BAB II PENCARIAN AKAR PERSAMAAN NON LINIER

Bab 2

Supardi, M.Si

BAB II PENCARIAN AKAR PERSAMAAN NON LINIER PENDAHULUAN Dalam bab ini, kita akan membahas tentang beberapa metode numerik yang dapat digunakan untuk menemukan akar-akar persamaan non-linier. Masalah yang akan kita bahas tersebut secara matematis dapat diterangkan sebagai pencarian hargaharga x sedemikian hingga memenuhi persamaan non-liner f ( x ) = 0 . Manakala kita mengatakan bahwa f ( x ) adalah fungsi non-linier dalam x , ini berarti bahwa f ( x ) tidak dinyatakan dalam bentuk ax + b , dimana a dan b merupakan konstanta dan manakala kita mengatakan bahwa f ( x ) adalah fungsi aljabar, ini berarti bahwa fungsi tersebut tidak melibatkan bentuk diferensial d n y dx n . Masalah menemukan akar dari suatu persamaan non linier ini merupakan masalah yang muncul dalam berbagai disiplin ilmu. Contoh sederhana dari 2 persamaan nonlinier adalah persamaan kuadratik yang berbentuk f ( x ) = ax + bx + c

Persamaan non linier yang lain misalnya, a. x 4 + 40 x 3 + 10 x 2 + 100 x = 0 b. tanh ( x ) − tan ( x ) = 0 c. x − sin ( x ) = 0

Dalam kenyataannya, akar-akar persamaan non linier tersebut tidak mudah untuk ditemukan secara analitik, kecuali pada kasus-kasus sederhana. Oleh sebab itu, alasan utama mengapa penyelesaian masalah pencarian akar persamaan nonlinier memerlukan pendekatan numerik disebabkan karena penyelesaian menggunakan cara Pencarian Akar Persamaan Nonlinier

11

Bab 2 analitik

Supardi, M.Si biasanya

akan

menemui

kesulitan,

meskipun

persamaan

tersebut

kelihatannya sederhana. Hal inilah yang menjadi sebab mengapa metode numerik menjadi sangat diperlukan dalam memecahkan persoalan-persoalan dalam bidang sains dan teknologi bahkan ekonomi sekalipun. Di dalam bab ini kita akan mempelajari berbagai teknik pendekatan numerik untuk masalah mendapatkan akar persamaan nonlinier. Cara termudah sudah kita perlihatkan secara sekilas pada bab 1 yaitu dengan cara grafis. Teknik tersebut sebenarnya tidak termasuk ke dalam metode numerik, mengingat teknik ini tidak melewati serangkaian kaidah-kaidah analisis numerik. Meskipun demikian kita akan membahasnya karena pada saatnya nanti akan sangat berguna ketika kita memerlukan terkaan awal dari sebuah akar persamaan yang dicari. Disamping itu, beberapa metode numerik akan dibahas secara detail antara lain metode bagi dua (bisection), Newton-Raphson, posisi palsu (regula falsi/interpolasi linier), Secant dan metode iterasi langsung. Contoh soal juga akan diberikan untuk memberikan gambaran jelas terhadap metode yang dipelajari.

2.1 METODE GRAFIK Pencarian akar persamaan nonlinier dengan menggunakan metode grafik merupakan cara paling sederhana dibandingkan dengan metode numerik yang ada. Untuk mendapatkan akar-akar persamaan ini cukup dilakukan pengeplotan fungsi yang akan dicari akar persamaannya dalam ranah tertentu. Sebagai contoh, misalnya diinginkan akar-akar persamaan dari fungsi

f  x = x sin  x −exp−x  . Kita

dapat mengeplot secara sederhana fungsi tersebut dengan menggunakan salah satu paket software matematika seperti terlihat pada gambar 2.1. Dalam buku ini pengeplotan grafik dilakukan dengan menggunakan Matlab. Dengan menarik garis perpotongan antara grafik f ( x ) dengan sumbu-x, maka kita dapat memperkirakan akar-akar persamaan yang dimilikinya. Satu akar persamaan terletak kira-kira di x = 0,59 dan yang lain berkisar di x = 0,81 . Hasil Pencarian Akar Persamaan Nonlinier

12

Bab 2

Supardi, M.Si

yang diperoleh tentunya relatif kasar jika

dibandingkan dengan menggunakan

metode numerik yang akan dipelajari selanjutnya.

Gambar 2.1. Pencarian akar persamaan dengan metode grafik.

2.2 METODE BAGI DUA (BISECTION) Metode bagi dua merupakan metode analisis numerik paling sederhana diantara metode-metode analisis lainnya. Metode ini termasuk metode yang robust atau tangguh. Artinya, meskipun metode ini idenya sangat sederhana namun selalu dapat menemukan akar persamaan yang dicari. Salah satu kekurangan yang dimiliki oleh metode ini adalah bahwa kita harus menentukan dua terkaan awal, yaitu xa dan

xb yang mengurung sebuah akar persamaan yang idcari, sehingga apabila f a = f ( xa ) dan f b = f ( xb ) , maka akan dipenuhi f a f b ≤ 0 . Contoh dari masalah ini digambarkan pada gambar 2.2. Apabila dipenuhi f a f b = 0 maka salah satu dari xa dan xb yang berada pada x1 atau keduanya merupakan akar persamaan yang dicari. Algoritma dasar dari metode bagi dua dapat dinyatakan sebagai berikut: 1) Tentukan xc = ( xa + xb ) 2 Pencarian Akar Persamaan Nonlinier

13

Bab 2

Supardi, M.Si 2) Tentukan

f c = f  x c  , f a = f  x a  dan f b = f  x b  .

3) Apabila

f  x c =0 ,

maka

x = xc

merupakan

penyelesaian

eksaknya. 4) Apabila f a f c < 0 , maka akar persamaan berada di dalam interval [ xa , xc] .

5) Apabila f a f c > 0 atau f c f b < 0 , maka akar persamaan berada di dalam interval [ x c , x b ] 6) Ulangi prosedur nomor 2) hingga 5) sampai interval yang mengurung akar persamaan sudah sangat sempit.

