BAB I PENDAHULUAN 1. LATAR BELAKANG Matematika sebagai salah satu ilmu dasar, memegang peranan penting dalam mempercepat penguasaan ilmu pengetahuan dan teknologi. Hal ini disebabkan karena, matematika merupakan sarana berfikir untuk menumbuh kembangkan cara berfikir logis, sistematis, dan kritis. Matematika banyak berhubungan dengan ide-ide abstrak yang diberi simbol-simbol yang tersusun secara hierarkis dan penalarannya deduktif sehingga belajar matematika merupakan kegiatan mental yang tinggi dan terkadang memerlukan waktu yang lama dan butuh kesabaran. Dalam belajar matematika, mempelajari konsep B yang mendasarkan konsep A, seorang siswa perlu memahami terlebih dahulu konsep A. tanpa memahami konsep A, tidak mungkin orang memahami konsep B. ini berarti mempelajari matematika haruslah bertahap dan berurutan, serta berdasarkan kepada pengalaman belajar yang lalu Sehingga banyak siswa yang merasa kesulitan bahkan tidak senang belajar matematika. Karena, kehierarkisan matematika itu, maka belajar matematika yang terputusputus akan menggangu terjadinya proses belajar. Ini berarti proses belajar matematika akan terjadi dengan lancar bila belajar itu dilakukan secara kontinyu. Namun masih banyak diantara siswa kita mengalami kesulitan dalam belajar matematika, utamanya materi atau soal yang memerlukan penyelesaian yang rumit dan panjang, bahkan banyak diantara siswa yang terkadang malas mengerjakan soal yang demikian. Mereka hanya menunggu jawaban dari teman atau bahkan dari guru. Sikap masa bodoh untuk tidak peduli pada terhadap
1
kesulitan yang mereka alami sangat fatal pengaruhnya dan akibatnya bisa menjadi anggapan bahwa matematika adalah momok bagi mereka. Salah satu materi dalam pelajaran matematika yang terkadang tidak disenangi oleh siswa adalah persamaan garis lurus, mengkhusus pada penentuan persamaan garis lurus yang salah satu titik atau gradien diketahui. Dalam materi ini siswa harus memahami beberapa materi yang ada sebelumya seperti gradien atau kemiringan garis sehingga menimbulkan kesulitan dari siswa. Mengingat kesulitan yang dialami siswa tersebut maka dipandang perlu untuk melakukan perhatian yang lebih baik berbagai pihak untuk meningkatkan mutu hasil belajar matematika. Utamanya dari kalangan pendidik dalam hal ini seorang guru, karena gurulah yang banyak atau yang paling dekat dengan siswa. Usaha-usaha yang dilakukan kearah peningkatan hasil belajar diharapkan akan selalu ditingkatkan. Jangkauannya diperluas dan mencakup sasaran yang lebih mendasar
seperti
peningkatan
keterampilan
matematis,
pengembangan
penyelesaian masalah matematika, perbaikan cara belajar matematika, bamyak guru mulai menggunakan beberapa pendekatan dalam pemecahan soal matematika agar siswa merasa senang dan mampu menyelesaikan soal yang diberikan dan lain-lain. Oleh karena masalah tersebut kami akan mencoba memaparkan salah satu cara dalam menyelesaikan persamaan garis lurus yang salah satu titiknya diketahui yakni dengan menggunakan rumus jitu sehingga siswa tidak lagi merasa kesulitan dalam menyelesaikan materi persamaan garis lurus. Mereka tidak lagi menganggap matematika sebagai momok atau pelajaran yang menakutkan. Dan diharapkan dengan cara ini siswa dapat merasa senang belajar matematika.
2
2. RUMUSAN MASALAH Berdasarkan
latar
belakang
diatas
maka
penulis
merumuskan
permasalahan yakni “Bagaimana menentukan persamaan garis lurus yang salah satu titiknya diketahui dan sejajar atau tegak lurus dengan garis linier yang yang lain?” 3. BATASAN ISTILAH a. Persamaan adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan ”sama dengan” b. Persamaan garis lurus adalah persamaan yang berbentuk Ax + By = C c. Dua buah garis sejajar adalah apabila jarak kedua garis itu diukur disembarang titik diperoleh jarak yang sama. d. Dua buah Garis tegak lurus adalah apabila perpotongan kedua garis itu memebentuk sugut siku-siku atau 90 derajat. e. Gradien adalah kemiringan sebuah garis.
