.1.2 pada umumnya tidak cukup. Berikut adalah contoh fungsi tidak konveks yang memiliki himpunan level bawah yang konveks. Contoh 3.1.1 ( )
bukan fungsi konveks (dapat dilihat dari grafik fungsinya),
Gambar 3.3 Grafik fungsi ( )
.
tetapi himpunan level bawahnya
(
-
.
/
{ semua konveks. Jadi, fungsi konveks tidak dapat ditandai oleh himpunan level bawah yang konveks. Himpunan level bawah yang konveks menspesifikasikan kelas fungsi yang lebih luas, yaitu fungsi kuasikonveks.
3.2
Fungsi Kuasikonveks Berikut ini akan dibahas salah satu fungsi yang merupakan generalisasi dari fungsi
konveks, yaitu fungsi kuasikonveks. Fungsi ini akan dibahas secara geometri dan aljabar sebagai berikut. Definisi 3.2.1 (Cambini, Martein, 2009, hlm. 23) Vika Andina, 2015 Sifat-Sifat Fungsi Konveks Yang Tidak Dapat Digeneralisasi Menjadi Sifat-Sifat Fungsi Kuasikonveks Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
31
Fungsi
dikatakan kuasikonveks pada himpunan konveks
jika grafik dari
fungsinya selalu berada di bawah maksimum dari sebarang dua titik di fungsinya.
Gambar 3.4 Grafik fungsi kuasikonveks. Definisi di atas dapat diterjemahkan secara aljabar seperti yang akan dijelaskan sebagai berikut. Salah satu cara untuk menggeneralisasi fungsi konveks adalah dengan memperlonggar kondisi yang dibutuhkan fungsi tersebut agar menjadi konveks. Ingat kembali definisi fungsi konveks secara geometri, fungsi himpunan konveks
dikatakan konveks pada
jika setiap segmen garis di antara dua titik di grafiknya selalu
berada di atas grafik fungsi tersebut. Jika kita perlonggar definisi fungsi konveks tersebut untuk
,
, dengan hanya membutuhkan grafik dari fungsinya berada di
bawah nilai maksimum dari sebarang dua titik di fungsinya, seperti ilustrasi di bawah ini.
Vika Andina, 2015 Sifat-Sifat Fungsi Konveks Yang Tidak Dapat Digeneralisasi Menjadi Sifat-Sifat Fungsi Kuasikonveks Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
32
Gambar 3.5 Grafik fungsi kuasikonveks. dan , ( ) adalah nilai fungsi
Misal kita ambil sebarang titik ( ) adalah nilai fungsi
di titik (
maksimum fungsinya. adalah bilangan riil dari (
( ), artinya
) adalah kombinasi linear dari titik
sampai
.
(
(
dan
( ) adalah nilai dan , di mana
) ) adalah nilai fungsi
di titik
) . Berdasarkan gambar di atas,
titik
( )
dengan
di titik
dan
kuasikonveks jika nilai fungsi dari kombinasi linear
lebih kecil sama dengan nilai maksimumnya. Dengan demikian definisi fungsi
kuasikonveks dapat ditulis ulang sebagai berikut. Definisi 3.2.2 (Cambini dan Martein, 2009, hlm. 24) Misal
dikatakan kuasikonveks pada himpunan konveks (
untuk setiap
dan
( ,
) )
jika
* ( ) ( )+
-.
Gambar di bawah ini merupakan contoh fungsi yang bukan kuasikonveks karena nilai fungsi dari kombinasi linear dari
dan , (
(
) ), ada yang melebihi nilai
maksimumnya, yaitu ( ).
Gambar 3.6 Grafik fungsi bukan kuasikonveks.
Vika Andina, 2015 Sifat-Sifat Fungsi Konveks Yang Tidak Dapat Digeneralisasi Menjadi Sifat-Sifat Fungsi Kuasikonveks Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
33
dikatakan kuasikonkaf jika kuasikonkaf, maka
kuasikonveks. Jika
adalah kuasikonveks dan
adalah kuasilinear. (Boyd dan Vandenberghe, 2002, hlm. 95)
Dari dua definisi di atas, kita dapat menggambarkan macam-macam grafik fungsi kuasikonveks sebagai berikut.