Gambar 2.2. Pencarian akar persamaan dengan metode bagi dua.

Pencarian Akar Persamaan Nonlinier

14

Bab 2

Supardi, M.Si

MULAI

Menentukan f(x)

Masukan terkaan awal xa, xb

Menentukan fa=(xa) dan fb=f(xb)

Apakah fa*fb < 0 ?

TIDAK

YA Masukan harga Tol, n=0, xc=0

Ulangi terkaan awal xa dan xb

while abs(f(xc)) > tol

n=n+1; xc=(xa+xb)/2

TIDAK

Apakah f(xa)f(xc) < 0? YA

xa=xc, fa=fc

xb=xc fb=fc

CETAK n vs xc

STOP

Gambar 2.3 Bagan alir untuk program metode bagi dua


15

Bab 2

Supardi, M.Si

Dengan selalu mengupdate interval

( xc , xb )

( xa , xb )

baik dengan

( xa , xc )

tergantung pada interval mana yang mengurung akar persamaan

maupun

x 0 , maka

kesalahan (error) dalam penaksiran terhadap akar persamaan f ( x ) = 0 adalah ratarata dari kedua interval tersebut dibagi dua. Kita akan mengulangi prosedur membagi dua interval secara terus menerus hingga ditemukan akar persamaan yang sudah sangat dekat dengan harga eksaknya atau syukur-syukur diperoleh harga eksaknya.

KONVERGENSI METODE BAGI DUA Oleh karena interval ( xa , xb ) selalu mengurung akar persamaan x 0 , maka berarti bahwa kesalahan penggunaan xa atau xb sebagai taksiran akar persamaan pada iterasi yang ke n harus memenuhi ∈ N < xa xb . Nah, karena interval [ x a , x b ] selalu dibagi dua pada setiap iterasi, maka ∈ n+ 1 = ∈ n / 2

(2-1)

Ungkapan yang lebih umum, jika xn merupakan taksiran harga terhadap akar x = x0 pada iterasi ke n , maka kesalahan penaksiran ini dinyatakan oleh

en = xn x0

(2-2)

Dalam banyak kasus, kita dapat menyatakan kesalahan pada langkah ke n tersebut sebagai e n +1 = C en

p

(2-3)

Tanda pangkat p pada persamaan (2-3) menyatakan orde konvergensi. Semakin besar harga p , maka laju konvergensi ke arah penyelesaian dari metode tersebut akan semakin cepat atau paling tidak en + 1 < en . Untuk skema dengan orde pertama, yaitu dengan harga p = 1 , maka C < 1 pada proses konvergensinya.


16

Bab 2

Supardi, M.Si Untuk metode bagi dua kita dapat mengestimasi en sebagai ∈ n . Bentuk dari

persamaan (2-1) selanjutnya menyarankan p = 1 dan C = 1/ 2 , yang menyatakan bahwa skema tersebut termasuk orde pertama dan konvergen secara linier. Konvergensi ke arah nilai akar persamaan akan selalu dijamin asalkan f ( x ) kontinu pada seluruh interval pengurungan awal.

KRITERIA HENTI METODE BAGI DUA Biasanya, pencarian akar persamaan secara numerik tidak akan pernah menemukan harga eksak dengan kesalahan sama dengan nol. Yang dapat dilakukan hanyalah pendekatan dengan tingkat ketelitian tertentu. Untuk menghindari pencarian akar secara terus-menerus tanpa henti, maka diperlukan suatu syarat agar proses tersebut dapat dihentikan. Nah hal ini perlu dengan apa yang dimanakan harga toleransi. Harga toleransi untuk menghentikan pencarian terus menerus ini dapat diatur sesuai kebutuhan. Contoh 2.1 Ditinjau sebuah fungsi nonlinier f  x =cos  x− x seperti digambarkan pada gambar 2.4. Dengan menggunakan metode bagi dua akan ditunjukkan cara memperoleh akar persamaan cos  x −x=0 . Terkaan awal untuk mengurung akar diberikan x = 0 dan x=1.0 .

Gambar 2.4 Grafik fungsi f  x =cos  x −x Pencarian Akar Persamaan Nonlinier

17

Bab 2

Supardi, M.Si

Penyelesaian Langkah pertama, kita lakukan perhitungan untuk terkaan awal yang diberikan, yaitu Untuk

x 1=0.0 f  x 1 =cos 0−0.0=1

Untuk x 2=1.0 f  x 2 =cos 1.0−1.0=−0.4597 f 1 f 2 =−0.45970

Dari dua harga fungsi yang berhubungan dengan terkaan awal yang diberikan hasilnya diuji dan menurut hitungan diperoleh bahwa hasil kalinya berharga negatif. Ini berarti bahwa harga terkaan tersebut telah mengurung akar persamaan yang sedang dicari. Selanjutnya diteruskan dengan menghitung x3 dengan cara merataratakan kedua terkaan awal dan dihitung f ( x3 ) x 3=

x 1x 2 =0.5 2

f  x 3=0.5=cos 0.5−0.5=0.377583 Oleh karena f ( x3 ) berharga positif, maka akar persamaan berada di antara absis x 3=0.5 dan x 2=1 , karena f ( x2 ) f ( x3 ) < 0 . Langkah berikutnya adalah membuat setengah interval berikutnya yang mengurung akar persamaan yang dicari. Demikian prosedur tersebut diulang-ulang hingga interval yang mengurung akar tersebut sangat dekat dengan akar eksaknya. Untuk mempermudah proses memperoleh akar persamaan, maka dibawah ini diberikan program komputer untuk memperoleh akar persamaan tersebut. Hasil running program juga diberikan untuk memperjelas pemahaman kita terhadap metode ini termasuk proses konvergensi ke arah akar persamaan yang dicari.. %PROGRAM Bagi Dua clear; close all; f=inline('cos(x)-x','x'); Pencarian Akar Persamaan Nonlinier

