Diktat Kuliah TK 301 Matematika
BAB 6 INTEGRAL DAN PENGGUNAANNYA 6.1 Integral Taktentu (Antiturunan) dF f (x) . Jika yang dx diketahui adalah f(x), untuk mendapatkan F(x) dilakukan pengintegralan. Secara umum ditulis, Fungsi F disebut antiturunan (integral) dari f pada interval I jika
f ( x)dx F ( x) C . f ( x)dx [dibaca: integral dari f(x) terhadap x].
dengan C adalah konstanta. Simbol
Dalam hal ini, fungsi yang diintegralkan, yakni f(x), disebut integran. Berikut beberapa rumus dasar integral.
xr 1 C ,r r 1
(1)
x r dx
(2)
1 dx ln | x | C , x x
(3)
e x dx e x
C
(4)
sin xdx
cos x C
(5)
cos xdx sin x C
CONTOH 1
Hitung
1 0
x 2 dx .
Penyelesaian
x 2 dx
1 2 1
x2
1
1 3 x 3
C
C
Perhatikan bahwa untuk mengintegralkan pangkat dari x, tambahkan pangkat dari x oleh 1 dan bagi oleh pangkat baru. CONTOH 2
Hitung
(2 x 3
x )dx .
Penyelesaian
(2 x 3
x )dx
2 x 3 dx 1 4 x 2
Aip Saripudin
x 1 / 2 dx
2 3/ 2 x 3
C
Integral - 82
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
6.2 Mengubah Bentuk
f ( x)dx
Menjadi
f (u )du
: Metode
Substitusi Jika u = g(x) disubstitusikan pada f (x) sehingga mengubah f ( x)dx menjadi
f (u )du
dan jika F adalah antiturunan dari f,
f ( x)dx
CONTOH 1
f (u)du F (u) C
( x 1)( x 2
Hitung
F ( g ( x)) C .
2 x) 2 dx .
Penyelesaian Misal
x2
u du dx
2x
2x
1 du ( x 1)dx 2
2 2( x 1)
maka
( x 1)( x 2
2 x) 2 dx
(x 2 u2
2 x) 2 ( x 1)dx 1 du 2
1 1 3 u C 2 3 1 2 3 x 2x 6
CONTOH 2
Hitung
(2 x 3
1) x 4
C
2 x 5dx .
Penyelesaian Misal
u
x4
du dx
2x 5
4x 3
2 2(2 x 3
1)
1 du (2 x 3 2
1)dx
maka
(2 x 3
1) x 4
CONTOH 3
2 x 5dx
Hitung
1 2
u du
1 1/ 2 1 3/ 2 u du u 2 3
C
1 4 x 3
2x 5
3/ 2
C
x 1 dx . x 2x 5 2
Penyelesain Misal u = x2 + 2x – 5
du dx
2 x 2 2( x 1)
( x 1)dx
1 du 2
Maka
Aip Saripudin
Integral - 83
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
x2
CONTOH 4
x 1 dx 2x 5
1 du 2 u
ex
Hitung
ex
2
1 ln | u | C 2
1 ln | x 2 2
2x 5 | C .
dx .
Penyelesaian Misal
ex
u
2
e x dx
du Maka
ex e CONTOH 5
x
2
du u
dx
ln | u | C
ln | e x
2| C .
sin 2 xdx .
Hitung
Penyelesaian Misal u 2x
du dx
1 du dx 2
2
maka
sin 2 xdx CONTOH 6
1 du 2
sin u
1 cosu C 2
1 cos 2 x C 2
sin 3 x cos xdx .
Hitung
Penyelesaian Misal u sin x
du cos x dx
du cos xdx
maka
sin 3 x cos xdx
u 3 du
1 4 u 4
C
1 4 sin x C 4
6.3 Teorema Dasar Kalkulus: Integral Tentu Jika f kontinu (terintegralkan) pada [a, b] dan F adalah antiturunan dari f, b
f ( x)dx
F (b )
F (a) .
a
a disebut batas bawah dan b batas atas. 3
CONTOH 1
xdx .
Hitung 1
Aip Saripudin
Integral - 84
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
Penyelesaian 3
1 2 x 2
xdx 1
3
1 2 3 2
1
12
4.