(a)
(c)
(b)
(d)
Gambar 3.7 Berbagai macam bentuk grafik fungsi kuasikonveks. Ke empat gambar di atas merupakan grafik fungsi kuasikonveks. Dapat kita lihat di gambar (a), grafik fungsi kuasikonveksnya juga merupakan grafik dari fungsi konveks. Gambar (b) menunjukkan bahwa grafik fungsi berbentuk garis lurus juga merupakan fungsi kuasikonveks. Dari gambar (c), dapat dilihat bahwa grafik fungsi kuasikonveksnya juga merupakan grafik dari fungsi konkaf. Dan dari gambar (d), grafik fungsi kuasikonveknya menunjukkan bahwa fungsi kuasikonveks dapat mengandung fungsi konveks dan fungsi konkaf. Vika Andina, 2015 Sifat-Sifat Fungsi Konveks Yang Tidak Dapat Digeneralisasi Menjadi Sifat-Sifat Fungsi Kuasikonveks Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
34
Jadi, fungsi kuasikonveks dapat berupa fungsi konveks, garis lurus, fungsi konkaf, atau pun gabungan dari fungsi konveks dan konkaf. Itu adalah keistimewaan dari fungsi kuasikonveks. Berikut ini akan dijelaskan lebih lanjut mengenai hubungan fungsi kuasikonveks dengan fungsi konveks. Hubungan antara ke dua fungsi tersebut akan dijelaskan melalui teorema di bawah ini. Teorema 3.2.1 (Cambini dan Martein, 2009, hlm. 25) Jika fungsi
konveks pada himpunan konveks
, maka
kuasikonveks di .
Bukti: Diketahui
konveks, artinya (
(
) )
( )
(
) ( )
Ketaksamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut ( )
(
) ( )
* ( ) ( )+
(
)
* ( ) ( )+
Misal ( )
( ) atau
* ( ) ( )+
( ),
maka * ( ) ( )+
(
)
* ( ) ( )+
( ) ( )
(
( )
) ( ) ( )
( ) * ( ) ( )+ Artinya ( )
(
) ( )
* ( ) ( )+
Vika Andina, 2015 Sifat-Sifat Fungsi Konveks Yang Tidak Dapat Digeneralisasi Menjadi Sifat-Sifat Fungsi Kuasikonveks Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
35
,
untuk setiap
Jadi, terbukti fungsi
-. kuasikonveks.
Berdasarkan Teorema 3.2.1, diketahui bahwa jika
konveks maka
kuasikonveks.
Teorema ini tidak berlaku sebaliknya, karena terdapat fungsi kuasikonveks yang tidak konveks. Berikut ini adalah salah satu contoh fungsi kuasikonveks yang bukan merupakan fungsi konveks. Contoh 3.2.1 ( )
dengan
(
)
adalah fungsi kuasikonveks, namun bukan fungsi
0
1
konveks. 2 1 0 2
3
4
5
-1 -2 -3
Gambar 3.9 Grafik fungsi ( ) Dari gambar di atas terlihat jelas bahwa fungsi
( )
. merupakan fungsi
kuasikonveks namun bukan fungsi konveks.
3.3
Hubungan Fungsi Kuasikonveks dengan Himpunan Level Bawah Pada bab sebelumnya telah dijelaskan bahwa fungsi konveks dapat ditandai oleh
epigraph yang konveks. Berikut ini akan dijelaskan bahwa fungsi kuasikonveks dapat ditandai oleh himpunan level bawah yang konveks. Seperti yang akan ditunjukkan oleh teorema berikut. Teorema 3.3.1 (Cambini, Martein, 2009, hlm. 26)
Vika Andina, 2015 Sifat-Sifat Fungsi Konveks Yang Tidak Dapat Digeneralisasi Menjadi Sifat-Sifat Fungsi Kuasikonveks Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
36
Fungsi
dikatakan kuasikonveks pada himpunan konveks
jika dan hanya
jika himpunan level bawahnya, yaitu * | ( ) konveks untuk setiap
dan
+,
.
Bukti: ( ) Diketahui
kuasikonveks. , artinya ( )
Misal
dan ( )
(
(
)
) )
Sehingga,
(
Jadi, terbukti
himpunan konveks.
( ) Diketahui
, maka kita punya * ( ) ( )+
.
konveks.