18

Bab 2

Supardi, M.Si xa xb fa fb if

= input('Berikan terkaan awal 1 :'); = input('Berikan terkaan awal 2 :'); = f(xa); = f(xb); (fa*fb > 0) fprintf('Terkaan awal tdk mengurung, Ulangi!!') break; end; fa = f(xa); fb = f(xb); tol=1e-6; n=0; xc=0; fid=fopen('bgd.txt','w'); while abs(f(xc))>tol n=n+1; xc = (xa + xb)/2.0; % proses membagi dua fc = f(xc); % pendekatan akar persamaan if (fa*fc < 0.0) xb = xc; fb = fc; else xa = xc; fa = fc; end; fprintf('%i %f \n',n,xc); fprintf(fid,'%i %f \n',n,xc); end fclose(fid); load bgd.txt; x=bgd(:,1); y=bgd(:,2); plot(x,y,'LineWidth',3.5) xlabel('i '); ylabel ('y'); Tabel 2.1 Hasil Running program Bagi Dua iterasi ke I 1 2 3 4


xc 0.500000 0.750000 0.625000 0.687500

19

Bab 2

Supardi, M.Si 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.718750 0.734375 0.742188 0.738281 0.740234 0.739258 0.738770 0.739014 0.739136 0.739075 0.739105 0.739090 0.739082 0.739086 0.739084 0.739085

Gambar 2.5 Proses pencarian akar persamaan

2.3 METODE POSISI PALSU (REGULA FALSI/INTERPOLASI LINIER) Metode posisi palsu mirip dengan metode bagi dua. Kemiripannya terletak dalam hal diperlukan dua harga taksiran awal pada awal pengurungan akar persamaan. Sedangkan, perbedaannya terletak pada proses pencarian pendekatan akar persamaan selanjutnya setelah pendekatan akar saat ini ditemukan.


20

Bab 2

Supardi, M.Si Prinsip pencarian akar persamaan dari metode ini didasarkan pada

penggunaan interpolasi linier seperti diperlihatkan pada gambar 2.6. Interpolasi linier 1 dilakukan melalui dua titik pertama. Garis interpolasi memotong sumbu x dan dititik perpotongan tersebut kita dapatkan pendekatan akar yang pertama. Kemudian pendekatan tersbut dievaluasi pada fungsi nonlinier sehingga diperoleh titik pada fungsi nonlinier tersebut. Kemudian dilakukan lagi interpolasi melalui ujung sebelumnya dan diperoleh pendekatan akar berikutnya. Demikian seterusnya, hingga diperoleh harga pendekatan akar yang sudah sangat dekat dengan akar persamaan eksaknya. Perhatikan pula bahwa titik tolak interpolasi berasal dari satu titik tertentu.

Gambar 2.5 Metode Posisi Palsu Jika sebuah akar persamaan berada pada interval [ x a , x b ] , maka fungsi linier yang melalui titik  x a , f  x a  dan  x b , f  x b  dapat dituliskan sebagai y= f  x a 

f  x b − f  x a   x−x a  x b−x a

(2-4)

Selanjutnya, jika pernyataan (2-4) dinyatakan dalam x , maka dapat ditulis sebagai


21

Bab 2

Supardi, M.Si x= x a

xb −x a  y − f  x a  f  x b − f  x a 

Saat garis interpolasi memotong sumbu x di titik

(2-5)  x c , f  x c  , dimana harga

f  x c =0 dinyatakan oleh x c =x a−

xb −x a x f  x b− x b f  x a   f  x a = a f  x b − f  x a  f  x b − f  x a 

Setelah menemukan titik

(2-6)

x b , maka sekarang interval

[ x a , x b ] dibagi

menjadi [ x a , x c ] dan [ x c , x b ] . Apabila dipenuhi f  x a  f  x c 0 , maka akar yang dicari berada di dalam interval [ x a , x c ] , sebaliknya jika f  x a  f  x c 0 atau f  x c  f  x b 0 , maka akar tersebut berada di dalam interval [ x c , x b ] . x b yang baru dengan harga

Sekarang diupdate harga

x c yang baru saja kita

peroleh, sehingga pencarian akar persamaan tetap pada interval [ x a , x b ] . Prosedur interpolasi diulang lagi hingga akar taksiran mencapai konvergen ke akar sebenarnya. Kelemahan dari metode posisi palsu ini adalah bahwa salah satu ujungnya tidak mengalami perpindahan atau stagnan seperti terlihat pada gambar 2.2. Dengan demikian pendekatan ke harga akar sebenarnya hanya berasal dari salah satu ujung saja. Algoritma metode posisi palsu dapat dinyatakan sebagai berikut 1) Berikan

terkaan

awal

x a dan x b yang

mengurung

akar

persamaan. 2) Untuk menguji bahwa terkaan awal mengurung akar persamaan maka ujilah apakah f  x a  f  x b 0 , jika ya maka terkaankita sudah benar. 3) Tentukan salah satu titik yang akan digunakan sebagai titik tolak interpolasi linier misalnya  x a , f a  . 4) Tentukan x c dengan cara


22

Bab 2

Supardi, M.Si x c =x a− x c=

xb −x a  f  x a  atau f  x b − f  x a 

x a f  x b −x b f  x a  f  x b − f  x a 

5) Update harga x b dengan x c dan

f b dengan f c .

