BAB II KAJIAN TEORI. Berikut diberikan landasan teori mengenai teori himpunan fuzzy, program

BAB II KAJIAN TEORI Berikut diberikan landasan teori mengenai teori himpunan fuzzy, program linear, metode simpleks, dan program linear fuzzy untuk membahas penyelesaian masalah menggunakan metode fuzzy decisive set pada bab selanjutnya. A. Teori Himpunan Fuzzy 1. Himpunan Tegas Himpunan tegas merupakan himpunan yang menyatakan secara tegas keanggotaan dari anggota himpunan. Himpunan tegas 𝐴 dengan anggota 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 dapat didefinisikan dengan cara mendaftar anggota himpunan 𝐴 = {𝑎1 , … , 𝑎𝑛 } atau dengan cara aturan 𝐴 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴}. Jika 𝑎 ∈ 𝐴, maka derajat keanggotaan 𝑎 pada himpunan 𝐴 adalah 1. Namun, jika 𝑎𝐴, maka derajat keanggotaan 𝑎 pada himpunan 𝐴 adalah 0. (Sri Kusumadewi, 2002). Berikut akan diberikan tiga buah himpunan tinggi badan seseorang. Contoh 2.1 Untuk 3 buah himpunan tinggi badan yaitu 𝑃𝐸𝑁𝐷𝐸𝐾 = {𝑥|𝑥 < 150}, 𝐾𝑈𝑅𝐴𝑁𝐺 𝑇𝐼𝑁𝐺𝐺𝐼 = {𝑥|150 ≤ 𝑥 ≤ 160},

dan

𝑇𝐼𝑁𝐺𝐺𝐼 = {𝑥|𝑥 > 160}.

Seseorang dengan tinggi badan 149 cm, merupakan anggota himpunan PENDEK, dengan derajat keanggotaan adalah 1 dan bukan merupakan anggota himpunan KURANG TINGGI maupun TINGGI dengan derajat keanggotaan masing-masing adalah 0. Seseorang dengan tinggi badan 150 cm, bukan merupakan anggota himpunan PENDEK dengan derajat

5

keanggotaan 0 atau merupakan anggota komplemen dari himpunan PENDEK. 2. Himpunan Fuzzy Himpunan fuzzy pertama kali dikembangkan pada tahun 1965 oleh Zadeh sebagai perluasan dari pengertian himpunan tegas. Himpunan fuzzy adalah himpunan yang anggotanya memiliki derajat keanggotaan bilangan real pada selang [0,1]. Definisi 2.1. (Zimmermann, 2001: 11) Misalkan 𝑋 adalah koleksi dari objekobjek yang dinotasikan dengan 𝑥, suatu himpunan fuzzy 𝐴̃ dalam 𝑋 adalah suatu himpunan pasangan berurutan 𝐴̃ = {(𝑥, 𝜇𝐴̃ (𝑥))|𝑥 ∈ 𝑋} dengan 𝜇𝐴̃ (𝑥) adalah derajat keanggotaan 𝑥 di 𝐴̃ pada selang [0,1]. Dengan demikian, himpunan fuzzy adalah himpunan pasangan berurutan dengan elemen pertama adalah elemen himpunan sedangkan elemen kedua adalah derajat keanggotaan dari elemen himpunan tersebut. Himpunan fuzzy juga dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi keanggotaan. Fungsi keanggotaan (membership function) adalah fungsi yang memasangkan setiap anggota himpunan dengan tepat suatu derajat keanggotaan atau dapat disebut dengan derajat keanggotaan berupa suatu bilangan pada selang antara 0 sampai dengan 1. Berikut akan diberikan contoh himpunan fuzzy TINGGI. Contoh 2.2 Suatu himpunan fuzzy TINGGI dapat disusun dengan fungsi keanggotaan TINGGI sebagai berikut:

6

0; 𝑥 − 150 𝜇(𝑥) = { ; 10 1;

𝑥 < 150 150 ≤ 𝑥 ≤ 160 𝑥 > 160

Seseorang yang memiliki tinggi badan 158 cm merupakan anggota himpunan TINGGI dengan 𝜇 𝑇𝐼𝑁𝐺𝐺𝐼 (158) = 0.8 dapat pula diartikan secara verbal tinggi badannya mendekati tinggi. Seseorang yang memiliki tinggi badan

152

cm

merupakan

anggota

himpunan

TINGGI

dengan

𝜇 𝑇𝐼𝑁𝐺𝐺𝐼 (152) = 0.2 dapat pula diartikan secara verbal tinggi badannya kurang tinggi. Seseorang yang memiliki tinggi badan 165 cm merupakan anggota himpunan TINGGI dengan 𝜇 𝑇𝐼𝑁𝐺𝐺𝐼 (165) = 1 dan seseorang yang memiliki tinggi badan 145 cm bukan merupakan anggota himpunan TINGGI dengan 𝜇 𝑇𝐼𝑁𝐺𝐺𝐼 (145) = 0. Beberapa fungsi keanggotaan fuzzy yang dikenal dalam himpunan fuzzy yaitu: 1.1 Fungsi Keanggotaan Linear Himpunan fuzzy mempunyai dua bentuk fungsi keanggotaan linear, yang pertama fungsi keanggotaan linear naik dimulai dari derajat keanggotaan 0 ke kanan menuju 1.

Gambar 2.1 Fungsi Keanggotaan Linear Naik

7

Himpunan fuzzy 𝐴̃ = {(𝑥, 𝜇𝐴̃ (𝑥))|𝑥 ∈ 𝑋} pada Gambar 2.1 dinyatakan dengan sebuah fungsi keanggotaan linear naik (𝑥; 𝑎, 𝑏) sebagai berikut: 0; 𝑥−𝑎

𝜇(𝑥) = {(𝑏−𝑎) ; 1;

𝑥<𝑎 𝑎≤𝑥≤𝑏

(2.1)

𝑥≥𝑏

Berikut akan diberikan contoh himpunan fuzzy PANAS dengan fungsi keanggotaan linear naik. Contoh 2.3. Himpunan fuzzy PANAS untuk temperatur ruangan pada Gambar 2.2 dinyatakan dalam bentuk sebuah fungsi keanggotaan linear naik (𝑥; 25, 35). Untuk ruangan dengan temperatur 32 derajat, memiliki derajat keanggotaan (32−25)

yaitu 𝜇𝑃𝐴𝑁𝐴𝑆 (32) = (35−25) = 0.7.