2
CONTOH 2
(x 2
Hitung
x 1 / 2 )dx .
0
Penyelesaian 3
(x 2
1 3 x 3
x 1 / 2 )dx
0
2 3/ 2 x 3
3
1 3 (3) 3
0
2 3/ 2 (3) 3
1 2 ( 0) 3
2 3/ 2 ( 0) 3
12,46
/2
CONTOH 3
sin 2 xdx .
Hitung 0
Penyelesaian Misal
1 du 2 u = 0 dan batas atas: x = /2
u = 2x maka du 2dx Batas bawah: x = 0
dx
u = 2x =
sehingga /2
1 sin udu 20
sin 2 xdx 0
1 cos u 2 0
1 cos 2
cos 0
1 2
1 1
1
2
CONTOH 4
(2 x 1) x 2
Hitung
x
2 dx .
0
Penyelesaian
du du (2 x 1)dx 2x 1 dx Batas bawah : x = 0 u = 02 + 0 + 2 dan
Misal
u
x2
x 2 maka
Batas atas
:x=1
u 12
1 2 4
sehingga 1
4
(2 x 1) x 2
x
u 1 / 2 du
2dx
0
2
2 3/ 2 u 3
2 (4) 3 / 2 3
(2) 3 / 2
2 8 2 2 3
3,45
6.4 Beberapa Sifat Integral Tentu Berikut adalah sifat-sifat integral tentu. (1) Linier b
a
Aip Saripudin
b
kf ( x)dx
(i)
k f ( x)dx a
Integral - 85
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
b
b
f ( x)
(ii)
g ( x) dx
b
f ( x)dx
a
g ( x)dx
a
a
(2) Penambahan Interval Jika f terintegralkan pada interval [a, c] yang di dalamnya ada b, c
b
c
f ( x)dx
f ( x)dx
a
f ( x)dx
a
b
(3) Sifat Pembandingan Jika f dan g terintegralkan pada interval [a, b] dan f(x) dalam [a, b], b
g(x) untuk semua x
b
f ( x) dx
g ( x) dx .
a
a
(4) Sifat simetri Jika f fungsi genap, a
a
f ( x)dx
2 f ( x)dx
a
0
Jika f fungsi ganjil, a
f ( x ) dx
0
a
5
2( x 1) dx .
CONTOH 1 Hitung 1
Penyelesaian 5
2
2( x 1)dx
2
2 xdx
1
2 dx
1
1
2
2
1 2 x 2
2
2x1
2
1
3 2
2 1 5.
3
CONTOH 2 Hitung
| x | dx . 2
Penyelesaian 3
0
| x | dx 2
3
xdx 2
xdx 0
1 2 x 2
0
2
1 2 x 2
3
2 0
9 2
2 12 .
6.5 Pendiferensialan Integral Tentu Jika f terintegralkan pada [a, b] yang memuat variabel x, berlaku y d x (1) f (t )dt f ( x) dx a d b (2) f (t )dt f ( x) dx X
y = f(t)
t a
Aip Saripudin
x
b
Integral - 86
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
d dx d (4) dx
U ( x)
(3)
a b u( x)
d du d du
f (t )dt f (t )dt
a b u
du dx du dx
f (t )dt
f (t )dt
du dx du f (u) dx
f (u)
x
d Cari dx
CONTOH 1
u
tdt . 1
Penyelesaian Cara konvensional, cari dulu x
1 2 t 2
tdt 1
x
1 2 x 2
1
1 2 x 2
12
1 . 2
Selanjutnya x
d dx
d 1 2 x dx 2
tdt 1
1 2
x
Sementara itu, menggunakan rumus pendiferensialan integral tentu, lebih mudah, yakni x
d dx
x.
tdt 1
CONTOH 2
Hitung
d dx
x
2
2t t
2
5
dt .
16
Penyelesaian x
d dx
2
CONTOH 3
2t t
2
5
2x 5
dt
x2
16
Hitung
d dx
.