6) Ulangi proses dari poin 4) hingga ditemukan harga x c yang sudah sangat dengan akar sebenarnya. Oleh karena pada setiap langkah akar persamaan selalu terkurung dalam suatu interval, maka konvergensi dapat dijamin seperti halnya pada metode bagi dua. Metode tersebut dapat memberikan harga eksak jika fungsi f linier. MULAI

Menentukan f(x)

Masukan terkaan awal xa, xb

Menentukan fa=(xa) dan fb=f(xb)

TIDAK

Apakah fa*fb < 0 ? YA Memasukkan Tol, n=0, xc=0



n=n+1; xc=xa-(xb-xa)/(fb-fa)*fa

xb=xc fb=fc

CETAK n vs xc

STOP

Gambar 2.7 Diagram alir program Regula Falsi Pencarian Akar Persamaan Nonlinier

23

Bab 2

Supardi, M.Si

Contoh 2.2 Ditinjau sebuah fungsi nonlinier f  x =cos  x −0.5 seperti digambarkan pada gambar 2.4. Dengan menggunakan metode regula falsi akan ditunjukkan cara memperoleh akar persamaan cos  x −0.5=0 . Terkaan awal untuk mengurung akar diberikan x = 0 dan x=/2

Gambar 2.7 plot garafik fungsi f  x =cos  x −0.5 Penyelesaian •

Pertama, kita lakukan perhitungan pada harga fungsi untuk terkaan awal yang diberikan, yaitu

•

Untuk x1 = 0,

f ( x1 = 0 ) = cos ( 0 ) − 0.5 = 0.5

Untuk x2 = π 2,

f ( x2 = π 2 ) = cos ( π 2 ) − 0.5 = − 0.5

Kedua, kita tentukan harga x 3 yang merupakan titik di sumbu-x sebagai hasil perpotongan grafik fungsi di sumbu tersebut,yaitu


24

Bab 2

Supardi, M.Si x3 =

x1 f 2 − x 2 f 1 ( 0 )( − 0.5) − ( π / 2 )( 0.5) = = 0.7854 ( − 0.5) − ( 0.5) f 2 − f1

f ( 0.7854 ) = cos( 0.7854 ) − 0.5 = 0.2071

•

Ketiga, setelah diketahui harga dari x 3 , maka kita dapat tentukan bahwa akar persamaan terkurung dalam interval [ x 2 , x3 ] . Selanjutnya dicari x 4 dengan cara seperti pada butir kedua x4 =

x 2 f 3 − x3 f 2 ( π / 2 )( 0.2071) − ( 0.7854 )( − 0.5) = = 1.0154 ( 0.2071) − ( − 0.5) f3 − f2

f (1.0154 ) = cos(1.0154 ) − 0.5 = 0.0273

•

Keempat, dari butir ketiga dapat diketahui bahwa sekarang akar persamaan terkurang dalam interval [ x 2 , x 4 ] . Selanjutnya,marilah kita hitung untuk x5 nya x5 =

x 2 f 4 − x 4 f 2 ( π / 2 )( 0.0273) − (1.0154)( - 0.5) = = 1.0441 ( 0.0273) − ( - 0.5) f4 − f2

f (1.0442 ) = cos(1.0442 ) − 0.5 = 0.0026

•

Keenam, ulangi langkah-langkah tersebut hingga x n sampai diperoleh harga f ( x n ) mendekati nol.

Contoh program komputer untuk pencarian akar persamaan dengan metode Regula Falsi ditunjukkan dibawah ini. Hasil running program komputer dapat dilihat pada tabel 2.2. %PROGRAM Regula Falsi clear; close all; f=inline('sin(x)-0.5','x'); xa = input('Berikan terkaan awal 1 :'); xb = input('Berikan terkaan awal 2 :'); fa = f(xa); fb = f(xb); if (fa*fb > 0) Pencarian Akar Persamaan Nonlinier

25

Bab 2

Supardi, M.Si

fprintf('Terkaan awal tdk mengurung, Ulangi!!') break; end; fa = f(xa); fb = f(xb) tol=1e-6; fid=fopen('regula.txt','w'); n=0; % inisialisasi no iterasi xc=0; % inisialisasi untuk xc while abs(f(xc))>tol n=n+1; xc = xa - (xb-xa)/(fb-fa)*fa; fc = f(xc); xb = xc; fb = fc; fprintf('%i %f %f\n',n,xc,fc); fprintf(fid,'%i %f %f\n',n,xc,fc); end fclose(fid); load regula.txt; x=regula(:,1); y=regula(:,2); plot(x,y,'LineWidth',3.5) xlabel('i '); ylabel ('y'); Tabel 2.2 Hasil Running program Posisi salah iterasi ke I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11


xc 0.785398 1.015436 1.044138 1.046912 1.047171 1.047195 1.047197 1.047198 1.047198 1.047198 1.047198

26

Bab 2

Supardi, M.Si

Gambar 2.8 Proses pencarian akar persamaan nonlinier cos  x −0.5=0

2.4 METODE NEWTON-RAPHSON Metode Newton-Raphson merupakan metode yang paling sering digunakan diantara metode-metode pencarian akar persamaan yang lain. Metode ini sederhana, namun cukup handal dalam mendapatkan akar persamaan nonlinier, dengan catatan terkaan awal yang diberikan cukup dekat. Metode Newton-Raphson tidak memerlukan dua buah terkaan awal seperti halnya metode bagi dua dan Regula Falsi, melainkan cukup satu saja tetapi diusahakan terkaan tersebut cukup dekat dengan akar persamaan yang dicari. Ide dari metode ini dapat dijelaskan sebagai berikut. Jika kita memberikan satu terkaan awal  x n , f  x n

x= x n terhadap akar persamaan x 0 , maka kita memiliki titik

pada fungsi. Dengan menarik garis singgung pada titik tersebut dan


27

Bab 2

Supardi, M.Si

diperpanjang hingga memotong sumbu x, maka kita akan memperloleh pendekatan akar lebih dekat dengan terkaan sebelumya. Selengkapnya dapat dijelaskan dengan pendekatan geometris seperti terlihat pada gambar 2.5.

