BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Matematika sebagai salah satu ilmu dasar, memegang peranan penting dalam mempercepat penguasaan ilmu pengetahuan dan teknologi. Hal ini disebabkan karena, matematika merupakan sarana berfikir untuk menumbuh kembangkan cara berfikir logis, sistematis, dan kritis. Matematika banyak berhubungan dengan ide-ide abstrak yang diberi symbol-simbol yang tersusun secara hierarkis dan penalarannya deduktif sehingga belajar matematika merupakan kegiatan mental yang tinggi. Karena, kehierarkisan matematika itu, maka belajar matematika yang terputus-putus akan menggangu terjadinya proses belajar. Ini berarti proses belajar matematika akan terjadi dengan lancar bila belajar itu dilakukan secara kontinyu. Mempelajari konsep B yang mendasarkan konsep A, seseorang perlu memahami terlebih dahulu konsep A. tanpa memahami konsep A, tidak mungkin orang memahami konsep B. ini berarti mempelajari matematika haruslah bertahap dan berurutan, serta berdasarkan kepada pengalaman belajar yang lalu. Mengingat pentingnya matematika maka dipandang perlu untuk melakukan perhatian yang lebih baik berbagai pihak untuk meningkatkan mutu hasil belajar matematika. Usaha-usaha yang dilakukan kea rah peningkatan hasil belajar diharapkan akan selalu ditingkatkan.jangkauannya diperluas dan mencakup sasaran yang lebih mendasar seperti peningkatan keterampilan matematis, pengembangan penyelesaian masalah matematika, perbaikan cara belajar natematika dan lain-lain.
Kesulitan belajar atau memahami materi yang dialami para siswa, baik pada jenjang pendidikan tinggi merupakan hal yang selalu menarik untuk ditelusuri, sikap masa bodoh untuk tidak peduli pada terhadap kesulitan yang mereka alami sangat fatal pengaruhnya dan akibatnya bias menjadi anggapan bahwa matematika adalah momok bagi mereka. Bertolak dari pemikiran di atas dilandasi pengalaman mengajar selama ini maka, penulis yang kebetulan merupakan Guru SMA dan MA lebih menfokuskan pada permasalahan yang berkaitan dengan materi penyederhanaan bentuk akar yang ada pada pelajaran matematika kelas X. sebab pada materi ini masih banyak siswa yang belum tahu persis bagaimana cara menyederhanakan bentuk akar. Sehingga soal
45 + 2 18 = …….., pada kasus tersebut banyak siswa yang tidak
mampu menyelesaikannya bahkan tidak sedikit diantara mereka yang mengatakan soal tersebut tidak dapat dikerjakan karena bilangan dibawah tanda akar tidak sama. Ini disebabkan karena mereka tidak mengetahui cara menyederhanakan akar dan sebelumnya mereka tidak paham materi faktor prima.
B. Rumusan Masalah Berdasarkan
latar
belakang
diatas
maka
penulis
merumuskan
permasalahan yang berkaitan dengan siswa yang tidak mampu menyederhanakan akar. Yakni “Bagaimana menyederhanakan bentuk akar dengan faktorisasi prima”
C. Batasan Istilah 1. Bentuk Akar adalah akar suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan rasional. Contoh
3
2. Bilangan Rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a dengan a, b adalah bilangan bulat dan b ¹ 0 b
3. Bilangan Irrasionl adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk
a dengan a, b adalah bilangan bulat dan b ¹ 0 b
4. Bentuk akar yang paling sederhana apabila bentuk akar tersebut tidak mempunyai satupun faktor bilangan kuadrat. 5. Akar Kuadrat suatu bilangan adalah bilangan itu dikalikan dengan dirinya memberikan bilangan yang dibutuhkan. Contoh, berapakah akar kuadrat dari 64? Karena 8 x 8 = 64, maka 8 adalah akar kuadrat dari 64. 6. Bilangan Kuadarat adalah suatu bilangan yang dapat ditunjukkan sebagai hasil kali dari dua bilangan yang sama. Contoh 25 = 5 x 5, jadi 25 adalah suatu bilangan kuadrat. 7. Bilangan Prima adalah suatu bilangan asli yang hanya mempunyai dua faktor yaitu 1 dan bilangan intu sendiri. Contoh 2, 3,11,…….. 8. Faktor Prima suatu bilangan adalah suatu faktor prima dari suatu bilangan yang diberikan. Contoh 2 dan 3 adalah faktor prima dari 12.
