BAB I PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah Matematika merupakan salah satu ilmu pengetahuan yang sudah lama dipelajari dan berkembang pesat. Perkembangan ilmu matematika tidak terlepas dari perkembangan ilmu-ilmu lainnya. Ilmu matematika banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Kebanyakan tidak digunakan secara langsung, namun dengan perpaduan berbagai disiplin ilmu yang berbeda. Hal ini berdampak besar bagi kehidupan manusia. Salah satu disiplin ilmu yang banyak memakai teori-teori matematika dalam pemodelan permasalahannya adalah disiplin ilmu fisika. Hal ini karena pemodelan dalam bentuk permasalahan matematika lebih mudah untuk diselesaikan. Beberapa diantaranya adalah masalah perpindahan panas, mekanika fluida, akustik, dan kelistrikan. Kelistrikan merupakan salah satu ilmu fisika yang berkaitan dengan elektron dan proton, yang menyebabkan penarikan dan penolakan gaya di antaranya. Listrik memungkinkan terjadinya banyak fenomena fisika yang dikenal luas dan digunakan dalam aplikasi-aplikasi industri, salah satunya adalah medan listrik. Medan Listrik timbul karena keberadaan muatan listrik seperti elektron, ion, atau proton, dalam ruangan yang ada di dalamnya. Ada berbagai hal yang dapat dihitung nilai-nilai pada medan listrik, salah satunya adalah potensial listrik. Model matematika untuk potensial listrik adalah persamaan Laplace. Bentuk umum persamaan Laplace adalah ∂ 2φ ∂ 2φ + = 0. ∂x2 ∂y 2 Sama halnya dengan persamaan-persamaan diferensial parsial lainnya, permasalahan yang melibatkan persamaan Laplace biasanya diikuti dengan syarat-syarat batas. 1
2 Permasalahan dalam bentuk persamaan Laplace yang dilengkapi dengan syarat-syarat batas memberikan tingkat kesulitan yang berbeda-beda dalam menentukan solusinya sesuai dengan syarat-syarat batas yang diberikan. Oleh karena itu, tidak semua solusi dapat ditentukan secara analitik sehingga para ilmuwan banyak melakukan penelitian dalam mengembangkan metode numerik untuk mendapatkan pendekatan solusi analitiknya. Sudah banyak metode numerik yang telah dikembangkan oleh para ilmuwan, salah satunya adalah metode elemen batas. Berbeda dengan metode lain seperti metode elemen hingga dan metode beda hingga, dalam penerapannya, diskritisasi yang digunakan oleh metode elemen batas tidak pada domain melainkan pada batas domainnya. Penghitungan dengan metode elemen batas tidak mudah dilakukan secara manual karena untuk mendapatkan pendekatan solusi dengan nilai error yang kecil, membutuhkan waktu yang lama dan tingkat ketelitian yang tinggi. Oleh karena itu, para ilmuwan mengembangkan program-program komputer untuk membantu penghitungan dengan metode ini. Di antaranya, dalam buku A Beginners Course in Boundary Element Method, (Ang, 2007) digunakan bahasa pemrograman FORTRAN 77 dalam menyelesaikan persamaan Laplace dengan BEM. Selain FORTRAN 77, terdapat bahasa pemrograman lain, yaitu MATLAB yang telah menjadi bahasa pemrograman yang sering digunakan oleh para ilmuwan matematika. Beberapa uraian yang telah disampaikan penulis inilah, yang melatar belakangi dalam penulisan skripsi mengenai metode elemen batas untuk menyelesaikan permasalahan medan listrik, khususnya dengan bantuan bahasa pemrograman MATLAB.
1.2. Perumusan Masalah Permasalahan yang dapat dirumuskan oleh penulis dalam skripsi ini adalah sebagai berikut : 1. Perumusan persamaan Laplace dari masalah medan listrik. 2. Menentukan potensial listrik dari permasalahan medan listrik dimensi dua
3 dengan menggunakan metode elemen batas disertai perbandingan solusi numeriknya dengan solusi eksaknya.
1.3. Batasan Masalah Permasalahan yang dibahas pada skripsi ini akan dibatasi pada implementasi metode elemen batas untuk menentukan solusi persaman Laplace dengan syarat batas yang diketahui. Dalam penerapannya dalam elektrodinamika, penulis mengimplementasikan metode elemen batas untuk menentukan potensial listrik pada medan listrik dimensi dua.