Gambar 2.2 Himpunan fuzzy PANAS Bentuk kedua dari himpunan fuzzy yaitu dengan fungsi keanggotaan linear turun dengan derajat keanggotaan tertinggi pada sisi kiri, kemudian bergerak menurun ke nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan lebih rendah.

8

Gambar 2.3 Fungsi Keanggotaan Linear Turun Himpunan fuzzy 𝐴̃ = {(𝑥, 𝜇𝐴̃ (𝑥))|𝑥 ∈ 𝑋} pada Gambar 2.3 dinyatakan dengan sebuah fungsi keanggotaan linear turun (𝑥; 𝑎, 𝑏) sebagai berikut: 𝑏−𝑥

𝜇(𝑥) = {

(𝑏−𝑎) ; 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 0;

𝑥≥𝑏

(2.2)

Berikut akan diberikan contoh himpunan fuzzy DINGIN dengan fungsi keanggotaan linear turun. Contoh 2.4 Himpunan fuzzy DINGIN untuk temperatur ruangan pada Gambar 2.4 dinyatakan dalam bentuk sebuah fungsi keanggotaan linear turun (𝑥; 16, 30). Untuk ruangan dengan temperatur 20 derajat, memiliki derajat keanggotaan 30−20

yaitu 𝜇𝐷𝐼𝑁𝐺𝐼𝑁 (20) = 30−16 = 0.667.

Gambar 2.4 Himpunan fuzzy DINGIN

9

1.2 Fungsi Keanggotaan Segitiga Fungsi keanggotaan segitiga merupakan gabungan dari dua fungsi keanggotaan linear. Fungsi keanggotaan segitiga (𝑥; 𝑎, 𝑏, 𝑐) mempunyai tiga buah parameter 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 dengan 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 (Susilo, 2006).

Gambar 2.5 Fungsi Keanggotaan Segitiga Himpunan fuzzy 𝐴̃ = {(𝑥, 𝜇𝐴̃ (𝑥))|𝑥 ∈ 𝑋} pada Gambar 2.5 dinyatakan dengan sebuah fungsi keanggotaan segitiga (𝑥; 𝑎, 𝑏, 𝑐) sebagai berikut: 0;

𝑥 < 𝑎 atau 𝑥 > 𝑐

𝑥−𝑎

𝜇(𝑥) = (𝑏−𝑎) ; 𝑐−𝑥

{ (𝑐−𝑏) ;

𝑎≤𝑥≤𝑏

(2.3)

𝑏≤𝑥≤𝑐

Berikut akan diberikan contoh himpunan fuzzy NORMAL dengan fungsi keanggotaan segitiga. Contoh 2.5 Himpunan fuzzy NORMAL untuk temperatur ruangan pada Gambar 2.6 dinyatakan dalam bentuk sebuah fungsi keanggotaan segitiga (𝑥; 15, 25, 35). Ruangan dengan temperatur 23 derajat, memiliki derajat keanggotaan yaitu 25−15

𝜇𝑁𝑂𝑅𝑀𝐴𝐿 (23) = 35−15 = 0.8.

10

Gambar 2.6 Himpunan Fuzzy NORMAL 1.3 Fungsi Keanggotaan Trapesium Fungsi keanggotaan trapesium merupakan pengembangan fungsi keanggotaan segitiga dengan beberapa titik yang memiliki derajat keanggotaan sama dengan 1. Fungsi keanggotaan trapesium (𝑥; 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) mempunyai empat buah parameter 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝑅 dengan 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 < 𝑑 (Susilo, 2006).

Gambar 2.7 Fungsi Keanggotaan Trapesium Himpunan fuzzy 𝐴̃ = {(𝑥, 𝜇𝐴̃ (𝑥))|𝑥 ∈ 𝑋} pada Gambar 2.7 dinyatakan dengan sebuah fungsi keanggotaan trapesium (𝑥; 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) sebagai berikut: 0;

𝑥 < 𝑎 atau 𝑥 > 𝑑

𝑥−𝑎

𝜇(𝑥) =

(𝑏−𝑎) ; 1; 𝑑−𝑥

{(𝑑−𝑐 ) ;

11

𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑏≤𝑥≤𝑐 𝑐≤𝑥≤𝑑

(2.4)

Berikut akan diberikan contoh himpunan fuzzy NORMAL dengan fungsi keanggotaan trapesium. Contoh 2.6 Himpunan fuzzy NORMAL untuk temperatur ruangan pada Gambar 2.8 dinyatakan

dalam

bentuk

sebuah

fungsi

keanggotaan

trapesium

(𝑥; 15, 24, 27, 35). Ruangan dengan temperatur 32 derajat, memiliki derajat 35−32

keanggotaan yaitu 𝜇𝑁𝑂𝑅𝑀𝐴𝐿 (32) = 35−27 = 0.375.

Gambar 2.8 Himpunan Fuzzy NORMAL 1.4 Fungsi Keanggotaan Bahu Fungsi keanggotaan bentuk bahu dapat berupa kombinasi dua fungsi keanggotaan segitiga dan trapesium.