Gambar 2.9 Gambaran grafis metode Newton-Raphson Disamping menggunakan pendekatan geometris, metode ini juga dapat diturunkan dari ekspansi deret Taylor disekitar titik

x= x n , yaitu

1 f  x n1 = f  x n hf '  x n h 2 f ' '  x nO∣h3∣ 2

(2-7)

dengan h= x n1−x n  Dengan mengabaikan suku kuadratik dan suku-suku yang lebih tinggi lainnya serta dengan mengambil

f  x n 1 =0 mengingat pada titik x= x n1 grafik

memotong sumbu x, maka akan diperoleh harga pendekatan akar persamaan x n1= x n−

f  xn f '  x n

Dari ungkapan (2-8), misalkan terkaan awal adalah Pencarian Akar Persamaan Nonlinier

(2-8) x= x 1 , maka

28

Bab 2 ●

Supardi, M.Si Pendekatan akar kedua adalah x 2= x 1−

●

f  x 1 f '  x1

(2-9)

Harga pendekatan x yang ketiga adalah x 3= x 2−

f  x2  f '  x 2

(2-10)

Secara geometris, xn + 1 dapat ditafsirkan sebagai harga pendekatan akar persamaan pada sumbu x saat grafik fungsi f  x n  memotong sumbu x. Metode Newton-Raphson terbukti memiliki laju konvergensi lebih cepat dibandingkan dengan metode bagi dua maupun metode Regula Falsi. Akan tetapi, syarat yang harus dipenuhi adalah bahwa taksiran awal yang diberikan harus sedekat mungkin dengan harga eksaknya. Hal ini untuk mengantisiasi seandainya fungsi nonliniernya tidak seperti

yang kita harapkan. Seperti contoh pada gambar 2.9

ditunjukkan bahwa akibat pengambilan terkaan awal yang jauh dari harga eksak menyebabkan pencarian tidak pernah menemukan harga eksaknya.

Gambar 2.9 Metode Newton-Raphson tidak pernah mengalami konvergensi

Algoritma metode Newton-Raphson 1. Berikan terkaan awal untuk akar persamaan 2. Evaluasi

f  x  dan


f '  x pada

xa

x= x a

29

Bab 2

Supardi, M.Si 3. Hitung pendekatan akar berikutnya dengan 4. Setelah mendapatkan pendekatan akar persamaan yang baru yaitu x a ' , maka jadikan

x a ' tersebut sebagai

xa .

5. Ulangi langkah ke 2 hingga 4 sampai diperoleh ∣ f  x a ∣

KONVERGENSI METODE NEWTON RAPHSON Selanjutnya kita akan melihat proses konvergensi dari metode NewtonRaphson. Untuk tujuan ini, kita perlu mengingat kembali ekspansi deret Taylor untuk f ( x ) di sekitar x = x0 dimana

x 0 merupakan harga eksak dari akar persamaan

yang dicari. 1 2 3 f  x n = f  x 0  x n−x 0  f '  x 0   x n− x0  f ' '  x 0 O∣ x− x 0 ∣ (2-11) 2 Kemudian ungkapan (2-11) kita substitusikan ke dalam ungkapan iterasi untuk mengetahui seberapa tingkat kesalahan metode ini pada iterasi yang ke n + 1 . Ungkapan (2-12) dibawah ini menggambarkan tingkat kesalahan metode NewtonRaphson. en + 1 = xn + 1 − x0 = xn − x0 −

= en −

f ( xn )

f ' ( xn )

1 2 e f " ( x0 ) + ... 2 n f ' ( x0 ) + en f " ( x0 ) + .

en f ' ( x0 ) +

f " ( x0 )  1   1  = en −  en f ' ( x0 ) + en2 f " ( x0 ) + ...  1 − en  2 f ' ( x0 )    f ' ( x0 )  = en − en + en2 =

f " ( x0 ) f ' ( x0 )

−

1 2 f " ( x0 ) en + O e3n 2 f ' ( x0 )

(2-12)

1 2 f " ( x0 ) en + O e3n 2 f ' ( x0 )

( )

( )

dengan mengingat kembali bahwa Pencarian Akar Persamaan Nonlinier

f  x 0 =0 .

30

Bab 2

Supardi, M.Si Jika kita perhatikan persamaan (2-12), maka kita dapat mengetahui bahwa

kesalahan yang dialami oleh metode Newton-Raphson adalah sebanding dengan kuadrat dari kesalahan sebelumnya. Apabila kesalahan perhitungan sebelumnya adalah e n , maka pada iterasi selanjutnya kesalahannya menjadi en + 1 = en2 . Oleh sebab itu, metode Newton-Raphson dikatakan memiliki laju konvergensi orde dua. Dari persamaan (2-12) tersebut, kita juga memperoleh informasi lain, yaitu dengan melihat kehadiran turunan pertama f yaitu f ' pada bagian penyebut. Hal ini menunjukkan bahwa metode ini tidak akan mengalami konvergensi jika turunan pertama dari f tersebut musnah (berharga nol) di sekitar akar persamaan yang dicari. Contoh 2.3 Permasalahan sama dengan contoh 2.2, tetapi menggunakan metode NewtonRaphson. Terkaan awal diberikan x=2.5 . Kita tidak dapat memberikan terkaan awal x = 0 karena turunan disini sama dengan nol. Penyelesaian •

Iterasi ke-1 f  x 0 =cos  x 0 −0.5=−1.3011 f '  x 0 =−sin  x 0 =−0.5985 f  x0  x1= x 0− =0.3259 f '  x0 

●

Iterasi ke-2 f  x 1 =cos  x 1−0.5=0.4474 f '  x 1 =−sin  x 1 =−0.3202 f  x1  x 2=x 1− =1.7232 f '  x 1

•

Iterasi ke-3 f  x 2 =cos  x 2 −0.5=−0.6518 f '  x 2 =−sin x 2=−0.9884 f  x 2 x3 =x 2− =1.0637 f '  x2 


31

Bab 2

Supardi, M.Si •

Iterasi ke-4 f  x 3 =cos  x 3 −0.5=−0.0144 f '  x 3 =−sin  x 3 =−0.8742 f  x 3 x 4=x 3− =1.0473 f '  x3

•

Iterasi ke-5 f  x 4 =cos  x 4−0.5=−0.0000887 f '  x 4 =−sin x 4=−0.8661 f  x4  x5 =x 4− =1.0472 f '  x4 

Untuk harga x 6 , x 7 , . .. dan seterusnya dapat diperoleh dengan memberikan batas toleransi tertentu sebagai syarat henti pencarian akar. Program NewtonRaphson dibawah ini menggambarkan proses pencarian akar persamaan dan hasinya terlihat pada tabel tabel 2.3.