16
4
sin 2 u cosudu . x
Penyelesaian Perhatikan rumus untuk pendiferensialan integral tentu terhadap batas bawah. 4
d sin 2 u cos udu dx x
CONTOH 4
Hitung
d dx
sin 2 x cos x .
x2
t 2 dt . 2
Penyelesaian Perhatikan bahwa, dalam kasus ini, batas atasnya adalah x2. Untuk itu, gunakan aturan rantai sebagai berikut.
Aip Saripudin
Integral - 87
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
Misal
u
x 2 maka
du dx
2x .
Selanjutnya d dx
x2
d du
t 2 dt 2
u
du dx
t 2 dt 2
u 2 2x
x2
2
2x 2x 5 .
6.6 Pengintegralan Parsial Pengintegralan parsial diterapkan ketika pengintegralan substitusi tidak dapat dilakukan. Rumusnya sebagai berikut:
udv uv
CONTOH 1
Hitung
vdu .
x x 1dx .
Penyelesaian Integral ini sebetulnya dapat diselesaikan menggunakan metode substitusi sebagai berikut. Misal u x 1 du dx maka
x x 1dx
(u 1) u du
2 5/ 2 2 3/ 2 2 2 u u C ( x 1) 5 / 2 ( x 1) 3 / 2 C 5 3 5 3 Integral di atas juga dapat diselesaikan dengan pengintegralan parsial sebagai berikut. u x Misal du dx u3/ 2
u 1 / 2 du
dv
x 1dx
vdu
v
x 1dx
2 ( x 1) 3 / 2 3
2 4 ( x 1) 3 / 2 dx ( x 1) 5 / 2 3 15
sehingga
x x 1dx
udv uv
vdu
2 4 ( x 1) 3 / 2 ( x 1) 5 / 2 C 3 15 Kedua jawaban di atas tampak berbeda. Akan tetapi, jika masing-masing disederhanakan lagi, akan diperoleh hasil yang sama. Coba buktikan. x
CONTOH 2 Penyelesaian Misal u=x
Aip Saripudin
Hitung
x sin xdx .
du = dx
Integral - 88
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
dv = sin x dx
v
sin xdx
cos x
selanjutnya
vdu
( cos x)dx
sin x
maka
x sin xdx
udv uv
vdu x( cos x) ( sin x) C
x cos x sin x C
Catatan: u dan dv harus dipilih setepat mungkin agar pengintegralan menjadi lebih sederhana. CONTOH 3
Hitung
t 2 cos 4tdt .
Penyelesaian Misal
u t2
du 2tdt
dv cos4tdt
v
cos4tdt
1 sin 4t 4
1 t sin 4tdt 2 Integral ini, kembali harus dicari dengan cara parsial sebagai berikut: Misal dw dt w t vdu
dz sin 4tdt zdw
z
sin 4tdt
1 cos 4tdt 4
1 cos4t 4
1 sin 4t 16
maka
t sin 4tdt
wdz wz
zdw
1 t cos 4t 4
1 sin 4t 16
sehingga vdu
1 t sin 4tdt 2
1 t cos 4t 8
1 sin 4t 32
Dengan demikian diperoleh t 2 cos 4tdt
udv uv 1 2 t sin 4t 4
Aip Saripudin
vdu 1 t cos 4t 8
1 sin 4t 32
C
Integral - 89
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
6.7 Penggunaan Integral 6.7.1 Luas Daerah Bidang Datar Daerah di atas sumbu-x Luas daerah dibatasi oleh kurva y = f(x) x = b adalah y
0, y = 0, x = a, dan
y = f(x) b
A
A x
a
ydx a
b
CONTOH 1
x2
Cari luas daerah yang dibatasi oleh y
1 , y = 0, x = 1 dan x = 2.