Gambar 2.9 Fungsi Keanggotaan Bahu

12

Himpunan fuzzy 𝐴̃ = {(𝑥, 𝜇𝐴̃ (𝑥))|𝑥 ∈ 𝑋} pada Gambar 2.9 dinyatakan dengan sebuah fungsi keanggotaan sebagai berikut: 𝑐−𝑥

(𝑐−𝑎) ; 𝑥−𝑏

𝑎≤𝑥≤𝑐

( 𝑐−𝑏 ) ;

𝑏≤𝑥≤𝑐

𝜇(𝑥) = (𝑑−𝑥) ; 𝑑−𝑐

𝑐≤𝑥≤𝑑

𝑥−𝑐

(𝑒−𝑐 ) ; { 1;

(2.5)

𝑐≤𝑥≤𝑒

𝑥 < 𝑎 dan 𝑥 > 𝑒

Berikut akan diberikan contoh himpunan fuzzy KECEPATAN dengan fungsi keanggotaan bahu. Contoh 2.7 Berikut diberikan himpunan fuzzy KECEPATAN pada Gambar 2.10 dinyatakan dalam bentuk sebuah fungsi keanggotaan bahu. Kecepatan dengan tiga himpunan yaitu, PELAN= {𝑥|10 ≤ 𝑥 ≤ 50}, SEDANG= {𝑥|40 ≤ 𝑥 ≤ 70}, dan CEPAT= {𝑥|50 ≤ 𝑥 ≤ 100}. Fungsi keanggotaan untuk kecepatan 50−40

40−40

motor yaitu 𝜇𝑃𝐸𝐿𝐴𝑁 (40) = 50−10 = 0.25 dan 𝜇𝑆𝐸𝐷𝐴𝑁𝐺 (40) = 50−40 = 0.

Gambar 2.10 Himpunan Fuzzy KECEPATAN

13

1.5 Fungsi Keanggotaan 𝑆 Fungsi keanggotaan 𝑆 memiliki bentuk permukaan tak linear yang bergerak dari sisi kiri dengan derajat keanggotaan sama dengan 0 ke sisi kanan dengan derajat keanggotaan sama dengan 1. Terdapat dua jenis fungsi keanggotaan 𝑆 yaitu fungsi keanggotaan 𝑆 untuk pertumbuhan dan fungsi keanggotaan 𝑆 untuk penyusutan. Fungsi keanggotaan 𝑆 didefinisikan menggunakan tiga parameter yaitu 𝛼, 𝛽, dan 𝛾.

Gambar 2.11 Fungsi Keanggotaan 𝑆 Pertumbuhan Fungsi keanggotaan pada fungsi keanggotaan 𝑆 pertumbuhan adalah sebagai berikut : 0;

𝑥<𝛼

𝑥−𝛼 2

2 (𝛾−𝛼) ;

µ(𝑥) = 𝑆(𝑥; 𝛼, 𝛽, 𝛾) =

𝛾−𝑥 2

1 − 2 (𝛾−𝛼) ; {

1;

14

𝛼≤𝑥≤𝛽 𝛽≤𝑥≤𝛾 𝑥>𝛾

(2.6)

Gambar 2.12 Fungsi Keanggotaan 𝑆 Penyusutan Fungsi keanggotaan pada fungsi keanggotaan 𝑆 penyusutan adalah sebagai berikut : 1;

𝑥<𝛼

𝑥− 2

µ(𝑥) = 𝑆(𝑥; 𝛼, 𝛽, 𝛾) =

1 − 2 (𝛾−𝛼) ; 𝛾−𝑥 2

2 (𝛾−𝛼) ; {

0;

𝛼≤𝑥≤𝛽 𝛽≤𝑥≤𝛾

(2.7)

𝑥>𝛾

Berikut akan diberikan himpunan fuzzy TUA dengan fungsi keanggotaan kurva 𝑆 pertumbuhan. Contoh 2.8 Himpunan fuzzy TUA pada variabel umur untuk kurva 𝑆 pertumbuhan pada Gambar 2.13. Untuk contoh umur 50 pada himpunan TUA, memiliki 50−35 2

derajat keanggotaan yaitu 𝜇 𝑇𝑈𝐴 (50) = 2 (60−35) = 0.72.

15

Gambar 2.13 Himpunan Fuzzy TUA Berikut akan diberikan contoh himpunan fuzzy MUDA denga fungsi keanggotaan kurva 𝑆 penyusutan. Contoh 2.9 Himpunan fuzzy MUDA pada variabel umur untuk kurva 𝑆 penyusutan pada Gambar 2.14. Untuk contoh umur 37 pada himpunan MUDA, memiliki 50−37 2

derajat keanggotaan yaitu 𝜇𝑀𝑈𝐷𝐴 (37) = 2 (50−20) = 0.376.

Gambar 2.14 Himpunan Fuzzy MUDA 3. Operator-operator Fuzzy Terdapat tiga operator pada himpunan fuzzy yaitu irisan, gabungan, dan komplemen.

16

a. Komplemen Himpunan Fuzzy Komplemen dari himpunan fuzzy 𝐴̃ dinotasikan dengan 𝐴̃′. Bentuk umum himpunan diperlihatkan dengan derajat keanggotaan yang tidak terdapat pada himpunan 𝐴̃. Berikut akan diberikan contoh komplemen himpunan fuzzy. Contoh 2.10 Himpunan 𝐴̃ = {(1,0.2), (2,0.4)}. Komplemen dari 𝐴̃ adalah 𝐴̃′ ={(1,0.8), (2,0.6)}. Definisi 2.2. (Zimmermann, 2001: 17) Fungsi keanggotaan dari himpunan fuzzy 𝐴̃ komplemen, 𝜇𝐴̃′ (𝑥) didefinisikanoleh 𝜇𝐴̃′ (𝑥) = 1 − 𝜇𝐴̃ (𝑥). b. Irisan Himpunan Fuzzy Irisan dua himpunan 𝐴̃ dan 𝐵̃ dinotasikan dengan 𝐴̃ ∩ 𝐵̃. Irisan ekuivalen dengan operasi aritmatika dan logika AND. Berikut akan diberikan contoh irisan dua himpunan fuzzy 𝐴̃ dan 𝐵̃. Contoh 2.11 Himpunan

fuzzy

𝐴̃ = {(1,0.2), (2,0.4), (3,0.3)}

dan

𝐵̃ =

{(1,0.1), (2,0.5), (3,0.2)} Irisan himpunan 𝐴̃ dan 𝐵̃ atau 𝐴̃ ∩ 𝐵̃ adalah 𝐶̃ = {(1,0.1), (2,0.4), (3,0.2)}. Definisi 2.3. (Zimmermann, 2001: 17) Fungsi keanggotaan 𝜇𝐶̃ (𝑥) dari himpunan 𝐶̃ = 𝐴̃ ∩ 𝐵̃ adalah 𝜇(𝐶̃) (𝑥) = 𝑚𝑖𝑛{𝜇𝐴̃ (𝑥), 𝜇𝐵̃ (𝑥)} untuk semua 𝑥 ∈ 𝑋. Menurut George J. Klir (1997) irisan dari himpunan 𝐴̃ dan komplemennya 𝐴̃′ adalah himpunan kosong atau 𝐴̃ ∩ 𝐴̃′ = ∅.