32

Bab 2

Supardi, M.Si

MULAI

Menentukan f(x) dan f'(x)

Masukan terkaan awal Xa toleransi, n=0;

Menentukan f(xa) dan f'(xa)

while abs(f(xa)) > tol

n=n+1; xa=xa-f(xa)/f'(xa);

CETAK n vs xa

STOP

Gambar 2.10 Diagram alir progran Newton Raphson %PROGRAM Newton Raphson clear; close all; f=inline('cos(x)-0.5','x'); df=inline('-sin(x)','x'); % Mulai proses Newton Raphson xa = 2.5; % terkaan awal; tol=1e-8; % syarat henti pencarian akar pers. n=1; % inisialisasi no iterasi fid=fopen('newton.txt','w'); while (abs(f(xa))> tol) n=n+1; xa=xa-f(xa)/df(xa); % proses mencari akar pers. fprintf('%i %f \n',n,xa); % mencetak hasil fprintf(fid,'%i %f \n',n,xa); Pencarian Akar Persamaan Nonlinier

33

Bab 2

Supardi, M.Si end fclose(fid); load newton.txt; x=newton(:,1); y=newton(:,2); plot(x,y,'LineWidth',3.5) xlabel('i '); ylabel ('y'); Tabel 2.3 Hasil Running program Bagi Dua

xa

Iterasi 1

0.325891

2

1.723241

3

1.063738

4

1.047274

5

1.047198

Gambar 2.11 Proses pencarian akar persamaan nonlinier cos  x −0.5=0

2.5 METODE SECANT Pada dasarnya metode ini sama dengan metode Newton-Raphson, perbedaannya hanya terletak pada pendekatan untuk turunan pertama dari f saja. Pendekatan f' pada metode Secant didekati dengan ungkapan beda hingga yang didasarkan pada taksiran akar sebelumnya (beda mundur), yaitu Pencarian Akar Persamaan Nonlinier

34

Bab 2

Supardi, M.Si

f ' ( xn ) ≈

f ( xn ) − f ( xn− 1 ) xn − xn− 1

(2-13)

Selanjutnya, persamaan beda hingga (2-13) tersebut disubstitusi ke skema Newton-Raphson (2-11) sehingga diperoleh

x n+ 1 = xn −

( xn − xn− 1 ) f ( xn ) f ( xn ) − f ( x n− 1 )

(2-14)

Jika kita perhatikan, ungkapan (2-14) ini identik dengan metode Regula Falsi seperti yang telah dibahas di pasal yang lalu. Perbedaannya adalah metode Regula Falsi selalu menggantikan salah satu dari dua taksiran akar sehingga akar selalu dalam keadaan terkurung dan titik-titik lama selalu diupdate menjadi titik yang baru. Sedangkan metode Secant tidak memerlukan dua taksiran awal yang harus mengurung akar persamaan. Gambaran secara grafis metode Secant yang sedang mencari akar persamaan terlihat pada gambar 2.13. Sedangkan grafik 2.14 menyatakan kegagalan metode ini menemukan akar yang dicari. Dalam beberapa kasus swapping dua taksiran awal x1 dan x2 dapat mengubah perilaku metode tersebut dari konvergen menjadi divergen. Algoritma metode Secant x a dan

1. Berikan dua terkaan awal 2. Hitung

xb

x c dengan cara x c =x b −

x b−x a f  xb  f  x b − f  x a 

3. Set x a =x b , f a = f b

dan

4. Ulangi poin 2 dan 3 sampai


x b= x c ,

f b= f c

x c tidak berubah secara signifikan.

35

Bab 2

Supardi, M.Si

MULAI

Menentukan f(x)

Masukan terkaan awal xa, xb, Tol, n=0, xc=0

TIDAK

Apakah xa ~= xb ?

YA Menentukan fa=(xa) dan fb=f(xb)



n=n+1; xc=xb-(xb-xa)/(fb-fa)*fb

xa=xb, xb=xc fa=fb, fb=fc

CETAK n vs xc

STOP

Gambar 2.12 Diagram alir program Secant


36

Bab 2

Supardi, M.Si

Gambar 2.13 Pencarian akar persamaan menggunakan metode Secant.

Gambar 2.14. Metode Secant mengalami divergensi

KONVERGENSI METODE SECANT Tingkat konvergensi metode Secant dapat diperoleh dengan cara yang sama seperti pada pembahasan metode sebelumnya. Dengan menggunakan ekspansi Taylor, maka fungsi f ( x ) dapat dideretkan di sekitar x0 untuk x n dan x n +1 yaitu Pencarian Akar Persamaan Nonlinier

37

Bab 2

Supardi, M.Si

( ) (

1 2 3 en f '' ( x0 ) + O en 2 1 3 = f ( x0 ) + en − 1 f ' ( x0 ) + en2− 1 f '' ( x0 ) + O en − 1 2

f ( xn ) = f ( x0 ) + en f ' ( x0 ) + f ( xn − 1 ) dimana

)

(2-15)

x 0 merupakan akar persamaan eksak.