Tanpa menghilangkan keumuman, asumsikan bentuk himpunan level bawah
Karena
* ( ) ( )+
( ) dan pandang
( ), yaitu
dengan ( )
Jelas,
.
* | ( )
( )+.
(
( )
( ).
( )
untuk semua
konveks,
,
-, yaitu (
Jadi, terbukti fungsi
)
(
))
( )
* ( ) ( )+
kuasikonveks.
Vika Andina, 2015 Sifat-Sifat Fungsi Konveks Yang Tidak Dapat Digeneralisasi Menjadi Sifat-Sifat Fungsi Kuasikonveks Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
37
Secara geometri, Teorema 3.3.1 dapat digambarkan sebagai berikut. Misalkan terdapat sebuah bentuk gunung terbalik yang merupakan himpunan level bawah yang terdefinisi di ruang berdimensi tiga seperti gambar di bawah ini.
Gambar 3.10 Contour Map himpunan level bawah di ruang berdimensi tiga. Bentuk di atas jelas merupakan fungsi kuasikonveks. Kemudian, kita potong bentuk di atas secara horizontal dimulai dari bagian yang paling rendah seperti gambar di bawah ini.
Gambar 3.11 Membagi menjadi 5 bagian sama besar secara horizontal. Lalu, jika kita melihat bentuk gunung terbalik yang telah dipotong dari atas, maka bentuk tersebut dapat digambarkan di ruang berdimensi dua seperti gambar di bawah ini.
Vika Andina, 2015 Sifat-Sifat Fungsi Konveks Yang Tidak Dapat Digeneralisasi Menjadi Sifat-Sifat Fungsi Kuasikonveks Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
38
Gambar 3.12 Level Curve himpunan level bawah di ruang berdimensi dua. Berdasarkan gambar di atas, kita lihat kurva yang digambarkan pertama adalah kurva dengan
, kurva tersebut merupakan kurva yang memiliki ketinggian paling
rendah dari himpunan level bawah. Sedangkan, kurva dengan
merupakan kurva
yang memiliki ketinggian paling tinggi dari himpunan level bawah. Kurva dengan disebut level curve. Kita ingat kembali Teorema 3.3.1, Fungsi kuasikonveks di
dengan
, disebut
jika dan hanya jika himpunan level bawahnya, yaitu * | ( )
konveks untuk setiap Maksud dari
dan * | ( )
+,
. + konveks, yaitu himpunan yang berada di dalam
level curve lebih kecil atau sama dengan , adalah himpunan konveks. Kita lihat gambar di bawah ini. Himpunan yang diarsir adalah himpunan yang berada di dalam level curve terluar dengan
. Himpunan tersebut berbentuk daerah yang dibatasi oleh lingkaran.
Oleh karena itu, jelas bahwa himpunan tersebut konveks. Begitu juga dengan himpunan yang berada di dalam level curve dengan
dan .
Vika Andina, 2015 Sifat-Sifat Fungsi Konveks Yang Tidak Dapat Digeneralisasi Menjadi Sifat-Sifat Fungsi Kuasikonveks Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
39
Gambar 3.13 Himpunan di dalam level curve dengan 3.4
.
Sifat-Sifat Fungsi Konveks yang Dapat Digeneralisasi Menjadi Sifat-Sifat Fungsi Kuasikonveks Dari teorema yang telah dibahas sebelumnya, diketahui bahwa fungsi kuasikonveks
merupakan generalisasi dari fungsi konveks. Sehingga dapat diduga bahwa fungsi kuasikonveks memiliki beberapa sifat khusus yang memiliki kemiripan dengan sifat-sifat fungsi konveks. Dengan kata lain, terdapat sifat-sifat fungsi konveks yang dapat digeneralisasi menjadi sifat-sifat fungsi kuasikonveks. Berikut ini adalah karakterisasi sifat-sifat fungsi konveks yang dapat digeneralisasi menjadi sifat-sifat fungsi kuasikonveks. Sifat-sifat ini mengacu pada karakterisasi yang dilakukan Greenberg dan Pierskalla (1971), dengan karakterisasi sebagai berikut: 1. Hubungan dengan himpunan konveks, 2. Kekontinuan, 3. Keterbatasan, 4. Keterdiferensialan, 5. Nilai ekstrem, 6. Ketaksamaan, 7. Transformasi.
