26
BAB III EXTENDED KALMAN FILTER DISKRIT
3.1
Pendahuluan Extended Kalman Filter adalah perluasan dari Kalman Filter. Extended
Kalman Filter merupakan algoritma yang digunakan untuk mengestimasi variabel keadaan
dari suatu sistem dinamik stokastik non linier.
Extended Kalman Filter ini cukup membantu karena pada praktiknya, banyak sekali sistem dinamik yang digunakan untuk menggambarkan perilaku suatu masalah adalah sistem dinamik non linier, yang tentu saja Kalman Filter tidak dapat bekerja untuk kasus tersebut. Extended Kalman Filter mengestimasi keadaan dari suatu sistem dinamik stokastik non linier dengan persamaan
dan persamaan pengukuran
di mana
3.2
atau
merupakan fungsi non linier.
Extended Kalman Filter Sebagaimana dijelaskan sebelumnya, Extended Kalman Filter adalah
perluasan dari metode Kalman Filter, yaitu algoritma untuk mengestimasi variabel
dari suatu sistem dinamik stokastik non linier. Extended Kalman
Sugiri Aryanto, 2012
Aplikasi Extended Kalman... Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
27
Filter menggabungkan sistem dan pengukuran dalam mengestimasi variabel keadaan. Misal
merupakan variabel keadaan dari sistem dinamik stokastik
non linier dengan persamaan
dan persamaan pengukuran
(3.1) di mana
atau
merupakan fungsi non linier,
noise yang saling bebas, tidak berkorelasi dengan normal dengan rata-rata 0 dan kovarians
dan
dan
merupakan white
dan
, dan berdistribusi
berturut-turut.
Extended Kalman Filter mencoba mengestimasi
dengan cara
melinierkan persamaan tersebut dengan menggunakan deret Taylor sehingga Kalman Filter dapat diaplikasikan.
3.3.
Proses Pelinieran Extended Kalman Filter bekerja dengan cara melinierkan proses dan (atau)
pengukuran dengan menggunakan deret Taylor di sekitar mean dan kovarians. Pada persamaan (3.1), perhatikan bahwa nilai dari diketahui, namun variabel keadaan menghiraukan
dan
dan pengukuran
dan
dapat diestimasi tanpa
. Hal tersebut dapat dituliskan sebagai
perhatikan bahwa Sugiri Aryanto, 2012
Aplikasi Extended Kalman... Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
tidak dapat
28
dan,
(3.2) Sekarang, dengan menggunakan deret Taylor,
Jika turunan dengan orde
diabaikan, maka persamaan (3.2) menjadi
atau
(3.3) di mana
dan
merupakan nilai variabel keadaan dan pengukuran yang
sebenarnya.
dan
merupakan nilai estimasi prior untuk
dan
.
merupakan nilai estimasi posterior pada saat ke k.
adalah matriks Jacobian dari turunan parsial
terhadap
saat
adalah matriks Jacobian dari turunan parsial
terhadap
saat
Sugiri Aryanto, 2012
Aplikasi Extended Kalman... Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
. .
29
3.4.
dan
merupakan galat.
Persamaan Time Update Sama halnya seperti Kalman Filter, pada Extended Kalman Filter juga
terdapat persamaan time update. Persamaan time update merupakan persamaan yang berguna untuk memproyeksikan keadaan saat ini dan residu taksiran untuk menghasilkan taksiran prior pada langkah selanjutnya. Pada persamaan sebelumnya telah disebutkan bahwa nilai estimasi prior dari
adalah
.
Definisikan
maka dapat ditentukan kovarians awal
yaitu
(3.4)
3.5.
Persamaan Measurement Update Persamaan measurement update merupakan persamaan yang digunakan
sebagai koreksi atas persamaan time update yang menghasilkan estimasi posterior.
Sugiri Aryanto, 2012
Aplikasi Extended Kalman... Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
30
Persamaan (3.3) di atas merupakan persamaan yang linier, sehingga metode Kalman Filter yang telah dijelaskan sebelumnya dapat digunakan. Perhatikan bahwa bagian ke dua dari persamaan (3.3) dapat diubah menjadi
(3.5) di mana
.
Nilai estimasi posterior pada persamaan (3.5) dapat ditentukan sebagai kombinasi linier dari nilai estimasi prior
dan pengukuran
yaitu
(3.6) Definisikan
, maka kovarians
Sugiri Aryanto, 2012
Aplikasi Extended Kalman... Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
dapat ditentukan yaitu
31
E[
Seperti yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya, maka
akan
minimum jika
(3.7)
sehingga
(3.8) 3.6.
Algoritma Extended Kalman Filter Berdasakan uraian di atas, dapat dibuat suatu algoritma untuk
mengestimasi variabel keadaan dengan metode Extended Kalman Filter yaitu: Sugiri Aryanto, 2012
Aplikasi Extended Kalman... Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
32
1. Menentukan nilai keadaan awal yaitu matriks kovarian awal normal yaitu
kemudian dihitung nilai
yang didapatkan dari data yang berdistribusi .
2. Menghitung nilai taksiran keadaan prior
3. Menghitung kovarians residu prior
4. Menghitung Kalman Gain
5. Menghitung taksiran posterior
6. Menghitung kovarians posterior
Perhitungan di atas dilakukan sampai semua observasi digunakan.
3.7
Estimasi Parameter dengan Metode Maksimum Likelihood Sebagaimana dijelaskan di atas, Extended Kalman Filter merupakan
metode yang diterapkan pada suatu model yang tidak linier. Namun sebelum dapat menggunakan Extended Kalman Filter, terlebih dahulu perlu dicari nilainilai parameter yang terdapat dalam model tersebut. Salah satu metode yang dapat
Sugiri Aryanto, 2012
Aplikasi Extended Kalman... Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
33
digunakan untuk estimasi parameter adalah dengan menggunakan metode maksimum likelihood. Perhatikan model non linier
di mana
dan
merupakan parameter yang tidak diketahui nilainya.
dapat ditentukan fungsi likelihood yaitu fungsi kepadatan gabungan dari
yaitu
Logaritma natural dari persamaan di atas adalah
Untuk menentukan nilai
maka hal yang diperlukan adalah menurunkan
persamaan di atas terhadap
yang kemudian hasilnya dibuat sama dengan nol.
Yaitu
Sugiri Aryanto, 2012
Aplikasi Extended Kalman... Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
34
Untuk selanjutnya, estimasi parameter dapat dilakukan dengan menggunakan bantuan software Eviews.
Sugiri Aryanto, 2012
Aplikasi Extended Kalman... Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu