BAB II LOGIKA FUZZY Kompetensi : 1. Mahasiswa dapat memahami konsep dasar Logika Fuzzy 2. Mampu memecahkan masalah rekayasa melalui pendekatan penalaran Mamdani dan Sugeno Sub Kompetensi : 1. Dapat merepresentasikan masalah melalui pendekatan himpunan fuzzy 2. Dapat menggunakan macam-macam fungsi keanggotaan (Membership Function) 3. Dapat memecahkan masalah dengan penalaran fuzzy metode mamdani 4. Dapat memecahkan masalah dengan penalaran fuzzy metode sugeno 5. Dapat membuat aturan fuzzy 6. Dapat menentukan metode defuzzyfikasi untuk tiap-tiap variabel solusi.
II. 1. Logika Fuzzy Logika fuzzy adalah cabang dari sistem kecerdasan buatan (Artificial Intelegent) yang mengemulasi kemampuan manusia dalam berfikir ke dalam bentuk algoritma yang kemudian dijalankan oleh mesin 7 . Algoritma ini digunakan dalam berbagai aplikasi pemrosesan data yang tidak dapat direpresentasikan dalam bentuk biner. Logika fuzzy menginterpretasikan statemen yang samar menjadi sebuah pengertian yang logis. Logika Fuzzy pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi Zadeh seorang kebangsaan Iran yang menjadi guru besar di University of California at Berkeley pada tahun 1965 dalam papernya yang monumental. Dalam paper tersebut dipaparkan ide dasar fuzzy set yang meliputi inclusion, union, intersection, complement, relation dan convexity. Pelopor aplikasi fuzzy set dalam bidang kontrol, yang merupakan aplikasi pertama dan utama dari fuzzy set adalah Prof. Ebrahim Mamdani dan kawan-kawan dari Queen Mary College London. Penerapan kontrol fuzzy secara nyata di industri banyak dipelopori para ahli dari Jepang, misalnya Prof. Sugeno dari Tokyo Institute of Technology, Prof.Yamakawa dari Kyusu Institute of Technology, Togay dan Watanabe dari Bell Telephone Labs.
II.2. Himpunan Fuzzy Himpunan fuzzy merupakan suatu pengembangan lebih lanjut tentang konsep himpunan dalam matematika. Himpunan Fuzzy adalah rentang nilai-nilai. Masing-masing nilai mempunyai derajat keanggotaan (membership) antara 0 sampai dengan 1. Ungkapan
logika Boolean menggambarkan nilai-nilai “benar” atau “salah”. Logika fuzzy menggunakan ungkapan misalnya : “sangat lambat”,”agak sedang”, “sangat cepat”dan lain-lain untuk mengungkapkan derajat intensitasnya. Ilustrasi antara keanggotaan fuzzy dengan Boolean set dapat dilihat pada gambar dibawah ini :
LOGIKA FUZZY
LOGIKA BOOLEAN TRUE
1 LAMBAT SEDANG
0
CEPAT
LAMBAT
SEDANG
CEPAT
FALSE a
b
c
d
a=sangat lambat b=agak sedang c=sedikit cepat d= lambat
e
f
e =sedang f =cepat
Gambar 1. Pendefinisian kecepatan dalam bentuk logika fuzzy dan logika Boolean
Logika fuzzy menggunakan satu set aturan untuk menggambarkan perilakunya. Aturan-aturan tersebut menggambarkan kondisi yang diharapkan dan hasil yang diinginkan dengan menggunakan statemen IF… THEN. Suatu himpunan fuzzy A dalam semesta pembicaraan dinyatakan dengan fungsi keanggotaan (membership function) μ A , yang harganya berada dalam interval [0,1]. Secara matematika hal ini dinyatakan dengan :
μ A : U → [0,1]
(2.1)
Himpunan fuzzy A dalam semesta pembicaraan U biasa dinyatakan sebagai sekumpulan pasangan elemen u ( u anggota U) dan besarnya derajat keanggotaan (grade of membership) elemen tersebut sebagai berikut :
A = {(u , μ A (u ) ) / u ∈ U }
(2.2)
Tanda ‘/’ digunakan untuk menghubungkan sebuah elemen dengan derajat keanggotaannya. Jika U adalah diskrit,maka A bisa dinyatakan dengan :
A = μ A (u1 ) / u1 + ...... + μ A (u i ) / u n atau
n
A = ∑ μ A (u i / u i )
(2.3)
i =1
dan jika U adalah kontinyu, maka himpunan fuzzy dapat dinyatakan dengan :
A = ∫ μ A (u ) / u U
Tanda ‘ + ’, ‘
∑ ’, dan ‘ ∫
’ menyatakan operator union (gabungan).
(2.4)
Penentuan keanggotaan suatu himpunan fuzzy tidak dibatasi oleh aturan-aturan tertentu. Contoh berikut ini adalah tiga macam keanggotaan yang dinyatakan dengan fungsi keanggotaan S, π , dan T (triangular). a. S-function Definisi S-function adalah sebagai berikut :
0 u
c
(2.5)
Bentuk diagramatik dari S-function ditunjukkan pada gambar 2 1
0,5
0
a
b
c
Gambar 2. S-function b. π -function Definisi π -function adalah sebagai berikut :
⎧ ⎛ b ⎞ ⎪ S ⎜ u; c − b, c − 2 , c ⎟ ⎠ ⎪ ⎝ ⎪ π (u; b, c ) = ⎨ ⎪ b ⎞ ⎛ ⎪ ⎪1 − S ⎜⎝ u; c, c + 2 , c + b ⎟⎠ ⎩
u≤c (2.6) u≥c
Bentuk diagramatik π -function ditunjukkan pada gambar 3.
1
0,5
b
0 c-b
c-b/2
c
c+b/2
c+b
Gambar 3. π -function c. T-function T-function didefinisikan sebagai berikut :
u
⎧ 0 ⎪u − a ⎪⎪ T (u; a, b, c ) = ⎨ b − a c−u ⎪ ⎪c − b ⎪⎩ 0
a≤u≤b (2.7) b≤u≤c u>c
Bentuk diagramatik T-function ditunjukkan pada gambar 4 1
0,5
0 a
b
c
Gambar 4. T-function II.3. Variabel Linguistik
Suatu himpunan fuzzy bisa didefinisikan berdasarkan variabel linguistik tertentu. Variabel linguistik didefinisikan sebagai :
(u, T (u ),U , R, S )
(2.8)
dengan U adalah nama variabel linguistik; T(u) adalah himpunan term (linguistic value/linguistic label) pada u dan masing-masing term didefinisikan dengan fungsi keanggotaan yang normal (mempunyai harga maksimum sama dengan 1) dan convex pada U; R adalah aturan sintatik untuk menghasilkan nama nilai-nilai pada u; dan S adalah aturan sematik untuk menghubungkan tiap nilai dengan artinya.
II.4. Fuzzyfikasi
Proses fuzzyfikasi merupakan proses untuk mengubah variabel non fuzzy (variabel numerik) menjadi variabel fuzzy (variabel linguistik). Nilai masukan-masukan yang masih dalam bentuk variabel numerik yang telah dikuantisasi sebelum diolah oleh pengendali fuzzy harus diubah terlebih dahulu ke dalam variabel fuzzy. Melalui fungsi keanggotaan yang telah disusun maka nilai-nilai masukan tersebut menjadi informasi fuzzy yang berguna nantinya untuk proses pengolahan secara fuzzy pula. Proses ini disebut fuzzyfikasi. Dengan kata lain fuzzyfikasi merupakan pemetaan titik-titik numerik (crisp point)
(
x = x 1 ,....., x n
)
T
∈ U ke himpunan fuzzy A di U. U adalah semesta pembicaraan. Paling tidak
ada dua kemungkinan pemetaan,yaitu : •
Fuzzyfikasi singleton: A adalah fuzzy singleton dengan support x , artinya μ A (x') = 1 untuk x ' = x dan μ A ( x') = 0 untuk x'∈ U yang lain dengan x' = x .
•
Fuzzyfikasi nonsingleton : μ A ( x ) = 1 dan μ A ( x') menurun dari 1 sebagaimana x' bergerak menjauh dari x .
Sejauh ini yang paling banyak digunakan adalah fuzzyfikasi singleton, tetapi pemakaian nonsingleton juga telah dirintis terutama untuk masukan-masukan yang banyak dimasuki oleh derau (noise).