Vika Andina, 2015 Sifat-Sifat Fungsi Konveks Yang Tidak Dapat Digeneralisasi Menjadi Sifat-Sifat Fungsi Kuasikonveks Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
40
Selanjutnya akan dibahas beberapa sifat fungsi konveks yang dapat digeneralisasi menjadi sifat-sifat fungsi kuasikonveks dengan karakterisasi keterdiferensialan, nilai ekstrem, ketaksamaan, dan transformasi. 3.4.1
Keterdiferensialan Fungsi Kuasikonveks Selanjutnya, akan dibahas sifat fungsi kuasikonveks yang melibatkan konsep
diferensial. Teorema di bawah ini lebih dikenal sebagai kondisi urutan pertama untuk fungsi kuasikonveks yang terdiferensialkan. Teorema 3.4.1.1 (Greenberg dan Pierskalla, 1970, hlm. 1560) Misal ( )
terdiferensialkan satu kali di
. Maka ( ) (
( ) menunjukkan bahwa
kuasikonveks di )
jika dan hanya jika
.
Bukti: adalah gradien dari (
)
( ) ( ) Diketahui Misalkan ( )
terdiferensialkan satu kali di ( ), karena
( ) dan
kuasikonveks.
kuasikonveks artinya
memenuhi ketaksamaan berikut
ini. ( untuk setiap
( ,
dan
) )
( )
))
( )
-.
Atau ekuivalen dengan (
( untuk setiap
dan
,
-.
Bagi kedua sisi dengan Vika Andina, 2015 Sifat-Sifat Fungsi Konveks Yang Tidak Dapat Digeneralisasi Menjadi Sifat-Sifat Fungsi Kuasikonveks Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
41
Ambil limit
(
(
))
( )
(
))
( )
, didapat (
( )(
)
Jadi, terbukti ( ) ( ( ) Diketahui ( )
)
adalah fungsi yang terdiferensialkan satu kali di
( ) sedemikian sehingga ( )(
Karena
dan memenuhi
)
adalah fungsi yang terdiferensialkan satu kali di
( ) , artinya ketaksamaan ( )
dapat ditulis menjadi ( )(
Karena ( )
)
(
(
))
( )
(
(
))
( )
(
(
))
( )
(
(
))
( )
( ), maka (
Jadi, terbukti fungsi
(
))
* ( ) ( )+
kuasikonveks.
Vika Andina, 2015 Sifat-Sifat Fungsi Konveks Yang Tidak Dapat Digeneralisasi Menjadi Sifat-Sifat Fungsi Kuasikonveks Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
42
3.4.2
Nilai Ekstrem Fungsi Kuasikonveks Berikut ini akan dibahas sifat dari fungsi kuasikonveks yang melibatkan konsep
nilai ekstrem dan himpunan konveks yang kompak. Teorema 3.4.2.1 (Greenberg dan Pierskalla, 1970, hlm. 1560) Jika
( )
adalah kompak maka
( )
( ).
Bukti: Pertama akan ditunjukkan terlebih dahulu bahwa ( ))
(
Misal
(
( )), artinya
( )
( ).
( )
merupakan kombinasi konveks dari titik-titik di
( ).
∑
dengan
( ),
, dan ∑
Aplikasikan ketaksamaan Jensen, maka diperoleh
( )
(∑
)
∑
( )
∑
(
(
(
Kebalikannya jelas,
( )
( ))
( (
( ))
( )
( ))
( )
( ).
( )
( ).
( ))
( )
( )
( )). ( )
Vika Andina, 2015 Sifat-Sifat Fungsi Konveks Yang Tidak Dapat Digeneralisasi Menjadi Sifat-Sifat Fungsi Kuasikonveks Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
43
Jadi, terbukti bahwa ( )
( ))
(
( )
( )
Sekarang akan ditunjukkan ( )
( )
( )
Ingat kembali Teorema Klein-Milman, untuk himpunan
konveks yang kompak dan
tidak kosong, ( ))
(
Dengan mengaplikasikan teorema Krein-Milman, diperoleh ( )
(
( ))
( )
( )
( )
Jadi, terbukti bahwa ( )
3.4.3
Ketaksamaan Fungsi Kuasikonveks Pada subbab ini akan dibahas sifat dari fungsi kuasikonveks yang melibatkan
konsep ketaksamaan. Teorema 3.4.3.1 (Greenberg dan Pierskalla, 1970, hlm. 1560) (
)
( ) untuk
,
- jika ( )
( ).