3
BAB II PEMBAHASAN A. Pengertian Pembalejaran Matematika Secara umum Gagne Dan Briggs yang dikutip oleh Ismail (1998) mengatakan bahwa pembelajaran sebagai upaya orang yang tujuannnya adalah membantu orang belajar.dan secara lebih terinci pembelajaran adalah seperangkat acara peristiwa eksternal yang dirancang untuk mendukung terjadinya beberapa proses belajar yang sifatnya internal. Corey yang dikutip oleh ismail (1998) bahwa pembelajaran adalah suatu proses dimana lingkungan seseorang secara sengaja dikelola untuk memungkinkan ia turut serta dalam kondisi-kondisi khusus atau menghasilkan respon terhadap situasi tertentu. Dalam kamus besar bahasa Indonesia kata pembelajaran adalah kata benda yang diartikan sebagai “proses, cara, menjadikan orang atau makhluk hidup belajar” kata ini berasal dari kata kerja belajar yang artinya berusaha untuk memperoleh kepandaian atau ilmu, berubah tingkah laku atau tanggapan yang disebabkan oleh pengalaman. Dari pengertian di atas menunjukkan bahwa pembelajaran berpusat pada kegiatan siswa belajar dan bukan pada berpusat pada kegiatan guru mengajar. Oleh karena itu pada hakikatnya pembelajaran matematika adalah proses yang sengaja dirancang dengan tujuan untuk menciptakan suasana lingkungan memungkinkan seseorang (sipelajar) melaksanakan kegiatan belajar matematika, dan proses tersebut berpusat pada guru mengajar matematika. Pembelajaran matematika harus memberikan peluang kepada siswa untuk berusaha dan mencari pengalaman tentang matematika.
4
B. Pengertian Persamaan Garis Lurus Sebelum memahami pengertian persamaan garis lurus, ada baiknya kami mengingat kembali materi tentang koordinat Cartesius persamaan garis lurus selalu digambarkan dalam koordinat Cartesius. Untuk itu, pelajarilah uraian berikut. Setiap titik pada bidang koordinat Cartesius dinyatakan dengan pasanganberurutan x dan y, di mana x merupakan koordinat sumbu-x (disebut absis) dan y merupakan koordinat sumbu-y (disebut ordinat). Jadi, titik pada bidang koordinat Cartesius dapat dituliskan (x, y). Pada Gambar di bawah ini terlihat ada 3 buah titik koordinat pada bidang koordinat Cartesius. Dengan menggunakan aturan penulisan titik koordinat, keenam titik tersebut dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut. A (0,1), B (-2,1), C (2,-2)
A
B(-2,1)
C (2,-2)
Setelah kita memahami bagaimana menggambar itik pada bidang koordinat kartesius, sekarang bagaimana menggambar garis lurus pada bidang yang sama.
5
(2,2)
Dari penjelasan diatas dapat dibuat pengertian garis lurus adalah kumpulan titik-titik yang letaknya sejajar. Terlihat pada 3 titik pada gambar di atas yakni (0,0), (1,1) dan (2,2)
C. Menggambat Persamaan Garis Lurus Apa yang kita ketahui tentang persamaan garis lurus? Pesamaan garis lurus adalah suatu persamaan ang jika digambarkan ke dalam bidang koordinat kartesius akan membentuk sebuah garis lurus. Cara menggambar garis lurus adalah menentukan nilai x dan y secara acak. Hanya dibutuhkan minimal dua titik untuk menggambar garis lurus. Misalkan kita akan menggambat garis x + y = 4. Langkah pertama yang kita lakukan adalah menentukan nilai x dan y yang memenuhi persamaan x + y = 4.n Misalkan x = 0 maka 0 + y = 4 maka y = 4, sehingga diperoleh titik koordinat (0,4). x = 3 maka 3 + y = 4 maka y = 1, sehingga diperoleh titik koordinat (3,1). Kemudian dari dua titik koordinat tersebut dapat digambarkan garis lurus sebagai berikut :
o (3,1)
6
D. Pengertian Gradien
Pernahkah kita mendaki gunung? Jika ya, kita pasti akan menyusuri lereng gunung untuk dapat sampai ke puncak. Lereng gunung memiliki kemiringan tanah yang tidak sama, ada yang curam ada juga yang landai. Sama halnya dengan garis yang memiliki kemiringan tertentu. Tingkat kemiringan garis inilah yang disebut gradien. Secara matematika Gradien suatu garis adalah bilangan yang menyatakan kecondongan suatu garis yang merupakan perbandingan antara komponen y dan komponen x.Ada berbagai cara untuk menghitung gradien dari suatu persamaan
garis. Hal ini bergantung pada letak titik koordinat dan bentuk persamaan garis yang diberikan. Berikut ini akan diuraikan cara menghitung gradien berdasarkan titik koordinat atau bentuk persamaan garis. 1. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mx Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, gradien suatu garis dapat ditentukan melalui perbandingan antara ordinat dan absis sehingga dapat ditulis sebagai berikut. Gradien =
m=
ordinat absis
y maka, y = mx x
Dari uraian ini terlihat bahwa nilai gradien dalam suatu persamaan garis sama dengan besar nilai konstanta m yang terletak di depan variabel x, dengan syarat, persamaan garis tersebut diubah terlebih dahulu ke dalam bentuk y = mx. Untuk lebih jelasnya, pelajari lah Contoh berikut.