17

c. Gabungan Himpunan Fuzzy Gabungan dua himpunan 𝐴̃ dan 𝐵̃ dinotasikan dengan

𝐴̃ ∪ 𝐵̃.

Gabungan ekuivalen dengan operasi aritmatika dan logika OR. Berikut akan diberikan contoh gabungan dua himpunan fuzzy 𝐴̃ dan 𝐵̃. Contoh 2.12 Himpunan fuzzy 𝐴̃ = {(1,0.2), (2,0.4)} dan 𝐵̃ = {(1,0.1), (2,0.5)}. ̃ = {(1,0.2), (2,0.5)}. Gabungan himpunan 𝐴̃ dan 𝐵̃ atau 𝐴̃ ∪ 𝐵̃ adalah 𝐷 Definisi 2.4. (Zimmermann, 2001: 17) Fungsi keanggotaan 𝜇𝐷̃ (𝑥) dari gabungan 𝐴̃ ∪ 𝐵̃ didefinisikan oleh 𝜇(𝐷̃) (𝑥) = 𝑚𝑎𝑥{𝜇𝐴̃ (𝑥), 𝜇𝐵̃ (𝑥)} untuk semua 𝑥 ∈ 𝑋. Gabungan dua himpunan 𝐴̃ dan 𝐵̃ yang tidak mempunyai anggota yang sama maka 𝐴̃ ∪ 𝐵̃ adalah ∅. d. Himpunan 𝛼 − 𝑐𝑢𝑡𝑠 Dalam menyatakan suatu himpunan fuzzy, dapat juga dilakukan dengan menggunakan 𝛼 − 𝑐𝑢𝑡𝑠 yang merupakan himpunan bagian dari himpunan tegas dalam himpunan semesta dengan 𝛼 adalah suatu bilangan dalam selang tertutup [0,1] (Li-Xin Wang, 1997). Definisi 2.5 (Zimmermann, 2001: 14) Anggota himpunan tegas pada himpunan fuzzy 𝐴̃ yang paling sedikit memiliki derajat keanggotaan 𝛼 dikatakan himpunan 𝛼 − 𝑐𝑢𝑡𝑠 𝐴̃𝛼 = {𝑥 ∈ 𝑋|𝜇𝐴̃ (𝑥) ≥ 𝛼}. Berikut akan diberikan contoh himpunan 𝛼 − 𝑐𝑢𝑡𝑠. Contoh 2.13 Himpunan semesta 𝑆 = {(1,0.1), (2,0.2), (3,0.3), (4,0.4)} kemudian akan ditentukan himpunan bagian dengan derajat keanggotaan 𝛼 = 0,1; 𝛼 = 0,2; dan 𝛼 = 0,3. Didapatkan,

18

𝐴̃0.1 = {𝑥 ∈ 𝑆|𝜇𝐴̃ (𝑥) ≥ 0.1} = {1,2,3,4} 𝐴̃0.2 = {𝑥 ∈ 𝑆|𝜇𝐴̃ (𝑥) ≥ 0.2} = {2,3,4} 𝐴̃0.3 = {𝑥 ∈ 𝑆|𝜇𝐴̃ (𝑥) ≥ 0.3} = {3,4} 4. Bilangan Fuzzy Menurut George J. Klir (1997) bilangan fuzzy didefinisikan sebagai himpunan fuzzy 𝐴̃ dengan fungsi keanggotaan : 𝑥−𝑎

(𝑏−𝑎) ; µ(𝑥) =

1; 𝑑−𝑥

(𝑑−𝑐 ) ; { 0 ;

𝑎≤𝑥≤𝑏 𝑏≤𝑥≤𝑐 𝑐≤𝑥≤𝑑 𝑥 < 𝑎 dan 𝑥 > 𝑑

(2.8)

dengan 𝑎 ≤ 𝑏 ≤ 𝑐 ≤ 𝑑 ∈ 𝑅. Definisi 2.6 (Nasseri, 2008: 1778) Elemen himpunan fuzzy 𝐴̃ dikatakan normal jika terdapat paling sedikit satu titik 𝑥 ∈ 𝑅 dengan 𝜇𝐴̃ (𝑥) = 1. Definisi 2.7 (Nasseri, 2008: 1778) Himpunan fuzzy 𝐴̃ di 𝑅 adalah konveks jika dan hanya jika 𝜇𝐴 (𝑥 + (1 − )𝑦) ≥ 𝑚𝑖𝑛{𝜇𝐴 (𝑥), 𝜇𝐴 (𝑦)} untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 dan setiap ∈[0,1]. Himpunan fuzzy dikatakan bilangan fuzzy apabila memenuhi sifat-sifat sebagai berikut : a. Himpunan fuzzy normal. Bilangan fuzzy merupakan himpunan fuzzy normal yang mempunyai fungsi keanggotaan yang nilainya sama dengan 1 untuk 𝑥 = 𝑏. b. 𝐴̃ 𝛼 pada selang tertutup 𝐴̃ 𝛼 merupakan selang tertutup untuk setiap 𝛼 ∈ [0,1].