BAB II PEMBAHASAN A. Pengertian Pembalajaran Matematika Secara umum Gagne Dan Briggs yang dikutip oleh Ismail (1998) mengatakan bahwa pembelajaran sebagai upaya orang yang tujuannnya adalah membantu orang belajar.dan secara lebih terinci pembelajaran adalah seperangkat acara peristiwa eksternal yang dirancang untuk mendukung terjadinya beberapa proses belajar yang sifatnya internal. Corey yang dikutip oleh ismail (1998) bahwa pembelajaran adalah suatu proses dimana lingkungan seseorang secara sengaja dikelola untuk memungkinkan ia turut serta dalam kondisi-kondisi khusus atau menghasilkan respon terhadap situasi tertentu. Dalam kamus besar bahasa Indonesia kata pembelajaran adalah kata benda yang diartikan sebagai “proses, cara, menjadikan orang
atau makhluk hidup
belajar” kata ini berasal dari kata kerja belajar yang artinya berusaha untuk memperoleh kepandaian atau ilmu, berubah tingkah laku atau tanggapan yang disebabkan oleh pengalaman. Dari pengertian di atas menunjukkan bahwa pembelajaran berpusat pada kegiatan siswa belajar dan bukan pada berpusat pada kegiatan guru mengajar. Oleh karena itu pada hakikatnya pembelajaran matematika adalah proses yang sengaja dirancang dengan tujuan untuk menciptakan suasana lingkungan memungkinkan seseorang (sipelajar) melaksanakan kegiatan belajar matematika, dan proses tersebut berpusat pada guru mengajar matematika. Pembelajaran matematika harus memberikan peluang kepada siswa untuk berusaha dan mencari pengalaman tentang matematika.
B. Matematika Sekolah Matematika sekolah sebagai salah satu unsure dalam pembelajaran matematika di sekolah dipandang sebagai salah satu bidang studi. Matematika sekolah tersebut berfungsi sebagai wahana untuk : ·
Meningkatkan ketajaman penalaran siswa yang dapat membentu memperjelas dan menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari.
·
Meningkatkan kemampuan berkomunikasi dengan menggunakan bilangan dan symbol-simbol.
C. Keterkaitan antara guru dan siswa dalam proses pembelajaran matematika di sekolah. Guru sebagai salah satu perancang kegiatan dalam pembelajaran matematika di sekolah tentunya harus merujuk pada penciptaan kondisi dan situasi lingkungan kelas yang megarah pada terciptanya suasana belajar yang optimal bagi siswanya. Secara umum pembelajaran matematika di sekolah dikatan berhasil jika siswa dapat belajar dengan optimal dan tercapainya tujuan pembelajaran yang ditetapkan, dalam kondisi dan sitiusi lingkungan kel;as yang sengaja diciptakan guru. Proses pembelajaran matematika melibatkan guru, siswa, dan matematika sekolah. Proses pembelajaran matematika dalam konsep komunikasi pada dasarnya merupakan proses komunikasi antara guru dan siswa, antara siswa dan siswa dengan sumber belajar. Suatu proses pembelajaran dikatakan baik, jika