7
Tentukanlah gradien dari persamaan garis berikut. a. y = -2x b. y = 3x c. 4x – 6y = 0 Jawab :
a. Persamaan garis y = -2x sudah memenuhi bentuk y = mx. Jadi, diperoleh m = -2. b. Persamaan garis y = 3x sudah memenuhi bentuk y = mx. Jadi, diperoleh m = 3. c. Persamaan garis 4x-6y = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx sehingga -6y = -4x maka y =
4 4 x sehingga diperoleh m = 6 6
2. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mx + c Sama halnya dengan perhitungan gradien pada persamaan garis y = mx, perhitungan gradien pada garis y = mx + c dilakukan dengan cara menentukan nilai konstanta di depan variabel x. Untuk lebih jelasnya, mari kitaperhatikan contoh berikut Tentukanlah gradien dari persamaan garis berikut. a. y = 4x + 6 b. y = –5x – 8 c. 2y = x + 12 Jawab : a. Persamaan garis y = 4x + 6 sudah memenuhi bentuk y = mx + c. Jadi,nilai m =4. b.Persamaan garis y = –5x –8sudah memenuhi bentuk y = mx + c. Jadi, nilaim=–5. c. Persamaan garis 2y = x + 12 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + c sehingga 2y = x +12
8
y=
x + 12 2
y=
x +6 2
Jadi nilai m = 1/2 3. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis ax + by + c = 0 Sama seperti sebelumnya, gradien pada persamaan garis ax + by + c = 0 dapat ditentukan dengan cara mengubah terlebih dahulu persamaan garis tersebut ke dalam bentuk y = mx + c. Kemudian, nilai gradien diperoleh dari nilai konstanta m di depan variabel x. Perhatikan Contoh berikut : Tentukanlah gradien dari persamaan garis x + 2y + 6 = 0 Persamaan garis x + 2y + 6 = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + c sehingga x + 2y + 6 = 0 2y = –x –6
y=
- x-6 1 sehingga diperoleh m = 2 2
4. Sifat-sifat gradien
·
Jika garis sejajar dengan sumbu-x maka nilai gradiennya adalah nol
·
Jika garis sejajar dengan sumbu-y maka nilai garis tersebut tidak memiliki gradien.
·
Setiap garis yang sejajar memiliki gradien yang sama.
·
Hasil kali antara dua gradien dari garis yang yang saling tegak lurus adalah -1.
9
D. Persamaan Garis yang Melalui Sebuah Titik (x1, y1) dengan Gradien m Misalkan suatu garis mempunyai gradien m dan melalui sebuah titik (x1, y1). Bentuk persamaan garis tersebut adalah y = mx + c. Untuk menentukan persamaan garis tersebut perhatikan langkah – langkah berikut. (a) Substitusi titik (x1, y1) ke persamaan y = mx + c. y = mx + c y1 = mx1 + c c = y1 – mx1 (b) Substitusi nilai c ke persamaan y = mx + c. y = mx + c y = mx + y1 – mx1 y – y1 = mx – mx1 y – y1 = m(x – x1) Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan bergradien m adalah y – y1 =
m(x – x1).