Penyelesaian 2
y
y = x2 + 1
1 dx
1 3 x 3
x
1
A
1 3 2 3 6
x 2
1
x2
A
2
1
1 ( 1) 3 3
2
( 1)
Daerah di bawah sumbu-x Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) a, dan x = b adalah
0, y = 0, x =
y a
b x A b
y = f(x)
CONTOH 2
A
ydx a
Cari luas daerah yang dibatasi oleh y
x2
2 x 3 dan y = 0. y
Penyelesaian Titik potong kurva dengan sumbu-x y
x2
2x 3 0
1
3 A
x
y = x2 + 2x – 3
( x 3)( x 1) 0 x = 3 dan x = 1
Aip Saripudin
Integral - 90
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
Daerah yang dimaksud ditunjukkan pada gambar di atas. Luasnya adalah 1
x2
A
2 x 3 dx
3 1
1 3 x 3
x2
3x 3
1 3 1 3
12
1 ( 3) 3 3
3 1
( 3) 2
3 ( 3)
10 23
Daerah yang dibatasi oleh dua kurva Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y1 = f(x), y2 = g(x), x = a, dan x = b, dengan y1 y2 adalah
y1 = f(x)
y
A y2 =g(x) a
x
b
b
A
y1
y 2 dx
a
Cari luas daerah yang dibatasi oleh y
CONTOH 3
2
x 2 dan y = x.
Penyelesaian Daerah yang dimaksud ditunjukkan pada gambar. Batas bawah dan batas atas integral diperoleh dengan mencari titik potong kedua kurva sebagai berikut. y1
y 2 maka
y
2 x2 x2
x
x 2 0
( x 2)( x 1) 0
2 1
x
x = 2 (batas bawah) dan x = 1 (batas atas). Dengan demikian, 1
A
2
x2
x dx
2
1
2
x
x 2 dx
2
Aip Saripudin
Integral - 91
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
1 2 x 2
2x
1 3 x 3
1 2 1 2
2 1
1
2
1 3 1 3
2 ( 2)
1 ( 2) 2 2
1 ( 2) 3 3
4,5
Catatan Jika daerahnya dibatasi oleh x1 = f(y), x2 = g(y), y = c, dan y = d, dengan x1
x2,
d
A
x1
x 2 dy
c
CONTOH 4
Cari luas daerah yang dibatasi oleh kurva y 2
4 x dan garis 4 x 3 y
4.
Penyelesaian Titik potong kedua kurva 4
x1 y
2
x2
y2 4
3y
4 0
3y
y2 = 4x
4 4
4x – 3y = 4 x
( y 1)( y 4) 0 y
1
1 (batas bawah) dan y 4 (batas atas)
Dengan demikian, b
A
( x2
x1 )dy
a 4
3y 4
1
1 4
y2 dy 4
4
4
3y
y 2 dy
4
1
1 3 2 y 4 2
1 4
3 2 4 2
4y
1 3 y 3
4 4
4
1
1 3 4 3
3 ( 1) 2 2
4 ( 1)
1 ( 1) 3 3
125 24
Aip Saripudin
Integral - 92
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
6.7.2 Volume Benda Putar Pemutaran terhadap sumbu-x Jika y = f(x) dengan batas a positif, volume yang dihasilkannya adalah
x
b diputar ke sumbu-x
b
y 2 dx
V a
Jika bidang yang diputar dibatasi oleh dua kurva, y b
y2
y 22
V
y12 dx
a
y1
a
CONTOH 1
x
b
Sebuah bidang R didefinisikan sebagai daerah yang dibatasi oleh y
x2 ,
y 0 , x = 0, dan x = 4. Cari volume yang dihasilkan jika R diputar ke sumbu-x. Penyelesaian b
3 2
V
y dx
x dx
a
CONTOH 2
1 3 x 3
2
0
3
0
1 3 3 3
0
9 satuan volume.
Sebuah bidang R didefinisikan sebagai daerah yang dibatasi oleh y
y
x
x2 ,
2 , dan x = 0. Cari volume yang dihasilkan jika R diputar ke
sumbu-x. Penyelesaian Batas-batas integral dapat ditentukan oleh titik potong kedua grafik maka y1
Aip Saripudin
y2
x2
x
x2
x 2 0
2
Integral - 93
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
( x 1)( x 2) 0
x
1 dan x 2
Akan tetapi x = –1 berada di luar daerah yang didefinisikan maka batas bawah integral adalah x = 0 dan batas atasnya x = 2 sehingga b
2
y 22
V a
y12 dx
x
2
2
x 4 dx
0
2
x2
4x
x 4 dx
4
0
1 3 x 3
12 154
Aip Saripudin
2x
2
4x
1 5 x 5
2
0
satuan volume
Integral - 94