Bukti: ( Karena
kuasikonveks, maka
)
(
(
) )
juga konveks. Jadi, kesamaan di atas dapat ditulis sebagai
berikut. (
)
(
(
) )
Vika Andina, 2015 Sifat-Sifat Fungsi Konveks Yang Tidak Dapat Digeneralisasi Menjadi Sifat-Sifat Fungsi Kuasikonveks Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
44
( )
(
) ( )
( )
(
) ( )
( )
( )
( )
( ) Jadi, terbukti (
3.4.4
)
( ).
Transformasi Fungsi Kuasikonveks Selanjutnya akan dibahas sifat dari fungsi kuasikonveks yang melibatkan konsep
transformasi. Teorema 3.4.4.1 (Greenberg dan Pierskalla, 1970, hlm. 1560) ( )
(
,
hanya jika
) - kuasikonveks untuk sebarang
dan
,
-, jika dan
kuasikonveks.
Bukti: Misal (
)
(
),
.
Catat bahwa, atau ( )
,
, (
(
) -
( ) Diketahui ( ) kuasikonveks, maka secara khusus, untuk ,
(
) -
( , (
kita punya
) )
(
)-
, ( ) ( )Jadi, terbukti fungsi
kuasikonveks.
Vika Andina, 2015 Sifat-Sifat Fungsi Konveks Yang Tidak Dapat Digeneralisasi Menjadi Sifat-Sifat Fungsi Kuasikonveks Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
45
( ) Diketahui
kuasikonveks, maka ,
(
) -
, ( ) ( )-
atau , ( ) ( )-
,
(
) -
( )
Jelas bahwa ( ) juga kuasikonveks. Berdasarkan sifat-sifat fungsi kuasikonveks yang telah dibuktikan di atas dan sifatsifat fungsi konveks yang telah dibahas pada bab sebelumnya, serta berdasarkan sifat-sifat yang telah dikarakterisasi oleh Greenberg dan Pierskalla (1971), berikut ini akan disajikan tabel yang berisi sifat-sifat fungsi konveks yang dapat digeneralisasi menjadi sifat-sifat fungsi kuasikonveks. Tabel di bawah ini berlaku untuk konveks
terdefinisi pada himpunan
.
Tabel 3.1 Sifat-sifat fungsi konveks yang dapat digeneralisasi menjadi sifat-sifat fungsi kuasikonveks. Kuasikonveks
Konveks konveks jika dan hanya jika 1a.
kuasikonveks jika dan 1b.
adalah himpunan konveks.
dan
adalah
himpunan konveks.
linear jika dan hanya jika 2a.
hanya jika
kuasilinear jika dan hanya
adalah
2b.
himpunan konveks.
jika
dan
adalah
himpunan konveks untuk semua .
linear jika dan hanya jika 3a.
*(
)|
( )
adalah himpunan konveks.
Misal +
3b.
+. Jika
*
( )
kuasilinear, maka
adalah himpunan konveks untuk semua . Jika adalah himpunan konveks
Vika Andina, 2015 Sifat-Sifat Fungsi Konveks Yang Tidak Dapat Digeneralisasi Menjadi Sifat-Sifat Fungsi Kuasikonveks Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
46
untuk semua
dan jika
kontinu, maka
terbatas untuk semua 4a.
jika
dan hanya jika terdapat sedemikian sehingga
Jika 4b.
5a.
sedemikian sehingga
tidak
terbatas. kontinu hampir di semua
( ).
Misalkan
terdiferensialkan
dua kali di konveks di 7a.
Turunan parsial satu sisi ada 6b.
( ).
seluruh
( ).
5b.
Turunan parsial satu sisi ada di 6a.
tidak kosong dan
terbatas, maka terdapat
kosong dan terbatas.
kontinu di
kuasilinear.
Misal
. Maka
terdiferensialkan
dua kali di
jika dan hanya
( ).
hampir di semua
. Jika
kuasikonveks di
jika hessian ( ) adalah positif 7b.
| |
setengah terbatas di sepanjang
Jika | |
.