E. Menentukan persamaan garis yang melalui dua titik o y – y1 =
m(x – x1). Adalah rumus untuk persamaan garis yang melalui
satu titik koordinat. o
m=
y 2 - y1 adalah rumus gradient dari dua titik koodinat. x 2 - x1
o Dari kedua rumus tersebut dapat diuraikan sebagai berikut. y – y1 = m(x – x1)
10
y - y1 =
y 2 - y1 ( x - x1 ) x 2 - x1
y - y1 =
( y 2 - y1 )( x - x1 ) x 2 - x1
y - y1 ( y - y1 )( x - x1 ) = 2 y 2 - y1 ( y 2 - y1 )( x 2 - x1 ) y - y1 ( x - x1 ) = y 2 - y1 ( x 2 - x1 )
Sehingga diperoleh rumus persamaan garis melalui dua titik adalah y - y1 ( x - x1 ) = y2 - y1 ( x2 - x1 )
F. Menyelesaikan Persamaan Garis dari Gradien dan Titik Koordinat. Contoh : Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3,5) dan memiliki gradien -2 Penyelesaian : Pada pemaparan di atas kami telah menuliskan rumus persamaan garis melalui satu titik dan gradient m yakni y – y1 = m(x – x1) sehingga diperoleh y – 5 = -2 (x - 3) y – 5 = -2x + 6 y = -2x + 6 + 5 y = -2x + 11 atau 2x + y = 11 G. Menyelesaikan Persamaan Garis yang Melalui Dua Titik Contoh : Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,6) dan (4,-2) Penyelesaian : Cara 1 Pada pemaparan di atas kami telah menuliskan rumus persamaan garis melalui dua titik yakni
y - y1 ( x - x1 ) = y 2 - y1 ( x 2 - x1 )
11
sehingga diperoleh (2,6) maka x1 = 2 dan y1 = 6 (4,-2) maka x1 = 4 dan y1 = -2 Persamaannya adalah y - y1 ( x - x1 ) = y 2 - y1 ( x 2 - x1 ) y -6 ( x - 2) = - 2 - 6 ( 4 - 2) y-6 x-2 = -8 2 2( y - 6) = -8( x - 2) y - 6 = -4 x + 8 y + 4x - 6 - 8 = 0 y + 4 x - 14 = 0
Cara 2 m=
y 2 - y1 x 2 - x1
-2-6 4-2 -8 = 2 = -4 =
Garis melaui (2,6) dengan gradien -4 adalah : y – y1 = m(x – x1) y – 6 = -4 (x - 2) y – 6 = -4x + 8 y + 4x – 6 - 8 = 0 y + 4x – 14 = 0
12
H. Menyelesaikan Persamaan Garis yang melalui satu titik dan sejajar dengan garis yang lain. Contoh : Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (2,3) dan sejajar terhadap garis dengan persamaan 3x + 5y = 15 adalah …. Penyelesaian : 3x + 5y = 15 5 y = 15 - 3 x y =
15 - 3 x 5
sehingga diperoleh m =
-3 5
Garis sejajar maka m1 = m2 =
-3 5
Persamaan garis yang melalui (2,3) dengan gradien m2 =
-3 adalah 5
3x – (-5y) = 3x1 – (-5y1) 3x + 5y = 3 . 2 + 5 . 3 3x + 5y = 21 I. Menyelesaikan Persamaan Garis yang sejajar dengan garis lurus yang lain Contoh : Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (2,3) dan tegak lurus terhadap garis dengan persamaan 3x + 5y = 15 adalah …. Penyelesaian : 3x + 5y = 15
13
5 y = 15 - 3 x y =
15 - 3 x 5
sehingga diperoleh m =
-3 5
Garis tegak lurus maka m1 =
-1 5 = m2 3
Persamaan garis yang melalui (2,3) dengan gradien m2 =
5 adalah 3
y – y1 = m(x – x1) y – 3 = 5 (x - 2) 3 y – 3 = 5 x - 10 3 3y + 9 = 5x - 10 3y - 5x + 9 + 10 = 0 3y - 5x + 19 = 0 J. Menyelesaikan Persamaan Garis dengan Menggunakan Rumus Jitu Langkah Jitu untuk Menentukan Persamaan Garis ·
Persamaan garis melalui (x1,y1 ) bergradien m =
a b
ax–by = a . x1–b. y1 ·
Persamaan garis melalui dua titik yakni (x1,y1) dan (x2,y2) éa b ù Kedua titik disusun ke bawah p ê úq ëc d û