komunikasi yang terjadi dalam pembelajaran tersebut mampu menimbulkan intensitas proses belajar yang tinggi. Dengan kata lain, komunikasi yang terjadi harus mampu memberikan kemudahan atau fasilitas bagi siswa untuk melakukan proses belajar secara efisien dan efektif. Dalam pandangan sosiologi, proses pembelajaran merupakan proses sosialisasi dalam lingkungan lingkup kecil yang merupakan bagian dari lingkup yang lebih luas yaitu pendidikan. Dalam pandangan ini kelompok-kelompok dalam kelas meruoakan lingkup paling kecil, yang terintegrasi dalam masyarakat kelas. Masyarakat kelas terintegrasi dalam masyarakat sekolah. Masyarakat sekolah terintegrasi dalam masyarakat luas umumnya. Ini berarti guru mempunyai norma-norma tertentu , dimana guru adalah bagian dari masyarakat itu. Kehidupan di dalam kelompok siswa, kelas, dan sekolah sedikit banyak akan melibatkan hasil-hasil belajar siswa dalam masyarakat yang lebih luas. Semakin beragamnya lingkungan siswa tinggal dimasyarakat luas berdampak pada beragamnya pengetahuan siswa, dengan demikian proses pembelajaran juga memerlukan beragam pendekatan, metode dan teknik. Pembahasan di atas menenjukkan magaimana kompleksnya masalah pembelajaran matematika. Hendaknya kita sadari bahwa suatu pembelajaran matematika yang dirancang oleh seorang guru tidak dapat menjamin keberhasilan pembelajaran matematika juga dilakukan oleh guru lain dalam situasi lain dan terhadap siswa yang berlainan. Tindakan antisipasi guru yang sifatnya pribadi seharusnya dilakukan. Karena pembelajaran berorientasi pada kegiatan belajar dan bukan pada kegiatan mengajar. Maka kita sebagai guru dituntut untuk untuk
memaha,mi teori belajar dengan baik, dituntut untuk menguasai matematika sekolah dan hakikat matematika sebagai unsure pokok dalam pembelajaran matematika.
D. Bentuk Akar Bentuk akar merupakan salah satu bentuk dari bilangan irasional. Sebelum membahas bentuk akar perlu kita pahami lebih dahulu pengertian bilangan terukur. Perhatikan contoh- contoh berikut. ·
2 adalah bilangan terukur sebab
2 dapat digambar sebagai sebuah ukuran
tertentu.
· ·
5 adalah bilangan terukur karena 5 dapat digambarkan sebagai berikut
Panjang Ab = 2 satuan dan panjang BC = 1 satuan sehingga panjang AC
5
satuan . garis AC dapat diperpanjang sehinnga membentuk CD dengan ukuran yang sama AC sehingga jika panjang AC =
5 maka panjang AD = 2 5 .
Garis tersebut dapat kita perpanjang terus menerus dengan ukuran yang sama dengan panjang AC. ·
Apakah
4 = 2 ? Hal ini dapat diselidiki dengan cara sebagai berikut. Dengan
membentuk sebuah segitiga siku-siku dengan gambaran seperti berikut, tampak bahwa
4 = 2.
Dari contoh-contoh tersebut tampak bahwa
2,
4 jika diberikan
5,
ukuran 1 satuan di kertas maka kita dapat melukis bilangan yang digambarkan oleh bilangan-bilangan tersebut dengan garis dan jangka. Setelah mengetahui konsep dasar bilangan terukur kita dapat mengetahui pengertian bentuk akar. ·
a = b Û b2 = a
Sebagai contoh :
Jika
·
9 = 3 Û 32 = 9
·
16 = 4 Û 4 2 = 16
a
³ 0maka
a suatu
bilangan
positif.
Demikian
(-5) 2 = 5 bukan – 5. sekarang berapakah nilai dari
2,
5,
pula
dengan
45 ? Bentuk-
bentuk tersebut disebut bentuk akar, yaitu akar suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan rasional. Bentuk akar termasuk bilangan irrasional. Adapun bentuk
4,
16 ,
64 bukan bentuk akar karena kita dapat menentukan
bilangan rasional untuk nilai tersebut, yaitu,
4 = 2, 16 = 4,
64 = 8.