19

c. Pendukung 𝐴̃ adalah selang terbuka di (𝑎, 𝑑) Pendukung (support) dari suatu himpunan fuzzy 𝐴̃, yang dilambangkan ̃ , adalah himpunan tegas yang memuat semua unsur dari dengan 𝑆𝑢𝑝𝑝(𝐴) semesta yang mempunyai derajat keanggotaan tak nol dalam 𝐴̃, yaitu ̃ = {𝑥 ∈ 𝑋|𝜇𝐴̃ (𝑥) > 0} yang berada pada selang terbuka (𝑎, 𝑑) 𝑆𝑢𝑝𝑝(𝐴) pada bilangan real. d. Himpunan 𝐴̃ adalah himpunan fuzzy konveks. Himpunan fuzzy dikatakan konveks apabila memenuhi bentuk µA (x + (1 − )y) ≥ min{µA (x), µA (y)} untuk setiap x, y ∈ R dan setiap ∈ [0,1]. Berikut akan diberikan contoh bilangan fuzzy. Contoh 2.14 Bilangan fuzzy kurang lebih 2 yang dapat dinyatakan sebagai himpunan fuzzy 2̃ dengan fungsi keanggotaan segitiga (𝑥; 0, 2, 4).

Gambar 2.15. Bilangan Fuzzy 2̃ Bilangan fuzzy 2̃ bersifat normal, sebab mempunyai fungsi keanggotaan yang nilainya sama dengan 1 untuk 𝑥 = 2. Bilangan fuzzy 2̃ merupakan selang tertutup untuk setiap 𝛼 ∈ [0,1] dalam 𝑅. Pendukung dari himpunan fuzzy 2̃ terbatas pada selang (0,4). Bilangan fuzzy 2̃

20

konveks, sebab untuk setiap sebarang 𝑥 ∈ 2̃ ambil 1 dan 3 dengan  = 0,5 maka 𝜇𝐴 (0,5𝑥1 + 0,5𝑥3) ≥ 𝑚𝑖𝑛(0,5; 0,5) ∈ 2̃. Dengan demikian, 2 merupakan bilangan fuzzy. B. Program Linear Dalam kehidupan sehari-hari tentu banyak terdapat permasalahan yang dihadapi oleh setiap orang, perusahaan, bahkan suatu negara. Salah satu bentuk penyelesaian masalah yang dapat digunakan adalah model program linear. Program linear sangat erat hubungannya dengan pengalokasian sumber daya baik berupa bahan baku, tenaga kerja, mesin, maupun modal. Semua sumber daya yang tersedia pada umumnya memiliki jumlah yang sangat terbatas. Oleh karena itu pengalokasiannya harus dilakukan dengan sebaik mungkin untuk mendapatkan hasil yang optimal (Zulian, 1991). Menurut Zulian (1991) terdapat tiga langkah yang harus dilakukan untuk merumuskan model program linear, yaitu : 1. Menentukan variabel keputusan yang akan dicari, 2. Menentukan batasan dari variabel keputusan dalam bentuk persamaan linear atau pertidaksamaan linear, 3. Menentukan tujuan yang akan dicapai dari variabel keputusan yang sudah ditentukan. Model pada program linear disusun oleh dua fungsi yaitu fungsi tujuan dan fungsi kendala. Fungsi tujuan merupakan fungsi linear yang menjelaskan permasalahan yang akan dicari solusi optimalnya. Fungsi kendala merupakan

21

fungsi linear yang menyatakan batasan-batasan yang harus dipenuhi dalam mencapai solusi optimal. Menurut B. Susanta (1994) bentuk umum dari program linear adalah, Memaksimumkan 𝑓 = 𝑐1 𝑥1 + 𝑐2 𝑥2 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑥𝑛

(2.9)

dengan kendala : 𝑎11 𝑥1 + 𝑎21 𝑥1 + ⋮ 𝑎𝑚1 𝑥1 +

𝑎12 𝑥2 + 𝑎22 𝑥2 + ⋮ 𝑎𝑚2 𝑥2 +

⋯ +𝑎1𝑛 𝑥𝑛 ⋯ +𝑎2𝑛 𝑥𝑛 ⋮ ⋯ +𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛

𝑥𝑖 ≥ 0, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛

(≤, =, ≥) 𝑏1 (≤, =, ≥) 𝑏2 ⋮ ⋮ (≤, =, ≥) 𝑏𝑚

(2.10)

(2.11)

dengan: 𝑥1 , 𝑥2 , ... , 𝑥𝑛

: variabel keputusan.

𝑐1, 𝑐2 , ... , 𝑐𝑛

: koefisien ongkos

𝑎11 , 𝑎12 ,... ,𝑎𝑚𝑛

: koefisien teknis

𝑏1 , 𝑏2 ,..., 𝑏𝑚

: koefisien ruas kanan

1. Metode Simpleks Menurut B. Susanta (1994), masalah program linear dengan dua variabel atau dengan tiga variabel masih dapat diselesaikan dengan metode grafik. Sedangkan untuk masalah program linear yang memuat tiga variabel atau lebih dapat diselesaikan dengan metode aljabar yang disebut metode simpleks. Metode simpleks merupakan metode yang dikenalkan oleh George Dantzig.

22

Langkah-langkah metode simpleks menurut B. Susanta (1994) adalah : 1. Menyusun tabel awal Langkah awal metode simpleks adalah mengubah bentuk model masalah program linear ke dalam bentuk kanonik. Pada pola maksimum, kendala utama pada masalah PL dapat berbentuk persamaan dan pertidaksamaan.

Dalam

mempelajari

metode

simpleks,

diperlukan

pengetahuan tentang bentuk kanonik masalah PL dan beberapa variabel yaitu slack, surplus, dan semu (artificial). Bentuk kanonik pada soal PL merupakan bentuk model PL dengan semua kendala utama berbentuk persamaan. Kendala yang berbentuk pertidaksamaan dapat diubah ke bentuk persamaan dengan menyisipkan suatu variabel. Variabel slack akan disisipkan pada ruas kiri jika kendala mempunyai bentuk pertidaksamaan ∑𝑝𝑗=1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 ≤ 𝑏𝑖 dan variabel surplus akan disisipkan pada ruas kanan jika kendala mempunyai bentuk pertidaksamaan ∑𝑝𝑗=1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 ≥ 𝑏𝑖 . Sedangkan variabel semu (artificial) merupakan variabel yang harus bernilai nol untuk kendala utama dalam bentuk persamaan yang belum memiliki variabel basis. Semua kendala utama dengan ruas kanan atau suku tetap 𝑏𝑖 harus bernilai positif. Suku tetap yang bernilai negatif harus dikalikan dengan -1. Apabila bentuk kanonik sudah dipenuhi, model PL dimasukkan ke dalam tabel simpleks seperti terlihat pada Tabel 2.1. PL yang sudah diubah dalam bentuk kanonik disusun dalam tabel awal dengan matriks koefisien yang dilengkapi dengan koefisien teknis dan suku tetap harus sudah tersusut Gauss-Jordan dan suku tetap pada ruas kanan harus tidak negatif atau 𝑏𝑖 ≥ 0 untuk semua 𝑖.