·
Persamaan Garis yang melalui satu titik (x1,y1) dan sejajar dengan garis ax + by = c
14
ax + by = a . x1 + b. y1 ·
Persamaan Garis yang melalui satu titik (x1,y1) dan tegak lurus dengan garis ax + by = c bx - ay = b . x1 + a. y1
K. Menyelesaikan contoh soal dengan Menggunakan Langkah Jitu Contoh : Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3,5) dan memiliki gradien -2 Penyelesaian : a = -2, b= 1, x1= 3 dan x2 = 5 Menggunakan rumus jitu : ax–by = a . x1–b. y1 -2x – y = -2 . 3 – 1. 5 -2x – y = -6 – 5 -2x – y = -11 2x + y = 11 Contoh : Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,6) dan (4,-2) Penyelesaian : a = 2, b = 6, c = 4, d = -2 , p = 4 x 6 = 24, q = 2 x -2 = -4 é 4 - 2ù ê2 6 ú ë û 2 y = -8 x + 24 - (-4) 2 y + 8 x - 28 = 0
Contoh : Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (2,3) dan sejajar terhadap garis dengan persamaan 3x + 5y = 15 adalah …. Penyelesaian : Diketahui a = 3, b = 5, c = 15, x1 = 2 dan y1 = 3
15
Menggunakan persamaan jitu : ax + by = a . x1 + b . y1 3x + 5y = 3 . 2 + 5 . 3 3x + 5y = 6 + 15 3x + 5y = 21 Contoh : Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (2,3) dan tegak lurus terhadap garis dengan persamaan 3x + 5y = 15 adalah …. Penyelesaian : Diketahui a = 3, b = 5, c = 15, x1 = 2 dan y1 = 3 Menggunakan persamaan jitu : bx - ay = b . x1 + a . y1 5x - 3y = 5 . 2 + 3 . 3 5x - 3y = 10 + 9 5x - 3y = 19
16
BAB III PENUTUP 1. Kesimpulan Rumus Jitu untuk menentukan persamaan garis lurus ·
Persamaan garis melalui titik (x1,y1) bergradien m =
a adalah b
ax–by = a . x1–b. y1. ·
Persamaan garis melalui titik (a,b) dan (c,d) adalah éa b ù pê ú q dimana p = a x d dan q = b x c ëc d û
·
Persamaan garis melalui titik (x1,y1) dan sejajar dengan garis ax + by = c. ax + by = a . x1 + b . y1
·
Persamaan garis melalui titik(x1,y1)dan tegak lurus dengan garis ax+by= c. bx - ay = b . x1 + a . y1
2. Saran
Kami dari penulis selalu menyarankan kepada semua guru agar kiranya selalu membantu siswa untuk berbuat kreatif dalam meyelesaikan soal-soal yang ada. Sebaiknya mereka tidak hanya memepelajari rumus atau konsep yang ada pada buku yang mereka miliki, namun mereka diberi keleluasaan untuk menciptakan atau membuat ide dalam menemukan cara lain dalam menyelesaikan tugas yang ia peroleh. Kami juga akan selalu terbuka kepada seluruh pembaca makalah ini agar selalu memberikan saran dan masukan demi kesempurnaan makalah ini agar kelak makalah ini mendekati sebuah kesempurnaan.
17
18
Daftar Pustaka
Anwar. 2008. Konsep Jitu Matematika SMP. Jakarta : Wahyu media Budi rahayu. 2008. Contextual Teaching and Learning Matematika. Jakarta : Pusat Perbukuan DEPDIKNAS Wagiyo. 2008. Pegangan Belajar Matematika. Jakarta : Pusat Perbukuan DEPDIKNAS
19
20
Tugas Kelompok Mata Kuliah : Problematika Pendidikan Matematika Dosen Pengajar : DRS. Ahmad Thalib, M.Si.
RUMUS JITU
MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS LURUS
DISUSUN OLEH :
EDIAMAN AR WAHIDA JAMALUDDIN
PROGRAM PASCASARJANA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR 2008
21
22