E. Operasi Aljabar Pada Bentuk Akar a). Penjumlahan dan pengurangan penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan apabila bentuk akar pada bilangan-bilangan yang dijumlahkan atau dikurangkan itu sama.dengan demikian, jika a, c Î R dan b ³ 0 , berlaku : ·
a b + c b = ( a + b) b
·
a b - c b = ( a - b) b
b). Perkalian dan Pembagian perhatikan kembali pengertian kar pangkat dua sebuah bilangan, yaitu a = b Û b 2 = a untuk a, b ³ 0 . Bsrdasarkan definisi di atas berlaku sifat
berikut : ·
a2 = a
·
a x b = axb
·
a b
=
a b
F. Kejadian-kejadian yang sering Muncul di kelas mengenai Bentuk Akar Kasus 1 Tentukanlah nilai dari
45 + 125 = ….
Terkadang siswa berkata soal di atas tidak dapat diselesaikan sebab penjumlahan bentuk akar dapat dilakukan apabila bentuk akar yang akan dijumlahkan sama. Kasus 2 Tentukanlah bentuk sederhana dari
45 ?
Masih banyak kalangan guru yang menjelaskan soal diatas dengan berkata ”Carilah satu bilangan kuadrat yang jika dikalikan dengan satu bilangan maka hasilnya 45” maka siswa akan berusaha mencari bilangan tersebut dan setelah beberapa detik seorang siswa mengacungkan tangannnya dan menjawab “9 x 5” dan tidak sedikit dari mereka yang tidak dapat
menemukan bilangan 9 dan 5 tersebut sehingga melalui bimbingan guru siswa mengubah
45 menjadi
9 x 5 sehingga diperoleh
45 = 3 5 .
Kasus 3 Tentukanlah bentuk sederhana dari
80 ?
Dengan semangat empat limanya siswa mengerjakan seperti apa yang terjadi pada kasus 2. lima menit kemudian si Ali menjawab 4 5 karena sebelumnya ia telah mendapatkan bilangan kuadrat yang dikalikan dengan sebuah bilangan memberikan hasil 80 yakni 16 x 5. Tak lama kemudian Seorang siswa perempuan menjawab 2 20 karena sebelumnya ia juga telah mendapatkan bilangan kuadrat yang dikalikan dengan sebuah bilangan memberikan hasil 80 yakni 4 x 20. Yang manakah jawaban yang benar?
G. Cara menyederhanakan bentuk Akar Contoh 1. Tentukanlah bentuk sederhana dari
80
Cara penyelesaiannya sebagai berikut: 1. Buatlah faktorisasi prima dari bilangan 80 dengan menggunakan tabel (boleh pohon faktor) 80 2
40
2
20
2
10
2
5
5
1
2. Urailah bilangan 80 menjadi perkalian faktorisasi primanya sehingga diperoleh 80 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5 3.
80 boleh dituliskan
2 x 2 x 2 x 2 x5 atau
4. Sifat perkalian bentuk akar adalah
2 2 x 2 2 x5 dapat dituliskan
22 x
5. Sifat akar berikutnya adalah dapa dituliskan 2 x 2 x
22 x
2 2 x 2 2 x5 a x b = axb sehingga bentuk 5
a 2 = a sehingga bentuk
22 x 22 x
5
5=4 5
Jadi bentuk sederhana dari
Contoh 2 Tentukanlah nilai dari
80 adalah 4 5
45 + 125 = ….
Terlebih dahulu soal diatas diubah atan disederhanakan sehingga menjadi bentuk akar yang sama sehingga dapat dijumlahkan Diperoleh 3 5 + 5 5 = 8 5
BAB III PENUTUP 1. Kesimpulan ·
Menyederhanakan bentuk akar dapat dilakukan dengan faktorisasi prima.
·
Bentuk akar yang paling sederhana apabila bentuk akar tersebut tidak mempunyai satupun faktor berupa bilangan kuadrat.
·
Bentuk akar bisa saja mempunyai lebih dari satu faktor berupa bilangan kuadrat.
·
Faktor Prima suatu bilangan adalah suatu faktor prima dari suatu bilangan yang diberikan.