Jika ungkapan (2-15) disubstitusikan ke ungkapan iterasi, maka kesalahan pada iterasi yang ke n + 1 diperoleh en + 1 = xn + 1 − x0 = xn − x0 −

= en −

= en −

= en − = en − =

f ( xn )

f ( xn ) − f ( xn − 1 )

( xn −

xn − 1 )

1 2 e f " ( x0 ) + ... 2 n ( en − en − 1 ) 1 2 1 2   en f ' ( x0 ) + en f " ( x0 ) + ... −  en − 1 f ' ( x0 ) + en f " ( x0 ) + ... 2 2   1 en f ' ( x0 ) + en2 f " ( x0 ) + ... 2 ( en − en− 1 )  1  ( en − en − 1 ) f ' ( x0 )  1 + ( en + en− 1 ) f "( x0 ) + ...  2  (2-16)   1  f " ( x0 ) 1 2 f " ( x0 ) + ...  1 − ( en + en − 1 ) + ...  en + en 2 f ' ( x0 ) f ' ( x0 )    2  (2-15) f '' ( x0 ) 1 2 f '' ( x0 ) 1 en + en ( en + en − 1 ) − en + O en3 2 f ' ( x0 ) 2 f ' ( x0 ) en f ' ( x0 ) +

( )

1 f '' ( x0 ) en en − 1 + O en3 2 f ' ( x0 )

( )

Perhatikan bahwa ungkapan untuk en + 1 mengandung unsur e n dan e n−1 . Padahal, biasanya kita hanya menyatakan en + 1 dalam bentuk en saja. Oleh sebab itu, dengan menuliskan


38

Bab 2

Supardi, M.Si

β (2-17)  f '' ( x0 )  α en + 1 =  e  2 f ' ( x )  n 0   kemudian mensubstitusikannya ke dalam ungkapan perambatan kesalahan (2-16),

akan diperoleh  f '' ( x0 ) en + 1 =   2 f '( x ) 0 

  en en − 1 

 f '' ( x0 ) =   2 f '( x ) 0 

  f '' ( x0 )  en    2 f ' ( x0 )

 f '' ( x0 ) =   2 f '( x ) 0 

  

1− β / α

  

− β /α

e1/n α

(2-18)

α +1

en α

Apabila pernyataan (2-18) dibandingkan dengan pernyataan (2-17), maka diperoleh 1 1 5 =  2  2 = = 1 1 5

=

(2-19)

Jadi metode tersebut berorde bukan bilangan bulat yaitu 1,61803…(golden ratio). Contoh 2.4 Permasalahan sama dengan contoh 2.2, tetapi menggunakan metode Secant. Terkaan awal diberikan pada titik x = 0 dan x = π / 2 . Penyelesaian •

Iterasi n= 1 x 0=0, x 1=1.5708 f  x 0=cos x0 −0.5=0.50 f  x1 =cos  x 1 −0.5=−0.50  x 1−x 0  x 2=x 1− f  x 1=0.7854 f  x 1 − f  x 0 

•

Iterasi n=2


39

Bab 2

Supardi, M.Si x1 =1.5708, x 2 =0.7854 f  x1 =cos  x 1 −0.5=−0.50 f  x 2=cos x 2−0.5=0.2071  x 2−x 1  x3 =x 2− f  x 2 =1.0154 f  x 2 − f  x 1  •

Iterasi n=3 x 2=0.7854, x 3=1.0154 f  x 2=cos x 2−0.5=0.2071 f  x 3=cos  x 3 −0.5=0.0272  x 3−x 2  x 4=x 3− f  x 3 =1.0503 f  x 3 − f  x 2 

•

Iterasi n=4 x 3 =1. 0154 ,x 4 =1 . 0503 f  x 3 =cos  x 3 −0. 5=−0 . 0273 f  x 4  =cos  x 4 −0 . 5=−0 . 0027  x 4− x 3 x 5 =x 4 − f  x 4 = 1. 0472 f  x 4 − f  x 3 

Untuk harga x 6, x 7, ... dan seterusnya dapat dibuat melalui program komputer seperti ditunjukkan oleh program Secant dan hasil running programnya dapat dilihat pada tabel 2.4. %PROGRAM Secant clear; close all; f=inline('cos(x)-0.5','x'); xa = input('Berikan terkaan awal 1 :'); xb = input('Berikan terkaan awal 2 :'); fa = f(xa); fb = f(xb); if (fa==fb) fprintf('Dua terkaan awal sama, Ulangi!!') break; end; tol=1e-10; Pencarian Akar Persamaan Nonlinier

40

Bab 2

Supardi, M.Si n=0;xc=0; fid=fopen('secant.txt','w'); while abs(f(xc))>tol n=n+1; xc = xb - (xa-xb)/(fa-fb)*fb; xa = xb; fa = fb; xb = xc; fb = f(xb); fc=f(xc); fprintf('%i %f \n',n,xc); fprintf(fid,'%i %f \n',n,xc); end fclose(fid); load secant.txt; x=secant(:,1); y=secant(:,2); plot(x,y,'LineWidth',3.5) xlabel('i '); ylabel ('y'); Tabel 2.4 Hasil Running program Secant Iterasi 1 2 3 4 5 6


xc 0.785398 1.015436 1.050288 1.047169 1.047198 1.047198

41

Bab 2

Supardi, M.Si

SOAL LATIHAN 2 3 6. Tentukan akar riil dari fungsi f ( x ) = 97,8 − 19,55 x + 16,3x − 10,8 x dengan

a) metode grafis b) menggunakan metode bagi dua c) menggunakan metode posisi palsu d) menggunakan metode Newton Raphson e) menggunakan metode Secant. 7. Gunakan metode bagi dua untuk menentukan akar terbesar dari f ( x ) = 0, 2 x 2 + 3, 4 x + 4 Gunakan terkaan awal

x0 = − 4 dan

x1 = 4 . Bandingkan kecepatan

konvergensinya dengan metode posisi palsu dengan terkaan awal sama. 3. Gunkan metode bagidua untuk memperoleh penyelesaian hingga ketelitian 10

−2

x 4 −2 x 2−4 x 24 x4=0 pada setiap interval

untuk persamaan

berikut ini a)

[−2,1]

b) [0,2]

c) [2,3]

d) [−1,1]

4. Gunakan metode bagidua untk memperoleh penyelesaian hingga ketelitian 10

−3

untuk persamaan

x=tan x dalam interval [4,4.5]

5. Gunakan metode bagi dua untuk mendapatkan hasil penyelesaian dengan ketelitian hingga 10−5 untuk masalah berikut ini. a)

x−2− x =0 untuk 0x1

b)

e x −x 23x−2=0 untuk 0x1

c)

x cos x−2 x 23 x−1=0 untuk 0.2x0.3 dan 1.2 x1.3

d)