23

Sistem Persamaan Linear (SPL) dapat mempunyai satu solusi, banyak solusi, atau tidak punya solusi yang dapat ditandai dengan rank matriks. Rank matriks adalah ukuran terbesar dari matriks bujur sangkar bagian dari 𝐴 yang determinannya tidak nol. Rank matriks A dilambangkan dengan r ( A) (B. Susanta, 1994). Tabel 2.1 TABEL SIMPLEKS 𝑐𝑗

𝑐1

𝑐2

…

𝑐𝑛

𝑐̅𝑖

𝑥̅𝑖 /𝑥𝑗

𝑥1

𝑥2

…

𝑥𝑚

𝑏𝑖

𝑅𝑖

𝑐̅1

𝑥̅1

𝑎11

𝑎12

…

𝑎1𝑛

𝑏1

𝑅1

𝑐̅2

𝑥̅2

𝑎21

𝑎22

…

𝑎2𝑛

𝑏2

𝑅2

⋮

⋮

⋮

⋮

⋮

⋮

⋮

𝑐̅𝑚

𝑥̅𝑚

𝑎𝑚1

𝑎𝑚2

…

𝑎𝑚𝑛

𝑏𝑚

𝑅𝑚

𝑧𝑗

𝑧1

𝑧2

…

𝑧𝑛

Z

𝑧𝑗 − 𝑐𝑗

𝑧1 − 𝑐1

𝑧2 − 𝑐2

…

𝑧𝑛 − 𝑐𝑛

Z

𝑥𝑗 : variabel keputusan 𝑎𝑖𝑗 : koefisien teknis 𝑏𝑖 : suku tetap (tak negatif) 𝑐𝑗 : koefisien ongkos 𝑥̅ 𝑖 : variabel basis 𝑐̅𝑗 : koefisien ongkos variabel basis 𝑧𝑗 : ∑𝑚 𝑗=1 𝑐̅𝑖 𝑎𝑖𝑗 (hasil kali dari 𝑐̅𝑖 dengan kolom 𝑎𝑖𝑗 ) 𝑍 : ∑𝑚 𝑖=1 𝑐𝑖 𝑏𝑖 (hasil kali dari 𝑐̅𝑖 dengan 𝑏𝑖

24

2. Menguji keoptimalan Langkah ini bertujuan untuk memeriksa penyelesaian yang diperoleh tabel simpleks pada setiap iterasi. Untuk membaca solusi dari masalah program linear atau PLB adalah dengan melihat kolom 𝑏𝑖 . Selanjutnya untuk menguji apakah suatu PLB masalah program linear sudah optimal atau belum dapat dilihat dari nilai 𝑧𝑗 − 𝑐𝑗 . Jika nilai 𝑧𝑗 − 𝑐𝑗 ≥ 0 PLB sudah optimal dan langkah metode simpleks berhenti. Jika PLB sudah diperoleh namun apabila masih terdapat nilai negatif pada 𝑧𝑗 − 𝑐𝑗 , PLB belum optimal sehingga perlu dilakukan iterasi ulang atau dilakukan perbaikan tabel dengan mengangkat variabel lain yang bukan basis menjadi variabel basis untuk mendapatkan PLB yang optimal. Masalah PL dengan penyelesaian tak terbatas ditemukan pada nilai koefisien teknis yang dipilih atau yang akan masuk sebagai variabel basis bernilai negatif. Masalah PL dengan penyelesaian tak terbatas kemudian diberhentikan prosesnya karena soal jelas tidak mempunyai penyelesaian optimum. Masalah PL dikatakan mempunyai solusi lebih dari 1 jika pada tabel PLB optimal terdapat variabel non basis yang nilai 𝑧𝑗 − 𝑐𝑗 nya adalah nol. Selanjutnya untuk menguji solusi lain, maka variabel non basis yang memiliki nilai 𝑧𝑗 − 𝑐𝑗 nya nol, dipilih masuk sebagai variabel basis. Masalah PL dikatakan tidak mempunyai solusi atau solusi tidak layak pada tabel PLB optimal jika terdapat variabel semu yang memiliki 𝑏𝑖 tidak bernilai nol atau bernilai positif. Masalah PL dikatakan memiliki solusi tunggal jika variabel

25

basisnya sudah bernilai nol. Sedangkan variabel basis di kolom 𝑏𝑖 yang bernilai nol, maka PLB yang baru dikatakan merosot atau degenerate. 3. Memperbaiki tabel. Untuk PLB yang belum optimal, PLB yang lebih baik dapat dilakukan dengan mengganti suatu variabel basis dari PLB sebelumnya dengan suatu variabel basis baru. Variabel 𝑥𝑗 yang bukan merupakan variabel basis diangkat menjadi variabel basis dengan nilai positif untuk mendapatkan nilai yang optimal. Pemilihan variabel basis 𝑥𝑗 yang masuk menjadi basis yaitu dengan melihat 𝑧𝑗 − 𝑐𝑗 pada tabel yang mempunyai nilai paling kecil. Kolom yang terpilih dinamakan sebagai kolom kunci. Pemilihan variabel basis lama 𝑏