1.4. Tujuan dan Manfaat Selain bertujuan untuk memenuhi syarat kelulusan program Strata-1 (S1) program studi matematika Universitas Gadjah Mada, penyusunan skripsi juga bertujuan untuk memberikan tambahan wawasan kepada pembaca mengenai metode elemen batas. Metode elemen batas merupakan salah satu metode numerik untuk menyelesaikan permasalahan dalam bidang elektro, khususnya pada permasalahan medan listrik dimensi dua.
1.5. Tinjauan Pustaka Metode elemen batas yang menjadi pembahasan utama dalam skripsi ini dijelaskan secara rinci oleh W.T. Ang (2007). Pada buku tersebut, diberikan penjelasan mengenai persamaan Laplace secara umum. Untuk implementasi dari metode elemen batas, yang dikhususkan pada masalah medan listrik, penulis menggabungkan beberapa teori berdasarkan hasil yang telah dilaporkan oleh Griffiths (1999), Arfken and Weber (2005), dan Hayt and Buck (2012). Dalam pembahasan pada skripsi ini terdapat beberapa dasar teori yang terkait tentang persamaan Laplace. Penjelasan mengenai beberapa konsep vektor yang mengacu pada buku Spiegel (1959). Kemudian dijelaskan pula mengenai diferensial parsial yang termuat dalam buku Taylor (1983). Selain beberapa dasar teori
4 yang telah disebutkan, diberikan juga materi yang berkaitan dengan metode elemen batas. Di antaranya yaitu, Teorema Divergensi, Teorema Green, Teorema GaussGreen dan Fungsi Dirac Delta yang mengacuu pada buku Katsikadelis (2002).
1.6. Metode Penelitian Metode atau langkah-langkah yang dilakukan oleh penulis dalam penilitian ini adalah sebagai berikut : 1. Mempelajari mengenai persamaan Laplace dan beberapa teorema yang menjadi dasar dalam menentukan solusi dengan metode elemen batas. 2. Mempelajari langkah-langkah dalam menentukan solusi persamaan Laplace dengan metode elemen batas yang mengacu pada buku karangan WT Ang yang berjudul A Beginners Course in Boundary Element Method. 3. Mencari suatu permasalahan dalam dunia nyata yang dapat dimodelkan ke bentuk permasalahan dengan persamaan Laplace yang dilengkapi dengan syarat batas. 4. Mempelajari mengenai langkah-langkah pemodelan permasalahan medan listrik menjadi bentuk persamaan Laplace. 5. Membuat syntax metode elemen batas dengan bahasa pemrograman MATLAB untuk menyelesaikan permasalahan medan listrik. Selain yang disebutkan diatas, penulis juga melakukan konsultasi dengan dosen pembimbing skripsi pada setiap perkembangan materi.
5
1.7. Sistematika Penulisan
BAB I PENDAHULUAN Bab ini berisi tentang latar belakang permasalahan, tujuan penulisan, pembatasan masalah, tinjauan pustaka, metode penelitian yang digunakan dalam penulisan skripsi ini, serta sistematika penulisan.
BAB II DASAR TEORI Bab ini berisi tentang uraian beberapa definisi dan teorema yang menjadi dasar pembahasan pada dua bab selanjutnya.
BAB III METODE ELEMEN BATAS Bab ini menjelaskan mengenai langkah-langkah dalam menentukan penyelesaian persamaan Laplace menggunakan metode elemen batas, serta gambaran secara ringkas mengenai pembuatan syntax metode elemen batas dengan menggunakan MATLAB.
BAB IV MASALAH MEDAN LISTRIK DIMENSI DUA DAN PENYELESAIANNYA DENGAN METODE ELEMEN BATAS Bab ini diuraikan mengenai pemodelan permasalahan medan listrik ke dalam bentuk persamaan matematika, khususnya ke bentuk persamaan Laplace. Selanjutnya, diberikan juga dua contoh masalah akustik dengan domain persegi dan persegi panjang beserta penyelesaiannya menggunakan metode elemen batas.
BAB V PENUTUP Bab ini berisi kesimpulan dari seluruh pembahasan mengenai penyelesaian persamaan Laplace dengan metode elemen batas hingga implementasinya terhadap persamaan medan listrik. Pada bagian ini juga disertakan saran yang dapat dipertimbangkan untuk penelitian selanjutnya.