2 x cos 2 x − x 12=0 untuk −3x2 dan −1x0

6. Tentukan akar riil dari fungsi f ( x ) = − 5,3 x3 − 4,5 x − 10 Pencarian Akar Persamaan Nonlinier

42

Bab 2

Supardi, M.Si a) menggunakan metode grafis b) menggunakan metode bagi dua

7. Jika diberikan persamaan non-linier x 3 − N+10  x+1=0 a) Carilah fungsi iterasi Newton-Raphson

f  x  untuk memperoleh

akar-akar dari persamaan non-linier tersebut. b) Dengan

menggunakan

metode

Newton-Raphson,

jika

untuk

memperoleh akar persamaan tersebut pertama kali diberikan terkaan x 0 =1 , maka dapatkan empat hasil iterasi x 1 , x 2, x 3 dan x 4 untuk mendekati akar persamaan non-linier tersebut. c) Berdasarkan pada hasil poin b, perkirakan berapa jumlah iterasi yang diperlukan untuk memperoleh ketelitian 16 digit. ( petunjuk : metode Newton-Raphson memiliki ketelitian orde 2, sehingga setiap iterasi memilki ketelitian sebesar kuadrat dari hasil iterasi sebelumnya). 8. Gunakan metode Regula Falsi untuk menentukan akar persamaan hingga ketelitian 10−2 untuk persamaan 9. Misalkan

x 4 −3 x 2−3=0 dalam interval [1,2] .

x 2−6=0 , carilah akar persamaannya dengan metode Newton

Raphson jika terkaan awal

x 0=1

10. Jika diketahui persamaan nonlinier

x 3cos x=0 , maka carilah akar

persamaannya jika terkaan awal diberikan pada memberikan terkaan awal pada

x=−1 . Dapatkah kita

x=0 . Jelaskan jawab Anda!

11. Pertanyaan sama dengan nomor 10, tetapi dengan metode Secant dan Regula Falsi dengan terkaan awal

x=0 dan

x=−1 .

12. Dengan menggunakan metode Newton Raphson, carilah pendekatan akar persamaan berikut ini hingga ketelitian 10−5 a)

e x 2−x 2 cos x−6=0 , untuk 1x 2

b)

ln  x−1cos  x−1=0 , untuk 1.3 x2

c)

2 x cos 2 x− x−22=0 , untuk 2x3 dan 3 x4


43

Bab 2

Supardi, M.Si d)

 x−22−ln x=0 , untuk 1 x2 dan e x4

e)

e x −3 x 2=0 , untuk 0x1 dan 3 x5

f)

−x sin x−e =0 , untuk 0x1 , 3 x4 dan 6 x7

13. Dengan menggunakan metode grafik, perkirakan akar –akar persamaan non linier 5cos  2x − x=0 Buatlah fungsi iterasi Newton-Raphson

f x

untuk memperoleh

pendekatan akar persamaan tersebut. 14. Berapa jumlah deret suku deret taylor dari fungsi sin  x  jika digunakan untuk mendekati sin 1  hingga mencapai ketelitian 5 digit. 15. a. Dapatkan dua akar persamaan dari fungsi non linier f  x =160 x 2 −4900 x+ 2 hingga ketelitian 9 digit di belakang koma dengan menggunakan metode numerik apa saja. b. Hitunglah akar-akar persamaan tersebut dengan menggunakan cara standard (misalnya rumus abc) dan kalkulator. c. Bandingkan hasil yang diperoleh antara poin a dan poin b, apakah yang dapat Saudara simpulkan dari membandingkan hasil ini. 11. Gunakan metode bagi dua untuk menghampiri nilai

 3 dengan toleransi

kebenaran hingga 10−4 . [Petunjuk: gunakan pemisalan

f  x =x 2−3 .]

12. Dengan menggunakan metode bagi dua, hitunglah hampiran dari

3 25

dengan kebenaran sampai toleransi 10−4 . 13. Didefinisikan sebuah fungsi nonlinier berbentuk berharga nol pada setiap bilangan

f  x =sin  x yang mana

x integer. Tunjukkan bahwa ketika

−1a0 dan 2b3 metode bagi duan convergen pada a) 0, jika ab2 b) 2, jika ab2 c) 1, jika ab=2 Pencarian Akar Persamaan Nonlinier

44

Bab 2

Supardi, M.Si

14. Gunakan metode Newton Raphson untuk menyelesaikan persamaan 1 1 2 1  x − x sin x− cos 2 x=0 2 4 2 dengan terkaan awal hingga

10

−5

x=

 . Lakukan iterasi hingga diperoleh ketelitian 2

. Jelaskan mengapa hasilnya tidak lazim seperti penyelesaian

dengan metode Newton Raphson. Selesaikan juga jika terkaan awal adalah x=5  dan

x=10 

15. Polinomial orde 4 f  x =230 x 418 x 39 x 2−221 x−9 memiliki dua harga nol, satu berada pada interval [−1,0] dan satunya lagi di

[0,1] . Carilah dua harga yang menyebabkan fungsi tersebut berharga

nol hingga ketelitian 10−6 dengan a) metode Regula Falsi b) metode Secant c) metode Newton Raphson 16. Sebuah benda jatuh dari ketinggian h 0 dipengaruhi oleh gaya gesek udara. Jika massa benda adalah m dan ketinggian benda setelah jatuh selama t detik adalah h(t), maka di ketinggian benda setiap saat didefinisikan sebagai h t=h0− dengan

g =32.17 ft / s

Dimisalkan

2

mg m2 g t  2 1−e kt / m  k k

, k adalah koefisien gesek udara dalam lb-s/ft.

h 0=300 ft , m=25 lb dan

k =0.1 lb-s/ft maka carilah

waktu yang dibutuhkan untuk sampai ditanah jika perhitungan waktu dimulai dari 0.01 detik.


45

BAB II PENCARIAN AKAR PERSAMAAN NON LINIER

Recommend Documents