yang harus keluar atau diganti yaitu dengan melihat nilai 𝑅𝑖 = 𝑎 𝑖 dengan 𝑖𝑗

𝑎𝑖𝑗 > 0 pada tabel yang mempunyai nilai paling kecil. Baris yang terpilih dinamakan sebagai baris kunci. Nilai unsur kunci yang merupakan perpotongan kolom kunci dan baris kunci harus dibuat sama dengan 1 dan nilai-nilai lainnya pada kolom yang sama harus bernilai nol dengan melakukan beberapa kali operasi baris elementer. Tabel awal yang memuat PLB dengan 𝑧𝑗 − 𝑐𝑗 < 0 maka tabel masih dapat dibuat lebih maju dengan cara mencari PLB yang baru yang memiliki nilai f lebih besar, atau paling sedikit sama dengan f semula. Nilai f baru akan selalu lebih besar dari nilai f sebelumnya jika tidak terjadi kemerosotan. Dengan mengganti satu basis pada setiap langkahnya, proses memajukan nilai f dapat dilakukan kembali setelah diperoleh PLB baru, kemudian kembali ke langkah dua untuk menguji keoptimalannya. Proses akan berhenti jika kolom-

26

kolom bukan basis 𝑧𝑗 − 𝑐𝑗 ≥ 0 yang berarti bahwa PLB sudah merupakan penyelesaian optimal. Contoh 2.15 Berikut akan dibahas cara menyelesaikan contoh permasalahan program linear pada dengan metode simpleks dengan langkah-langkah sebagai berikut, 1. Menyusun tabel awal Untuk menyusun tabel, ubah permasalahan ke bentuk kanonik dengan menambah variabel slack pada kendala ke-1 dan pada kendala ke-2 sehingga diperoleh 𝑓 = 1000𝑥1 + 300𝑥2 + 0𝑠1 + 0𝑠2 dengan kendala, 2𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑠1= 35 5𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑠2= 20 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑠1 , 𝑠2 ≥ 0 Selanjutnya, bentuk kanonik tersebut dapat dimasukkan ke dalam tabel awal simpleks seperti terlihat pada Tabel 2.2 Tabel 2.2 Tabel awal simpleks 𝑐𝑗

1000

300

0

0

𝑐̅𝑖

𝑥̅ 𝑖 /𝑥𝑗

𝑥1

𝑥2

𝑠1

𝑠2

𝑏𝑖

0

𝑠1

2

4

1

0

35

0

𝑠2

5

2

0

1

20

𝑧𝑗

0

0

0

0

0

𝑧𝑗 − 𝑐𝑗

-1000

-300

0

0

0

27

𝑅𝑖

2. Menguji keoptimalan tabel Setelah bentuk kanonik dimasukkan ke tabel simpleks seperti terlihat pada tabel 2.2, selanjutnya menghitung nilai 𝑧𝑗 yang diperoleh dari perkalian setiap kolom pada variabel terhadap nilai koefisien ongkos variabel basis 𝑐̅𝑖 . Pada baris 𝑧𝑗 dihasilkan semuanya memiliki nilai 0. Selanjutnya menghitung nilai 𝑧𝑗 − 𝑐𝑗 yaitu pengurangan baris 𝑧𝑗 terhadap baris koefisien ongkos 𝑐𝑗 . Tabel 2.3 Tabel uji keoptimalan simpleks iterasi ke-1 𝑐𝑗

1000

300

0

0

𝑐̅𝑖

𝑥̅ 𝑖 /𝑥𝑗

𝑥1

𝑥2

𝑠1

𝑠2

𝑏𝑖

𝑅𝑖

0

𝑠1

2

4

1

0

35

35/2

0

𝑠2

5

2

0

1

20

4

𝑧𝑗

0

0

0

0

0

𝑧𝑗 − 𝑐𝑗

-1000

-300

0

0

0

Terlihat bahwa tabel belum optimal karena nilai pada baris 𝑧𝑗 − 𝑐𝑗 masih terdapat nilai 𝑧𝑗 − 𝑐𝑗 ≤ 0, sehingga tabel harus diperbaiki. 3. Memperbaiki tabel Tabel yang diperbaiki diawali dengan menentukan variabel non-basis yang akan menjadi variabel basis yang dipilih pada baris nilai 𝑧𝑗 − 𝑐𝑗 terkecil yaitu -1000 atau variabel 𝑥1 . Selanjutnya menentukan variabel basis yang akan keluar dengan melihat kolom nilai 𝑅𝑖 terkecil yaitu 4 atau variabel 𝑠2 . Pemilihan tersebut menghasilkan unsur kunci bernilai 5, selanjutnya harus dibuat menjadi 1 dan nilai-nilai lain pada kolom yang sama harus dibuat

28

menjadi 0. Hasil perbaikan tabel simpleks pada iterasi kedua diberikan pada Tabel 2.4 dibawah ini. Tabel 2.4 Tabel uji keoptimalan simpleks iterasi ke-2 𝑐𝑗

1000

300

0

0

𝑐̅𝑖

𝑥̅ 𝑖 /𝑥𝑗

𝑥1

𝑥2

𝑠1

𝑠2

𝑏𝑖

0

𝑠1

0

16/5

1

-2/5

35/2

1000

𝑥1

1

2/5

0

1/5

4

𝑧𝑗

1000

400

0

200

4000

𝑧𝑗 − 𝑐𝑗

0

100

0

200

4000

𝑅𝑖

Tabel simpleks pada iterasi kedua sudah optimal karena memuat baris 𝑧𝑗 − 𝑐𝑗 ≥ 0. Penyelesaian optimal tersebut memiliki solusi tunggal yang terlihat pada variabel basis 𝑥1 dan 𝑠1 bernilai 0 pada baris 𝑧𝑗 − 𝑐𝑗 . Diperoleh PLB yaitu (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑠1 , 𝑠2 ) = (4, 0,

35 2

, 0) dan 𝑓 = 4000.