II.5. Inferencing (Rule Base)
Pada umumnya, aturan-aturan fuzzy dinyatakan dalam bentuk “IF…THEN” yang merupakan inti dari relasi fuzzy. Relasi fuzzy, dinyatakan dengan R,juga disebut implikasi fuzzy. Untuk mendapatkan aturan “IF…..THEN” ada dua cara utama : 1. Menanyakan ke operator manusia yang dengan cara manual telah mampu mengendalikan sistem tersebut, dikenal dengan “human expert”. 2. Dengan menggunakan algoritma pelatihan berdasarkan data-data masukan dan keluaran. Dalam penalaran logika fuzzy, ada dua tipe utama untuk pengambilan keputusan fuzzy yaitu : Generalized Modus Ponens (GMP) dan Generalized Modus Tolens (GMT). GMP disebut juga dengan direct reasoning, sedangkan GMT disebut juga indirect reasoning. Jika himpunan fuzzy dinotasikan dengan A,A’,B,B’ dan variabel linguistik dinotasikan dengan x dan y, maka GMP dan GMT dapat dinyatakan sebagai berikut :
Generalized Modus Ponens (GMP) : Pernyataan 1 (aturan) : if x is A then y is B Pernyataan 2 (fakta) : x is A’__________ Penyelesaian
: y is A’
Dalam hal ini penyelesaian B’ dapat dinotasikan dengan : B’ = A’ o R Dengan R adalah relasi fuzzy dari implikasi fuzzy ‘if A then B’, tanda o adalah operator komposisi, dan A’ adalah himpunan fuzzy yang mempunyai bentuk : sangat A, lebih atau kurang A, tidak A dan sebagainya. Generalized Modus Tolens (GMT) : Pernyataan 1 (aturan) : if x is A then y is B Pernyataan 2 (fakta) : x is B’__________ Penyelesaian
: y is A’
Dalam hal ini penyelesaian B’ dapat dinotasikan dengan : A’ = R o B’ II.6. Defuzzyfikasi
Keputusan yang dihasilkan dari proses penalaran masih dalam bentuk fuzzy, yaitu berupa derajat keanggotaan keluaran. Hasil ini harus diubah kembali menjadi varibel numerik non fuzzy melalui proses defuzzyfikasi. II.6. 1. Model Defuzzifikasi Metode MAMDANI
Dua metode defuzzyfikasi metode yang umum digunakan ialah : 1. Maksimum of Mean (MOM) Metode ini didefinisikan sebagai : j
vj
j =1
J
vo = ∑
v j = v μ v (v )
vo
: nilai keluaran
J
: jumlah harga maksimum
vj
: nilai keluaran maksimum ke-j
μ v (v )
: derajat keanggotaan elemen-elemen pada fuzzy set v
v
: semesta pembicaraan
(2.9)
(2.10)
2. Centre of Area (COA)
Metode ini didefinisikan sebagai : m
vo =
∑ v μ (v ) k
k =1 m
k
k
∑ μ v (vk )
(2.11)
k =1
vo
: nilai keluaran
m
: tingkat kuantisasi
vk
: elemen ke-k
μ k (v k ) : derajat keanggotaan elemen-elemen pada fuzzy set v v
: semesta pembicaraan
II.6.2. Model Defuzzifikasi Metode SUGENO
Penalaran fuzzy dengan metode SUGENO hampir sama dengan penalaran MAMDANI, hanya saja output sistem tidak berupa himpunan fuzzy, melainkan berupa konstanta atau persamaan linier. Metode ini diperkenalkan oleh Takagi-Sugeno Kang pada tahun 1985. Secara umum model fuzzy SUGENO terdiri dari dua jenis : 1. Model fuzzy SUGENO orde-nol : IF input1 = x dan input2 = y, THEN Outputnya adalah z = k. 2. Model fuzzy SUGENO orde-satu : IF input1 = x dan input2 = y, THEN Outputnya adalah z = ax+by+c Defuzzifikasi dilakukan dengan cara mencari rata-ratanya (weight average/wtaver) : N
∑w z Final Output =
i =1 N
i i
∑w i =1
i
(2.12)
II.7. Metodologi Desain Sistem Fuzzy
Secara garis besar untuk perancangan suatu sistem fuzzy perlu dilakukan beberapa tahapan yaitu :
Menyusun model dalam segmen kebijakan
Mendefinisikan karakteristik model secara fungsional
Mendefinisikan normalisasi post-model
Mendekomposisi variabelvariabel ke dalam himpunan-himpunan fuzzy
Membentuk aturan Mendefinisikan matriks unjuk kerja sistem Mendefinisikan metode defuzzifikasi
Menjalankan simulasi sistem
Pengujian : mengatur dan memvalidasi model
Menghubungkan ke sistem
Gambar 5. Metodologi pengembangan sistem fuzzy
DAFTAR PUSTAKA
. 1. Jan Jantzen, (1998), Tutorial On Fuzzy Logic, Denmark, Technical University of Denmark, Department of Automation, 2. Khaled Hammouda and Prof. Fakhreddine Karray, (1996), A Comparative Study of Data Clustering Techniques, Canada , Department of Systems Design EngineeringUniversity of Waterloo. 3. Sri Kusumadewi, (2002), Analisis dan Desain Sistem Fuzzy Menggunakan Toolbox Matlab, Yogyakarta, Graha Ilmu. 4. www. Mathworks.com, (2004), Fuzzy Logic Toolbox User’s Guide Version 2, The MathWork Inc.