, maka
untuk
.
untuk
, maka kuasikonveks di
Misalkan
8a.
terdiferensialkan
satu kali di
. Maka
konveks di
jika dan hanya
jika ( )
terdiferensialkan
satu kali di
( )
( ) (
Misal
8b.
).
9a.
kompak.
( )
jika dan
hanya jika ( )
( )
menunjukkan bahwa
jika
) ( )
9b.
adalah kompak maka 10b.
( )
. jika
kompak. Jika
10a. Jika
. Maka
kuasikonveks di
( ) ( ( )
.
adalah kompak maka ( )
Vika Andina, 2015 Sifat-Sifat Fungsi Konveks Yang Tidak Dapat Digeneralisasi Menjadi Sifat-Sifat Fungsi Kuasikonveks Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
47
( )
( )
( ).
( ).
( )
Setiap minimum lokal Setiap minimum lokal adalah 11a. minimum global.
adalah minimum global atau 11b.
konstan di lingkungan minimum lokal.
Himpunan minimum global
Himpunan minimum global 12b. adalah konveks.
12a. adalah konveks. Kualifikasi batas Kuhn-Tucker
Kualifikasi batas Kuhn-
( )
terpenuhi untuk *
Tucker terpenuhi untuk
( )
13a.
( )
*
+ jika terdapat
13b. jika
untuk semua
+
( ) ( )
.
untuk ,
. Misal dan
subset kompak di
Misal
, berturut-turut, dan
kompak di
(
untuk setiap
)
,
untuk
) adalah konveks.
Lebih jauh lagi, misal ( kontinu. Maka (
)
) )
) adalah
kuasikonkaf dan upper semi14b. continuous serta untuk setiap ( ) adalah kuasikonveks dan lower
memiliki titik saddle, katakanlah (
(
setiap
adalah konkaf dan untuk setiap
14a.
dan
berturut-turut, dan misalkan
misalkan
(
himpunan
semi-continuous. Maka
.
terdapat titik saddle dari (
), katakanlah
( ( 15a. ,
)
(
( ) untuk
- jika ( )
.
)
15b.
) ,
. ( ) untuk - jika ( )
( ).
Vika Andina, 2015 Sifat-Sifat Fungsi Konveks Yang Tidak Dapat Digeneralisasi Menjadi Sifat-Sifat Fungsi Kuasikonveks Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
48
( )
(
)
( )
adalah
monoton naik untuk 16a.
jika
( ) ( )
,
(
konveks, dengan
( )
-
(
,
,
- untuk sebarang kuasikonveks.
konveks. ( ) ( )
( ) konveks,
18a. dimana adalah sebarang himpunan indeks.
19a.
, ( )- konveks jika
konveks dan tidak turun.
( )
kuasikonveks, dimana 18b.
adalah sebarang himpunan indeks ( )
( )
) -
kuasikonveks, dengan 17b.
17a. untuk sebarang
) adalah
16b. monoton naik untuk jika ( ) ( )
) ,
(
, ( )-
19b. kuasikonveks jika turun.
tidak
Dari tabel 3.1 terlihat bahwa sebagai fungsi yang merupakan generalisasi dari fungsi konveks, fungsi kuasikonveks memiliki sifat-sifat yang memiliki kemiripan dengan sifat-sifat fungsi konveks. Namun, karena fungsi kuasikonveks merupakan generalisasi dari fungsi konveks, kita dapat menduga bahwa terdapat sifat-sifat fungsi konveks yang tidak memiliki kemiripan dengan fungsi kuasikonveks atau dengan kata lain, terdapat sifat-sifat fungsi konveks yang tidak dapat digeneralisasi menjadi sifat-sifat fungsi kuasikonveks. Sifat-sifat ini akan dibahas pada bab selanjutnya.
Vika Andina, 2015 Sifat-Sifat Fungsi Konveks Yang Tidak Dapat Digeneralisasi Menjadi Sifat-Sifat Fungsi Kuasikonveks Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
49
Vika Andina, 2015 Sifat-Sifat Fungsi Konveks Yang Tidak Dapat Digeneralisasi Menjadi Sifat-Sifat Fungsi Kuasikonveks Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