C. Program Linear Fuzzy Permasalahan

program

linear

dalam

perkembangannya

dapat

diaplikasikan dalam lingkungan fuzzy yang disajikan dalam bentuk program linear fuzzy. Penyelesaian dengan bentuk program linear fuzzy merupakan metode optimasi dengan beberapa fungsi tujuan dan fungsi kendala yang dimodelkan dalam himpunan fuzzy. Pada program linear fuzzy, untuk mencari nilai z yang merupakan fungsi tujuan yang akan dioptimasikan dengan batasan-batasan yang dimodelkan menggunakan himpunan fuzzy (Sri Kusumadewi, 2002). Pendekatan dengan teori himpunan fuzzy digunakan

29

untuk mengakomodasi tingkat ketidakpastian suatu permasalahan pada dunia nyata. Bentuk umum model program linear fuzzy menurut George J.Klir (1995) adalah, Memaksimalkan ∑𝑛𝑗=1 𝑐̃𝑗 𝑥𝑗 dengan kendala ∑𝑛𝑗=1 𝑎̃𝑖𝑗 𝑥𝑗 ≤ 𝑏̃𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑚

(2.12)

dengan : 𝑥𝑗 : variabel keputusan 𝑎̃𝑖𝑗 : koefisien teknis dalam bentuk bilangan fuzzy 𝑏̃𝑖 : koefisien ruas kanan dalam bentuk bilangan fuzzy 𝑐̃𝑗 : koefisien ongkos dalam bentuk bilangan fuzzy Terdapat banyak bentuk masalah program linear fuzzy salah satunya adalah program linear fuzzy dengan koefisien teknis kendala berbentuk bilangan fuzzy. Bentuk umum model permasalahan program linear fuzzy dengan koefisien teknis kendala berbentuk bilangan fuzzy adalah, Memaksimalkan ∑𝑛𝑗=1 𝑐𝑗 𝑥𝑗 dengan kendala ∑𝑛𝑗=1 𝑎̃𝑖𝑗 𝑥𝑗 ≤ 𝑏𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑚

(2.13)

Pada program linear fuzzy, koefisien teknis 𝑎̃𝑖𝑗 merupakan bilangan fuzzy. Setiap bilangan fuzzy dengan nilainya yang masih belum pasti, memiliki suatu nilai batas persekitaran 𝑎̃𝑖𝑗 yang disebut batas toleransi dan dinotasikan dengan 𝑑̃𝑖𝑗 .

30

Berikut akan diberikan contoh bentuk permasalahan program linear fuzzy dengan koefisien teknis bilangan fuzzy. Contoh 2.16 Memaksimumkan 𝑓 = 𝑥1 + 2𝑥2 dengan batasan 3̃𝑥1 + 1̃𝑥2 ≤ 4 5̃𝑥1 + 2̃𝑥2 ≤ 15 𝑥1 , 𝑥2 ≥ 0 Kedua kendala memiliki toleransi masing-masing 𝑑1 = 1, 𝑑2 = 2, 𝑑3 = 1, dan 𝑑4 = 1. Sehingga permasalahan di atas dapat ditulis sebagai berikut : ̃ ̃ ̃ 𝑎𝑖𝑗 = [3 1] , 𝑑𝑖𝑗 = [1 ̃5 2̃ 1̃

2̃] 1̃

̃ ̃ 4 𝑎𝑖𝑗 + 𝑑𝑖𝑗 = [4 3] dan 𝑏𝑖 = [ ] 15 6̃ 3̃ Dalam

teori

pengambilan

keputusan,

Bellman

dan

Zadeh

mendefinisikan tiga konsep dasar yaitu fuzzy goal, fuzzy constraint, dan fuzzy decision (Hekmatnia, 2013), yaitu: 1. Fuzzy Goal (G), himpunan fuzzy yang ditetapkan oleh fungsi keanggotaan: 𝜇𝐺 (𝑥): 𝑋 → [0,1] Himpunan Fuzzy Goal merupakan himpunan fuzzy yang mendefinisikan fungsi tujuannya berbentuk bilangan fuzzy. 2. Fuzzy Constraint (C), himpunan fuzzy yang ditetapkan oleh fungsi keanggotaan: 𝜇𝐶 (𝑥): 𝑋 → [0,1]

31

Himpunan

Fuzzy

Constraint

merupakan

himpunan

fuzzy

yang

mendefinisikan fungsi kendalanya berbentuk bilangan fuzzy. 3. Fuzzy Decision (D), himpunan fuzzy yang didapatkan dari irisan fuzzy goal dan fuzzy constraint. 𝜇𝐷 (𝑥): 𝑋 → [0,1], 𝐷 = 𝐺 ∩ 𝐶, 𝜇𝐷 (𝑥) = min{𝜇𝐺 (𝑥), 𝜇𝐶 (𝑥)} Himpunan Fuzzy Decision merupakan irisan dari himpunan fuzzy goal dan himpunan fuzzy constraint yang mendefinisikan hasil dari keputusan fuzzy. Berikut akan diberikan contoh fungsi keanggotaan pada himpunan fuzzy goal, fuzzy constraint dan fungsi keanggotaan fuzzy decision. Contoh 2.17 Diketahui fungsi fuzzy goal sebagai berikut : 0;

𝑥≤5

𝑥−5

𝜇(𝐺) = {

; 5 ≤ 𝑥 ≤ 10 1; 𝑥 ≥ 10

5

dan fungsi fuzzy constraint sebagai berikut : 0;

𝑥≤6 𝜇(𝐷) = { 6 ; 6 ≤ 𝑥 ≤ 12 1; 𝑥 ≥ 12 𝑥−6

dengan demikian, fungsi fuzzy decision sebagai berikut,

𝜇(𝐷) =

0;

𝑥≤5

𝑥−5 min(0, ) 5 𝑥−5 𝑥−6 min( 5 , 6 ) 𝑥−6 min(1, 6 )

5≤𝑥≤6 6 ≤ 𝑥 ≤ 10 10 ≤ 𝑥 ≤ 12

1;

𝑥 ≥ 12

{

32

dan solusi optimal didapatkan yaitu, max(𝜇𝐷 (𝑥)) = max( 0, min(0,

𝑥−5 5

𝑥−5 𝑥−6 , 6 ), 5

), min(

33

min (1,

𝑥−6 ) , 1) 6

=1